Ubungen zur Linearen Algebra 1 Lösungen - IWR Heidelberg

Übungen zur Linearen Algebra 1
Lösungen
Wintersemester 2009/2010
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. D. Vogel
Michael Maier
Lösungen Blatt 0
Aufgabe 1.
A ∩ B = {x ∈ Ω
A ∪ B = {x ∈ Ω
B ∩ C = {x ∈ Ω
A ∩ C = {x ∈ Ω
| x studiert auf
| x studiert auf
| x studiert auf
| x studiert auf
Lehramt und ist noch nicht 22 Jahre alt}
Lehramt oder ist noch nicht 22 Jahre alt}
Lehramt und ist noch nicht 22 Jahre}
Lehramt und ist noch nicht 24 Jahre alt} = C
B \ (B ∩ C) = B \ C =
{x ∈ Ω | x studiert nicht auf Lehramt und ist noch nicht 22 Jahre alt }
C \ (A ∩ B) = C \ (C ∩ A ∩ B) = C \ (C ∩ B) = C \ B =
{x ∈ Ω | x studiert auf Lehramt, ist 22 oder älter und noch nicht 24}
Aufgabe 2.
Für alle reellen Zahlen x gibt es ein m in der Menge M , so dass m kleiner gleich
x ist und jedes n in M , welches kleiner gleich x ist auch kleiner gleich m ist.
Die folgenden Argumente sollten aus der Schule bekannt sein und werden in der
Analysis 1 auf eine saubere Grundlage gestellt werden.
M = Z: Jede reelle Zahl x lässt sich eindeutig in einer Dezimaldarstellung entwickeln
a0 , a1 a2 a3 . . .. Dann gilt für m := a0 ∈ Z, dass m ≤ x und
∀n ∈ Z : n ≤ x ⇒ n ≤ m.
Damit ist die Aussage insgesamt wahr.
M = Q: Diese Aussage ist falsch, denn für ein x ∈ R \ Q lässt sich kein passendes
m ∈ Q finden, da zwischen einer echt reellen und einer rationalen Zahl stets
eine rationale Zahl liegt.
M = R: Für m := x ist die Aussage erfüllt und damit insgesamt wahr.
Für M = Q ist die negierte und damit korrekte Aussage:
∃x ∈ R ∀m ∈ Q : [x < m ∨ (∃n ∈ Q : m < n ≤ x)]
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Aufgabe 3.
Ziel bei dieser Lösung ist unter anderem verschiedene Möglichkeiten aufzuzeigen,
um Relationen anzugeben.
a) M1 := {1, 2, 3} und R1 := {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3)}
Diese Relation ist reflexiv, da (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R1 . Sie ist nicht symmetrisch, denn (2, 3) ∈ R1 aber (3, 2) 6∈ R1 und nicht transitiv, denn
(1, 2), (2, 3) ∈ R1 aber (1, 3) 6∈ R1 .
b) M2 := R und für x, y ∈ R gilt x ∼ y :⇔ x ≤ y, R2 := {(x, y) ∈ M22 | x ∼ y }
Für alle x ∈ R gilt x ≤ x ⇒ reflexiv und für x, y, z ∈ R mit x ≤ y und
y ≤ z folgt, dass x ≤ z und damit die Transitivität. Aber da 2 ≤ 3 ⇔ 2 ∼ 3
und 3 6≤ 2 ⇔ 3 6∼ 2 ist die Relation nicht symmetrisch.
c) M3 := R und für x, y ∈ R gilt x ∼ y :⇔ x < y, R3 := {(x, y) ∈ M32 | x ∼ y }
Für x, y, z ∈ R mit x < y und y < z gilt, dass x < z und damit die
Transitivität. Aber es gilt nicht 1 < 1 und damit folgt 1 6∼ 1 - die Relation
ist also nicht reflexiv. Da 2 < 3 ⇔ 2 ∼ 3 und 3 6< 2 ⇔ 3 6∼ 2 ist die Relation
nicht symmetrisch.
d) M4 := {1, 2, 3} und R4 := {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3)}
Dies ist nicht reflexiv, denn (2, 2) 6∈ R4 , nicht symmetrisch, denn (2, 3) ∈ R4
aber (3, 2) 6∈ R4 und nicht transitiv, denn (1, 2), (2, 3) ∈ R4 aber (1, 3) 6∈ R4 .
Aufgabe 4.
Zu untersuchen ist jeweils, ob die Abbildungsvorschrift für Elemente aus der Urmenge Sinn macht, für jedes Element ein eindeutiges Element liefert und ob dieses
dann in der Bildmenge liegt.
a) Deutschland ist das Land mit den meisten europäischen Nachbarstaaten diese sind Dänemark, Polen, Tschechien, Österreich, die Schweiz, Frankreich, Luxemburg, Belgien und die Niederlande. Also handelt es sich um
keine Abbildung, da der Nachbar von Deutschland nicht eindeutig bestimmt
ist.
b) Da jedes Land in Europa an ein anderes europäisches Land angrenzt und
die Ordnung der Hauptstädte eindeutig ist, handelt es sich bei f2 um eine
Abbildung.
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c) Jedes Land hat eine eindeutig bestimmte Hauptstadt. Da diese jedoch kein
europäisches Land ist, ist dies keine Abbildung.
d) Südlich von Rom liegt kein weiteres europäisches Land. Auch hier handelt
es sich also nicht um eine Abbildung.
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung
”Lineare Algebra 1” finden Sie unter folgendem Link
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/compalg/maier/la1
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