Institut für Physik Theoretische Physik

Institut für Physik
Theoretische Physik
Reinhard Alkofer/Markus Hopfer/Markus Pak
Graz, den 13.12.2013
Übungen zur Vorlesung “Quantenmechanik”
— Blatt 11 —
Aufgabe 29:
Ein Teilchen der Masse m befinde sich in dem kugelsymmetrischen, dreidimensionalen Kastenpotential
(
−V0 für r ≤ a (Bereich I)
V (r) =
0 für r > a (Bereich II)
Bestimmen Sie die Potentialtiefe V0 derart, dass für die Drehimpulsquantenzahl ` gerade noch
ein gebundener Zustand existiert. Führen Sie hierzu folgende Teilaufgaben aus:
a. Lösen Sie die Schrödingergleichung für die Energie E = 0 in den Bereichen I und II.
Verwenden Sie hierzu Kugelkoordinaten und beachten Sie, dass die Wellenfunktion am
Ursprung endlich ist und für große Radien r verschwinden muß.
Hinweis: Machen Sie im Bereich II für die Radialwellenfunktion den Ansatz φ` (r) ∼ rα .
b. Geben Sie die Anschlußbedingungen bei r = a an und stellen Sie so eine Bedingung für
V0 auf. Verwenden Sie hierzu die Rekursionsrelation für die sphärischen Besselfunktionen,
`+1
d
j` (x) = j`−1 (x) −
j` (x) .
dx
x
c. Welcher Wert für V0 ergibt sich in den Fällen ` = 0 bzw. ` = 1 ?
Aufgabe 30:
Die Zustandsvektoren
3/2
1
x
y
z
2
2
√
φ0 =
e−~r /2b ; φx = √ φ0 ; φy = √ φ0 ; φz = √ φ0
b π
2b
2b
2b
p
mit b = h̄/mω sind normierte Eigenvektoren des Hamiltonoperators (dreidimensionaler harmonischer Oszillator)
p~ 2
mω 2
H=
+
~r
2m
2
zu den Eigenwerten 32 h̄ω, 52 h̄ω, 25 h̄ω, 52 h̄ω.
a. Zeigen Sie, dass diese Eigenvektoren zueinander orthogonal sind.
b. Der dreidimensionale harmonische Oszillator befinde sich im Zustand
3/2
y
z
x
1
2
2
√
e−~r /2b (c0 + c1 √ + c2 √ + c3 √ )
ψ(~r) =
b π
2b
2b
2b
wobei die Koeffizienten ci komplexe Zahlen sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
die Energie 25 h̄ω zu messen? Welcher Zustandsvektor beschreibt das System nach einer
solchen Messung?
√
~ 2 mit l = 0 ist, und dass ϕ±1 = (φx ± iφy )/ 2
c. Verifizieren Sie, dass φ0 Eigenfunktion zu L
sowie ϕ0 = φz die Eigenfunktionen zu l = 1 mit m = ±1, 0 sind.