Thomas Westermann Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch 7

Thomas Westermann
Mathematik
für Ingenieure
Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch
7. Auflage
Springer-Lehrbuch
Thomas Westermann
Mathematik für Ingenieure
Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch
7., aktualisierte Auflage
Thomas Westermann
Hochschule Karlsruhe
Technik und Wirtschaft
Karlsruhe, Deutschland
Homepage zum Buch:
http://www.home.hs-karlsruhe.de/~weth0002/buecher/mathe/start.htm
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-54289-3
DOI 10.1007/978-3-642-54290-9
ISBN 978-3-642-54290-9 (eBook)
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer Vieweg
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Vorwort zur 7. Auflage
Die weiterhin erfolgreiche Aufnahme des Buchs und die positive Resonanz haben uns bewogen, die Art der Darstellung sowie das Konzept für die vorliegende 7. Auflage weitestgehend zu belassen. Parallel zu den im Buch behandelten
Themen stehen Maple-Worksheets zur Verfügung, die an das aktuelle Maple
18 angepasst wurden. Die Beschreibung befindet sich unter dem Reiter Maple
auf der Homepage zum Buch:
http://www.home.hs-karlsruhe.de/˜weth0002/buecher/mathe/start.htm
In Erweiterung der Bachelor-Studieninhalten befinden sich die Themen
Numerisches Lösen von Gleichungen
Numerisches Differenzieren und Integrieren
Numerisches Lösen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen
sowie ergänzende und weiterführende Abschnitte auf die Homepage zum Buch.
Diese weiterführenden Themen sind in den Kapitelinhaltsverzeichnissen mit der
Seitenangabe web“ gekennzeichnet.
”
Das farblich gestaltete Layout ermöglicht eine übersichtliche Darstellung der
Inhalte, indem z.B. neue Begriffe und Definitionen hellgrün unterlegt sind,
wichtige Aussagen und Sätze blau. Darüber hinaus ermöglichen weitere Stilmittel eine leichte Lesbarkeit des Buchs, indem z.B.
! Achtung:“ auf Stellen besonders hingewiesen, die
mit dem Symbol ”
man anfänglich oftmals falsch bearbeitet, übersieht oder nicht beachtet,
durch Tipps und Merkregeln die Bearbeitung der Beispiele und Übungsaufgaben erleichtert wird,
durch Markierungen am Seitenrand Gliederungspunkte und Orientierungshilfen gegeben werden,
die zahlreichen Zusammenfassungen farblich hervorgehoben werden,
wichtige Formel und Ergebnisse gekennzeichnet werden,
Musterbeispiele und Anwendungsbeispiele übersichtlich aus dem Text hervorgehen;
380 ausführlich durchgerechnete Beispiele,
über 360 Aufgaben mit Lösungen
und mehr als 200 Abbildungen und Skizzen zum Selbststudium und zur
Prüfungsvorbereitung dienen.
vi
Vorwort
Im Buch wird durch die beiden folgenden Symbole explizit auf Informationen
hingewiesen, die sich auf der Homepage befinden:
1 Animationen, die im gif-Format vorliegen: Durch Anklicken der
entsprechenden Stelle im Web werden die Animationen durch den Internetbrowser abgespielt.
2 Das Web-Symbol weist auf Maple-Beschreibungen hin. Sämtliche
Maple-Worksheets sind auf der Homepage enthalten. Eine Übersicht
aller Worksheets findet man in index.mws.
Auf der Homepage zum Buch sind weitere Informationen und Ergänzungen
zugänglich:
alle Worksheets, die im Text beschrieben sind, inklusive vieler zusätzlicher
Maple-Prozeduren zur Visualisierung mathematischer Begriffe;
die Lösungen der Aufgaben;
zusätzliche Kapitel und Ergänzungen, die in der Buchform des Gesamtumfangs wegen nicht mehr eingebunden werden konnten;
eine Einführung in die Benutzeroberfläche von Maple 18.
Mein Dank gilt Herrn Richard von Scientific Computers und Waterloo Maple
Inc., die mir Maple zur Verfügung gestellt haben sowie Frau HestermannBeyerle und Frau Kollmar-Thoni vom Springer-Verlag für die gute und angenehme Zusammenarbeit. Dieses Buch ist meinen Töchtern Veronika und Juliane (zum Nachschlagen von längst Vergessenem) gewidmet.
