Niedersachsen ISBN 978–3–507–87207–3 alt 3-507-87207
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Stoffverteilungsplan Elemente der Mathematik 7 – Niedersachsen ISBN 978–3–507–87207–3 alt 3-507-87207-2 Elemente der Mathematik 8 – Niedersachsen ISBN 978–3–507–87208–0 alt 3-507-87208-0 Die Aufbereitung der mathematischen Themen in Elemente der Mathematik ist so konzipiert, dass mit den inhaltsbezogenen Kompetenzen zu mathematischen Inhalten vielfältige prozessbezogene Kompetenzen verknüpft sind, die sich auf den Lernprozess beziehen und über das Lernen von Mathematik hinausgehen. Eine umfassende mathematische Grundbildung wird durch das Zusammenspiel dieser beiden Typen von Kompetenzen angestrebt. Am Beginn größerer Abschnitte stehen Lernfelder mit verschiedenen offenen und reichhaltigen Lerngelegenheiten: In unterschiedlichen Problemsituationen können die Schülerinnen und Schüler zentrale Inhalte und Verfahren auf eigenen Lernwegen durch Anknüpfen an Alltags- und Vorerfahrungen selbstständig und häufig handlungsorientiert entdecken. Der Aufbau eigener Vorstellungen und die Bearbeitung einer Vielfalt von Lösungsansätzen wird gefördert durch die Anregung, diese Lernfelder in der Regel in Partner- und Gruppenarbeit zu bearbeiten. Der Austausch über das Problem mit dem Partner bzw. in der Gruppe sowie der Bericht über Erfahrungen in der ganzen Klasse fördern insbesondere prozessbezogene Kompetenzen wie Problemlösen sowie Argumentieren und Kommunizieren. Besonderer Wert wurde auf eine reichhaltige Aufgabenkultur gelegt, die vielfältige Schüleraktivitäten zum Erreichen sowohl der prozessbezogenen als auch der inhaltsbezogenen Kompetenzen initiiert .Viele Übungsaufgaben regen an zum Erkunden mathematischer Sachverhalte, zum Kommunizieren und Argumentieren über Lösungsansätze und zum Präsentieren der Problemlösungen. Durchgängig werden dazu auch Aufgaben angeboten, die sich insbesondere für die Bearbeitung in Partner- und Teamarbeit eignen. Bei den inhaltsbezogenen Kompetenzen wurde darauf geachtet, dass nach Möglichkeit die Kompetenzen aller Sachgebiete in jedem Kapitel angesprochen werden - zumindest jeweils in Übungen, die eine Vernetzung zu anderen Inhalten und Vorgehensweisen herstellen. An geeigneten Stellen werden unter der Überschrift Auf den Punkt gebracht die für diese Klassenstufe vorgesehenen prozessbezogenen Kompetenzen akzentuiert zusammengefasst. Auch die Abschnitte Im Blickpunkt, Zum Selbstlernen und Projekte fördern die Schulung prozessbezogener Kompetenzen in größeren Zusammenhängen. Inhalt Band 7 1. Dreiecke und Vierecke Lernfeld: Passgenaue Figuren 1.1 Kongruente Figuren Zum Selbstlernen Im Blickpunkt: Erstellen von Vorlagen für Mandalas mit DGS 1.2 Dreieckskonstruktionen Kongruenzsätze 1.3 Beweisen – Satz und Kehrsatz 1.4 Konstruktion von Vierecken Auf den Punkt gebracht: Präsentieren auf Plakaten und Folien 1.5 Kreis und Gerade Zum Selbstlernen 1.6 Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Im Blickpunkt: Eine Eigenschaft der besonderen Linien im Dreieck 1.7 Satz des Thales Im Blickpunkt: Thales von Milet 1.8 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 2. Terme und Gleichungen Lernfeld: Rechenwege knapp beschreiben 2.1 Aufstellen von Termen – Formeln Im Blickpunkt: Tabellenkalkulation und Terme 2.2 Aufbau eines Terms 2.3 Termumformungen – Addieren und Subtrahieren Im Blickpunkt: Umgang mit Termen bei einem Computer-Algebra-System 2.4 Multiplizieren und Dividieren von Produkten 2.5 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch Probieren Zum Selbstlernen 2.6 Lösen von Gleichungen durch Umformen 2.7 Modellieren – Anwenden von Gleichungen Auf den Punkt gebracht: Umgang mit Texten, Tabellen und Diagrammen 2.8 Lösen von Ungleichungen durch Umformen 2.9 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit Flächeninhalten und Volumina 3. Berechnungen an Vielecken und Prismen Lernfeld: Wie groß ist...? 3.1 Flächeninhalt eines Parallelogramms 3.2 Flächeninhalt eines Dreiecks 3.3 Flächeninhalt eines Trapezes 3.4 Flächeninhalt beliebiger Vielecke Zum Selbstlernen 3.5 Vermischte Übungen zum Flächeninhalt von Vielecken Im Blickpunkt: Flächeninhalt von krummlinig begrenzten Figuren 3.6 Prismen – Netz und Schrägbild 3.7 Volumen eines Prismas 3.8 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4. Mehrstufige Zufallsexperimente 4.1 Mehrstufige Zufallsexperimente – Baumdiagramme 4.2 Pfadregeln 4.3 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Klassische Probleme aus der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit dem Dreisatz 5. Lineare Funktionen Lernfeld: Eindeutig gerade 5.1 Funktionen als eindeutige Zuordnungen Im Blickpunkt: Graphen zeichnen mit Computer und GTR 5.2 Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.4 Nullstellen linearer Funktionen – Grafisches Lösen linearer Gleichungen Zum Selbstlernen Auf den Punkt gebracht: Dokumentieren von Rechnerergebnissen 5.5 Vermischte Übungen 5.6 Geraden durch Punkte Im Blickpunkt: Energie sparen 5.