Übungsblätter zur Mathematischen Statistik

Übungsblätter
zur
Mathematischen Statistik
WS 2010/ 2011
Institut für Statistik und Decision Support Systems
Universität Wien
October 25, 2010
1
1
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
1
2
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Ziele:
•
Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsmaÿ, Verteilungsfunktion und Dichte verstehen.
•
Kenntnis wichtiger Verteilungen aus den 2 praktisch bedeutsamen Klassen der atomaren und
atomfreien Maÿe.
•
Rechnen mit erzeugenden Funktionen.
•
Verteilung von transformierten Zufallsvariablen. Wichtiger Spezialfall: Faltungen.
1.1 Wiederholung lineare Algebra
1.1
Bestimmen Sie den Rang folgenden Vektorsystems



2
2
 
a1 =  ,
0


3
2
 
a3 =  ,
1
3

1
0
 
a4 =  .
1
2
1
Bestimmen Sie den Rang folgender Matrizen!
(a)
1.3


4
2
 
a2 =  ,
2
1
1.2
{a1 , a2 , a3 , a4 }
1
2
3
0
!
1
2
(b)

!
2
4
(c)
1

0
0
2
−1
0

3

3
3
Eine Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spaltenvektoren orthogonal sind. Ist die Länge der Spaltenvektoren gleich 1, so heiÿt die Matrix orthonormal.
Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen orthogonal bzw. orthonormal sind!

(a)
1
2
 √
A =  21 3
0
1.4
√
− 12 3
1
2
0

0

0
1
√
√1
13
(b)
B=
(b)
1
B=
5
3
−2
!
2
3
(c)
C=
3
 √2
 2
 √4
2
4
− 12
√
6
4
√
6
4
0
√
(a)
2 10
2 10
(c)
1
C = 0
1
2
−1
1
0
1
1
1.2 Satz von Bayes
1.5

2
2 
√
2
2
−
Berechnen Sie die Determinante!
1
A=
5

Multiplikationssatz. Zeige, bzw. unter welchen Voraussetzungen gilt
P [A1 ∩ A2 . . . An ] = P [A1 ] · P [A2 | A1 ] · P [A3 | A1 ∩ A2 ] · . . . P [An | A1 ∩ A2 ∩ . . . An−1 ]?
1
1.6
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
Bi
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Sei
und
P [∪j Bj ] = 1).
3
ein vollständiges Ereignissystem (ie.
P [Bi ∩ Bj ] = 0
Zeige, dass
P [A] =
X
P [A| Bi ] P [Bi ]
i
und
X
P [A| C] =
P [A| Bi ∩ C] P [Bi |C] .
i
1.7
Satz von Bayes. Sei
Bi
ein vollständiges Ereignissystem. Zeige, dass
P [A| Bi0 ] · P [Bi0 ]
P [Bi0 | A] = P
i P [A| Bi ] P [Bi ]
und
P
P [A| C] =
1.8
i
P [A| Bi ∩ C] P [C| Bi ] P [Bi ]
P
.
i P [C| Bi ] P [Bi ]
Von einem zuverlässigen Test zur TBC Diagnose weiÿ man, dass dieser Test in 94 von 100 Fällen negativ
ausfällt, falls die Testperson nicht TBC hat und in 96 von 100 Fällen positiv ausfällt, falls die Terstperson
an TBC erkrankt ist. Aus Erfahrung weiÿ man, dass im Durchschnitt von 250 Personen, die sich einer
Reihenuntersuchung unterziehen, eine Person tatsächlich TBC hat. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass eine Person in Wirklichkeit TBC hat, wenn bei ihr dieser Test positiv ausgefallen ist?
Ist das Ergebnis verblüend? Interpretieren Sie es!
1.9
John visits the doctor claiming some discomfort. The doctor is led to believe that he may have some
disease A. He then takes some standard procedures for this case: he examines John, carefully observes
the symptoms and prescribes routine laboratory examinations.
Let
θ
be the unknown quantity of interest, indicating whether John has disease A or not. The doctor
assumes that
P (θ = 1|H) = 0.7. H
(history) in this case contains the information John gave him and
all other relevant knowledge he has obtained from former patients. To improve the evidence about the
illness, the doctor asks John to undertake an
Examination
X
is related to
θ
independent examination.
and provides an uncertain result of the positive negative type with the
following probability distribution:
(
P (X = 1|θ = 0) = 0.40 (test positive, provided non-disease
P (X = 1|θ = 1) = 0.95 (test positive, provided disease A)
Suppose that John goes through the examination and that his result is
A)
X = 1.
1.What should the doctor infer about John's disease?
2.The doctor decides to ask John to undertake a second more ecient but also more expensive test
Y
with the following probability distribution:
(
P (Y = 1|θ = 0) = 0.04
P (Y = 1|θ = 1) = 0.99
What result can the doctor predict for the second test?
3.The observed result of the second test is
1.10
Let
X?
θ ∼ N µ, τ 2
and
X|θ ∼ N θ, σ 2
Y = 0.
with
σ2
What should the doctor infer about John's disease?
known. What is the posterior distribution of
θ,
given
1
1.11
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
4
Two physicists, A and B want to determine the value of a physical constant. Physicist A, having a long
experience in the area, species his prior as
2
more uncertain prior θ ∼ N 800, 80 .
θ ∼ N 900, 202
. On the other side, physicist B stated a
θ, denoted by X ,
X = 850 is observed.
Both physicists agree to make an evaluation of
using a calibrated device with sampling distribution
1.What do the physicists infer about
X|θ ∼ N θ|40
2
. The value
θ?
2.Interpret the result.
1.12
Let
Xi |θ, i = 1, ..., n
be bernoulli trials with parameter
θ ∈ [0, 1].
Find a conjugate family of prior
distributions for the joint sampling density.
1.13
Prove that the class of
1.14
Let
L1 (δ, θ) = (δ − θ)
Γ
2
distributions is closed under multiplication.
be the loss associated with the estimation of
θ
by
δ.
Show that
δ = E (θ)
minimizes the bayesian risk.
1.3 Maÿe, Verteilungen, Dichten
1.15
Was ist
•ein
1.16
Wahrscheinlichkeitsraum (Ereignismenge, sample space),
•eine
Zufallsvariable (state space),
•eine
Statistik,
•ein
Maÿ (measure),
•ein
Atom ,
1
•eine
Verteilungsfunktion (cumulative distribution function, cdf ),
•eine
Dichte (probability density function, pdf )?
Es sei
F
f
die Verteilungsfunktion und
ˆ
die Dichtefunktion von
X.
Zeigen Sie durch partielle Integration
1
g F −1 (p) dp
ˆ0
ˆ
ˆ
0
= g (x) dF (x) = g (x) F (x) dx = g (x) f (x) dx
ˆ ∞
= g (a) +
g 0 (x) (1 − F (x)) dx falls P [g (X) ≥ g (a)] = 1
E [g (X)] =
ˆ
a
b
g 0 (x) F (x) dx
= g (b) −
falls
P [g (X) ≤ g (b)] = 1.
−∞
1.17
X
eine Zufallsgröÿe mit Verteilungsfunktion


0
F (x) = x2


1
Kann man
1ω ∈ Ω
für
für
für
x≤0
0≤x≤1
x > 1.
zwei verschiedene Dichten nden, die zur obigen Verteilungsfunktion gehören?
mit
P [{ω}] > 0
1
1.18
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
5
Haben die folgenden Zufallsvariablen atomare oder atomfreie Maÿe? (oder weder noch)?
(a) Poissonverteilung mit Parameter
θ > 0:
P (X = x) = e−θ
(b) Exponentialverteilung mit Parameter
θx
x!
x = 0, 1, 2, . . .
θ:
(
P (X ≤ x) =
1 − e−(x−θ)
0
x ≥ θ,
x < θ.
(c) Die Verteilung
1
P (X ≤ x) = x2 1(0, 1 ) (x) + 1( 1 ,2) (x) + 1[2,∞) (x) ,
2
2 2
wobei
(d) Sei
1
die Indikatorfunktion bezeichnet. (Hinweis: Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion.)
0<p<1
und
n ∈ N.
P (X ≤ x) =
X n
i
i≤x
1.19
pi (1 − p)n−i .
(+) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz zur Verteilungsfunktion aus letztem Beispiel,
c). (Zur Lösung braucht man die Zerlegung von Verteilungen in Atome und atomfreien Teil.)
1.20
Ernden Sie je zwei atomare und atomfreie Maÿe. (Wenn möglich, nicht einfach Standardverteilungen
der Statistik wählen!)
1.21
Man bestimme die Konstante
•f (x) = Cx3 e−x
4
für
p−1 −bxp
•f (x) = Cx
•f (x) =
•f (x) =
1.22
,
so, dass
f (x)
eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird:
x ≥ 0.
x ≥ 0, b > 0, p > 0.
Weibull-Verteilung
e−x
C (1+e
−x )2 ,
1
C 1+x
2.
Ein zufälliger Punkt
(−1, −1).
1.23
e
C
Logistische Verteilung
Cauchy-Verteilung
(X, Y )
ist gleichverteilt auf dem Quadrat mit Eckpunkten
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse
√
2
2 ,
(a)
X2 + Y 2 <
(b)
3X − Y > 0,
(c)
|X + Y | < 1/2.
Eine Dichtefunktion ist gegeben durch
(
c(x2 + 2y)
f (x, y) =
0
für
0 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 1
sonst.
•Berechne
die Konstante
•Berechne
die Randverteilung von
•Berechne
die gemeinsame Verteilungsfunktion von
•Berechne
die Dichtefunktion der Zufallsvariablen
c.
X.
X
und
Y.
Z = 3/(X + 1)2 .
(1, 1), (1, −1), (−1, 1),
1
1.24
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
Eine Dichtefunktion sei gegeben durch
f (x, y) =
1.25
6
c(x3 + 2xy)
0
0 ≤ x, y ≤ 2,
sonst.
•Berechne
die Konstante
•Berechne
die Randverteilung von
•Berechne
die gemeinsame Verteilungsfunktion von
•Berechne
den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz von
c.
X.
X
und
Y.
Y
wenn
X = 1.
P (X 2 < Y < X) falls X und Y
(
x/2,
0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 4,
f (x, y) =
0
sonst
Berechne die Wahrscheinlichkeit
als gemeinsame Dichte haben.
1
28 (4x1 +3x2 ), 0 < x1 <
Sie den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz von X2 gegeben
1.26
Die gemeinsame Dichte von
1.27
Gegeben
X1
und
X2
X1 und X2 sei f (x1 , x2 ) =
2, 0 < x2 < 2.
X1 = x1 .
Berechnen
mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
(x1 , x2 )
p(x1 , x2 )
(0, 0)
(0, 1)
(1, 0)
(1, 1)
(2, 0)
(2, 1)
2
18
2
18
2
18
5
18
4
18
3
18
Berechnen Sie die Randverteilungen und die bedingten Erwartungswerte!
1.28
Die (zufällige) Lebensdauer eines Geräts sei durch
X > x0
an der Stelle
x0
X
gegeben.
Die bedingte Dichte von
(a) Berechnen Sie die Hazardfunktion für
X
mit der Dichte
f
und der Verteilungsfunktion
(b) Wie lautet die Hazardfunktion der Exponentialverteilung?
Berechne
1.29
gegeben
(Dichte
F.
f (x) = 3e−3x , x ≥ 0.)
P (X > 3|X > 1).
f (x1 |x2 ) = c1 x1 /x22 , 0 < x1 < x2 , 0 < x2 < 1, Null sonst, und f2 (x2 ) = c2 x42 , 0 < x2 < 1,
sonst, die bedingte Dichte von X1 gegeben X2 und die Randdichte von X2 .
Seien
(a) Bestimmen Sie
c1
und
(c) Berechnen Sie
Betrachte die Maÿe
Null
c2 .
(b) Wie lautet die gemeinsame Dichte von
1.30
X
nennt man Hazardfunktion.
X1
und
P (1/4 < X1 < 1/2|X2 = 5/8)
X2 ?
und
P (1/4 < X1 < 1/2).
P1 , P2 , P3 die jeweils die Standardnormalverteilung, die Gleichverteilung auf [0, 1]
[0, 1/2] beschreiben. Sei weiters P4 das zur Poissonverteilung mit λ = 1
und die Gleichverteilung auf
gehörige Maÿ.
Betrachte jeweils eines der angegebenen Maÿe und bestimme welche der Maÿe
P1 , . . . , P 4
und welche singulär (weder/noch ist auch möglich!) bezüglich des betrachteten Maÿes ist.
absolutstetig
1
1.31
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
(Gestutzte Verteilung.) Angenommen
X
7
N (µ, σ 2 )
ist normal
(a) Berechne die bedingte Verteilungsfunktion von
X,
verteilt.
gegeben
a ≤ X ≤ b. (a
und
b
sind beliebige
Konstanten.)
(b) Ermittle aus der bedingten Verteilungsfunktion die bedingte Dichtefunktion von
X,
gegeben
a ≤ X ≤ b.
(c) Berechne den bedingten Erwartungswert von
X,
gegeben
0 ≤ X ≤ 1.
(d) Berechne den bedingten Erwartungswert von
X,
gegeben
X ≥ 0.
X
Löse Aufgabe 1.31 falls
1.33
Für einen nicht fairen Würfel seien die Wahrscheinlichkeiten 1, 2, 3, 4 oder 5 zu würfeln jeweils
Die zufällige Variable
•Deniere
•Zeichne
•Sei λ
•Ist
1/7.
für dieses Beispiel den Wahrscheinlichkeitsraum.
X.
das Lebesgue Maÿ auf
R.
Was ist richtig:
µ λ,
λ µ?
Erklärung!
mittels der erzeugenden Funktion Erwartungswert und Varianz.
die Familie aller oenen Mengen von
•Sei A
ist.
gebe die Augenzahl an.
die Verteilungsfunktion von
•Berechne
1.34
X
gleichverteilt auf
[−2, 2]
1.32
eine
eine
R
σ -Algebra?
σ -Algebra und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ auf A.
A, B ∈ A und A ⊂ B dann gilt µ(A) ≤ µ(B)
Zeige: Wenn
1.35
Eine zufällige Variable
X
sei gleichverteilt im Intervall
(a) Bestimme Verteilungsfunktion und Dichte von
[0, 2].
X
und berechne anschlieÿend Erwartungswert
und Varianz.
(b) Sei
1.36
Y := X 2 ,
berechne die Dichte der zufälligen Variable
Berechne Mittelwert und Standardabweichung der folgenden Verteilung:
F (x) =