Karlsruhe, im März 2015
Thomas Westermann
Vorwort
vii
Vorwort zur 1. Auflage
Dieses zweibändige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und Übungen zur Mathematik und Physikalischen Simulation für Ingenieure an der Hochschule
Karlsruhe. Es wendet sich aber an alle Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften, da auch Themengebiete einbezogen sind, die nicht bzw. nicht
in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung behandelt wurden.
...
Die stürmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathematik erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur praxisorientiertes mathematisches Wissen, sondern auch das Rüstzeug vermittelt
wird, mit diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu können. Die Computeralgebra-Systeme werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum
Manipulieren von Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter
Sachverhalte. Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Modellierung und das systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem
Lehrbuch wird dieser neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computeralgebra-System Maple in die Mathematikausbildung mit einbezogen.
Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anhand
praxisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit Maple-Worksheets umgesetzt,
was sich in vielen Animationen niederschlägt. Auf mathematische Beweise wird
fast gänzlich verzichtet und einer anschaulich prägnanten Sprechweise den Vorzug gegenüber einer mathematisch exakten Formulierung gegeben.
Um den ständig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problemlösungen zu berücksichtigen, wurden zahlreiche Abschnitte zur rechnerischen
Lösung von Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Die
numerischen Algorithmen sind als Maple-Prozeduren auf der beigelegten CDRom enthalten, können aber von etwas geübten Programmierern leicht in jede
andere höhere Sprache umgesetzt werden.
...
Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth und Frau Raviol
für die präzise und fehlerfreie Erstellung des LATEX-Quelltextes mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler für die exzellente Erstellung
der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie sich
vorgestellt hat. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme
und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle.
Zuletzt möchte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedanken, die mit viel Verständnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und
tatkräftig unterstützt hat.
Karlsruhe, im Juni 1996
Thomas Westermann
Hinweise zum Gebrauch dieses Buches
Die einzelnen Kapitel fassen mehrere Aspekte einer Thematik zusammen. Nicht
immer ließ es sich vermeiden, Teilergebnisse aus späteren Kapiteln vorwegzunehmen und zu verwenden. Dem didaktischen Anliegen, Themenbereiche geschlossen in einem Block zu bearbeiten, wurde dabei stärkere Priorität als der
mathematischen Strenge beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines Vorlesungszyklus muss sich nicht an die im Buch gewählte Reihenfolge halten,
einzelne Kapitel können auch aufgesplittet werden.
Dieses Buch ist ein Lehrbuch über Mathematik und kann ohne Rechner zum
Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Prüfungsvorbereitung
herangezogen werden. Um den vollen Umfang und die ganze Schönheit der Mathematik und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen und Ausarbeitungen mit dem Computeralgebra-System Maple unverzichtbar. Nur wenn
eine Animation als Animation erlebt wird, kommt die volle Erkenntnis zum
Tragen.
Darstellung: Neu eingeführte Begriffe werden kursiv im Text markiert und
zumeist in einer Definition fett spezifiziert. Lehrsätze, wichtige Formeln und
Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen farblich gekennzeichnet. Am
Ende eines jeden Kapitels befinden sich Aufgaben, deren Lösungen auf der
Homepage angegeben sind. Bei der Erarbeitung der Themengebiete wird eine
anwendungsorientierte Problemstellung vorangestellt und anschließend auf die
allgemeine mathematische Struktur übergegangen. Die Thematik wird dann
innerhalb der Mathematik bearbeitet und anhand von mathematischen Beispielen erläutert.
Beispiele: Die zahlreichen Beispiele sind für den Zugang zu den Themengebieten unverzichtbar. Beim Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung sollten
möglichst die mathematischen Beispiele eigenständig bearbeitet werden. Wer
dieses Werk als Nachschlagewerk benutzt, kann sich an den durchgerechneten
Beispielen sowie an den eingerahmten Definitionen, Sätzen und Zusammenfassungen orientieren.
Aufgaben: Alle Übungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit
den Hilfsmitteln der einzelnen Paragraphen zu bearbeiten. Die Lösungen zu den
Aufgaben befinden sich als pdf -File auf der Homepage.