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit ? Projekt Seevermessung Funktionen – Messen und Darstellen Inhalt Band 8 1. Terme und Gleichungen mit Klammern Lernfeld: Klammern gewähren Vorrang 1.1 Auflösen und Setzen einer Klammer 1.2 Minuszeichen vor einer Klammer – Subtrahieren einer Klammer 1.3 Ausklammern 1.4 Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt 1.5 Binomische Formeln Zum Selbstlernen 1.6 Faktorisieren einer Summe 1.7 Vermischte Übungen Im Blickpunkt: Pascal’sches Dreieck – Potenzieren von Summen 1.8 Mischungs- und Bewegungsaufgaben 1.8.1 Mischungsaufgaben 1.8.2 Bewegungsaufgaben Auf den Punkt gebracht: Öffne den Blick – löse Probleme 1.9 Formeln – Gleichungen mit mehreren Variablen 1.9.1 Umformen von Formeln 1.9.2 Lösen von Gleichungen mit Parametern 1.10 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit linearen Funktionen 2. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen – Systeme linearer Gleichungen Lernfeld: Geraden mit System 2.1 Lineare Gleichungen der Form ax+by=c 2.1.1 Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen – Graph 2.1.2 Sonderfälle bei linearen Gleichungen mit zwei Variablen 2.2 Systeme linearer Gleichungen – Grafisches Lösungsverfahren 2.3 Gleichsetzungsverfahren 2.4 Einsetzungsverfahren Zum Selbstlernen 2.5 Additionsverfahren 2.5.1 Subtraktion zweier Gleichungen eines Systems 2.5.2 Lösen eines Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren 2.5.3 Sonderfälle beim rechnerischen Lösen 2.5.4 Vermischte Übungen 2.6 Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme Im Blickpunkt: Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe des GTR 2.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 3. Quadratwurzeln – Reelle Zahlen Lernfeld: Entdeckungen an Zahlen 3.1 Quadratwurzeln 3.1.1 Einführung der Quadratwurzeln 3.1.2 Näherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln 3.1.3 Intervallhalbierungsverfahren 3.1.4 Irrationale Wurzeln Im Blickpunkt: Das Heronverfahren – Schnelle Wurzelberechnung mit dem Computer 3.2 Reelle Zahlen 3.3 Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren 3.4 Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung 3.5 Umformen von Wurzeltermen Zum Selbstlernen 3.6 Überblick über die reellen Zahlen 3.6.1 Rechnen mit reellen Zahlen 3.6.2 Vergleich der Zahlbereiche IN, + , und IR 3.7 Wurzelgleichungen 3.8 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Wie viele rationale Zahlen gibt es? Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit der Prozentrechnung − , 4. Satz des Pythagoras 4.1 Satz des Pythagoras 4.2 4.3 Berechnen von Streckenlängen Umkehrung des Satzes des Pythagoras 4.4 Höhensatz und Kathetensatz des Euklid Auf den Punkt gebracht: Begründen und Widerlegen 4.5 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 5. Parabeln – Quadratische Funktionen und Gleichungen Lernfeld: Nicht gerade, aber symmetrisch 5.1 5.2 Quadratfunktion – Eigenschaften der Normalparabel Quadratische Gleichungen – Grafisches Lösungsverfahren 5.2.1 Lösen einer quadratischen Gleichung durch planmäßiges Probieren 5.2.2 Grafisches Lösen bei quadratischen Gleichungen 5.3 Verschieben der Normalparabel 5.3.1 Verschieben der Normalparabel in Richtung der y-Achse 5.3.2 Verschieben der Normalparabel in Richtung der x-Achse 5.3.3 Verschieben der Normalparabel in beliebiger Richtung 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5 Strecken und Verschieben der Normalparabel Im Blickpunkt: Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen 5.6 Lösen quadratischer Gleichungen 5.7 Modellieren – Anwenden von quadratischen Gleichungen Auf den Punkt gebracht: Ganz genau ist manchmal zu genau 5.8 Satz des Vieta 5.9 Optimierungsprobleme mit