Universität Duisburg-Essen/Campus Essen Abgabe: Donnerstags
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Universität Duisburg-Essen/Campus Essen
Institut für experimentelle Mathematik
Prof. Dr. Dr. h.c. G. Frey
Abgabe: Donnerstags bis 10:00
T03 R03 (Kasten vor D89)
ÜG-Nr. angeben!
6. Übung zur Vorlesung Lineare Algebra I WS 2007/2008
Aufgabe 1:
Es seien die folgenden Vektoren im R6 gegeben.
2
3
−2
2
1
2
1
2
−1 (2)
−1 (3)
0 (4)
3
(1)
a :=
,
a
:=
,
a
:=
,
a
:=
3
0
1
1
−1
1
−1
1
1
−1
0
2
a(5)
:=
−1
2
−2
1
1
−3
(6)
, a :=
5
4
−2
4
−1
0
(7)
, a :=
3
2
−5
3
−2
−2
Bestimmen Sie eine Basis für den durch die a(i) , i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} erzeugten
Unterraum.
Aufgabe 2:
Sei
L : Ax = b
ein lineares System bestehend aus m Gleichungen in n Unbestimmten über R.
Für i = 1, . . . , n sei s(i) das m-Tupel bestehend aus der i-ten Spalte von A,
aufgefasst als Element in V = Rm . Zeigen Sie, dass L genau dann lösbar ist,
wenn gilt:
Rang{s(1) , . . . , s(n) , b} = Rang{s(1) , . . . , s(n) }
.
Aufgabe 3:
Betrachten Sie die Menge der reellen Zahlen R als Q-Vektorraum und zeigen Sie
dass gilt:
DimQ (R) = ∞
Hinweis: Die Zahl π ∈ R lässt sich nicht als Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten schreiben.
Aufgabe 4:
Sei p eine Primzahl und Fp der Körper mit p Elementen.
Es steht Ihnen ein Computer mit beliebig viel Speicher zur Verfügung, auf dem
für die Körperaddition, die Körpermultiplikation und die Körperdivision Algorithmen implementiert sind.
Die Addition benötigt höchstens log2 (p)0.3 µs, die Multiplikation höchstens log2 (p)1.3 µs
und die Division höchstens 5 · log2 (p)1.3 µs. (µs=Mikrosekunde).
Sei
A·x=b
ein lineares Gleichungssystem über Fp mit m Gleichungen und n Unbestimmten.
Geben Sie eine gute obere Abschätzung für die Zeit, die Sie zum Lösen des Systems mit Hilfe Ihres Computers brauchen.
Wie groß dürfen n, m und log2 (p) werden, damit Sie innerhalb Ihrer Regelstudienzeit fertig werden?