Web: Alle Maple-Ausarbeitungen sind auf der Homepage als elektronische Arbeitsblätter (Worksheets) enthalten, so dass der interessierte Leser die im Text
entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgeänderten Beispielen erproben
kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen und Prozeduren hingewiesen, welche die elementaren Begriffe visualisieren und die mathematischen
Zusammenhänge aufzeigen: Durch eine benutzerfreundliche Menueführung soll
Hinweise
ix
die interaktive Benutzung der Worksheets sowohl zum Lösen von mathematischen Problemen als auch zum experimentieren mit mathematischen Begriffen
gefördert werden.
Arbeiten mit der mws-Datei: Durch Doppelklicken der Datei index.mws
öffnet man das Maple-Inhaltsverzeichnis. Durch anschließendes Anklicken des
gewünschten Abschnitts wird das zugehörige Maple-Worksheet gestartet und
ist dann interaktiv bedienbar. Mit der Zurück-Taste der oberen Taskleiste
kommt man vom Worksheet wieder zum Inhaltsverzeichnis zurück.
Systemvoraussetzungen: Maple 18 ist auf dem Rechner installiert (empfohlen), mindestens jedoch Maple 9.5. mws ist je nach Version mit dem ausführbaren Programm cwmaple.exe bzw. maplew.exe im Maple-bin-Verzeichnis
verknüpft. Acrobat-Reader steht zur Verfügung.
Die Worksheets auf der Homepage sind unter der Extension .mws abgespeichert und unter beiden Benutzeroberflächen (Classic Worksheet und Standard
Worksheet) uneingeschränkt lauffähig. Bis auf kleine Einschränkungen sind die
Worksheets unter allen Maple-Versionen ab Maple 9.5 lauffähig. Alleine die
auf dem lokalen Rechner spezifizierte Verknüpfung entscheidet, welche MapleVariante gestartet wird.
Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . .
Mengen.............................................................
Natürliche Zahlen ................................................
Reelle Zahlen ......................................................
Gleichungen und Ungleichungen...............................
Lineare Gleichungssysteme .....................................
Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen, Gleichungssystemen ..
1
3
5
13
19
26
36
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoren im IR2 ..................................................
Vektoren im IR3 ..................................................
Geraden und Ebenen im IR3 ...................................
Vektorräume.......................................................
Aufgaben zur Vektorrechnung .................................
39
42
50
61
76
92
3
3.1
3.2
3.3
3.4
Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Matrizen ........................................................... 99
Determinanten .................................................... 114
Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen ................ 124
Aufgaben zu Matrizen und Determinanten ................. 135
4
4.1
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Funktionseigenschaften ...........................
Polynome ..........................................................
Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare .
Koeffizientenvergleich ...........................................
Teilbarkeit durch einen Linearfaktor ..........................
Nullstellenproblem................................................
Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus ...
Rationale Funktionen ............................................
Potenz- und Wurzelfunktionen ................................
Exponential- und Logarithmusfunktion ......................
Trigonometrische Funktionen ..................................
Arkusfunktionen ..................................................
Aufgaben zu elementaren Funktionen ........................
137
139
152
153
154
155
156
159
162
167
170
175
182
188
5
5.1
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung komplexer Zahlen .................................
Komplexe Rechenoperationen..................................
Addition ............................................................
Subtraktion ........................................................
Multiplikation .....................................................
Division.............................................................
Potenz ..............................................................
191
194
200
200
200
201
203
205
xii
Inhaltsverzeichnis
5.2.6
5.2.7
5.3
5.4
Wurzeln ............................................................
Fundamentalsatz der Algebra ..................................
Anwendungen .....................................................
Aufgaben zu komplexen Zahlen ...............................
206
207
209
219
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Zahlenfolgen ..............................................
Funktionsgrenzwert ..............................................
Stetigkeit einer Funktion........................................
Intervallhalbierungs-Methode ..................................
Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit.......................
221
223
229
235
237
240
7
7.1
7.2
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.2.6
7.2.7
7.2.8
7.2.9
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung .........................................................
Rechenregeln bei der Differenziation .........................
Faktorregel.........................................................