quadratischen Funktionen 5.10 Regression Im Blickpunkt: Parabeln im Sport 5.11 Vermischte Übungen zu quadratischen Funktionen 5.12 Quadratwurzelfunktion 5.13 Geometrisches Erzeugen von Parabeln 5.14 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Projekte Funktionen – Messen und Darstellen Reguläre Polygone und Polyeder Teste dich – Vermischte Übungen Anhang Lösungen zu Bist du fit? Lösungen zu Teste dich - Vermischte Übungen Maßeinheiten und ihre Umrechnungen Verzeichnis mathematischer Symbole Stichwortverzeichnis Prozessbezogene Kompetenzen Mathematisch argumentieren Vermutungen präzisieren und einer mathematischen Überprüfung zugänglich machen, auch unter Verwendung geeigneter Medien Notwendige Informationen für mathematische Argumentationen beschaffen und bewerten - - - Mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln, Verfahren und Zusammenhänge unter Zuhilfenahme formaler Darstellungen erläutern Mathematisches Wissen für Begründungen nutzen, auch in mehrschrittigen Argumentationen Mehrschrittige Argumentationsketten aufbauen und analysieren Begründungen finden durch Zurückführen auf Bekanntes sowie Einführen von Hilfsgrößen und Hilfslinien Verschiedene Lösungsansätze und Lösungswege vergleichen und bewerten Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Nicht nur bei der Erarbeitung der Lerninhalte, sondern auch in Übungsaufgaben werden Schülerinnen und Schüler aufgefordert, Vermutungen aufzustellen. Bei deren Überprüfung werden auch Hilfsmittel wie GTR, DGS und zum Teil CAS eingesetzt. Die in Klasse 7 erworbenen Fähigkeiten werden auf erhöhtem Niveau konsequent weiter geschult. Bei offenen Übungsaufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, nach fehlenden Informationen zu recherchieren und diese kritisch bei der Problemlösung einzusetzen. In Übungsaufgaben werden Schülerinnen und Das Vorgehen in Klasse 8 entspricht prinzipiell dem Schüler aufgefordert, ihr eigenes Vorgehen zu in Klasse 7, die behandelten Themen bedingen eine beschreiben, Zusammenfassungen zu Progression in den Anforderungen. behandelten Themen zu formulieren. Mehrschrittige Argumentationen und komplexere Begründungen z. B. mithilfe von Hilfslinien und erfolgen in Klasse 7 in allen Kapiteln, ein besonderer Schwerpunkt liegt beim Beweisen mithilfe der Kongruenzsätze. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und – wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und –wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Prozessbezogene Kompetenzen Probleme mathematisch lösen Inner- und außermathematische Problemstellungen erfassen und die zur Problemlösung fehlenden Informationen beschaffen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Bei offenen Übungsaufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, nach fehlenden Informationen zu recherchieren und diese kritisch bei der Problemlösung einzusetzen. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und – wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Insbesondere bei realitätsbezogenen Aufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, vor der genauen Berechnung das Ergebnis abzuschätzen und Überschläge auch zur Kontrolle des Ergebnisses zu benutzen. Plausibilitätsbetrachtungen haben neben Begründungen einen eigenständigen Wert. Die Schülerinnen wenden ihre in Klasse 7 erworbenen Fähigkeiten bei neuen Sachgebieten in zunehmend komplexeren Situationen an. - Lösungswege beschreiben und begründen Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen ermitteln sowie Plausibilitätsüberlegungen durchführen - Heuristische Strategien anwenden: Spezialisieren und Verallgemeinern, Zerlegen in Teilprobleme, Substituieren, Variieren von Bedingungen, Vorwärtsund Rückwärtsarbeiten Heuristische Strategien werden in allen Themengebieten zur Problemlösung verwendet und abschließend deutlich herausgestellt. - Parametervariationen nutzen Darstellungsformen wie Terme und Gleichungen zur Problemlösung nutzen Algebraische, numerische, grafische Verfahren oder geometrische Konstruktionen zur Problemlösung anwenden Möglichkeit mehrerer Lösungen in Betracht ziehen und diese überprüfen Der konsequente Einsatz des GTR ermöglicht ein vielfältiges Bearbeiten mathematischer Probleme; dabei wird der Wert algebraischer, grafischer, tabellarischer und numerischer Vorgehensweisen betont. In der Geometrie ermöglicht