Hinweis: Skizziere zuvor
1.37
Y.
Sei die zufällige Variable
µ
0
1+x2
4
−x
1−e
x ≤ 0,
0 < x ≤ 1,
x > 1.
F (x).
X
und Standardabweichung
standardnormalverteilt, und die Variable
σ.
Seien
(a) Zeige die Äquivalenz von
(b) Berechne die Dichte von
PX
PX
PX
und
und
PY
Y
normalverteilt mit Mittelwert
die Maÿe der entsprechenden Verteilungen auf
PY .
bezüglich
PY
und die Dichte von
PY
bezüglich
PX .
R.
1
1.38
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
Seien
X
und
Y
8
unabhängige zufällige Variable, jeweils mit Dichte
f (s) =
s ≤ 0,
s > 0.
0
e−s
(a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichte der Variable
(b) Berechne den Erwartungswert von
1.39
X
Es sei
eine
N (0, 1)
= −g(x))
lim g(x) = ∞
1.40
g
g :R→R
eine stetige streng monoton wachsende
mit
lim g(x) = −∞ .
x→∞
Bestimmen Sie die durch
p
Y /X .
Z.
verteilte Zufallsvariable und
schiefsymmetrische Funktion (g(−x)
Z :=
x→−∞
erzeugte Gruppenfamilie.
Γ-Funktion, die durch
ˆ ∞
Γ(x) =
ux−1 e−u du
Man beweise folgende Eigenschaften der
0
gegeben ist:
(a)
Γ(x) = (x − 1)Γ(x)
für
(b)
Γ(n) = (n − 1)!
√
Γ(1/2) = π .
n ∈ N.
(c)
für
x > 1.
Hinweis: Dichte der Normalverteilung.
1.41
Seien
X1
und
X2
unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen, mit Dichte
(
f (x) =
Zeigen Sie, dass
Y1 = X1 + X2
und
Y2 =
e−x
0
x ≥ 0,
sonst.
X1
X1 +X2 unabhängig sind.
Hinweis: Berechnen Sie die gemeinsame Dichte von
dichten.
für
Y1
und
Y2 ,
sowie die beiden zugehörigen Rand-
Beim Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems ist es mitunter sinnvoll, Gleichungen zu
manipulieren anstatt zu addieren.
1.42
Bestimmen Sie Mittelwert und Varianz einer Zufallsvariablen
X
mit Verteilungsfunktion
2
F (x) = x1(0,1/2) (x) + 1[1/2,2) (x) + 1[2,∞) (x) ,
3
wobei
1
die Indikatorfunktion bezeichnet.
(1)
1
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
9
1.4 Erzeugende Funktionen
1.43
X
Sei
eine diskrete Zufallsvariable mit
pk = P(X = k), k = 0, 1, 2, . . .
∞
P
und
pk = 1.
k=0
(a) Zeigen Sie, dass
∞
P
G(s) =
pk sk
(erzeugende Funktion) für
|s| ≤ 1
existiert (d.h. endlich ist).
k=0
(b) Wie hängen die Momente von
X
mit den höheren Ableitungen von
G an der Stelle 1 zusammen?
P 0 (1) =? P 00 (1) =?
G, sowie Erwartungswert
pk = p(1 − p)k , k = 0, 1, 2, . . ..
(c) Berechnen Sie die erzeugende Funktion
metrische Verteilung:
(d) Berechnen Sie die Varianz der Poisson-Verteilung mit Parameter
pk = e−λ
und Varianz für die geo-
λ:
λk
, k = 0, 1, 2, . . .
k!
mittels der erzeugenden Funktion.
(e) Zeigen Sie für unabhängige Poisson-verteilte Zufallsgröÿen mit Parametern
λ
und
µ:
X ∼ P (λ), Y ∼ P (µ) ⇒ X + Y ∼ P (λ + µ) .
1.5 Transformation von Zufallsvariablen
1.44
X
1.45
Angenommen
sei gleichverteilt auf
von
X
π π
−2, 2 .
log(X − a)
Man bestimme die Dichte von
sei normalverteilt mit Mittel
µ
Y = tan X .
und Varianz
σ2 .
Zeigen Sie, dass die Dichte
gegeben ist durch:
(
f (x) =
1 √
e−
σ(x−a) 2π
[log(x−a)−µ]2
2σ 2
0
x > a,
x ≤ a.
1.46
1
f (x) = π(1+x
2 ) die Dichte von Zufallsvariablen X1
(X1 , X2 unabhängig).
1.47
Unter den Angaben der letzten Aufgabe: Berechne die Dichte von
1.48
Zeigen Sie, dass für
Es sei
M
und
X2 .
Man nde die Dichte von
Sr =
r
X
Zk /
k=1
M
X
Zj ,
=Z
X1 − X2 .
unabhängige, Exp(λ)-verteilte Zufallsvariablen
Variablen
X1 +X2
2
Z1 , . . . , Z M
die transformierten
r = 1, . . . , M − 1
j=1
eine Dichte der folgenden Form besitzen:
g(s1 , s2 , . . . , sM −1 ) = (M − 1)!
0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . ≤ sM −1 ≤ 1
V1 = Z1 , V2 = Z1 + Z2 , . . . ,
VM = Z1 + . . . + ZM , führen Sie dann eine zusätzliche Zufallsvarible SM = VM ein und bestimmen
g(s1 , . . . , sM −1 ) durch Herausintegrieren von SM aus der gemeinsamen Dichte von S1 , . . . , SM .
für
Hinweis: Betrachten Sie zunächst die Zufallsvariablen
Sie
1
1.49
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
(Transformationssatz für Dichten) Bezeichne
von
Y := g (Z).
fg(Z) (y) = fZ g
Zeige, dass
NB: In höheren Dimensionen ist
1.50
0
die Dichte der Zufallsvariablen
Z
bzw.
fg(Z)
die Jakobimatrix und
|.|
die Determinante.
auf dem Intervall (0, 1). Zeigen Sie, dass
√U und V unabhängig gleichverteilt
√
−2 ln U · cos(2πV ) und Y = −2 ln U · sin(2πV ) unabhängig standardnormalverteilt
sind.
Eine Alternative zu Aufgabe 1.50, die approximativ standard-normalverteilte Zufallszahlen liefert, funktioniert folgendermaÿen:
Erzeuge 12 Zufallszahlen
Ui ,
die gleichverteilt auf
(0, 1)
sind. Berechne dann
X=
P12
i=1
Ui − 6.
•Begründen
Sie, warum
•Begründen
Sie warum die obige Methode im Vergleich zu dem obigen Beispiel schlecht ist.
X
approximativ normalverteilt ist!
•Untersuchen Sie, wie gut (oder schlecht) die Approximation ist, indem sie die ersten
EX , EX 2 , EX 3 und EX 4 mit jenen der Standardnormalverteilung vergleichen.
1.52
die Dichte
0
(y) g −1 (y).
Seien
X=
1.51
g −1
fZ
−1
10
vier Momente
n-dimensionale Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Mittelwertsvektor µ und Varianz-KovarianzΣ. Berechnen Sie die Dichte von Y = CX + d, wobei C eine nichtsinguläre [n × n] Matrix ist.
Die
Matrix
Welche Verteilung hat
Y,
wenn
X
hat und
C
die transponierte Matrix der normierten Eigenvektoren von
Σ
unabhängige standardnormalverteilte Komponenten
Xi
orthogonal ist?
Welche Kovarianzmatrix hat
Y,
wenn
C
ist?
1.53
X
sei zentral
fallsvariablen
Hinweis:
χ2 (n)-verteilt
Y X
F =m
/n.
fχ2 (n) (x) =
fχ2λ (m) (y)
1.54
Seien
X1
und
X2
und
Y
sei nichtzentral
χ2λ (m)-verteilt.
Berechnen Sie die Dichte der Zu-
1
xn/2−1 e−x/2
2n/2 Γ(n/2)
∞
k
P
2
e−λ/2 (λ/2)
k! f(χm+2k ) (y)
k=0
=
χ2 (2)verteilt.
Y1 = 21 (X1 − X2 ).
von X1 und X2 siehe
unabhängig
Bestimmen Sie die Dichte von
Hinweis: Für die Dichten
Zufallsvariable
von
1.55
Y1
Seien
und
Y2 .
Y2
Seien
Y1
als Randdichte der gemeinsamen Verteilung
Beachten Sie die Integrationsgrenzen!
X1 , . . . , Xn
welche Dichte hat
1.56
den Hinweis zu Bsp. 1.53. Führen Sie eine geeignete
ein und berechnen Sie die Dichte von
X1 , . . . , Xn
[0, 1] gleichverteilte
Y = max(X1 , . . . , Xn )?
unabhängige auf
unabhängige auf
[0, 1]
Zufallsgröÿen. Welche Verteilungsfunktion und
gleichverteilte Zufallsgröÿen.
(a) Welche Verteilungsfunktion und welche Dichte hat
(b) Wogegen konvergiert
n
λ V in Verteilung, wenn
V = min(X1 , . . . , Xn )?
n → ∞?
1
1.57
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
Gegeben seien zwei Zufallsgröÿen
X
und
Y
11
mit gemeinsamer Dichte
√
5 − 1 (x2 −√3xy+2y2 )
e 2
,
4π
f (x, y) =