Summenregel ......................................................
Produktregel ......................................................
Quotientenregel...................................................
Kettenregel ........................................................
Begründung der Formeln 7.2.1 - 7.2.5 .......................
Ableitung der Umkehrfunktion.................................
Logarithmische Differenziation ................................
Implizite Differenziation.........................................
Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik..............
Differenzial einer Funktion .....................................
Anwendungen in der Mathematik .............................
Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) .............
Sätze der Differenzialrechnung ................................
Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers............
Newton-Verfahren ................................................
Aufgaben zur Differenzialrechnung ...........................
241
243
249
249
249
250
251
252
254
255
258
260
262
265
270
277
281
287
289
293
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.5
8.6
8.7
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Riemann-Integral ...........................................
Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung .
Grundlegende Regeln der Integralrechnung .................
Integrationsmethoden ...........................................
Partielle Integration ..............................................
Integration durch Substitution.................................
Partialbruchzerlegung............................................
Uneigentliche Integrale ..........................................
Anwendungen der Integralrechnung ..........................
Aufgaben zur Integralrechnung ................................
295
297
302
311
313
313
315
321
327
329
339
Inhaltsverzeichnis
xiii
9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlenreihen.......................................................
Potenzreihen ......................................................
Taylor-Reihen .....................................................
Anwendungen .....................................................
Komplexwertige Funktionen....................................
Aufgaben zu Funktionenreihen ................................
341
344
355
361
371
377
386
10
Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen mit mehreren Variablen ..........................
Stetigkeit...........................................................
Differenzialrechnung .............................................
Partielle Ableitung ...............................................
Totale Differenzierbarkeit .......................................
Gradient und Richtungsableitung .............................
Der Taylorsche Satz .............................................
Anwendungen der Differenzialrechnung ......................
Das Differenzial als lineare Näherung ........................
Fehlerrechnung....................................................
Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen .
Ausgleichen von Messfehlern; Regressionsgerade ..........
Aufgaben zur Differenzialrechnung ...........................
389
391
399
401
401
409
411
417
424
424
429
433
441
448
11.1
11.2
11.3
Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doppelintegrale (Gebietsintegrale) ............................
Dreifachintegrale .................................................
Aufgaben zur Integralrechnung ................................
451
453
466
473
12
12.1
12.1.1
12.1.2
12.1.3
12.1.4
12.1.5
12.1.6
Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzialgleichungen erster Ordnung ......................
Einleitende Problemstellungen .................................
Lösen der homogenen Differenzialgleichung ................
Lösen der inhomogene Differenzialgleichung ................
Lineare DG mit konstantem Koeffizient .....................
Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung ...........
Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung .....................
475
478
478
482
484
492
496
499
12.2
12.2.1
12.2.2
12.2.3
12.2.4
Lineare Differenzialgleichungssysteme ........................
Einführung .........................................................
Homogene lineare Differenzialgleichungssysteme...........
Eigenwerte und Eigenvektoren .................................
Lösen homogener LDGS mit konstanten Koeffizienten ...
503
503
506
510
515
10.1
10.2
10.3
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.3.4
10.4
10.4.1
10.4.2
10.4.3
10.4.4
10.5
11
xiv
Inhaltsverzeichnis
12.3
12.3.1
12.3.2
12.3.3
12.3.4
12.4
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung.............
Einleitende Beispiele .............................................
Reduktion linearer DG n-ter Ordnung auf ein System ....
Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten ..
Inhomogene DG n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten
Aufgaben zu Differenzialgleichungen .........................
525
525
528
533
543
557
13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Laplace-Transformation ....................................
Inverse Laplace-Transformation ...............................
Zwei grundlegende Eigenschaften .............................
Methoden der Rücktransformation ...........................
Anwendungen der Laplace-Transformation ..................
Aufgaben zur Laplace-Transformation .......................
561
565
570
571
576
579
583
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung .........................................................
Bestimmung der Fourier-Koeffizienten .......................
Fourier-Reihen für 2π -periodische Funktionen..............
Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen ...............
Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen.............
Zusammenstellung elementarer Fourier-Reihen.............
Aufgaben zu Fourier-Reihen....................................
