Vorlesung Finanzinstrumente Hochschule Rhein

Vorlesung
Finanzinstrumente
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Vorlesung Finanzinstrumente
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Hochschule Rhein-Main
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
Sommersemester 2015
Dr. Roland Stamm
BlackScholesModell
18. Mai 2015
Vorlesung
Finanzinstrumente
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Erinnerung
Eine Option ist das Recht (aber nicht die Verpflichtung) ein Produkt S in der Zukunft
zu einem heute festgelegten Preis (dem Strike) K zu kaufen oder zu verkaufen.
Optionen gibt es in zwei Richtungen“:
”
• Call Option: Die Option, das Produkt zu kaufen
• Put Option: Die Option, das Produkt zu verkaufen
Es gibt drei Grundtypen von einfachen Optionen:
• Europäisch: Kann nur an einem zukünftigen Datum ausgeübt werden;
• Amerikanisch: Kann zu jedem Zeitpunkt zwischen Vertragsabschluss und
Verfallstag ausgeübt werden;
• Bermudan: Kann zu bestimmten vertraglich festgelegten Terminen ausgeübt
werden.
Die Auszahlung des Halters einer Kaufoption ist:
max(S(T ) − K, 0).
Die Auszahlung des Halters einer Verkaufsoption ist:
max(K − S(T ), 0).
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Finanzinstrumente
Einfaches Beispiel
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
Gegeben sei eine Aktie, die heute den Kurs 10 Euro hat. Angenommen, wir wüssten,
dass der Aktienpreis in einem Jahr nur den Wert 8 Euro oder 12,50 Euro annehmen
kann. Eine Händlerin möchte heute die Option verkaufen, die Aktie in einem Jahr für
9 Euro zu kaufen. Was muss sie wissen, um den fairen Wert V der Option zu
bestimmen?
Bei einem Aktienkurs von 12,50 Euro muss die Händlerin 3,50 Euro auszahlen. Bei
einem Kurs von 8 Euro verfällt die Option wertlos. Der Erwartungswert der
Auszahlung der Option in einem Jahr ist also
BlackScholesModell
E = p × 3,5 + (1 − p) × 0,
wobei p die Wahrscheinlichkeit für einen Anstieg auf 12,50 Euro ist.
Was ist p?!
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Binomialbaum
Bewertung
von
Aktienderivaten
S1u = 12,5
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
S0 = 10
V =?
P
PP
PP
P
PP
P
PP
P
1
PP
PP
q
P1u = 3,5
S1d = 8
P1d = 0
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Finanzinstrumente
Einfaches Beispiel, Fortsetzung
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Idee:
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
• Die Händlerin kauft heute so viele Aktien, dass das Portfolio aus Aktien und
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
• Der Wert des Portfolios heute ist also eindeutig bestimmt.
Motivation
BlackScholesModell
verkaufter Option in einem Jahr immer denselben Wert hat.
• Da wir den heutigen Wert der Aktie kennen, kennen wir dann auch den Wert der
Option.
Angenommen, die Händlerin kauft heute ∆ Aktien und verkauft die Option.
Bestimme ∆:
7
∆ × 12,5 − 3,5 = ∆ × 8 ⇔ ∆ = .
9
Vorlesung
Finanzinstrumente
Einfaches Beispiel, Fortsetzung
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
• Das Portfolio hat in einem Jahr also sicher den Wert 8 × 7/9 = 56/9.
• Eine einjährige sichere Geldanlage von 1 Euro erwirtschaftet den risikolosen
Zinssatz r, zahlt also 1 + r zurück.
• Umgekehrt ist ein sicherer Euro in einem Jahr heute 1/(1 + r) Euro wert.
• Der Portfoliowert heute ist also 56/(9 × (1 + r)).
• Ist etwa r = 1%, so ist der heutige Portfoliowert 56/(9 × 1, 01) = 6,16 Euro.
• Der Wert der Option alleine ist also gegeben durch 7/9 × 10 − 6,16 = 1,62 Euro.
Wo ist die Wahrscheinlichkeit p abgeblieben?!