Ermittle die Korrelation zwischen
X
und
−∞ < x, y < ∞.
Y!
Hinweis: Welche bekannte bivariate Verteilung hat
(X, Y )?
1.6 Konvergenz von Zufallsfolgen
1.58
Zeigen Sie, dass die unten angeführten Folgen von Zufallsgröÿen zwar in Wahrscheinlichkeit, aber nicht
fast sicher konvergieren.
(a) Die Folge von unabhängigen Zufallsgröÿen
1−
(b) Sei
Pn
Ω = [0, 1], rn = ( i=1 1i )mod1
P
und
(
1
Xn (ω) =
0
1.59
1.60
1.61
Betrachte die zufälligen Variablen
mit
P (Xn = 1) =
1
n und
P (Xn = 0) =
das LebesgueMaÿ.
auf
[rn , min(rn + 1/n, 1)],
sonst.
Xn = 2 + 1/n
und
(a) Konvergiert
Xn
in Verteilung gegen
(b) Konvergiert
Xn
fast sicher gegen
(c) Konvergiert
Xn
in Wahrscheinlichkeit gegen
X = 2.
Diskutiere die folgenden beiden Fragen:
X?
X?
X?
Diskutiere die folgenden beiden Fragen:
(a) Konvergiert
Xn
in Verteilung gegen
(b) Konvergiert
Xn
fast sicher gegen
(c) Konvergiert
Xn
in Wahrscheinlichkeit gegen
(Stichprobenmittel) Die Zufallsvariable
Seien
Xi
(a)
(b)
1.62
X1 , X2 , . . .
1
n.
X ) unabhängig und
E X̄n = E [X],
Var X̄n = n1 Var [X] = O
(und
(Stichprobenvarianz) Die Statistik
Wie oben seien
(a)
(b)
X , Xi
X?
X?
X̄n :=
1
n
Pn
X?
i=1
Xi
heiÿt
Stichprobenmittel.
identisch verteilt, und zeige
1
n
Sn2 :=
1
n−1
Pn
i=1
Xi − X̄n
2
heiÿt
(korrigierte) Stichprobenvarianz.
unabhängig und identisch verteilt. Zeige
E Sn2 = Var [X],
Var Sn2 = n1 µ4 −
n−3 4
n−1 σ
=O
1
n , wobei
h
i
4
µ4 = E (X − E [X])
und
h
i
2
σ 2 = E (X − EX) .
1
1.63
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
N µ, σ 2
Zeigen Sie für
12
verteilte Zufallsvariablen:
•X̄n und Sn2 sind unabhängig,
Pn Xj −µ 2
• j=1
∼ χ2n , wobei fχ2 (x|n) =
σ
2
•X̄n ∼ N µ, σn ,
n
x
x 2 −1 e− 2
n
2 2 Γ( n
2)
χ2 -Verteilung
mit n Freiheitsgraden
2
2
• n−1
σ 2 Sn ∼ χn−1 ,
√ n
• n X̄
S 2 ∼ tn−1 ,
wobei
n
Γ( n+1
2 )
√
nπΓ( n
2)
ft (x|n) =
1+
x2
n
− n+1
2
Student's t-Verteilung mit n
Freiheitsgraden
1.64
Es seien
X1 . . . Xn ∼ N (µX , σX )
•F :=
und
p
und
unabhängige Zufallstichproben, dann hat
SX /σY
SY /σY
Fisher F-Verteilung
eine Fisher-Snedecor-Verteilung mit
mit
Y1 . . . Yn ∼ N (µY , σY )
q
(n − 1)
(m − 1)
und
Freiheitsgraden. Die Dichte der F-Verteilung
Freiheitsgraden ist
fF (x|p, q) =
Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert
χ2 -Verteilung
Γ
p+q
2
Γ p2 Γ
EFp,q =
1.65
Zeigen Sie, dass die
1.66
(Stichprobenkorrelationskoezient) Die Statistik
p2
p
q
q
2
p
x 2 −1
.
p+q
2
p
1 + xq
q
1
q−2 gilt. Weiters, dass Fp,q
∼ Fq,p
gilt.
eine Gamma-Verteilung ist. (vgl. Bsp. 4.20)
(n)
RX,Y :=
1
n−1
Pn
Xi −X̄n )(Yi −Ȳn )
√i=12 (
√
Sn (X)·
2 (Y )
Sn
heiÿt Stichprobenkor-
relationskoefzient. Zeigen Sie:
h
i
(n)
•E RX,Y = 0,
h
i
(n)
•Var RX,Y =
•Für X , Y
1
n−1 ,
normalverteilt ist
√
(n)
n − 2q
RX,Y
(n)2
1−RX,Y
∼ tn−2 .
1.67
Berechnen Sie Mittelwert und Varianz (Standardabweichung) der
1.68
(Die Formeln von Wald) Es seien
•Xi , N
•Xi
vollständig unabhängig und quadratisch integrierbar,
(und
X
) identisch verteilt und
•P [N ∈ N] = 1.
Deniere die Zufallsvariable
Z := X1 + X2 + . . . XN
•E [Z] = E [X] · E [N ],
2
•Var [Z] = Var [X] · E [N ] + E [X] · Var [N ].
und zeige
χ2n -Verteilung
und der
tn -Verteilung.
2
1.69
1.70
BINÄRE EXPERIMENTE
13
Zeigen Sie für die iid Ordnungsstatistik
•Die
Verteilungsfunktion ist
•Die
Dichte ist
X(0) ≤ X(1) ≤ . . . X(n) :
Pn
FX(k) (z) = P X(k) ≤ z = j=k
k
fX(k) (z) = F (z) · f (x) · (1 − F (z))
n−k
n+1
j+1
j+1
F (z)
n−j
· (1 − F (z))
,
.
(n)
Pn
1
i=1 1(−∞,x) (Xi ) heiÿt empirische Verteilungsfunktion
n
(der Ordnung n) von X . Unter recht allgemeinen Voraussetzungen gilt
(Satz von Kolmogorov). Die Funktion
FX :=
h√
i
2
(n)
n supx∈R FX (x) − FX (x) ≤ z = 1 − e−2z bzw.
i
h√
P∞
2 2
(n)
k
•limn→∞ P n supx∈R FX (x) − FX (x) ≤ z = 1 + 2 k=1 (−1) e−2k z .
•limn→∞ P
Interpretieren Sie die Aussage und geben Sie die Quantile für
α =90
%, 95 %, 99 %, 99,5 % und 99,9 %
an. Bringen Sie die empirische Verteilungsfunktion ferner mit den Ordnungsstatistiken in Verbindung.
2
Binäre Experimente
Ziele:
•
Einen sinnvollen Stichprobenraum zu einem statistischen Problem nennen können.
•
Randomisierte Testfunktionen beschreiben und erklären können.
•
Welche Bedeutung hat die Randomisierung in Theorie und Praxis?
•
Berechnung des Fehlers erster und zweiter Art und der Güte in einfacheren Beispielen. Wahl der
Randomisierung, sodass ein bestimmter Fehler erster Art erzelt wird.
2.1
Geben sie jeweils einen sinnvollen Stichprobenraum zu den unten angeführten Testproblemen an. Welche
σ Algebren
könnte man auf den Stichprobenräumen dann wählen?
(a) Eine Münze wird 5 mal geworfen. Die Nullhypothese, dass Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich
sind, soll getestet werden.
(b) Um zu testen ob die mittlere Lebensdauer von Bildröhren mindestens 10000 Stunden beträgt
wird die Lebensdauer von 20 Testbildröhren gemessen.
2.2
Betrachten Sie die Nullhypothese aus Beispiel 2.1 a) und die Alternative, dass der Anteil von Kopf (p) gleich
0.7
ist. Wie lauten die Verteilungen
P
und
Q
zu diesem binären Experiment?
Finden Sie einen (gegebenenfalls randomisierten) Test für den die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1.
Art
2.3
0.05
ist.
In einer Urne benden sich Lose einer Lotterie auf denen die Namen der Teilnehmer(innen) vermerkt
sind. Wir wollen testen, ob der Anteil der Männer, die Lose einsenden, gleich dem Anteil der Frauen ist,
oder ob der Männeranteil (wie bei einer vergleichbaren ausländischen Lotterie)
0.4 beträgt.
Dazu werden
8 Lose (ohne Zurücklegen) gezogen und notiert wie viele davon von Männern stammen.
die notierte Anzahl mit
P
und
Q
von
T
T
bezeichnen.
Formulieren Sie
H0
und
H1
Wir wollen
als unterschiedliche Verteilungen
und konstruieren Sie dann einen (gegebenenfalls randomisierten) Test für den die
Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art 5% beträgt. Welchen Fehler 2. Art hat dieser Test?
2
2.4
BINÄRE EXPERIMENTE
14
Ein Würfel wird dreimal geworfen. Die Ergebnisse werden mit
X1 , X2 , X3
bezeichnet. Wir betrachten
zwei Hypothesen über die Verteilung der Würfelergebnisse:
P : P ({1}) = · · · = P ({6}) =
Q : Q({1}) = · · · = Q({5}) =
Wir wollen
H0 : P ⊗3
gegen
H1 : Q⊗3
1
6
4
, Q({6}) = 1/5
25
testen und betrachten dazu die Zufallsgröÿe
N (X1 , X2 , X3 )
die
die Anzahl der gewürfelten sechsen angibt.
Berechnen Sie für die folgenden Testfunktionen jeweils den Fehler erster Art und den Fehler zweiter Art.
(a)
(
1
Φ1 (X1 , X2 , X3 ) =
0
falls
N (X1 , X2 , X3 ) = 1
sonst.
(b)
Φ1 (X1 , X2 , X3 ) =