585
587
589
592
599
607
612
614
15
15.1
15.2
15.3
15.4
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourier-Transformation und Beispiele ........................
Eigenschaften der Fourier-Transformation...................
Fourier-Transformation der Deltafunktion ...................
Aufgaben zur Fourier-Transformation ........................
615
617
627
641
649
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung .........................................................
Die Wellengleichung .............................................
Die Wärmeleitungsgleichung ...................................
Die Laplace-Gleichung...........................................
Aufgaben zu partiellen Differenzialgleichungen.............
651
653
655
665
675
684
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
Zusätzliche Kapitel, Abschnitte, Ergänzungen, alle Animationen sowie die Lösungen zu den Aufgaben befinden sich auf der Homepage
zum Buch. Diese Unterlagen können kostenfrei heruntergeladen
werden
Kapitel 1
Zahlen, Gleichungen und
Gleichungssysteme
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015
T. Westermann, Mathematik für Ingenieure, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-54290-9_1
1
1
1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.4
1.4.1
1.4.2
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.6
Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . .
Mengen.............................................................
Natürliche Zahlen ................................................
Peanosche Axiome ...............................................
Vollständige Induktion...........................................
Geometrische Summenformel ..................................
Permutationen ....................................................
Der binomische Lehrsatz........................................
Reelle Zahlen ......................................................
Zahlenmengen und Operationen ..............................
Die Rechengesetze für reelle Zahlen ..........................
Potenzrechnen ....................................................
Logarithmen .......................................................
Anordnung der reellen Zahlen .................................
Gleichungen und Ungleichungen...............................
Gleichungen .......................................................
Ungleichungen ....................................................
Lineare Gleichungssysteme .....................................
Einführung .........................................................
Begriffsbildung und Notation ..................................
Das Lösen von linearen Gleichungssystemen ................
Aufgaben: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssystemen
1
3
5
6
7
10
10
11
13
13
14
15
16
17
19
19
23
26
26
28
29
36
Zusätzliche Abschnitte auf der Homepage
1.7
Mathematische Beweismethoden.............................. web
MAPLE: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme..... web
1.8
1 Zahlen, Gleichungen und
Gleichungssysteme
Zahlen und Mengen gehören zu den wichtigsten Grundbegriffen der Mathematik, auf
denen alle weiteren Gebilde und Konstruktionen aufbauen. In diesem Kapitel werden die
Grundlagen sowohl über Mengen als auch über die natürlichen Zahlen gelegt. Zur Beschreibung der natürlichen Zahlen werden die Peanoschen Axiome eingeführt und das
Prinzip der vollständigen Induktion an vielen Beispielen demonstriert. Die reellen Zahlen
und elementaren Rechengesetze werden angegeben; die Grundgesetze zu den Potenzen
und Logarithmen werden wiederholt.
Zu den elementaren Aufgaben der Mathematik gehört das Lösen von Gleichungen. In
diesem Kapitel werden auch einfache Gleichungen sowie die für die Anwendungen wichtigen linearen Gleichungssysteme behandelt und der Gauß-Algorithmus eingeführt. Da nur
wenige Typen von Gleichungen explizit lösbar sind, werden wir nicht systematisch auf
das Lösen von Gleichungen eingehen, sondern exemplarisch zeigen, wie man grundlegende Gleichungen bearbeitet.
Hinweis: Auf der Homepage befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über elementare
mathematische Beweismethoden.
1.1 Mengen
”Unter einer Menge M verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen”; diese Festlegung (=Definition) des Mengenbegriffs
stammt von G. Cantor (1895). Diese Definition des Mengenbegriffs reicht
für unsere Zwecke vollständig aus. Mengen bezeichnen wir im Folgenden
immer mit Großbuchstaben. Die Objekte einer Menge A heißen Elemente
von A und werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
a ∈ A heißt: a ist Element der Menge A.
a∈
/ A heißt: a ist nicht Element der Menge A.
Mengen werden üblicherweise angegeben durch
das Auflisten der Elemente in einer Mengenklammer
{a1 , a2 , a3 , a4 , . . .} ,
eine Aussageform
{a ∈ A : a hat die Eigenschaft E} .
Die leere Menge ∅ bzw. {} enthält keine Elemente. B heißt Teilmenge von A
(B ⊂ A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist.