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Finanzinstrumente
Voraussetzungen
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
• Aktien und andere Finanzinstrumente lassen sich in beliebigen Stückzahlen (auch
in Bruchteilen) zum selben Preis kaufen und verkaufen
• Es gibt einen risikolosen Zinssatz r, zu dem alle Marktteilnehmer Geld aus- und
verleihen können
• Der Handel findet nur zu zwei Terminen statt, in t = 0 und t = 1
Motivation
BlackScholesModell
• Der zukünftige Aktienkurs kann nur zwei Werte annehmen
• Es gibt keine Arbitragemöglichkeiten
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Finanzinstrumente
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Binomialmodell mit einer Periode
In t = 0 sei der Aktienkurs durch S0 gegeben. In t = 1 kann der Aktienkurs S1u = uS0
oder S1d = dS0 sein, mit d < 1 + r < u. Sei P u bzw. P d die Auszahlung der Option
in t = 1. Gesucht wird der Wert V der Option.
Bestimme ∆ so, dass ∆S1u − P u = ∆S1d − P d , also
∆=
Pu − Pd
.
S0 (u − d)
(1)
Für den Wert des Portfolios heute gilt damit
∆dS0 − P d
= ∆S0 − V.
1+r
Satz.
Der heutige Wert der Option für den Inhaber der Option ist gegeben durch
d
u
Pd
Pu
V = ∆S0 1 −
+
= ∆S0 1 −
+
.
1+r
1+r
1+r
1+r
(2)
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Beobachtung I
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Setzen wir Gleichung (1) in Gleichung (2) ein (s. nächste Folie), so erhalten wir durch
Umstellen:
pP u + (1 − p)P d
, mit
1+r
1+r−d
p=
.
u−d
V =
(3)
(4)
Wegen der geforderten Voraussetzungen an u und d gilt 0 < p < 1. Somit lässt p sich
als Wahrscheinlichkeit interpretieren. Mit dieser Interpretation ist V dann tatsächlich
der abdiskontierte Erwartungswert der Auszahlung der Option.
Das zu p gehörige Wahrscheinlichkeitsmaß heißt risikoneutrales Maß.
Der Wert der Option hängt nur von der Schwankungsbreite (ausgedrückt durch u und
d) und dem risikolosen Zinssatz ab.
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Zwischenrechnung
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Setzen wir (1) in (2) ein, so erhalten wir
V =
Pu − Pd
· S0 ·
S0 (u − d)
1−
d
1+r
+
Pd
1+r
(u − d)P d
Pu − Pd 1 + r − d
·
+
u−d
1+r
(1 + r)(u − d)
1
1+r−d u
u−d+d−1−r d
=
P +
P
1+r
u−d
u−d
1 u
=
pP + (1 − p)P d ,
1+r
=
mit p = (1 + r − d)/(u − d).
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Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Beobachtung II
Interpretiert man u − 1 und d − 1 als mögliche Renditen des Aktienportfolios, so
ergibt sich als erwartete Rendite unter dem risikoneutralen Maß Q
S1 − S0
R = EQ
S0
= p(u − 1) + (1 − p)(d − 1)
1+r−d
u−1−r
(u − 1) +
(d − 1)
u−d
u−d
u(d − 1) − d(u − 1)
1+r
=
(u − d) +
u−d
u−d
ud − u − du + d
=1+r+
u−d
= r.
=
Das risikoneutrale Maß lässt sich also als das Maß charakterisieren, unter dem die
erwartete Rendite des Aktienportfolios der risikolosen Rendite entspricht (daher auch
der Name).
Vorlesung
Finanzinstrumente
Die Rolle der Voraussetzungen
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Angenommen, die Händlerin in unserem Beispiel findet für die Aktienoption einen
Käufer für 1,65 Euro.
• Sie verkauft eine Million Optionen für 1,65 Mio Euro
• Sie leiht sich 6,13 Mio Euro (zu 1%), um sich (mit der Prämie) 777.777,78
Aktien zu 10 Euro zu kaufen
• In einem Jahr hat ihr Portfolio garantiert den Wert 6,22 Mio Euro
• Sie muss aber nur 6,19 Mio zurückzahlen, hat also 30.000 Euro risikolosen
Gewinn.
Analog wird sie massiv Optionen kaufen und Aktien leer verkaufen, wenn sie einen
Verkäufer findet, der die Option unter 1,62 Euro verkauft.
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Finanzinstrumente
Binomialmodell mit mehreren Perioden
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
• Handel mit der Aktie ist nun an mehreren Terminen möglich:
ti = t0 + i × δ, i = 0, . . . , n, n ≥ 1.