1
falls
49
 75
falls

0
N (X1 , X2 , X3 ) = 3
N (X1 , X2 , X3 ) = 2
sonst.
(c)
(
1
Φ1 (X1 , X2 , X3 ) =
0
falls
N (X1 , X2 , X3 ) = 3
sonst.
(d)
Φ1 (X1 , X2 , X3 ) =

1

8
1
5

2.5
0
falls
falls
N (X1 , X2 , X3 ) = 6
N (X1 , X2 , X3 ) = 6, X3 6= 6
sonst.
Eine Münze wird 5 mal geworfen. Die Nullhypothese, dass Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich sind, soll
getestet werden. Finden Sei einen (gegebenenfalls randomisierten) Test, für den die Wahrscheinlichkeit
eines Fehlers 1. Art 10 % ist
2.1 Neyman-Pearson Tests
Ziel: Optimale Tests bei gegebenem Fehler erster Art für binäre Experimente angeben können.
2.6
Von einer Gattung der Familie der Asteracae wachsen auf den Inseln der Ägäis zwei nahe verwandte
Arten, die sich in der Länge des Blütenstiels und der Anzahl der Haare auf den Blättern unterscheiden.
Die Unterscheidung zwischen den Arten wird aber durch die individuelle Variation innerhalb der Art
µA,1 = 9.4
σ12 = 5.5 cm2 .
erschwert: Die Länge der Blütenstiele ist normalverteilt, wobei bei Art A
µB,1 = 10.2
cm beträgt. Die Varianz beträgt bei beiden Arten
Die Anzahl der Haare auf einer Blattäche von
A ist
µA,2 = 48
während bei Art B
µB,2 = 61
1 cm2
cm und bei Art B
ist ebenfalls (annähernd) normalverteilt: Bei Art
beträgt. In beiden Fällen ist
σ22 = 34.
Weiters kann man
annehmen, dass die Merkmale Blütenstiellänge und Haarzahl voneinander unabhängig sind.
2
BINÄRE EXPERIMENTE
15
Biologen wollen nun testen, ob auf einer noch nicht untersuchten Insel Art A oder Art B vorkommt.
(Aus Erfahrung ist bekannt, dass niemals beide Arten gleichzeitig auf einer Insel vorkommen, da Art A
genetisch vitaler ist und Art B verdrängen würde.)
Da auf den meisten benachbarten Inseln Art A vorkommt, wird als Nullhypothese Art A kommt vor
gewählt. Wie entscheidet der optimale Test zum Niveau
α = 0.05, wenn auf der betreenden Insel bei
9.7 cm und eine mittlere Anzahl von 36
30 gesammelten Individuen eine mittlere Blütenstiellänge von
Haaren beobachtet wurde?
2.7
X1 , . . . , Xn
seien unabhängige
N (µ, σ 2 )
verteilte Zufallsgröÿen. Finden Sie den optimalen Test zu den
Hypothesen:
H0 : σ 2 = σ02
H1 : σ 2 = σ12
(σ12 > σ02 )
2.8
Es sei
X
2.9
≤ x ≤ 1).
2.10
[0, 1]
[0, 1] oder einer Dreiecksg(x) = 4x für 0 ≤ x ≤ 21 , g(x) = 4 − 4x für
α = 0.05 auf Grund einer Beobachtung.
verteilt ist (Dreiecksverteilung:
Man konstruiere den besten Test für
(Nachtrag zu Kapitel 1.3). Angenommen
Dichte
1 −x/λ
λe
x, λ > 0.
X1 , . . . , XP
n sind unabhängig und exponentialverteilt mit
n
i=1 Xi ? (Welchen Namen hat diese Dichte?)
der
Welche Dichte hat dann
F (x; λ) = λ1 e−x/λ , 0 < x < ∞. Basierend auf einer Zufallsstichprobe
vom Umfang 2 soll die einfache Hypothese H0 : λ = 1 gegen die einfache Alternativhypothese H1 : λ =
3/2 getestet werden. Der kritische Bereich des Tests ϕ sei (x1 , x2 ) : 5.5 ≤ x1 + x2 < ∞.
Die Dichte der Zufallsvariablen sei
(a) Bestimmen Sie Fehler erster und zweiter Art des Tests
(b) Bestimmen sie die Gütefunktion des Tests
ϕ
ϕ
unverfälscht?
(d) Sei
α
die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art für
α
für die Hypothese
H0 : λ ≤ 1
ϕ
mit obigem kritischen Bereich.
mit obigem kritischen Bereich.
(c) Ist
Niveau
2.11
)
ist bekannt.
eine Zufallsvariable, die entweder nach einer Gleichverteilung in
verteilung in
1
2
(µ
ϕ.
Ist
ϕ
ein gleichmäÿig bester Test zum
gegen die Alternativhypothese
H1 : λ > 1?
Von einer archäologischen Ausgrabung soll das Alter bestimmt werden; es existieren 2 Expertenmein-
H1 : Alter 6.000 Jahre. Durch die Messung der Radioaktivität soll
H0 zutrit, ist die Anzahl der pro Minute emittierten Teilchen nach
1
Poisson mit λ =
2 verteilt, unter H1 nach Poisson mit λ = 3/2. Man berechne die Fehler 1. und 2.
Art für den Test, bei dem für H0 entschieden wird, falls weniger als 1 Teilchen pro Minute gezählt wird.
Wie lange muÿ man zählen, damit die Wahrscheinlichkeit H1 fälschlicherweise abzulehnen, kleiner als
0.005 ist?
(Hinweis: zählt man n Minuten, gilt unter H0 : λ = n/2, unter H1 : λ = 3n/2).
ungen:
H0 :
Alter 5.000 Jahre und
das Alter festgelegt werden. Falls
2.12
X1 , . . . , Xn
seien unabhängig mit der Dichte
I[0,1] (x)
1
I[θ,θ+2] (x)
2
(unter
(unter
(a) Geben Sie einen optimalen (randomisierten)
(b) Wie sieht
h(α) =
(c) Angenommen
´
ϕα dQ
α = 0.025.
Tests 1 beträgt?
H0 )
und
H1 ) (θ = 1/8) .
α-Niveau
Test an.
aus? Zeichnen Sie die Funktion für
Wie groÿ muÿ
n
α ∈ [0, 1]
und
n = 3!
mindestens gewählt werden, damit die Macht des
2
2.13
BINÄRE EXPERIMENTE
Es seien
X1 , . . . , Xn
16
unabhängige exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Dichte
1 −x/λ
e
λ
x, λ > 0.
(a) Man bestimme den trennscharfen Test für die Hypothese
H1 : λ = λ 1
falls
λ1 < λ0
2.14
0.95
wenn die
sein soll.
Sei P die Gleichverteilung auf (−2, 2) (Dichte f (x)) und Q die Standardnormalverteilung N (0, 1) (Dichte
g(x)). Man möchte testen, ob X nach P oder nach Q verteilt ist.
H0 : P
(a) Wie lautet der Neyman-Pearson Test für
X
(b) Für welche Werte von
gegen
H1 : Q?
X1 , . . . , Xn
α
die Nullhy-
α = 0.01?
g(x)
f (x) und markiere den Wertebereich von
= 0.05 die Nullhypothese annimmt.
X
(c) Zeichne den Dichtequotienten
Pearson Test zum Niveau
α = 0.05
nimmt der Neyman-Pearson Test zum Niveau
pothese an? Für welche Werte zum Niveau
2.15
gegen die Alternative
α = 0.05, λ1 = 500, λ0 = 700,
(b) Bestimmen Sie den kleinsten Stichprobenumfang bei
Macht mindestens
H0 : λ = λ0
α = 0.01.
und
für den der Neyman-
N (µ, σ 2 ) verteilte Zufallsgröÿen.
Hypothesen: H0 : µ = µ0 (Dichte f ,)
H1 : µ = µ1 (Dichte g )
2
(σ ist bekannt, µ1 > µ0 ).
seien unabhängige
Wir betrachten die
(a) Zeigen Sie, dass für den Likelihood-Quotienten gilt:
g(x1 , . . . , xn )
= exp
f (x1 , . . . , xn )
n
µ1 − µ0 X
µ21 − µ20
x
−
n
i
σ2
2σ 2
i=1
(b) Für welche Werte des Likelihood-Quotienten lehnt ein bester
(c) Berechnen Sie die die eziente Randfunktion für
ϕα
!
.
α-Niveau
Test
ϕα
ab?
aus b):
ˆ
h(α) =
Verizieren Sie, dass
(d) Wie groÿ muÿ man
h0 (α)
n
ϕα dQ.
gleich dem kritischen Wert für den Likelihood Quotienten ist.
wählen, um bei
α = 0, 05
eine Güte
h(α) = 0, 95
zu erhalten?
(Hinweis: Den ersten Teil der Lösung kann man dem Skriptum Bsp. 2.16 entnehmen.)
2.16
Angenommen eine Messung
X
dardnormalverteilt ist (Dichte
soll vorgenommen werden, von der man glaubt, dass sie entweder stan-
f (x)),
oder die Dichte
(a) Wie lautet der Neyman-Pearson Test zu
(b) Finde alle Werte von
−d ≤ X ≤ d
α
g(x) =
H0 : X ∼ f
1
2
exp(−|x|)
gegen
hat.
H1 : X ∼ g .
für die der Annahmebereich die Form hat: Entscheide für
und bestimme
d
als Funktion von
α.
H0 ,
falls
2
2.17
BINÄRE EXPERIMENTE
17
Betrachte nun zu obigem Beispiel zwei (unabhängige) Beobachtungen mit den entsprechenden Verteilun-
H0
gen unter
(i
= 1, 2)
und
H1 ,
f
aber mit unbekanntem Mittelwert. Man kann das so formalisieren: Anstatt
mit Dichte
oder
g
beobachten wir die Zufallsvariablen
(a) Welche möglichen Verteilungen hat dann
(Y1 , Y2 )
Yi = Xi + µ,
H0
unter
wobei
und welche unter
µ
Xi
unbekannt ist.
H1 ?
Bezeichnen
wir die beiden Mengen der möglichen Verteilungen (oder Wahrscheinlichkeitsmaÿe) mit
P0
und
P1 .
(b) Finde eine Gruppe von Transformationen, bezüglich der
P0
und
P1
invariant sind und formuliere
das invariante Testproblem.
(c) Ist obiges Testproblem ein Strukturmodell?
(d) Finde eine maximalinvariante Statistik
hat
T
T
zur Transformationsgruppe aus b). Welche Bedeutung
bei der Konstruktion des gleichmäÿig besten invarianten Tests?
(e) Finde den gleichmäÿig besten invarianten Test.
2.18
Betrachte einen Test
Wenn
2.19
ϕ
ϕ
für
H0 : P
gegen
H1 : Q
mit Fehler erster Art
ein bester Test (Skriptum Def. 2.8) ist, dann gilt