1.1
4
1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme
Beispiele 1.1 (Mengen):
IN
IN0
ZZ
I
Q
IR
=
=
=
=
=
Menge
Menge
Menge
Menge
Menge
der
der
der
der
der
natürlichen Zahlen
natürlichen Zahlen mit Null
ganzen Zahlen
rationalen Zahlen
reellen Zahlen
= {1, 2, 3, 4, ...}.
= {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
= {0, ±1, ±2, ±3, ...}.
= { pq : p ∈ ZZ, q ∈ IN}.
I ⊂ IR.
Es gilt: IN ⊂ ZZ ⊂ Q
Bemerkungen:
(1) Die Reihenfolge der Elemente einer Menge spielt keine Rolle. Es ist daher
{a, b, c, d} = {d, c, a, b} .
(2) Jedes Element einer Menge wird nur einmal aufgezählt, d.h.
{a, a, a, b, d, d} = {a, b, d}.
Mengenoperationen
Für zwei Mengen A und B sind der Durchschnitt A ∩ B, die Vereinigung A ∪ B
und das Komplement A\B definiert durch
A ∩ B := {x : x ∈ A und x ∈ B} ,
A ∪ B := {x : x ∈ A oder x ∈ B} ,
/ B} .
A\B := {x : x ∈ A und x ∈
Hierbei bedeutet ”:=”, dass das Symbol auf der linken Seite durch die rechte
Seite der Gleichung festgelegt (= definiert) wird. Ähnlich ist das Zeichen ”:⇐⇒”
zu lesen, als logische Äquivalenz nach Definition dessen, was auf Seiten des
Doppelpunktes steht.
Abb. 1.1. Venn-Diagramme
Durch die sog. Venn-Diagramme (siehe Abb. 6.2) lassen sich Mengen und Mengenoperationen schematisch darstellen. Links ist der Schnitt zweier Mengen
A ∩ B , in der Mitte die Vereinigung der Mengen A ∪ B und rechts das Komplement der Menge A zur Menge B aufgezeigt. Mit den Venn-Diagrammen lassen
sich die folgenden Rechenregeln für Mengen leicht veranschaulichen:
1.2
Natürliche Zahlen
1.
A∪B =B∪A
2.
A∪A=A
3.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
4.
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
5.
(A\B)\C = A\(B ∪ C)
6.
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B ⇔ A\B = ∅
5
Das kartesische Produkt von zwei Mengen M1 und M2 ist die Menge, die aus
allen Paaren (x, y) besteht, wobei x ∈ M1 und y ∈ M2 :
M1 × M2 := {(x, y) : x ∈ M1 und y ∈ M2 } .
Beispiel 1.2: IR × IR besteht aus allen Paaren von reellen Zahlen. Dies ist
nichts anderes als die Zahlenebene; (x, y) ist jeweils ein Punkt in dieser Ebene.
Statt IR × IR schreibt man kurz IR2 .
1.2 Natürliche Zahlen
Zu den einfachsten Gegenständen der Arithmetik gehören die natürlichen Zahlen. Sie bilden das Fundament unseres Zahlengebäudes. Die Gesamtheit aller
natürlichen Zahlen nennen wir die ”natürliche Zahlenmenge” IN. Der Ausdruck
”natürliche” Zahlen für IN = {1, 2, 3, . . .} ist sicherlich gut gewählt, denn Kinder beginnen so zu zählen und in allen Kulturen beginnt das mathematische
Denken mit diesen Zahlen. Die Null wurde erst sehr spät, nämlich etwa 870
n. Chr. von den Indern erfunden und wird heute zu den natürlichen Zahlen
hinzugenommen: IN0 .
Erst durch die Entdeckung der Zahl Null war die indische Mathematik erstmals
in der Lage, ein heutzutage in der ganzen Welt übernommenes Stellenwertsystem zu schaffen, das nur mit zehn Ziffern (einschließlich der Null) auskommt.
Das Stellenwertsystem ist schon bei A. Ries (1492-1559) in seinem zweiten Rechenbuch 1522 beschrieben. Darin befindet sich auch die Würdigung der Zahl
Null! Das Fundamentalprinzip der natürlichen Zahlen geht auf den Mathematiker Peano (1858-1939, 1889) zurück.