der Einsatz von DGS eine vielfältige Variation von Ausgangssituationen, um allgemeine Erkenntnisse zu gewinnen. Schülerinnen und Schüler werden konsequent darin geschult, alle Lösungen eines Problems in Betracht zu ziehen und auf ihre Bedeutung in der Realität hin zu beurteilen. Viele Übungsaufgaben thematisieren typische Schülerfehler: Hier sollen nicht nur fehlerhafte Lösungen herausgefunden werden, sondern auch die Fehlerquellen analysiert werden. Ebenso spielt die Bewertung unterschiedlich geschickter Vorgehensweisen eine große Rolle. - - - Ergebnisse beurteilen, vergleichen, sowie Lösungswege und Problemlösestrategien bewerten Ursache von Fehlern erklären In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und –wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Die Überlegungen zum Schätzen und Überschlagen werden in der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Ganz genau ist manchmal zu genau“ auf erhöhtem Niveau zusammengetragen. Plausibilitätsbetrachtungen haben neben Begründungen einen eigenständigen Wert. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Begründen und Widerlegen“ werden wichtige Gesichtspunkte zum mathematischen Argumentieren zusammengestellt. Heuristische Strategien werden in allen Themengebieten zur Problemlösung verwendet und abschließend deutlich herausgestellt. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Öffne den Blick – löse Probleme“ erfolgt eine übersichtliche, übergeordnete Zusammenschau. Der Umgang mit Parametervariationen werden bei quadratischen Funktionen und linearen Gleichungssystemen auf erhöhtem Anforderungsniveau fortgeführt. Die unterschiedliche Lösungsvielfalt und der realitätsbezogene Umgang damit ist bei linearen Gleichungssystemen und quadratischen Gleichungen ausgeprägter als bei den linearen Gleichungen der Klasse 7. Viele Übungsaufgaben thematisieren typische Schülerfehler: Hier sollen nicht nur fehlerhafte Lösungen herausgefunden werden, sondern auch die Fehlerquellen analysiert werden. Prozessbezogene Kompetenzen Mathematisch modellieren Mögliche Einflussfaktoren in Realsituationen finden und bewerten Modelle zur Beschreibung überschaubarer Realsituationen wählen und die Wahl begründen Einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zuordnen - - Terme mit Variablen, Gleichungen, Funktionen oder Regressionen zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell verwenden Im Modell gewonnene Ergebnisse im Hinblick auf die Realsituation interpretieren sowie die Annahmen reflektieren und ggf. variieren Mathematische Darstellungen verwenden Funktionale Zusammenhänge durch Tabellen, Graphen oder Terme darstellen – auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners – sowie solche Darstellungen interpretieren und nutzen - Schrägbilder von Primen zeichnen sowie Netze entwerfen und Modelle herstellen - Zufallsversuche durch Baumdiagramme darstellen und interpretieren - Darstellungen kritisch analysieren sowie einzelne Darstellungsformen im Kontext bewerten Beziehungen zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen erkennen Unterschiedliche Darstellungsformen situationsangemessen auswählen und zwischen ihnen wechseln - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Das Modellieren wird sowohl bei geometrischen als auch algebraischen, funktionalen und stochastischen Problemen deutlich herausgestellt. Zielumkehraufgaben zum Finden von Realsituationen zu vorgegebenen Termen, Graphen und Figuren schulen flexible Vorgehensweisen. In Klasse 7 werden im wesentlichen lineare Modelle behandelt. Die konsequente Rückübertragung der Ergebnisse im mathematischen Modell auf die ursprüngliche Problemsituation wird durchgängig eingefordert. Hieraus ergeben sich auch Anregungen für ggf. nötige Modifizierungen der Modellannahmen. Die zum Modellieren in Klasse 7 erworbenen Kompetenzen werden in Klasse 8 bei komplexeren geometrischen, algebraischen und funktionalen Fragestellungen weiter geschult. Der konsequente Einsatz des GTR ermöglicht ein vielfältiges Bearbeiten mathematischer Probleme; dabei wird der Wert algebraischer, grafischer, tabellarischer und numerischer Vorgehensweisen betont. Das Berechnen von Größen bei Körpern erfolgt in engem Wechselspiel mit den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten der Körper. In der Stochastik werden mehrstufige Zufallsexperimente