Angenommem wir wollen einen schlechtesten Test für
Test
ϕ∗
schlechtesten Test, falls es keinen Test
ˆ
ψ
α
und Fehler 2. Art
β.
Zeige:
α + β ≤ 1.
H0 : P
gegen
H1 : Q
nden. Wir nennen einen
gibt mit
ˆ
ϕ∗ dP ≤
ψ dP,
ˆ
ˆ
ϕ∗ dQ >
und
ψ dQ.
(Vergl. mit der Def. 2.8 aus dem Skriptum für beste Tests.)
Zeige: Wenn
Niveau
2.20
ϕ
ein bester Test zum Niveau
1−α
ist, dann ist
ϕ∗ = 1 − ϕ
ein schlechtester Test zum
α.
(a) Wie lautet der schlechteste Test in 2.8? (Siehe Bsp. 2.19.) Zeichne die eziente Randfunktion
h(α) =
´
Funktion
ϕα dQ für´ den besten Test zum Niveau α aus Beispiel 2.8. Zeichne dann eine analoge
h∗ (α) = ϕ∗α dQ für die schlechtesten Tests ein und markiere den Bereich, der durch
beide Kurven begrenzt wird.
(b) Welche Tests im markierten Bereich aus a) sind beste Tests?
(α, β) im markierten Bereich kann man einen Test mit Fehler erster Art α und
1 − β konstruieren. Finde ein Konstruktionsverfahren für solche Tests! Wie
n wählen, um bei α = 0, 05 eine Güte h(α) = 0, 95 zu erhalten?
(c) Zu jedem Punkt
Fehler zweiter Art
groÿ muÿ man
(Hinweis: Den ersten Teil der Lösung kann man dem Skriptum Bsp. 2.16 entnehmen.)
g(x) = 3x2 (0 ≤ x ≤ 1)
2.21
Löse Aufgabe 2.20, wenn die Alternative die Dichte
hat.
2.22
Manchmal ist die Hypothese von Interesse, dass Erwartungswert und Varianz von normalverteilten
Zufallsgröÿen in einem bestimmten Zusammenhang stehen. Wir betrachten daher Hypothesen der Form,
X1 , . . . , Xn für ein bestimmtes a nach N (µ = θ, σ 2 = aθ) verteilt sind.
dass θ > 0.)
dass
X1 , . . . , Xn
Xi ∼ N (θ, 2θ))?
(a) Wie lautet der beste Test beruhend auf den Beobachtungen
H0 : a = 1
(also
Xi ∼ N (θ, θ))
gegen
H1 : a = 2
(also
(b) Angenommen die betrachteten Verteilungen sind von der Form
analog zu a) den besten Test für
H0 : a = 1
gegen
(Natürlich setzen wir voraus,
H1 : a = 2.
zu den Hypothesen
N (µ = θ, σ 2 = aθ2 ).
Berechne
2
2.23
BINÄRE EXPERIMENTE
X1 , X2
H1 : θ = 1/8 zu
18
Angenommen
sind unabhängig und gleichverteilt auf dem Intervall
gegen
testen betrachten wir zwei Tests:
(
1
ϕ1 (X1 ) =
0
(
1
ϕ2 (X1 , X2 ) =
0
C
X1 + X2 > C
sonst.
(b) Beweise oder widerlege: Bei
ϕ2
ist der Fehler zweiter Art kleiner als bei
ϕ1 .
(Mit der Konstanten
aus (a).)
(c) Können Sie einen besseren Test als
2.24
falls
den gleichen Fehler erster Art haben.
C
H0 : θ = 0
sonst.
ϕ2
sodass,
Um
X1 > 0.95
und
(a) Berechne
ϕ1
falls
(θ, θ + 1).
Angenommen
X hat die
Y = X 2θ
Zufallsvariablen
Dichtefunktion
ϕ2
nden? (Mit gleichem oder kleinerem Fehler erster Art.)
f (x) = 1
für
0 ≤ x ≤ 1
und
f (x) = 0
sonst.
Von der
liegt eine Beobachtung vor.
α = 0.1
(a) Finde den besten Test zum Niveau
für
H0 : θ = 1
gegen
H1 : θ = 2
aufgrund dieser
Beobachtung.
(b) Berechne den Fehler zweiter Art für diesen Test.
2.25
Es wäre ein Miÿbrauch von Tests zum Niveau
α, wenn man α so wählt (nachdem man die Daten gesehen
hat), dass die Nullhypothese auf jeden Fall abgelehnt (oder angenommen) wird. Um zu sehen was die
wahren Fehler erster und zweiter Art bei so einer Vorgehensweise sind, berechne
α−
und
β−
Fehler für
folgende triviale Tests:
(a) Lehne
H0
(Äquivalent zur Praxis
α
so zu
(äquivalent zur Praxis
α
so zu
N (µ, θ)-verteilten Population entnommen. Konstruiere
H0 : θ = 1 gegen die Alternative H1 : θ = 2.
einen
immer ab, egal welche Daten beobachtet wurden.
wählen, dass eine Ablehnung erzwungen wird.)
(b) Nimm
H0
immer an, egal welche Daten beobachtet wurden.
wählen, dass eine Annahme erzwungen wird.)
2.26
Eine Stichprobe
X1 , . . . , Xn
optimalen Test zum Niveau
2.27
wird einer
α = 0.05
für
Von einer Population kennt man die Dichtefunktion
f (x, θ) =
wobei
θ > 0.
Basierend auf einer Stichprobe
(a) Konstruiere einen kritischen Bereich
θxθ−1
0
X1 , X2
G
x ∈ [0, 1],
sonst,
wollen wir
zum Niveau
H0 : θ = 2
0.05
gegen
H1 : θ = 3
testen.
mit maximaler Power.
Hinweis: Der kritische Bereich besteht aus all jenen Ereignissen, die unter der Nullhypothese
abgelehnt werden. Die Gleichung
k 2 (1 − 2 log(k)) = 0.95
hat die näherungsweise Lösung
k = 0.84.
(b) Berechne unter obigen Bedingungen die Güte der Alternative.
3
2.28
EINFACHE ALTERNATIVEN
19
Eine Zufallsgröÿe sei exponentialverteilt
(
f (x, θ) =
und
X1 , . . . , XN zufällige Stichproben.
H1 : θ = 2.
1 −x
θ
θe
x≥0
0
sonst
Finde den optimalen Test zu den Hypothesen
H0 : θ = 1
gegen
die Alternative
Hinweis: Mit Hilfe der Faltung berechnet man als ersten Schritt leicht die Dichte von
leicht als nächsten Schritt die Dichte von
2.29
Eine Zufallsvariable sei binomialverteilt
X1 + X2 + X3
und dann verallgemeinert für
B(n, θ).
(a) Konstruiere einen gleichmäÿig optimalen Test zum Niveau
gegen die Alternative
X1 + X2 , ebenso
X1 + · · · + XN .
α
für die Hypothese
H0 : θ ∈ [0, θ0 ]
H1 : θ ∈ (θ0 , 1].
(b) Führe folgendes Experiment durch: Wirf eine Münze mindestens 20 mal und notiere jeweils den
Ausgang (Kopf oder Zahl). Teste zum Niveau
und
α = 0.05
obige Hypothesen für
θ0 = 0.4, θ0 = 0.5
θ0 = 0.6.
2.2 Bayes Tests
2.30
Bei welchen Verlusten für die fälschliche Ablehnung von
H0
und
H1
ist der der Test aus 2.10 ein Bayes-
Test?
2.31
Bestimmen Sie den Bayes-Test zu Beispiel 2.8 für
jeweils Fehler 1.
Art und Fehler 2.
Art.
λ = 1, λ = 0.4
und
λ = 0.5
und berechnen Sie
Interpretieren Sie den Zusammenhang zwischen
λ
und den
resultierenden Fehlern erster und zweiter Art!
Für welchen Wert von
λ
hat der Bayes-Test aus 2.8 einen Fehler 1. Art von 5%? Wie groÿ ist dann der
Fehler 2.Art?
2.32
Löse Beispiel 2.31 für das Testproblem aus 2.14.
3
Einfache Alternativen
(Skriptum, Kapitel 3.) Ziele: Erkennen der Struktur des Testproblems als Optimierungsproblem unter
Nebenbedingungen.
Bei endlichem Stichprobenraum ist das auftretende Problem mit Methoden der
linearen Programmierung lösbar.
3.1
0 und 1. Wir betrachten drei VerteilungP1 (1) = 0.6, P2 (1) = 0.2 und Q(1) = 0.5. Wir wollen zum Niveau
Beobachtung) die Hypothese H0 : P1 oder P2 gegen H1 : Q testen.
Ein Zufallsexperiment liefert die zwei möglichen Ergebnisse
shypothesen
α = 0.1
P1 , P2
und
(aufgrund einer
Q,
wobei
(a) Wie lautet das lineare Programm mit dem man den optimalen Test bestimmen kann?
(b) Bestimme den optimalen Test!
3.2
Löse Beispiel 3.1 falls
P1 (1) = 0.3, P2 (1) = 0.4
und
Q(1) = 0.6.
4
3.3
ZUSAMMENGESETZTE ALTERNATIVEN
20
Betrachten Sie folgende Testprobleme für eine Binomialverteilung
H0 :
H1a : p =
1
8
1
1
≤p<
4
2
zum Niveau
α:
1
3
<p≤ ,
2
4
oder
H1b : p =
bzw.
B(1, p)
7
8
bzw.
H1c : p =
1
.
2
(a) Wie lauten die linearen Programme für die 3 Testprobleme?
(b) Ermittlen Sie graphisch den jeweils besten Test.
αNiveau Tests gegen H1a und H1b auch
H 0 1a : p ∈ [0, 1/4) bzw. H 0 1b : p ∈ (3/4, 1] sind.
(c) Verizieren Sie, dass die besten
αNiveau
Tests gegen
(d) Finden Sie die zu
H1a
bis
H1c
gleichmäÿig beste
gehörigen ungünstigsten a-priori Verteilungen. (I.e. die Lösungen
der dualen Optimierungsaufgabe.)
4
Zusammengesetzte Alternativen
4.1 Begrie
Ziel: Begrie üben: Test zum Niveau
4.1
unverfälscht, zulässig.
Unter den Annahmen von Beispiel 2.23 aber für die Hypothesen
(a) Prüfe ob
4.2
α,
ϕ1
und
ϕ2
(mit C aus 2.23) Tests zum Niveau
(b) Sind
ϕ1
und
ϕ2
unverfälschte Tests zum Niveau
(c) Sind
ϕ1
und
ϕ2
zulässige Tests?
H0 : θ ≤ 0
α = 0.05
gegen
H1 : θ > 0:
sind!
α = 0.05?
Pθ mit Pθ ({1}) = · · · = Pθ ({5}) = θ, (Pθ ({6}) = 1 − 5θ) und dazu die
H0 : θ = 1/6, H1 : 1/10 < θ < 1/6. Betrachte nochmals die Tests ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 aus Beispiel
Gegeben die Verteilungen
Hypothesen
2.4.
(a) Prüfe ob
(b) Sind
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3
ϕ1 , ϕ2
und
ϕ3
Tests zum Niveau
α = 0.05
sind!
unverfälschte Tests zum Niveau
α = 0.05?
(c) Sind die Tests zulässig zu Ihrem jeweiligen Niveau?
4.3
