Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie

FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften
Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck
Modulprüfung BA 04 Mathematik:
Grundlagen der Mathematik C:
Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie
06.02.2013
Name:
Vorname:
Matrikel-Nr.:
Studiengang:
Besuchte Übungsgruppe (bitte ankreuzen):
Frau Hupp (Di., 10-12)
Frau Hupp (Di., 12-14)
Herr Frank (Di., 14-16)
Herr Habeck (Di., 14-16)
Herr Habeck (Do., 10-12)
keine Übungsgruppe
Aufgabe
Punkte
Erz. Punkte
1
1+3+3
2
2+2+3
Erreichte Punktzahl:
3
8+4
4
8+2
5
2+4+1
6
2+5
P
50
von max. 50 Punkten
Die Modulprüfung ist bestanden
ja / nein
Note:
Technische Hinweise:
1. Taschenrechner sind nicht zugelassen!
2. Handys bitte ausschalten.
3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt
am Ende der Arbeit oder die Rückseiten.
4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt
erforderlich.
5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der
Arbeit getrennt werden.
6. Nicht mit Bleistift schreiben!
Aufgabe 1:
a) Wie ist die Euler-Funktion ϕ(n) definiert?
b) Berechnen Sie ϕ(45) und ϕ(ϕ(35)).
ϕ(45) =
ϕ(ϕ(35)) =
Nebenrechnungen:
c) Bestimmen Sie drei Zahlen n ∈ N mit ϕ(n) = 12.
1.Zahl:
2.Zahl:
3.Zahl:
Nebenrechnungen:
2
Aufgabe 2:
a) Für welche m ∈ N mit m > 1 gilt [4]m · [7]m = [3]m ? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung:
Begründung:
b) Wie lautet der Satz von Euler-Fermat?
c) Berechnen Sie die beiden letzten Ziffern der Zahl 11242 .
Lösung: Die letzten beiden Ziffern von 11242 sind . . . . . . . . . .
Begründung/Berechnung:
3
Aufgabe 3:
Für alle x, y ∈ R sei x ? y := x · |y|.
a) Beweisen oder widerlegen Sie:
(1) (R, ?) ist kommutativ.
Die Aussage ist
wahr
falsch
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
(2) (R, ?) ist assoziativ.
Die Aussage ist
wahr
falsch
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
(3) (R, ?) besitzt mindestens ein linksneutrales Element.
Die Aussage ist
wahr
falsch
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
4
(4) (R, ?) besitzt mindestens ein rechtsneutrales Element.
Die Aussage ist
wahr
falsch
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Abbildungen verknüpfungstreu sind.
(1) f1 : (Z, ·) −→ (Z, ·), f1 (x) = 3x
Die Abbildung ist
verknüpfungstreu
nicht verknüpfungstreu
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
(2) f2 : (Z, +) −→ (Z, +), f2 (x) = 3x
Die Abbildung ist
verknüpfungstreu
nicht verknüpfungstreu
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
5
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie jeweils hgi für...
(1) g = [6]8 in (R8 , +)
Lösung: hgi =
∗
, ·)
(2) g = [5]12 in (R12
Lösung: hgi =
(3) g =
1 2 3
in (S3 , ◦)
2 3 1
Lösung: hgi =
(4) g = i in (C \ {0}, ·)
Lösung: hgi =
Nebenrechnungen:
b) Wie lautet der Satz von Lagrange?
6
Aufgabe 5:
a) Geben Sie die Matrix an, die die Spiegelung σy an der y-Achse darstellt. Begründen
Sie Ihre Aussage.
Matrix:
Begründung:
x
0 −1
x
b) Welche Kongruenzabbildung f : R → R ist durch f (
) =
y
−1 0
y
gegeben? Begründen Sie Ihre Aussage.
2
2
Lösung: f ist . . .
Begründung:
0 1
−1 0
c) Berechnen Sie das Matrizenprodukt
·
.
2 3
1 2
0 1
−1 0
Lösung:
·
=
2 3
1 2
Nebenrechnungen:
7
Aufgabe 6:
a) Definieren Sie den Begriff Diedergruppe und geben Sie die Ordnung dieser Gruppe
an.
b) Eine Figur X ⊂ R2 besitzt 2 Spiegelsymmetrien σa und σb , deren Achsen a und b
sich in einem Winkel von 10◦ schneiden. Beweisen Sie, dass die Figur X mindestens
17 Drehsymmetrien besitzt.
Beweis:
8
Notizen und Nebenrechnungen
Dieses Blatt wird nicht korrigiert.
9