Blatt 5 - Institut für Informatik - Justus-Liebig

Übungen zur Vorlesung
Logik
Institut für Informatik
im Fachbereich Mathematik und
Informatik, Physik, Geographie
Justus-Liebig-Universität Gießen
Sommersemester 2011
20. Mai 2011
Blatt 5
Aufgabe 5.1
Für i ∈ N seien xi Variablen, fi Funktionen und Pi Prädikate. Betrachten Sie
folgende Zeichenketten:
F1 : (P1 (x1 , x2 ) ∧ P2 (f1 (x1 )))
F4 : P1 (¬P2 (x1 , x2 ), f1 (x3 ))
F2 : ∀x1 ∧ x2 : P2 (f1 (x1 ), x2 )
F5 : ∀x1 : ∃x3 : P1 (f2 (x1 , x2 ), f1 (x3 ))
F3 : ∃x1 : ∀x2 : (¬x1 ∨ x2 )
F6 : (∀x1 : P1 (x1 , f1 ()) ∨ ∃x2 : (P2 (x2 ) ∨ P3 (x1 )))
(a) Welche der Zeichenketten sind prädikatenlogische Formeln? Welche Teilformeln gibt es in diesen prädikatenlogischen Formeln? Wo kommen Variablen frei, und wo gebunden vor? Welche der Teilformeln sind geschlossene
Formeln? Welche Matrixformeln gibt es?
(b) Geben Sie zu jeder dieser prädikatenlogischen Formeln eine passende Struktur mit dem Universum U = {a, b, c, d} an und bestimmen Sie jeweils den
Wahrheitswert der Formel in der Struktur.
(c) Gibt es eine Struktur die zu jeder dieser Formeln passt?
Aufgabe 5.2
Es seien ⇒ und ⇔ wie in der Aussagenlogik definiert. Zeigen Sie, dass die
folgenden prädikatenlogischen Formeln allgemein gültig sind.
(a) F7 = ((∃x1 : ∀x2 : P (x1 , x2 )) ⇒ (∀x3 : ∃x4 : P (x4 , x3 )))
(b) F8 = ((¬∀x1 : ∃x2 : P (x1 , x2 )) ⇔ (∃x3 : ∀x4 : ¬P (x3 , x4 )))
Aufgabe 5.3
Beweisen Sie den Ersetzungssatz der Prädikatenlogik: Seien F1 und F2
äquivalente prädikatenlogische Formeln und sei G eine weitere Formel, in der F1
e die Formel, die man erhält, indem man in G
als Teilformel vorkommt. Sei G
e
die Formel F1 durch F2 ersetzt. Dann gilt G ≡ G.