Theorieseminar „Perlen der theoretischen Informatik“ - fbi.h
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Motivation / Einordnung / Anforderungen Theorieseminar „Perlen der theoretischen Informatik“ Wintersemester 2009/10 Steffen Lange Folie 1 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Organisatorisches ! Fahrplan • • • • • 1. Seminar (/* heute */) • Vorstellung einiger Themen 2. Seminar (/* in 14 Tagen */) • Zuordnung der Themen (/* je zwei Studierende ein Thema */) Ende Oktober bis Mitte Dezember • individuelle Termine zur Diskussion von Fragen (/* wenn möglich, während des regulären Seminartermins */) Ende Dezember • Kurzvorträge (/* 10-15 Minuten */) zur Vorstellung des Themas Januar 2010 • Abschlusspräsentation (/* 60 Minuten */) und Abgabe der schriftlichen Ausarbeitungen (/* 15-20 Seiten */) ... wenn es für alle Beteiligten sinnvoll ist, können die Abschlusspräsentationen auch an einem Sonnabend stattfinden Folie 2 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Einordnung ! Literatur U. Schöning, Perlen der Theoretischen Informatik, BI-Wissenschaftsverlag, 1995. das Buch ist nicht mehr bestellbar, aber ... ! ... über das Buch (/* und damit auch das Seminar */) • • Folie 3 Sammlung von interessanten Ergebnissen aus der theoretischen Informatik zu jedem Ergebnis gehört eine • Einordnung des Ergebnisses (/* worum geht es, warum ist es interessant, überraschend, wichtig, ... */) • detaillierte Argumentation zum Nachweis des Ergebnisses (/* wie beweist man es ... */) © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Einordnung ! Anmerkungen • im Buch werden 23 unterschiedliche Themen, vor allem aus den Gebieten Berechenbarkeitstheorie und Komplexitätstheorie im Detail vorgestellt ... eigentlich sollte für jeden etwas interessantes dabei sein ... sie haben aber auch die Freiheit, sich ein anderes Thema zu wählen (/* diese Themen sollten ähnlich anspruchsvoll, interessant und „wichtig“ sein; diese Themen müssen mit dem selben Detaillierungsgrad vorgestellt werden */) Folie 4 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Beispiele ! Zielstellungen • einige Themen etwas genauer vorstellen • dabei handelt es sich um Themen ... die ich interessant finde ... bei denen ich erwarten würde, dass sie sich relativ „einfach“ in die Themen einarbeiten können ... bei denen ich erwarten würde, dass sie die zugrunde liegenden Argumentation und Beweise relativ „leicht“ verstehen können Folie 5 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Thema 2: Berechnungstheorie ! Das zehnte Hilbertsche Problem • hier geht darum, die algorithmischen Möglichkeiten zur Lösung so genannter diophantischer Gleichungen auszuloten ... man fragt sich, ob es einen Algorithmus gibt, mit dessen Hilfe man, für jede gegebene diophantische Gleichung f(x1,...,xk) = 0 herauszubekommen kann, ob sie ganzzahlige Lösungen besitzt • • für diophantische Gleichungen der Form f(x) = ax2 + bx + c sollte klar sein, wie ein solcher Algorithmus arbeiten sollte für diophantische Gleichungen der Form f(x1,x2) = ax1 + bx2 - 1 sollte auch klar sein, wie ein solcher Algorithmus arbeiten sollte ... aber, das allgemeine Problem (/* für beliebige diophantische Gleichungen herauszubekommen, ob sie ganzzahlige Lösungen besitzen */) ist nicht algorithmisch lösbar Folie 6 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Thema 3: Berechnungstheorie ! Das Äquivalenzproblem für LOOP(1) und LOOP(2) Programme • klar ist, daß für beliebige Programme (einer hinreichend ausdrucksfähigen Programmiersprache) nicht entscheidbar ist, ob sie dasselbe leisten ... man fragt sich, was das mit den sprachlichen Konstrukten in der zugrunde liegenden Programmiersprache zu tun hat • • falls man bspw. Schleifenkonstrukte hat, die einem erlauben, „Endlos“Schleifen zu definieren, geht es „in die Hose“ falls man solche Schleifenkonstrukte verbietet, muss es nicht immer „gut gehen“ (/* bspw. „For“-Schleifen, in denen die Laufvariable im Schleifenkörper nicht verändert werden darf */) ... letzteres hängt von der Schachtelungstiefe der verwendeten Schleifenkonstrukte ab Folie 7 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Thema 4: Komplexitätstheorie ! Das zweite LBA Problem • es ist bekannt, dass nichtdeterministische linear bandbeschränkte Turing-Maschinen genau die kontextsensitiven Sprachen akzeptieren ... man fragt sich, ob dasselbe auch für deterministische linear bandbeschränkte Turing-Maschinen gilt (/* erstes LBA-Problem */) ... man fragt sich, ob die Klasse der durch nichtdeterministische linear bandbeschränkte Turing-Maschinen akzeptierbaren Sprachen abgeschlossen bzgl. der Operation Komplementbildung ist (/* zweites LBA-Problem */) • der Status für das erste LBA-Problems ist offen, aber für das zweite ist alles klar (/* die Antwort ist ja */) ... insbesondere weiß man damit, dass das Komplement einer jeden kontextsensitiven Sprache auch kontextsensitiv ist Folie 8 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Thema 6: Komplexitätstheorie / Logik ! Untere Schranke für die Länge von Resolutionsbeweisen • • der Resolutionskalkül ist die im automatischen Theorembeweisen hauptsächlich verwendete Beweismethode mit Hilfe dieses Kalküls kann man bspw. überprüfen, ob eine gegebene Formel in konjunktiver Normalform unerfüllbar ist ... man fragt sich, wie groß eine „beste“ untere Schranke für die Länge von Beweisen in diesem Kalkül sein ist • Folie 9 man kann zeigen, dass es Formeln der Länge n gibt, so dass jeder Beweis ihrer Unerfüllbarkeit mit Hilfe des Resolutionskalküls eine exponentielle Länge hat (/* also in der Größenordnung !(2n) */) © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Thema 8/9: Komplexitätstheorie ! Untere Schranken durch Kolmogoroff-Komplexität • die Kolmogoroff-Komplexität verwendet man, um die Komplexität von Zeichenketten zu messen ... grob gesprochen ist die Kolmogoroff-Komplexität einer Zeichenkette die Länge eines kürzesten Programms, mit dem diese Zeichenkette erzeugt werden kann (/* kann man auch für den Grad der „Zufälligkeit“ dieser Zeichenkette verstehen */) • • Folie 10 mit Hilfe dieses Komplexitätsmaßes kann man „recht einfach“ untere Komplexitätsschranken beweisen ... aber auch „nicht triviale“ Ergebnisse aus der Zahlentheorie (/* bspw. eine untere Schranke (/* n/log2(n) */) für die Anzahl der Primzahlen ! n; diese Schranke gilt für unendlich viele n ... */) © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Thema 10: Algorithmische Lerntheorie ! PAC-Lernen und Occams Razor • Ausgangspunkt: eine Menge von Daten über ein unbekanntes Objekt ... das Ziel besteht darin, eine möglichst gute Beschreibung für dieses Objekt zu finden (/* was das bedeutet, definiert der Begriff PAC-Lernen */) y 0 0 ymax 1 1 1 1 1 ymin 0 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - 0 c 0 xmin Folie 11 0 1 x xmax Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Thema 10: Algorithmische Lerntheorie ! PAC-Lernen und Occams Razor • Ausgangspunkt: eine Menge von Daten über ein unbekanntes Objekt ... das Ziel besteht darin, eine möglichst gute Beschreibung für dieses Objekt zu finden (/* was das bedeutet, definiert der Begriff PAC-Lernen */) ... stehen unterschiedliche Beschreibungen zur Verfügung, so sagt das Prinzip „Occams Razor“, dass eine möglichst einfache gewählt werden sollte (/* welche Kandidaten zu betrachten sind und was einfach bedeutet, ist zu präzisieren */) • Folie 12 man kann zeigen, dass die Verwendung des Prinzips „Occams Razor“ eine sinnvolle Herangehensweise ist © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar Motivation / Einordnung / Anforderungen Thema 23: Graphentheorie ! Superkonzentratoren und der Heiratssatz • es geht um bestimmte gerichtete azyklische Graphen mit n Eingangsund n Ausgangsknoten, so genannte n-Superkonzentratoren (/* in solchen Graphen gibt es für beliebig gewählte k Eingangs- und Ausgangsknoten (k ! n) „disjunkte“ Pfade durch den Graphen, die diese Eingangs- und Ausgangsknoten verbinden */) ... es geht um die Frage, wie viele Kanten n-Superkonzentratoren mindestens haben müssen • • offenbar genügen O(n2) viele Kanten man kann zeigen, dass O(n*log(n)) und sogar O(n) viele Kanten genügen ... n-Superkonzentratoren verwendet man, um „Trade-Offs“ zwischen den Ressourcen Rechenzeit- und Speicherplatzbedarf zu beweisen (/* Stichwort: Pebble-Games */) Folie 13 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theorieseminar