Führe nochmals das Münzwurfexperiment von Bsp 5b des 2.
Übungsblattes durch, teste nun jedoch
zweiseitig, ob die Münze fair ist.
4.4
Eine Stichprobe
X1 , . . . , Xn
wird einer
N (µ, σ 2 )-verteilten
Population entnommen, wobei die Varianz
bekannt sei.
(a) Konstruiere einen gleichmäÿig besten einseitigen Test zum Niveau
die Alternative
α = 0.1
(b) Konstruiere einen gleichmäÿig besten unverfälschten Test zum Niveau
µ=1
für
H0 : µ ≤ 0
gegen
H1 : µ > 0.
gegen die Alternative
µ 6= 1.
α = 0.1 für die Hypothese
4
4.5
ZUSAMMENGESETZTE ALTERNATIVEN
21
Eine Zufallsgröÿe sei Poisson verteilt
f (x, θ) :=
X1 , . . . , XN
H0 : θ < 4 gegen
und
Hinweis:
seien zufällige Stichproben.
die Alternative
θx −θ
e
x ∈ N,
x!
Finde den gleichmäÿig besten Test zu den Hypothesen
H1 : θ ≥ 4.
Beachte, dass die Summe unabhängiger Poissonverteilter Zufallsgröÿen wiederum Poisson
verteilt ist (zu welchem Parameter?).
4.6
Eine Stichprobe 0.2, 2.6, 1.1, -0.1, -1.3, 0.4, 1.7, 0.6 entstamme einer
N (µ, σ 2 )-verteilten
(a) Wie lautet der gleichmäÿig beste einseitigen Test zum Niveau
H1 : µ > 0.
die Alternative
Wie lautet die Teststatistik?
α = 0.05
für
Population.
H0 : µ ≤ 0
gegen
Wird die Nullhypothese für die
vorliegenden Daten beigehalten?
(b) Führe den zweiseitigen Test für die Hypothese
µ=0
(a) Teste für die Stichprobe aus Beispiel 1 die Hypothese
4.7
1.
µ 6= 0
durch.
H0 : σ ≤ 1 gegen die Alternative H1 : σ >
(Wie lautet der beste unverfälschte Test)?
(b) Welche Power hat der Test gegen die Alternative
4.8
gegen die Alternative
H2 : σ = 2?
Betrachte die Stichprobe aus Beispiel 1 und eine zweite Stichprobe 0.8, -1.2, -1.8, 0.6, 0.1, -0.3. Wir
nehmen an beide Stichproben entstammen einer normalverteilten Population.
(a) Teste auf Gleichheit der beiden Mittelwerte.
(b) Teste auf Gleichheit der Varianzen.
(c) Angenommen es ist bekannt, dass beide Verteilungen den Mittelwert
µ=0
haben. Wie sieht
nun der Test auf Gleichheit der Varianzen aus?
Bemerkung:
Es genügt zum Testen auf Gleichheit der Varianz die in der Vorlesung besprochene
Methode der Bestimmung des Ablehnungsbereichs zu wählen (Herleitung des besten unverfälschten
Testes ist zu schwierig).
4.2 Familien mit monotonem Dichtequotienten
4.9
4.10
Sind die Tests aus Beispiel 2.22 auch gleichmäÿig beste Tests für
Sei
fθ (x) =
e(x−θ)
1 + e(x−θ)
2 ,
−∞ < x < ∞,
H0 : a = 1
gegen
H1 : a > 1?
−∞ < θ < ∞,
die Dichte einer logistischen Verteilung.
(a) Zeige: Die durch die Dichten
fθ (x)
denierte Verteilungsfamilie hat monotonen Dichtequotien-
ten.
(b) Wie lautet der beste
Beobachtung
X .)
α-Niveau
Test für
H0 : θ = 0
gegen
Wie groÿ ist der Fehler zweiter Art, wenn
(c) Zeige: Der Test aus b) ist auch gleichmäÿig bester
H1 : θ = 1?
α = 0.2 ist?
(Basierend auf einer
α-Niveau Test für H0 : θ ≤ 0 gegen H1 : θ > 0.
4
4.11
ZUSAMMENGESETZTE ALTERNATIVEN
Gegeben eine Beobachtung
X
22
von einer Cauchy-Verteilung mit Dichte
1
1
,
π 1 + (x − θ)2
θ ∈ R.
(a) Hat obige Verteilungsfamilie monotonen Dichtequotienten?
(b) Zeige, dass der Test
(
1
ϕ(x) =
0
ein bester Test für
H0 : θ = 0
gegen
H1 : θ = 1
falls
1 < x < 3,
sonst.
zu seinem Niveau ist. Welchen Fehler erster und
zweiter Art hat dieser Test?
(c) Ist der Test aus b) ein gleichmäÿig bester Test für
4.12
gegen
H1 : θ > 0 ?
Gegeben die Cauchy-Skalenverteilungsfamilie mit Dichten
θ
1
,
π θ 2 + x2
und dazu eine Beobachtung
x).
4.13
H0 : θ ≤ 0
X.
Zeige: Die Verteilungsfamile hat keinen monotonen Dichtequotienten (in
Betrachte jetzt die Verteilungen von
Seien
X1 , . . . , Xn
θ ∈ R.
|X|.
Hat diese Verteilungsfamilie monotonen Dichtequotienten?
[0, θ].
H0 : θ = θ0 gegen H1 : θ 6= θ0 .
Testprobleme H0 : θ = θ0 , H1 : θ > θ0 und H0 : θ = θ0 , H1 : θ < θ0 .
eine Stichprobe gleichverteilter Zufallsgröÿen auf
Finden Sie den gleichmäÿig besten Test für
Hinweis: Betrachte zunächst die
Vergleichen Sie die resultierenden optimalen Teststatistiken.
4.14
Sei
X
eine Zufallsvariable mit stetiger streng monotoner Verteilungsfunktion
Welche Verteilung hat
4.15
Seien
X1 , . . . , Xn
F (x)
und sei
Y = F (X).
Y?
1 −(x−µ)/λ
für x ≥ µ.
λe
µ0 gegen H1 : µ 6= µ0 (λ ist bekannt).
unabhängig und exponentialverteilt mit der Dichte
H0 : µ =
Ui = F (Xi )
Bestimmen Sie den gleichmäÿig besten Test für
Hinweis: Verwenden Sie, dass nach Bsp. 4.14
gleichverteilt ist. Dann kann man Bsp. 4.13
verwenden.
4.16
Sei
α die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art für ϕ aus Beispiel 2.10. Ist ϕ ein gleichmäÿig bester Test
α für die Hypothese H0 : λ ≤ 1 gegen die Alternativhypothese H1 : λ > 1? (Begründung!)
zum Niveau
4.17
X1 , X2 , . . . , X8 mit Wahrscheinlichkeitsf (x, θ) = θx (1 − θ)1−x , für x ∈ {0, 1}, null sonst. Wir betrachten die Hypothesen H0 : θ = 1/3
und H1 : θ < 1/3. Berechne die Gütefunktion G(θ) des Tests, der H0 genau dann ablehnt, falls
P8
i=1 Xi ≤ 1 ist.
P
Hinweis: Die Xi sind Bernoulliverteilt. Welche gutbekannte Verteilung hat
Xi ?
Gegeben eine (unabhängige) Zufallsstichprobe der Gröÿe 8:
funktion
4.18
X1 , X2 , . . . , X5 mit Wahrscheinlichkeitsfunkf (x, θ) = θx (1 − θ)1−x , für x ∈ {0, 1}, null sonst. Wir betrachten die Hypothesen H0 : θ = 1/2,
H1 : θ < 1/2 und den Test, der
P5
P5
H0 genau dann ablehnt, falls i=1 Xi ≤ c ist. c ist eine Konstante. ( i=1 Xi ist binomialverteilt.)
Gegeben eine (unabhängige) Zufallsstichprobe der Gröÿe 5
tion
(a) Zeige: Der oben beschriebene Test ist ein gleichmäÿig bester Test.
(b) Finde das Signikanzniveau
α,
falls
c = 1.
(c) Finde das Signikanzniveau
α,
falls
c = 0.
(d) Randomisiere den obigen Test so, dass
α = 1/10.
4
4.19
ZUSAMMENGESETZTE ALTERNATIVEN
23
X1 , . . . , X4 mit Dichte 1/θ, 0 < x < θ, null sonst. Wir
H0 : θ = 2 und H1 : θ 6= 2. Berechne die Gütefunktion G(θ) des Tests, der
falls max1≤i≤4 Xi kleiner gleich 3/4 oder gröÿer 2 ist.
Gegeben eine (unabhängige) Zufallsstichprobe
betrachten die Hypothesen
H0
genau dann ablehnt,
4.3 Exponentialfamilien
Ziel:
Bekannte Verteilungsfamilien als Exponentialfamilien identizieren.
familien in der Statistik wichtig?
Warum sind Exponential-
(Welche (für das Ableiten optimaler Tests) günstige Eigenschaften
haben Sie?) (VO Abschnitt 4.2.)
4.20
Bezüglich welcher (natürlicher) Parameter sind die folgenden Verteilungsfamilien bei festen anderen
Parametern Exponentialfamilien?
•fΓ (x|α, β) =
αβ
β−1 −αx
e
;
Γ(β) x
(x > 0; α > 0, β ≥ 1)
•fExp (x|µ, λ) = λ1 e−(x−µ)/λ ;
•fE (x|λ, n) =
Γ-Verteilung
(x > µ, λ > 0)
Exponential-Verteilung
(λx)n−1
−λx
(n−1)! λe
Erlang-Verteilung
Γ(α+β) α−1
•fB (x|α, β) = Γ(α)Γ(β)
x
(1 − x)β−1 ;
(0 ≤ x ≤ 1, α ≥ 1, β ≥ 1)
n x
•f (x|θ) =
θ (1 − θ)n−x ;
x ∈ N0 , 0 < θ < 1
k
•f (x|α, γ) =
4.21
4.22
Binomial-Verteilung
(x > γ)
Pareto-Verteilung
Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen Erlang und Exponentialverteilung her.
Bildet das Produkt von
ianz
σ2
n Normalverteilungsdichten mit bekanntem Mittelwert µ0
und unbekannter Var-
eine Exponentialfamilie? Wie lautet der zugehörige natürliche Parameter
Statistik
4.23
α γ α+1
γ (x)
Beta-Verteilung
θ
und die zugehörige
T (x)?
Die Gammaverteilung hat die Dichte
fΓ (x|α, β) =
Zeige dass sowohl für
α
als auch für
β
andere Parameter festgehalten wird.
zugehörige Teststatistik
αβ β−1 −αx
x
e
;
Γ(β)
x > 0; α > 0, β ≥ 1.
eine einparametrige Exponentialfamilie vorliegt, wenn der jeweils
Wie lautet der entsprechende natürliche Parameter
θ
sowie die
T (x).
Zeige explizit, dass ein monotoner Dichtequotient vorliegt.
4.4 Beste unverfälschte Tests
4.24
Ist der Test aus 2.10 unverfälscht?
4.25
Tn /σ 2
sei
χ2 verteilt
mit
n
Freiheitsgraden. Finden Sie für die Hypothesen
H0 : σ 2 = 1 ,
H1 : σ 2 6= 1
αNiveau Test (α = 0.1). Wie groÿ muÿ n sein damit die Macht gleichzeitig