• In ti hat die Aktie den Kurs Si , der pro Zeitschritt um die Faktoren u bzw. d
steigen bzw. sinken kann, 0 < d < 1 + r, u = 1/d (damit wird der Baum
rekombinierend).
• Die Zinsrate r ist dieselbe für alle Perioden.
• Wir schreiben Sik,l = uk dl S0 = uk−l S0 mit k = Anzahl der Schritte nach oben,
l = Anzahl der Schritte nach unten, k + l = i.
• Jede Verzweigung wird so behandelt wie im Einperiodenfall.
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Bewertung im n-Periodenmodell
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Satz.
Gegeben sei ein Derivat auf eine Aktie, das nach n Perioden in tn das
Auszahlungsprofil Pnk,l habe, wobei k bzw. l die Anzahl der Schritte nach oben bzw.
unten beschreibt, mit k + l = n. Definiere p wie in (4), also
p=
1+r−d
.
u−d
Dann gilt unter den obigen Voraussetzungen für den Wert V des Derivates in t0 = 0:
V =
n X
1
n j
p (1 − p)n−j Pnj,n−j .
(1 + r)n j=0 j
Beweis durch vollständige Induktion.
Für n = 1 ist der Satz bereits bewiesen.
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Finanzinstrumente
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Bewertung im n-Periodenmodell, Fortsetzung
Sei n > 1, die Aussage richtig für n − 1. Definiere für k + l = n − 1, k = 0, . . . , n − 1
das Auszahlungsprofil
k,l
Pn−1
:=
1
(pPnk+1,l + (1 − p)Pnk,l+1 ).
1+r
k,l
Ein Derivat mit Laufzeit tn−1 und Auszahlungsprofil Pn−1
hat per Induktion den
Wert
Vn−1 =
n−1
X n − 1
1
j,n−j−1
pj (1 − p)n−1−j Pn−1
n−1
(1 + r)
j
j=0
n−1
X n − 1
1
pj (1 − p)n−1−j pPnj+1,n−1−j + (1 − p)Pnj,n−j
n
(1 + r) j=0
j

n−1
n X
X n − 1
n − 1 j
1

p (1 − p)n−j Pnj,n−j +
pj (1 − p)n−j Pnj,n−j
=
n
(1 + r)
j−1
j
j=1
j=0


n−1
X n
1
n,0
j
n−j
j,n−j
n
0,n
Pn +
p (1 − p)
Pn
+ (1 − p) Pn 
=
(1 + r)n
j
j=1
=
=
n X
n j
1
p (1 − p)n−j Pnj,n−j .
(1 + r)n j=0 j
Vorlesung
Finanzinstrumente
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Schwächen des Modells
• Die Kauf- und Verkaufpreise von Finanzinstrumenten sind unterschiedlich. Je
illiquider ein Instrument, desto höher ist diese sogenannte Geld-Brief-Spanne
(Bid/Ask Spread).
• Je kleiner die Kapitalisierung einer Firma, desto stärker bewegt man durch einen
Kauf oder Verkauf selbst den Marktpreis.
• Leerverkäufe sind für viele Aktien in der Praxis nicht möglich, in einigen
Jurisdiktionen sogar verboten.
• Die Zinssätze für das Aus- und Verleihen von Geld unterscheiden sich erheblich;
außerdem sind sie für jeden Marktteilnehmer von seiner Kreditqualität abhängig.
• Die Annahme diskreter Handelszeitpunkte und bekannter Kursstände ist eine
grobe Vereinfachung.
• Das Portfolio, das zur Herleitung des Optionswertes gebildet wird, ist gar nicht
risikolos, da der Verkäufer der Option seiner Zahlungsverpflichtung evtl. nicht
nachkommt.
• Seit der Finanzkrise unterscheidet sich die Bewertung von Derivaten und
Krediten erheblich.
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Finanzinstrumente
Verbesserungsmöglichkeiten und Ausblick
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
• Für sehr große Unternehmen ist die Liquidität praktisch unbegrenzt, einzelne
Teilnehmer können den Markt kaum bewegen, die Spreads sind klein und können
für solche Aktien ignoriert werden.