mithilfe von Baumdiagrammen bearbeitet. Der Wechsel zwischen Darstellungsformen erfolgt in mehreren Sachgebieten: in der Algebra bei Termen und deren Wortform, Rechenbaum und geometrischer Veranschaulichung bei der Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten mithilfe von Termen, Tabellen und Graphen. In Klasse 8 wird ein zunehmend komplexerer Umgang mit dem GTR angestrebt. In Klasse 8 werden lineare und quadratische Modelle behandelt. Der Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen verschiedener Objekte erfolgt in zunehmend komplexeren Sachverhalten. Prozessbezogene Kompetenzen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Zuordnungen mit Variablen und Termen erfassen Tabellen, Graphen, Terme und Gleichungen zur Bearbeitung linearer und quadratischer Zusammenhänge nutzen Überschaubare Terme mit Variablen zusammenfassen, ausmultiplizieren und ausklammern, um mathematische Probleme zu lösen Symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt - - - Tabellarische, graphische und algebraische Verfahren zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen sowie linearer Gleichungssysteme nutzen Probe zur Überprüfung von Ergebnissen nutzen Taschenrechner zur Kontrolle nutzen Taschenrechner und Geometrie-Software zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen nutzen Taschenrechner beim Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsformen nutzen Lexika, Schulbücher, Printmedien und elektronische Medien zur selbstständigen Informationsbeschaffung nutzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 In Klasse 7 werden lineare Funktionen behandelt, entsprechend tauchen im wesentlichen entsprechende Terme in der Algebra auf. In Klasse 8 werden quadratische Funktionen behandelt, entsprechend werden in der Algebra Terme mit Klammern sowie binomische Formeln thematisiert. Der Wechsel von symbolischer sowie formaler mit natürlicher Sprache erfolgt durchgängig in allen Sachgebieten; dabei wird bewusst die Verwendung natürlicher Sprache in zu mathematisierenden Problemsituationen betont. In Klasse 7 werden im wesentlichen lineare Gleichungen mit allen Lösungsverfahren bearbeitet – auch unter konsequentem Einsatz des GTR. Der Wert der Probe wird deutlich herausgestellt. Der Wechsel von symbolischer sowie formaler mit natürlicher Sprache erfolgt durchgängig in allen Sachgebieten; dabei wird bewusst die Verwendung natürlicher Sprache in zu mathematisierenden Problemsituationen betont. GTR und DGS werden konsequent mit allen ihren Darstellungsformen und Einsatzmöglichkeiten genutzt, auch zur Erkundung komplexerer Situationen mit eher experimentellem Vorgehen. Im Buch sind an verschiedenen Stellen Ausschnitte aus Nachschlagewerken und anderen Veröffentlichungen wie auch dem Internet angegeben. Darüber hinaus werden die Schülerinnen und Schüler auch zur selbstständigen Nutzung dieser Medien bei der eigenständigen Recherche angehalten. In Klasse 8 werden im wesentlichen lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen mit allen Lösungsverfahren bearbeitet – auch unter konsequentem Einsatz des GTR. Der Wert der Probe wird deutlich herausgestellt. GTR und DGS werden konsequent mit allen ihren Darstellungsformen und Einsatzmöglichkeiten genutzt, auch zur Erkundung komplexerer Situationen mit eher experimentellem Vorgehen. Im Buch sind an verschiedenen Stellen Ausschnitte aus Nachschlagewerken und anderen Veröffentlichungen wie auch dem Internet angegeben. Darüber hinaus werden die Schülerinnen und Schüler auch zur selbstständigen Nutzung dieser Medien bei der eigenständigen Recherche angehalten. Prozessbezogene Kompetenzen Kommunizieren Eigene Lernwege und aus dem Unterricht erwachsene Merksätze und Ergebnisse unter Verwendung geeigneter Medien dokumentieren Überlegungen anderen verständlich mitteilen, dabei zunehmend die Fachsprache benutzen Lösungsansätze und Lösungswege präsentieren – auch unter Verwendung geeigneter Medien Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten verstehen, auf Schlüssigkeit überprüfen und darauf eingehen - Daten und Informationen aus Texten und mathematikhaltigen Darstellungen strukturieren, interpretieren, analysieren und bewerten - Kritik konstruktiv äußern sowie auf Fragen und Kritik sachlich und angemessen eingehen Arbeit im Team selbstständig organisieren - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Das Darstellen von Lösungswegen und Ergebnissen erhält einen besonderen Stellenwert bei der Verwendung von GTR. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Dokumentieren von Rechnerergebnissen“ werden dazu wichtige Anhaltspunkte erarbeitet und deutlich herausgestellt. In vielen Übungsaufgaben werden Schüler dazu aufgefordert, ihre Ergebnisse in Form von Vorträgen oder Postern der Klasse mitzuteilen. Das geschickte Präsentieren von Ergebnissen auf Plakaten wird gesondert in der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Präsentieren auf Plakaten und Folien“ herausgestellt. Die Arbeit mit Texten, Tabellen und Diagrammen zu mathematikhaltigen Problemen erfolgt durchgängig. Wichtige Strategien dazu werden in der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Umgang mit Texten, Tabellen und Diagrammen“ herausgearbeitet. Der angemessene Umgang mit Kritik ist im wesentlichen im Unterricht zu erreichen, hilfreich hierfür sind aber Aufgaben im Buch, die Stellungnahme zu nicht persönlich Betroffenen einfordern: Fehlersuche, Vergleich von Lösungswegen, .... Das Bearbeiten der Lernfelder sowie eine Vielzahl von Aufträgen in den Übungsaufgaben, die sich besonders für Partner- und Teamarbeit eignen, fördern die Teamfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Das Darstellen von Lösungswegen und Ergebnissen erhält einen besonderen Stellenwert bei der Verwendung von GTR. In vielen Übungsaufgaben werden Schüler dazu aufgefordert, ihre Ergebnisse in Form von Vorträgen oder Postern der Klasse mitzuteilen. Die Arbeit mit Texten, Tabellen und Diagrammen zu mathematikhaltigen Problemen erfolgt durchgängig. Der angemessene Umgang mit Kritik ist im wesentlichen im Unterricht zu erreichen, hilfreich hierfür sind aber Aufgaben im Buch, die Stellungnahme zu nicht persönlich Betroffenen einfordern: Fehlersuche, Vergleich von Lösungswegen, .... Das Bearbeiten der Lernfelder sowie eine Vielzahl von Aufträgen in den Übungsaufgaben, die sich besonders für Partner- und Teamarbeit eignen, fördern die Teamfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Inhaltsbezogene Kompetenzen Zahlen und Operationen Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung von rationalen zu reellen Zahlen an Beispielen begründen Grenzen der Beschreibung reeller Zahlen durch Dezimalbrüche erläutern sowie Näherungsverfahren beschreiben und anwenden Kennzeichnende Unterschiede zwischen rationalen und irrationalen Zahlen nennen - - - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Lernfeld: Entdeckungen an Zahlen 3.1. Quadratwurzeln Blickpunkt Heronverfahren 3.2. Reelle Zahlen Blickpunkt: Wie viele reelle Zahlen gibt es? Rechnungen mit dem Taschenrechner ausführen und die Ergebnisse bewerten. Einfache Rechenaufgaben im Bereich der reellen Zahlen lösen Der kritische Gebrauch des Taschenrechners erfolgt durchgängig in Band 7. Sachverhalte durch Terme und Gleichungen beschreiben Terme veranschaulichen und interpretieren Struktur von Termen erkennen und vergleichen Terme und Gleichungen zur mathematischen Argumentation nutzen Inner- und außermathematische Problemsituationen mit Hilfe von Termen und Gleichungen modellieren Lernfeld: Rechenwege knapp beschreiben 2.1. Aufstellen von Termen – Formeln Blickpunkt: Tabellenkalkulation und Terme 2.2. Aufbau eines Terms Terme mit Hilfe der Rechengesetze umformen Rechengesetze für Quadratwurzeln exemplarisch begründen und anwenden 2.3. Termumformungen – Addieren und Subtrahieren Blickpunkt Umgang mit Termen bei einem CAS 2.4. Multiplizieren und Dividieren von Produkten Der kritische Gebrauch des Taschenrechners erfolgt durchgängig in Band 8. 3.1. Quadratwurzeln 3.3. Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren 3.4. Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung 3.5. Umformen von Wurzeltermen 3.6. Überblick über die reellen Zahlen 3.8. Aufgaben zur Vertiefung Lernfeld: Klammern gewähren Vorrang 1.1. Auflösen und Setzen einer Klammer 1.2. Minuszeichen vor einer Klammer – Subtrahieren einer Klammer 1.3. Ausklammern 1.4. Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt 1.5. Binomische Formeln 1.6. Faktorisieren einer Summe Blickpunkt Pascalsches Dreieck – Potenzieren von Summen 1.8 Mischungs- und Bewegungsaufgaben 3.4. Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung 3.5. Umformen von Wurzeltermen 1.1.Auflösen und Setzen einer Klammer 1.2 Minuszeichen vor einer Klammer – Subtrahieren einer Klammer 1.3 Ausklammern 1.4 Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt 1.5. Binomische Formeln 1.6. Faktorisieren einer Summe 3.4. Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung 3.5. Umformen von Wurzeltermen - - - - - - Inhaltsbezogene Kompetenzen Lineare und quadratische Gleichungen sowie Gleichungssysteme mit zwei Variablen in einfachen Fällen algebraisch lösen Gleichungssysteme mit zwei Variablen in einfachen Fällen algebraisch lösen Gleichungen und Gleichungssysteme in Sachzusammenhängen durch Probieren, numerisch und grafisch unter Verwendung des Taschenrechners lösen Fragen der Lösbarkeit von Gleichungen und Gleichungssystemen untersuchen sowie diesbezügliche Aussagen formulieren Probe zur Kontrolle beim Gleichungslösen nutzen sowie die Ergebnisse beurteilen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 2.5. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch Probieren 2.6. Lösen von Gleichungen durch Umformen 2.7. Modellieren – Anwenden von Gleichungen 2.8. Lösen von Ungleichungen durch Umformen Auswirkungen von Parametervariationen unter Verwendung des Taschenrechners untersuchen, beschreiben und begründen 5.2. Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.4. Nullstellen linearer Funktionen – grafisches Lösen linearer Gleichungen Realisierung in Elemente der Mathematik 8 1.9. Formeln – Gleichungen mit Parametern Lernfeld: Geraden mit System 2.1. Lineare Gleichungen der Form ax + by = c 2.2 Systeme linearer Gleichungen – grafisches Lösungsverfahren 2.3. Gleichsetzungsverfahren 2.4. Einsetzungsverfahren 2.5. Additionsverfahren 2.6. Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme Blickpunkt: Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe des GTR 5.2. Quadratische Gleichungen – grafisches Lösungsverfahren 5.6. Lösen quadratischer Gleichungen 5.7. Modellieren – Anwenden quadratischer Gleichungen 5.9. Optimierungsprobleme 1.9. Formeln – Gleichungen mit Parametern 5.3. Verschieben der Normalparabel 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5. Strecken und Verschieben der Normalparabel 5.8. Satz des Vieta Inhaltsbezogene Kompetenzen Größen und Messen Längen durch Konstruktion maßstabsgetreuer Figuren messend ermitteln Zusammengesetzte Größen berechnen und interpretieren Winkelgrößen mit Hilfe des Thalessatzes sowie Streckenlängen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen - - - - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Lernfeld: Passgenaue Figuren 1.2. Dreieckskonstruktionen – Kongruenzsätze 1.4. Konstruktion von Vierecken 1.7. Satz des Thales Blikckpunkt: Thales von Milet Umfang und Flächeninhalt geradlinig begrenzter Figuren schätzen und berechnen Formeln für den Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez und symmetrischen Drachen durch Zerlegen und Ergänzen begründen Umfang und Flächeninhalt von Figuren mit Hilfe von geradlinig begrenzten Figuren abschätzen und die Ergebnisse bewerten Längen, Oberflächeninhalt und Volumen von Prismen schätzen und mit Hilfe von Formeln berechnen Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern mit Hilfe von Prismen abschätzen und die Ergebnisse bewerten Lernfeld: Wie groß ist? 3.1. Flächeninhalt eines Parallelogramms 3.2. Flächeninhalt eines Dreiecks 3.3. Flächeninhalt eines Trapezs 3.4. Flächeninhalt beliebiger Vielecke Blickpunkt: Flächeninhalt und Umfang von krummlinig begrenzten Figuren Messungen in der Umwelt planen und gezielt durchführen, Maßangaben aus Quellenmaterial entnehmen, Berechnungen durchführen, die Ergebnisse sowie den gewählten Weg bewerten Lernfeld: Passgenaue Figuren Lernfeld: Wie groß ist? 3.6. Prismen – Netz und Schrägbild 3.7. Volumen eines Prismas 4.1. Satz des Pythagoras 4.2. Berechnen von Streckenlängen Inhaltsbezogene Kompetenzen Raum und Form Kongruenzen erkennen und begründen - - - - - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Lernfeld: Passgenaue Figuren 1.1. Kongruente Figuren 1.2. Dreieckskonstruktionen – Kongruenzsätze 1.3. Beweisen – Satz und Kehrsatz mit Zirkel, Geodreieck und dynamischer Blickpunkt: Erstellen von Vorlagen für Geometriesoftware konstruieren, um ebene Figuren zu Mandalas mit DGS erstellen oder reproduzieren 1.2. Dreieckskonstruktionen - Kongruenzsätze Aussagen zur Lösbarkeit und Lösungsvielfalt bei 1.5. Kreis und Gerade Konstruktionen formulieren 1.6. Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Schrägbilder von Prismen zeichnen, Netze entwerfen 3.6. Prismen – Netz und Schrägbild und Modelle herstellen Höhen, Mittelsenkrechten, Seitenhalbierenden und 1.5. Kreis und Gerade 4.1. Satz des Pythagoras Winkelhalbierenden als besondere Linien im Dreieck 1.6. Besondere Punkte und Linien des 4.2. Berechnungen von Streckenlängen kennen Dreiecks Satz des Thales und Satz des Pythagoras bei Blickpunkt: Eine Eigenschaft der besonderen 5.9. Geometrisches Erzeugen von Parabeln Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen Linien im Dreieck anwenden 1.7. Satz des Thales Kreis, Parallele, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende Blickpunkt: Thales von Milet und Parabel als Ortslinien beschreiben und erzeugen Eigenschaften von Ortslinien zur Lösung von Sachproblemen anwenden Symmetrie, Kongruenz, Lagebeziehungen Kapitel 1: Dreiecke und Vierecke Kapitel 4: Satz des Pythagoras geometrischer Objekte beschreiben und begründen, diese Eigenschaften im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen nutzen Inhaltsbezogene Kompetenzen Funktionaler Zusammenhang Lineare und quadratische Zusammenhänge als Zuordnungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten erkennen, verbal beschreiben und erläutern Lineare und quadratische Funktionen in Tabellen, Termen, Gleichungen und Graphen identifizieren und klassifizieren Lineare und quadratische Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge nutzen, auch unter Verwendung des Taschenrechners Lineare und quadratische Funktionen durch Terme und Gleichungen darstellen sowie zwischen den Darstellungen Term, Gleichung, Tabelle, Graph wechseln Sachsituationen durch lineare und quadratische Funktionen modellieren Eigenschaften linearer und quadratischer Funktionen auch unter Verwendung des Taschenrechners zur Lösung von Problemen anwenden und die Lösungen bewerten Parameter linearer und quadratischer Funktionen in der grafischen Darstellung deuten und in Anwendungssituationen nutzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Auswirkungen von Parametervariationen bei linearen und quadratischen Funktionen unter Verwendung des Taschenrechners untersuchen, beschreiben und begründen Funktionsgleichungen von linearen und quadratischen Funktionen aus dem Graphen bestimmen Steigung als konstante Änderungsrate interpretieren Daten und Zufall Datenpaare grafisch darstellen, lineare und quadratische Regressionen mit dem Taschenrechner durchführen und die Ergebnisse für Prognosen nutzen Mehrstufige Zufallsexperimente identifizieren und durchführen Mehrstufige Zufallsexperimente im Baumdiagramm mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten darstellen Multiplikationsregel begründen und zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden 5.2. Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.6. Geraden durch Punkte - - Lernfeld: Eindeutig gerade 5.1. Funktionen als eindeutige Zuordnungen Blickpunkt: Graphen zeichnen mit Computer und GTR 5.2. Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 2.1. Lineare Gleichungen der Form ax+ by = c Lernfeld Eindeutig gerade 5.2. Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.4. Nullstellen linearer Funktionen – grafisches Lösen linearer Gleichungen 5.6. Geraden durch Punkte Blickpunkt Energie sparen 1.8. Bewegungs- und Mischungsaufgaben Lernfeld: Nicht gerade, aber symmetrisch 5.3. Verschieben der Normalparabel 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5. Strecken und Verschieben der Normalparabel Blickpunkt: Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen 2.6. Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme Lernfeld: Nicht gerade, aber symmetrisch 5.3. Verschieben der Normalparabel 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5. Strecken und Verschieben der Normalparabel Blickpunkt: Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen 5.3. Verschieben der Normalparabel 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5. Strecken und Verschieben der Normalparabel 5.2. Proportionale Funktionen 5.6. Geraden durch Punkte 4.1. Mehrstufige Zufallsexperimente – Baumdiagramme 4.2. Pfadregeln Blickpunkt: Klassische Probleme aus der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung 5.10. Regression Blickpunkt: Parabeln im Sport