1.2
6
1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme
1.2.1 Peanosche Axiome
(1) 1 ist eine natürliche Zahl.
(2) Zu jeder natürlichen Zahl n existiert genau ein Nachfolger n , der
ebenfalls der natürlichen Zahlenmenge angehört.
(3) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist.
(4) Die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen sind voneinander verschieden.
(5) Eine Teilmenge der natürlichen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen,
wenn 1 zur Menge gehört und mit einer natürlichen Zahl n stets auch
der Nachfolger n zur Menge gehört.
Mit den Peanoschen Axiomen ist man in der Lage, die natürliche Zahlenmenge aufzubauen, denn man erhält sofort die folgenden Konsequenzen aus den
Axiomen:
Folgerungen:
(1) Die natürliche Zahlenmenge hat unendlich viele verschiedene Elemente:
Wegen (A1) gibt es mindestens eine natürliche Zahl: 1. Wegen (A2) gibt
es zu 1 einen Nachfolger, der nach (A3) = 1: 2. Wegen (A2) gibt es zu 2
einen Nachfolger, der = 1 (A3) und = 2 (A4): 3. usw.
(2) Die Elemente der natürlichen Zahlenmenge lassen sich in einer bestimmten
Reihenfolge anordnen, wobei schrittweise alle natürlichen Zahlen erfasst
werden:
1; 2; 3; 4; 5; ..., n; n + 1; ...
Hierbei bedeutet n + 1 der Nachfolger von n. Durch diese Reihenfolge wird
auf natürliche Weise die Addition von natürlichen Zahlen festgelegt.
(3) Jede Teilmenge M der natürlichen Zahlen M ⊂ IN, welche die 1 und mit
n ∈ M auch stets den Nachfolger n + 1 enthält, ist gleich der Menge aller
natürlichen Zahlen.
Aus der Folgerung (3) erhalten wir ein Beweisprinzip, welches zu den wichtigsten Beweismethoden der Analysis gehört, nämlich die vollständige Induktion.
1.2
Natürliche Zahlen
7
1.2.2 Vollständige Induktion
Um eine Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genügt es nach
Folgerung (3) zu zeigen:
(I) Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Aussage richtig.
(II) Induktionsschluss von n0 auf n0 +1: Ist die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl n0 gültig, dann muss sie auch für den Nachfolger
n0 + 1 richtig sein.
Können beide Schritte durchgeführt werden, dann gilt die Aussage für alle
n ∈ IN. Denn nach (I) ist die Aussage für 1 richtig. Nach (II) ist dann die
Aussage auch für den Nachfolger 2 richtig. Nach (II) ist dann die Aussage auch
für den Nachfolger, also 3, richtig. usw.
Beispiel 1.3.
1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
2
(n ∈ IN)
Beweis mit vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang besteht darin,
dass man explizit nachprüfen muss, dass die Formel für n = 1 richtig ist.
Wir setzen daher n = 1 sowohl in die linke wie auch rechte Seite der Gleichung ein: Für n = 1 ist die linke Seite der Gleichung 1 und die rechte
Seite 1·2
2 = 1. Damit stimmt die Formel für n = 1.
Induktionsschluss von n0 auf n0 + 1: Sei n0 ∈ IN beliebig und die Formel
sei richtig für dieses n0 , d.h. es gilt 1 + 2 + · · · + n0 = n0 (n20 +1) . Unter
dieser Voraussetzung müssen wir zeigen, dass die Formel dann für n0 + 1
gilt. Wir starten mit der linken Seite der Gleichung; die Summe geht nun
bis n0 + 1. Wir setzen die Induktionsvoraussetzung ein und formen den
Term so lange um, bis die rechte Seite für n0 + 1 heraus kommt:
1 + 2 + · · · + n0 + (n0 + 1) = (1 + 2 + · · · + n0 ) + (n0 + 1)
n0 (n0 + 1)
=
+ (n0 + 1)
2
n0 (n0 + 1) + 2(n0 + 1)
=
2
(n0 + 1)(n0 + 2)
.
=
2
Dies ist die zu beweisende Formel für n0 + 1.