• Durch Schrumpfung der Zeitschritte auf infinitesimale Größe geht das Modell in
das Black-Scholes-Modell über, das die Bewegung des Aktienkurses als einen
stetigen stochastischen Prozess modelliert.
• Allerdings macht das BS-Modell die unrealistische Annahme, dass die relativen
Kursveränderungen normalverteilt sind. Dies lässt sich jedoch durch komplexere
Modelle beheben (stochastische Volatilität, lokale Volatilität, etc.).
• Das Problem des möglichen Ausfalls des Optionsverkäufers lässt sich in die
BS-Formel einarbeiten (Credit Value Adjustment, CVA).
• Die Unterscheidung in der Bewertung von Derivaten und Krediten lässt sich
ebenfalls berücksichtigen (Basis-Spreads).
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Finanzinstrumente
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Wert eines Tagesgeldkontos
Gegeben ist ein Tagesgeldkonto, auf dem wir B0 Euro anlegen. Der Zinssatz r sei für
eine längere Laufzeit konstant festgelegt. Dann gilt für die Wertveränderung des
Kontos über einen kleinen Zeitschritt ∆t (z.B. ein Tag):
∆Bt = Bt+∆t − Bt = r · Bt · ∆t.
Gehen wir zu infinitesimalen Zeitänderungen über, so erhalten wir die
Differentialgleichung
dBt = rt · Bt dt ⇔
Motivation
BlackScholesModell
dBt
d ln(Bt )
= r Bt ⇔
= r.
dt
dt
Durch Integration erhalten wir die eindeutige Lösung
Z
Z t
ln(Bt ) =
r ds + c0 , also Bt = B0 · exp
0
t
r ds = B0 ert .
0
Anmerkung: Bt ist eine stochastische Größe, was man ihr in der obigen Gleichung
nicht ansieht. Wir haben die zufälligen Störungen“ in r versteckt“. Wenn man r
”
”
selbst als stochastische Variable modelliert, kommen sie zum Vorschein.
Vorlesung
Finanzinstrumente
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Aktienkurse
Bei konstantem r ist der Zuwachs von B in logarithmischer Schreibweise also
ln(Bt ) = ln(B0 ) + rt.
Ein Investor wird eine Aktie, die keine Dividende zahlt, nur kaufen, wenn er
mindestens genauso große Zuwächse erwartet. Ist St der Aktienpreis zum Zeitpunkt t,
so rechnet der Investor also mit
E(ln(St )) = ln(S0 ) + µt,
mit µ ≥ r. Allerdings unterliegt der Aktienkurs zufälligen Störungen, die durch
Nachrichten und das Verhalten anderer Anleger verursacht werden. Wir würden
erwarten, dass diese Störungen sich zu 0 mitteln, d.h. Erwartungswert 0 haben, und
vom Zeitraum abhängen, in dem sie auftreten. Gehen wir von vielen kleinen,
unabhängigen Störungen aus, so können wir nach dem zentralen Grenzwertsatz
vermuten, dass im Zeitraum [t, t + ∆t] eine Störung Z∆t auftritt, die
N (0, σ 2 ∆t)-verteilt ist.
Störungen, die in zwei disjunkten Zeitintervallen stattfinden, nehmen wir ferner als
unabhängig voneinander an: Für t1 < t2 ≤ t3 < t4 sind Zt2 − Zt1 und Zt4 − Zt3
unabhängige Zufallsgrößen.
Vorlesung
Finanzinstrumente
Aktienkurse
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Wir modellieren also:
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
In Analogie zum Wert des Tagesgeldkontos schreiben wir
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
ln(St ) = ln(S0 ) + µt + Zt .
dSt
= µ dt + dZt ,
St
ohne dZt schon genau zu definieren. Wir nehmen an, dass für die kleine Störung gilt:
dZt ∼ N (0, σ 2 dt), d.h. die Varianz von dZt ist proportional zur ablaufenden Zeit dt.
Anmerkung: Die Annahme, dass die Störungen normalverteilt sind, ist umso
unrealistischer, je kürzer die betrachteten Zeiträume werden. Der zentrale
Grenzwertsatz wirkt also erst auf größeren Skalen. Deswegen muss das Modell des
Aktienkurses später angepasst werden.
Der Kandidat fr die Störungsgröße Z ist die Brownsche Bewegung.
