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Übungen zur Vorlesung Kryptosysteme
Blatt 3 (Thema: Ringe)
1. Betrachten Sie den in der Vorlesung eingeführten Ring Fun ([a, b], R),
a < b, und lineare Gleichungssysteme
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2 ,
wobei aij , bi ∈ Fun ([a, b], R) gilt.
Formulieren Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an die
Koeffizienten aij des Gleichungssystems, die sicherstellt, dass das Gleichungssystem für jede Vorgabe b1 , b2 der rechten Seiten lösbar ist. Beweisen Sie die Gültigkeit Ihrer Bedingung.
2. Es sei CF(Q) die Menge aller Cauchyfolgen rationaler Zahlen, wie sie
zum Beispiel in der Analysisvorlesung betrachtet werden. Dort wird
gezeigt, dass man zwei Cauchyfolgen gliedweise addieren und multiplizieren kann.
Beweisen Sie, dass CF(Q) mit diesen Verknüpfungen ein kommutativer
Ring ist, und bestimmen Sie seine Nullteiler und Einheiten.