Übungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra II

Übungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra II
Sommersemester 2017, Prof. Dr. B. Fritzsche
- Abgabe am 08.05.2017 vor der Vorlesung
−1
0
3
1
4-1. Im R2 seien die Basen B =
,
und B 0 =
,
gegeben. Berechnen Sie die Über2
1
4
1
gangsmatrix Γ von der Basis B zur Basis B 0 .
Serie 4
4-2. Es seien V und W Vektorräume über dem Körper K mit dimK V < ∞ sowie Φ : V → W eine K-lineare
Abbildung. Weisen Sie folgende Aussagen nach:
(a) RangK Φ ≤ min(dimK V, dimK W ).
(b) Ist U ein K-Vektorraum und Ψ : U → V eine K-lineare Abbildung, so ist die Ungleichung
RangK (ΦΨ) ≤ RangK Φ erfüllt, wobei Gleichheit gilt, falls Ψ surjektiv ist.
(c) Ist Z ein K-Vektorraum und Θ : W → Z eine K-lineare Abbildung, so ist die Ungleichung
RangK (ΘΦ) ≤ RangK Φ erfüllt, wobei Gleichheit gilt, falls Θ injektiv ist.
4-3. Sei n ∈ N mit n ≥ 2. Weisen Sie folgende Aussagen nach:
(a) Vertauscht man in einer Permutation π = (j1 , j2 , . . . , jn ) der Zahlen 1, 2, . . . , n genau zwei Zahlen,
so ändert sich das Vorzeichen der Permutation.
(b) Es gibt genau 21 n! gerade und genau 12 n! ungerade Permutationen der Zahlen 1, 2, . . . , n.
(c) Sei π = (j1 , j2 , . . . , jn ) eine Permutation der Zahlen 1, 2, . . . , n. Für k ∈ Z1,n−1 bezeichne fk die
Anzahl der Elemente k +
1, k +2, . . . , n, die in der Permutation π vor der Zahl k stehen. Dann
n−1
P
kann man durch genau
fk -maliges paarweises Vertauschen von Zahlen in π die natürliche
k=1
Permutation π = (1, 2, . . . , n) erhalten.
4-4. (a) Berechnen Sie folgende Determinanten:


1 3
0 0
det 
1 2
0 1
0
1
π
1
2
4
−1

49 
3

(b) Berechnen Sie für jedes
23


117
i
8
1+i


,
det −2 + 5i 4 − 2i −5  , det  24

 8
1 + 3i
−2i
5
16
cos x − sin x
x ∈ R die Determinante
det
.
sin x cos x
7
0
3
12
−9
8
14
3
1
1
1
0
π
1 1−π

1
4


1 .

3
−2
4-Z. Seien V und W K-Vektorräume sowie Φ : V → W eine lineare Abbildung mit Im Φ 6= {0W }. Weisen Sie
die Gültigkeit folgender Aussagen nach:
(a) Sind t ∈ N und w1 , . . . , wt linear unabhängige Vektoren aus Im Φ sowie v1 , . . . , vt ∈ V beliebig
derart, dass Φ(v1 ) = w1 , . . . , Φ(vt ) = wt gelten, so sind v1 , . . . , vt linear unabängig.
(b) Seien r ∈ N und dimK Im Φ = r sowie w1 , . . . , wr eine Basis von Im Φ. Weiterhin seien q ∈ N und
dimK V = q. Dann gilt q ≥ r.
Seien v1 , ..., vr beliebige Vektoren aus V mit Φ(v1 ) = w1 , ..., Φ(vr ) = wr . Falls q = r gilt, ist
v1 , . . . , vr eine Basis von V . Falls q > r erfüllt ist, gilt dimK Ker Φ = q − r, und für jede Basis
z1 , . . . , zq−r von Ker Φ gilt, dass v1 , . . . , vr , z1 , . . . , zq−r eine Basis von V ist.
(c) Seien r, p, q ∈ N sowie dimK V = q, dimK W = p und dimK Im Φ = r. Dann gibt es eine Basis
B = (v1 , . . . , vq ) von V und eine Basis C = (w1 , . . . , wp ) von W derart, dass die Darstellungsmatrix
ΦB,C die Gestalt

Ir
, falls
r=p=q





(Ir , Or×(q−r) )
, falls
r=p<q



Ir
ΦB,C =
, falls
r=q<p

O(p−r)×r




Ir
Or×(q−r)


, falls r < min(p, q)

O(p−r)×r O(p−r)×(q−r)
besitzt.