Vorlesung
Finanzinstrumente
Die Brownsche Bewegung
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein stochastischer Prozess ist eine Abbildung
P : Ω × [0, ∞) → R. Wir können P interpretieren als Schar von Zufallsvariablen
t 7→ (Pt : Ω → R) oder als funktionenwertige Zufallsvariable
ω 7→ (P (ω) : [0, ∞) → R).
Ein stochastischer Prozess W heißt Brownsche Bewegung oder Wiener-Prozess, falls
gilt:
1
W0 = 0 fast sicher (d.h. P({ω ∈ Ω : W0 (ω) = 0}) = 1);
2
W hat stationäre Zuwächse: Für 0 ≤ s < t gilt Wt − Ws ∼ N (0, t − s);
3
4
W hat unabhängige Zuwächse: Für t1 < t2 ≤ t3 < t4 sind Wt2 − Wt1 und
Wt4 − Wt3 unabhängig;
W (ω) ist stetig.
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Finanzinstrumente
Black-Scholes-Modell
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Im Black-Scholes-Modell nehmen wir an, dass der Aktienkurs S(t) sich gemäß der
stochastischen Differentialgleichung
dS(t) = r S(t) dt + σ dW (t),
S(0) = S0
etnwickelt. Dabei ist r der risikolose Zins und σ die Volatilität des Aktienkurses.
Für den Preis einer Call- bzw. Put-Option gilt die Black-Scholes-Formel:
S0 Φ(d+ ) − K e−rt Φ(d− )
Motivation
C=
BlackScholesModell
P = − S0 Φ(−d+ ) + K e−rt Φ(−d− )
d± =
ln(S0 /K) + rt ± σ 2 t/2
√
.
σ t
(5)
(6)
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Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Abgleich Binomial- und Black-Scholes-Modell
Im Black-Scholes-Modell ist die Varianz der Log-Returns ln(S(t)/S0 ):
VBS = σ 2 t.
Im Binomialmodell ist die Varianz der relativen Returns (S(t) − S0 )/S0 (Aufgabe):
VBN = (u − (1 + r)) × (1 + r − d).
Für kleine Zeitschritte t gilt
S0 + (S(t) − S0 )
S(t) − S0
S(t) − S0
S(t)
= ln
= ln 1 +
≈
ln
.
S0
S0
S0
S0
Unter der Annahme d = 1/u erhalten wir durch Gleichsetzen von VBS = VBN
(Aufgabe):
p
r2 + σ2 t
u = q + q 2 − 1,
q =1+
.
2(1 + r)
(7)
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Finanzinstrumente
Kritische Würdigung
Bewertung
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Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Die Annahmen, die dem Black-Scholes-Modell zugrunde liegen, sind bekanntermaßen
falsch. Die Störungen des Aktienpreisprozesses sind keineswegs log-normal verteilt
(besonders für kurze Laufzeiten), s. nächste Folie. Dennoch wird die
Black-Scholes-Formel als Quotierungsmechanismus benutzt: Zu gegebener Laufzeit T
und Strike K wird die Volatilität
σ = σ(T, K)
in den Markt gestellt. Mit der Formel (5) bzw. (6) lässt sich daraus der zu zahlende
Marktpreis errechnen.
Wäre das BS-Modell korrekt, so müsste die Volatilität in Zeit und Strike konstant
sein. Die Tatsache, dass das nicht der Fall ist, zeigt, dass der Markt sich der Probleme
mit diesen Annahmen bewusst ist.
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Kritische Würdigung
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
Motivation
BlackScholesModell
Abbildung : Verschiedene Verteilung des Logarithmus’ des Aktienkurses unter verschiedenen
Modellen.
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Finanzinstrumente
Aufgaben
Bewertung
von
Aktienderivaten
Binomialmodell
mit einer
Periode
1
Binomialmodell
mit
mehreren
Perioden
Kritische
Würdigung
und
Ausblick
V = (u − (1 + r)) × (1 + r − d).
2
Beweisen Sie Gleichung (7).
3
Zeigen Sie, dass für das Binomialmodell und das Black-Scholes-Modell die
Put-Call-Parity erfüllt ist.
4
Zeigen Sie für eine normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert E(X)
und Varianz V(X):
Motivation
BlackScholesModell
Zeigen Sie: Die Varianz des Aktienkurses im Binomialmodell ist
1
E(eX ) = eE(X)+ 2 V(X) .