σ 2 ≤ 1/2 mindestens 0.9 beträgt? Könnte man n kleiner wählen, wenn wir auch nicht
Tests zum Niveau α betrachten?
den besten unverfälschten
für
σ 2 ≥ 3/2
unverfälschte
und
5
4.26
LINEARE MODELLE
24
Gegeben unabgängige Beobachtungen
X1 , . . . , Xn
N (µ0 , σ 2 )
verteilt nach
wobei
µ0
bekannt sei. Finde
den gleichmäÿig besten unverfälschten Test zu
H0 : σ 2 = 2 ,
H1 : σ 2 6= 2
für
4.27
α = 0.05
und
n = 12.
Zeigen Sie:
Jeder gleichmäÿig beste unverfälschte Test zum Niveau
4.28
ist zulässig.
1
1
4 gegen H1 : p 6= 4
testen. Bestimme den Annahmebereich des gleichmäÿig besten unverfälschten Tests im Falle n = 12
Wir wollen aufgrund einer binomialverteilten Zufallsgröÿe die Hypothesen
und
4.29
α
H0 : p =
α = 0.05.
Bei einem Versuch wurden 15 Realisierungen unabhängiger Poissonverteilter Zufallsgröÿen (mit Parameter
λ)
ermittelt. Man möchter
H0 : λ = 0.6 gegen H1 : λ 6= 0.6 testen. Lehnt der UMPU (gleichmäÿig
P
α = 0.05 ab, falls die Summe der 15 Realisierungen
xi = 3
beste unverfälschte) Test zum Niveau
beträgt?
(Hinweis: Die Summe Poissonverteilter Zufallsgröÿen ist wieder Poissonverteilt.
welchem neuen Parameter
5
(Aber mit
λ?))
Lineare Modelle
Skriptum: Kapitel 4.
5.1 Invariante Tests
Ziele: Begrie verstehen: Invariante Testprobleme und Statistiken, Strukturmodell, maximalinvariante
Statistiken.
Rolle von maximalinvarianten Statistiken zur Konstruktion bester invarianter Tests.
5.1
Wir betrachten nochmals Aufgabe 2.16 haben jetzt aber zwei (unabhängige) Beobachtungen mit Verteilung aus 2.16 aber mit unbekanntem Mittelwert. Man kann das so formalisieren: Anstatt
beobachten mit Dichte
f
oder
g
beobachten wir die Zufallsvariablen
Yi = Xi + µ,
wobei
Xi (i = 1, 2)
µ unbekannt
ist.
(a) Welche möglichen Verteilungen hat dann
(Y1 , Y2 )
unter
H0
und welche unter
H1 ?
Bezeichnen
wir die beiden Mengen der möglichen Verteilungen (oder Wahrscheinlichkeitsmaÿe) mit
P0
und
P1 .
(b) Finde eine Gruppe von Transformationen, bezüglich der
P0
und
P1
invariant sind und formuliere
das invariante Testproblem.
(c) Ist obiges Testproblem ein Strukturmodell?
(d) Finde eine maximalinvariante Statistik
hat
5.2
T
T
zur Transformationsgruppe aus b). Welche Bedeutung
bei der Konstruktion des gleichmäÿig besten invarianten Tests?
Löse Beispiel 5.1 für den Fall, dass der Mittelwert der Beobachtungen bekannt ist (o.B.d.A null) aber
die Varianz unbekannt. Man kann das analog so formalisieren: Anstatt
Zufallsvariablen
Yi = σXi ,
wobei
σ
unbekannt ist.
Xi (i = 1, 2) beobachten wir die
5
5.3
LINEARE MODELLE
25
Löse Beispiel 5.1 für den Fall, dass
mit Dichte
g(x) =
X1
und
X2
entweder standardnormalverteilt sind oder Cauchyverteilt
1 1
π 1+x2 .
5.4
Finde den gleichmäÿig besten invarianten Test zu Beispiel 5.1 (mit Fehler erster Art
α = 0.05)!
5.5
Finde den gleichmäÿig besten invarianten Test zu Beispiel 5.3 (mit Fehler erster Art
α = 0.01)!
5.6
Finde den gleichmäÿig besten invarianten Test zu Beispiel 5.3, aber mit
f
als Dichte der doppelten
Exponentialverteilung (und nicht als Dichte der Standardnormalverteilung). Wähle den Fehler erster
Art
5.7
α = 0.01!
Erklären Sie in eigenen Worten: Welche Eigenschaft ergibt sich aus dem Satz von Hunt-Stein (Skriptum
Satz 4.16) für die in 5.4 und 5.5 abgeleiteten Tests?
5.8
Man betrachte die Gruppe aller Transformationen
πσ [(x1 , . . . , xn )] = (σx1 , . . . , σxn )
auf der Stichprobe
(x1 , . . . , xn ).
Eine Statistik
T (x1 , . . . , xn )
heiÿt invariant bezüglich
π,
falls
T (π[x1 , . . . , xn ]) = T (x1 , . . . , xn ).
(a) Ist
(
( xx12 , . . . , xxn1 )
T (x1 , . . . , xn ) =
(0, . . . , 0)
für
für
x1 =
6 0,
x1 = 0
invariant?
1
(b) Ist
Pn
T (x1 , . . . , xn ) = √n1
n
5.9
i=1
Pn
xi
i=1
x2i
invariant?
Zeige, dass die Menge aller Permutationen
πs [(x1 , . . . , xn )] = (xs(1) , . . . , xs(n) )
(s : bijektiv {1, . . . , n} → {1, . . . , n})
eine Gruppe bildet.
5.10
Man betrachte die Rangstatistik
(x1 , . . . , xn )
T (x1 , . . . , xn ) = (r1 , . . . , rn ) (ri = j
falls
xi
das
ist. Gleiche Elemente bekommen den gleichen Rang.)
(a) Man betrachte die Gruppe aller Transformationen
πF [(x1 , . . . , xn )] = (F (x1 ), . . . , F (xn )) .
Dabei sei
F
eine beliebige streng monoton wachsende Funktion
Ist
T
bezügliche dieser Gruppe invariant?
(b) Ist
T
bezüglich der Gruppe aller Permutationen
πs [(x1 , . . . , xn )] = (xs(1) , . . . , xs(n) )
R → R.
invariant?
(s : bijektiv {1, . . . , n} → {1, . . . , n})
j kleinste Element von
5
5.11
LINEARE MODELLE
26
Man betrachte die Statistik
T (x1 , . . . , xn ) = x(n) − x(1)
(Spannweite)
(a) Ist
T
bezüglich der Gruppe aller Permutationen invariant? (siehe Bsp. 5.10)
(b) Ist
T
bezüglich der Lagertransformationen
πµ [(x1 , . . . , xn )] = (x1 + µ, . . . , xn + µ) µ ∈ R
invariant?
5.12
5.13
Welche Statistiken aus 5.8, 5.10 und 5.11 sind maximalinvariant?
X1 , . . . , Xn und Y1 , . . . , Yn jeweils aus den Verteilungen
H0 : τ 2 = σ 2 gegen H1 : τ 2 6= σ 2 ist invariant bezüglich der
Gegeben sind zwei (unabhängige) Stichproben
N (ξ, σ 2 )
und
N (η, τ 2 ).
Das Testproblem
durch die Transformationen
Xi0 = aXi + b,
Yi0 = aYi + b,
Xi0 = Yi ,
und
(a 6= 0),
Yi0 = Xi
G invariante Test lehnt H0
Pn
Pn
2
(Yi − Ȳ )2
i=1 (Xi − X̄)
P
W = max Pni=1
,
.
n
2
2
i=1 (Xi − X̄)
i=1 (Yi − Ȳ )
erzeugten Gruppe. Zeige: Der gleichmäÿig beste, unter
τ 2 /σ 2 = ∆ und τ 2 /σ 2 = 1
n−1 n−1
1+w
1+w
+
,
∆+w
1 + ∆w
Hinweis: Der Quotient der Dichten von
falls
w ≥ 0.
W
unter
Die Ableitung des obigen Ausdrucks ist für alle
ab, falls
W ≥k
mit
ist proportional zu
∆ ≥ 0.
5.2 p-Werte
5.14
Wir untersuchen das Testproblem
normalverteilter (N (µ, σ
2
))
H0 : µ ≤ 0, H1 : µ > 0
T =
und den Test, der
H0
ablehnt, falls
(a) Welche Verteilungsfunktion
T
Fµ
hat
T
Wir untersuchen das Testproblem
1 − exp(−x/λ).
c
n=4
µ?
?
und
σ = 1,
H0 : λ ≤ 1, H1 : λ > 1
für
µ = −1/4, µ = 0
H0
ablehnt, falls
(a) Welche Verteilungsfunktion
T
einen kritischen Wert
Fλ
hat
(b) Welche Verteilung hat der p-Wert
T
(c) Skizziere die Dichte des p-Werts für
c
überschreitet.
in Abhängigkeit von
1 − F1 (T )
λ = 1/2
bzw. für
µ = 1/2!
für eine exponentialverteilte Zufallsgröÿe
Betrachte die Statistik
T =X
und den Test, der
unabhängiger
überschreitet.
in Abhängigkeit von
1 − F0 (T )
(c) Skizziere die Dichte des p-Werts bei
mit Verteilung
X1 , . . . , Xn
X̄
σX̄
einen kritischen Wert
(b) Welche Verteilung hat der p-Wert
5.15
für eine Stichprobe
Zufallsgröÿen mit bekannter Varianz. Betrachte die Statistik
λ?
?
bzw. für
λ = 1/2!
X
5
LINEARE MODELLE
27
5.3 Multiples Testen
Skriptum: Abschnitt 4.1
5.16
Ein den Blutdruck senkendes Medikament besteht unseren Kontrolltest, wenn die mittlere Blutdrucksenkung 1 Stunde nach der Einnahme mindestens 20 beträgt.
Zu fünf Medikamenten wurde jeweils
an 10 Patienten die Blutdruckdierenz (vorher minus nachher) gemessen.
Es ergaben sich folgende
Ergebnisse:
Medikament
Wirkung
Mittel
1
2
3
4
5
25
29
32
31
24
3
3
4
4
2
sx̄
Wir wollen aufgrund obiger Daten die 5 Medikamente testen. Dabei ist jeweils
µ > 20.
H0 : µ ≤ 20
und
H1 :
Wir nehmen dazu an, dass die Beobachtungen Realisierungen normalverteilter Zufallsgröÿen
sind.
(a) Teste die 5 Medikamente! (Mittels Standard-t-Test jeweils zum Niveau
(b) Fasse nun obige 5 Tests als eine einzige multiple Testprozedur auf.
multiple Niveau
α = 0.05?
α = 0.05.)
Hält diese Prozedur das
Erklären Sie in eigenen Worten, was Halten des multiplen Niveaus
im Zusammenhang unseres Beispiels bedeutet.
(c) Führen Sie den multiplen Test nach Bonferroni zu obigen Daten durch. Welche Medikamente
bestehen nun unseren Kontrolltest? (Vgl. mit a.)
(d) Welche Medikamente bestehen den Kontrolltest, wenn Holm's multipler Test durchgeführt wird?
(e) Welches multiple Niveau
α
