Uni Duisburg-Essen Fachgebiet Informationssysteme Prof. Dr. N

Uni Duisburg-Essen
Fachgebiet Informationssysteme
Prof. Dr. N. Fuhr
Blatt 3
Kai Großjohann, André Schaefer
Aufgabe 1:
Abgabe bis 13. Mai 2003
Zahlendarstellungen
a) Berechne mit Hilfe des Horner-Schemas (Vorlesung) die Oktaldarstellung
der natürlichen Zahlen 6746 und 43531 und ermittle daraus die Dual- und
daraus die Hexadezimaldarstellung.
4
b) Gib für die Dezimalzahlen 15
und 34 jeweils die Dual-, die Oktal- und die
Hexadezimaldarstellung an.
Hinweis Schreibe die Brüche zunächst um: 12 = 0.5
10 Punkte
In den folgenden beiden Aufgaben betrachten wir die Zahldarstellungen von Gleitpunktzahlen nach IEEE 754/854 (siehe Anhang).
Aufgabe 2:
Darstellbarkeit
Bestimme die größten und kleinsten positiven darstellbaren Zahlen maxsingle,
minsingle, maxdouble und mindouble in der Hexadezimal- und Dezimaldarstellung für normalisierte und denormalisierte Zahlen. (In der Dezimaldarstellung
genügt auch die Angabe einer Summe von Zweierpotenzen, falls der Taschenrechner versagt!)
10 Punkte
Aufgabe 3:
Single, Double
a) Stelle die Dezimalzahl 0.38 in den Formaten single und double als (normalisierte) Hexadezimal-Zahl dar.
b) Berechne die dezimalen Werte der normalisierten single-Zahlen in Hexadezimaldarstellung
(i) $1874CD00
(ii) $6495ED00
(iii) $E8C10000
und stelle die Zahlen anschließend im double-Format dar.
10 Punkte
Blatt 3
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Prof. Dr. N. Fuhr
Anhang: Darstellung von Gleitpunktzahlen nach IEEE 754/854
Eine Gleitkommazahl besteht aus einem Vorzeichen S, l Bit zur Darstellung des
Exponenten und m Bit zur Darstellung der Mantisse. Die Mantisse ist dabei bei
normalisierten Zahlen, die im Allgemeinen verwendet werden, so dargestellt,
dass diese eine führende 1 vor dem Dezimalpunkt besitzt, die dann in der Regel
nicht kodiert wird. Wir erhalten somit die folgende Darstellung für eine Gleitkommazahl:
Vorzeichen-Bit
↓
Exponent: l Bit
S
el−1 el−2 . . . . . . . . . e1 e0
Mantisse: m Bit
fm−1 fm−2 . . . . . . . . . . . . f1 f0
Exponentencharakteristik : E = (el−1 el−2 . . . . . . e1 e0 )2
Mantisse : M = (fm−1 fm−2 . . . . . . f1 f0 )
DargestellteZahl :
(−1)S · (1.M )2 · 2(E−EBias )
(−1)S · (0.M )2 · 21−EBias
(−1)S · 0
(−1)S · ∞
NaN
1 ≤ E ≤ 2 · EBias
E = 0, M 6= 0
E = 0, M = 0
E = 2 · EBias + 1, M = 0
E = 2 · EBias + 1, M =
6 0
normalisiert
denormalisiert
Null mit Vorz.
∞ mit Vorz.
Not a Number
Die Konstanten l und m bestimmen die Genauigkeit, der Summand EBias dient
zur Verschiebung des Exponentenwertes, um auch negative Exponenten zu erhalten. Dadurch ist es nicht erforderlich, den Exponenten in Zweierkomplementdarstellung zu schreiben, was einen Vergleich von Exponenten erleichtert.
Die im IEEE Standard festgelegten Genauigkeiten single und double haben folgende Parameter:
Genauigkeit
single: 32 Bit
double: 64 Bit
Blatt 3
Exponent
l= 8
l = 11
Mantisse
m = 23
m = 52
EBias
127
1023
Bereich
1.5 · 10−45 . . . 3.4 · 1038
5.0 · 10−324 . . . 1.7 · 10308
Stellen
7–8
15 – 16
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