hat die Testprozedur aus a? Bei welchem Niveau
ellen Tests beträgt das multiple Niveau genau
5.17
Löse Aufgabe 5.16 für das multiple Niveau
α = 0.1
γ
für die individu-
α = 0.05?
mit folgenden Meÿergebnissen:
Medikament
Wirkung
Mittel
sx̄
5.18
5.19
1
2
3
4
5
23
28.5
30
25.5
24
1
3
4
2
2
Beweise das Abschluÿtestprinzip.
k Populationen
H0,i,j : µi = µj , H1,i,j : µi 6= µj für
Wie kann man Holm's Test als Spezialfall des Abschluÿtestprinzips herleiten, wenn für
alle paarweisen Mittelwertsdierenzen von Interesse sind? (D.h.
i 6= j .)
5.20
Gegeben drei Populationen mit (unbekannten) Mittelwerten
Hypothesen abgeschlossen? Wenn nicht bilde den Abschluÿ!
(a)
H0 : µ1 = µ2 , H0 : µ1 = µ3 .
(b) Alle paarweisen Vergleiche
(c)
H0,ij : µi = µj . (i 6= j ).
H0 : µ1 = µ2 , H0 : µ1 = µ2 = µ3 .
µ1 , µ2 , µ3 .
Sind folgende Familien von
6
SCHÄTZMETHODEN
28
5.4 Asymptotischer Vergleich von Tests
5.21
Löse Beispiel 4.4 des Skriptums, wenn die konkurrenzierenden Teststatistiken Stichprobenmedian und
arithmetisches Mittel sind. Wie groÿ ist die ARE für den Mediantest im Vergleich zum Test, der das
arithmetische Mittel verwendet?
Hinweis: Für u.i.v. Zufallsgröÿen mit Verteilungsfunktion
Mn :
5.22
√
n(Mn − F −1 (1/2)) → N (0, [2f (F −11(1/2))]2 )
F
und stetiger Dichte
Wir wollen die Mittelwerte zweier Populationen mit Verteilung
von gepaarten Stichproben vergleichen.
f
gilt für den Median
in Verteilung.
F (x − θ1 )
bzw.
Berechne die ARE für die Teststatistik
F (x − θ2 ) aufgrund
X̄1 − X̄2 gegen den
Vorzeichentest für
(a)
F
gleich der Standardnormalverteilung.
(b) Löse a) auch für den Fall, dass die Varianz bekannt ist und statt dem t-Test der Normalverteilungstest verwendet wird.
6
Schätzmethoden
(Skriptum: Kapitel 5)
6.1
Seien
X(1) , X(2)
und
X(3)
die Ordnungsstatistiken einer (unabhängigen) Zufallsstichprobe der Gröÿe 3
aus der Gleichverteilung auf
[θ, 1 + θ].
(a) Berechnen Sie die Dichte von
T := (X(1) + X(3) )/2.
Wie kann man aus
T
einen Schätzer für
θ
konstruieren?
(b) Berechnen Sie die Dichte des Medians
X(2)
Wie kann man aus
X(2)
einen Schätzer für
θ
kon-
struieren?
(c) Dasselbe für das Minimum
X(1) .
(d) Dasselbe für das arithmetische Mittel
(X1 + X2 + X3 )/3.
(e) Welcher der Schätzer ist aufgrund obiger Überlegungen am besten?
6.2
Berechnen Sie die Fisher-Information für
(a)
N (0, σ 2 ).
(b) Poisson
(c)
6.3
(λ).
B(n, p), n.
fest
(fϑ (x)) = f (x − ϑ)
Zeigen Sie, dass für eine Lageparameterfamilie
hängig von
ϑ
ξ = g(ϑ)
die Fisher-Information
ist.
und
ν = h(ξ) = g −1 (ξ).
6.4
Sei
6.5
Finden Sie eine Funktion
ξ = g(p)
Man zeige:
derart, dass
I(ξ) = I(h(ξ)).(h0 (ξ))2
I(ξ)
für eine
B(n, p)-Verteilung
konstant ist.
I(ϑ)
unab-
6
SCHÄTZMETHODEN
29
6.6
(a) Für das Binomialmodell
Beta(a, b)
(b) Wählen Sie
6.7
Es sei
f (x)
B(n, p)
mit der Dichte
a
und
b
nde man den Bayes-Schätzer in bezug auf die Vorbewertung
Γ(a+b) a−1
(1 − p)b−1 .
Γ(a)Γ(b) p
so, dass dieser Bayes-Schätzer konstantes Risiko hat.
die Dichte einer ZV
X.
Der Quartilsabstand der Verteilung ist deniert durch
S(0.5) = x(0.75) − x(0.25)
wobei
x(p)
als Lösung der Gleichung
p=
´ x(p)
−∞
f (x)dx
deniert ist.
Man bestimme mittels der Substitutionsmethode eine Schätzung für
S(0,5) .
Unterscheidet sich dieser
Schätzer vom üblichen Quartilsabstand der deskriptiven Statistik?
6.8
(Getrimmtes Mittel) Für eine Verteilung mit Dichte
µα =
1
1−α
ˆ
f (x)
sei der Parameter
µα
durch
x(1−α/2)
xf (x)dx
x(α/2)
deniert. (x(p) wie in Bsp. 6.7)
Man zeige, dass
für
6.9
µα
ein Lageparameter ist und bestimme mit der Substitutionsmethode eine Schätzung
µα .
Man bestimme den Maximum-Likelihood Schätzer für
der Dichte
(
fγ (x) =
6.10
Man bestimme den Momentschätzer für
(
f (y) =
α
γ
von gleichverteilten zufälligen Variablen mit
1 γ − 12 ≤ x ≤ γ +
0 sonst.
und
β
1
2
,
der Betaverteilung mit der Dichte
Γ(α+β) α−1
(1
Γ(α)Γ(β) y
− y)β−1
0
0 < y < 1,
sonst.
Welche Probleme treten bei der Bestimmung des Maximum Likelihood-Schätzers auf ?
6.11
Es seien
X1 , X2 , . . . , Xn
unabhängige ZV die nach einer Gleichverteilung
(
f (x, θ) =
1
θ
0 ≤ x ≤ θ,
0
sonst
verteilt sind.
(a) Man zeige
θ̂ = max(X1 , . . . , Xn )
ist der Maximum Likelihoodschätzer für den Parameter
(b) Man bestimme eine Schätzung von
6.12
θ
mit der Momentmethode.
Man bestimme den Momentschätzer für die Parameter
α
und
β
der Gammaverteilung.
θ.
6
6.13
SCHÄTZMETHODEN
30
µ und λ der
Man bestimme die Maximum Likelihood-Schätzer für die Parameter
f (x; µ, λ) =
beruhend auf
n
1 −(x−µ)/λ
e
;
λ
Exponentialverteilung
x > µ, λ > 0
voneinander unabhängigen Beobachtungen.
Hinweis: Es ist gleichbedeutend die Likelihood oder den Logarithmus der Likelihood zu maximieren.
6.14
Es seien
X1 , . . . , Xn
unabhängige identisch verteilte Beobachtungen mit Dicht
die Likelihoodfunktion für folgende spezielle Dichten
f (x, h).
Man bestimme
n = 10:
(a) Poissonverteilung
f (x, θ) = e−θ
θx
x!
x = 1, 2, . . . .
(b) Exponentialverteilung
f (x, θ) = e−(x−θ) ;
Wie hängt die Likelihoodfunktion von
6.15
X
n
x ≥ θ.
ab?
nehme die Werte 1 und 0 mit Wahrscheinlichkeit
p bzw. (1−p) an.
(a) Finden Sie den MaximumLikelihood Schätzer für
p.
(b) Man vergleiche den Schätzer aus (a) mit dem Schätzer
Ep (T (x) − p)
6.16
2
1/3 ≤ p ≤ 2/3.
(Bei einer Beobachtung).
1
2 hinsichtlich des MSE. (M SEp (T )=
T (x) ≡
).
Man berechne den MaximumLikelihood Schätzer zur doppelten Exponentialverteilung:
(X1 , . . . , Xn unabhängig, identisch verteilt mit
6.17
Es sei bekannt, dass
f (x, µ) = 21 e−|x−µ| ).
Bei einem neuen Intelligenztest nimmt man an, dass die Ergebnisse normalverteilt sind mit unbekanntem
Mittelwert
µ
und Varianz 10.
Unter der Annahme einer Gleichverteilung im Intervall (90,110) als Aprioriverteilung für
µ
und 20
unabhängigen identisch verteilten Beobachtungen zeige man, dass für die Posterioriverteilung gilt:
2
1
1
p(µ|x) = √
e−(x̄−µ)
110−x̄
90−x̄
π Φ( √ ) − Φ( √ )
1/ 2
wobei
x̄
90 < µ < 110
1/ 2
den Mittelwert der zwanzig Beobachtungen bedeutet. Man bestimme den BayesSchätzer für
µ.
6.18
Die Zeiten eines 100 yard Läufers seien gleichverteilt im Intervall
gleichwahrscheinlichen Fälle
α = 9.5
oder
9.7
Man bestimme die Posterioriverteilung, wenn man eine Laufzeit von
6.19
(α; 10.5).
Es seien
P
λ
f (x1 , . . . , xn |λ) = Q
xi
xi !
10.0
e−nλ
(Poissonverteilung) als LikelihoodFunktion und
p(λ) =
1 m + 1 m+1 m −(m+1)λ/λ0
(
)
λ e
m! λ0
(γ Verteilung) als apriori Verteilung gegeben.
Man bestimme den Bayesschätzer für
λ
Für
α
seien die beiden
möglich.
gestoppt hat.
6
6.20
SCHÄTZMETHODEN
Es seien
3n
31
Beobachtungen
X1 . . . Xn , Y1 . . . Yn , Z1 . . . Zn
alle mit gleicher Varianz
σ2
(unbekannt) ge-
geben. Es gelte
E(Xi ) = m1
E(Yi ) = m2
Man bestimme die kleinste Quadratschätzung für
6.21
m1 , m2
=
θ1
= −θ1
= −2θ2
Man bestimme die kleinsten Quadratschätzungen für
Seien
X1 , . . . , Xn
für
E(Xi2 ) < ∞
Pn
1
2
σ (X̄n = n i=1 Xi ).
Man zeige, dass
χ2 Verteilung
+ θ2
+ θ2
+ θ3
θ1 , θ2 , θ3
S =
√
S
2
ist, dann ist die Schätzung
im allgemeinen
Man betrachte unabhängige nach
mit
N (a, σ 2 )
+
+
θ3
θ3
sowie die Schätzung von
Sn2 =
1
n−1
Pn
i=1 (Xi
nicht erwartungstreu ( ie.
verteilte Variable
(n − 1) Freiheitsgraden.
√
n − 1) und E(S; σ). Alternativ:
S
Man betrachte E(
σ
6.24
σ2 .
σ2 .
unabhängige zufällige Variable, die alle dieselbe Verteilung besitzen.
Man zeige: Wenn
6.23
und die Schätzung für
Es seien wieder Beobachtungen wie in Aufgabe 26 gegeben und
E(Xi )
E(Yi )
E(Zi )
6.22
E(Zi ) = m1 + m2
− X̄n )2
biased) für
X1 , . . . Xn ;
σ
dann besitzt
erwartungstreu
ist.
Anleitung:
S2
(n
− 1) eine
2
σ
Man verwende Jensens Ungleichung.
max1≤i≤n (Xi ) ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter
T (X1 , . . . , Xn ) = (n+1)
n
α einer Gleichverteilung auf (0, α) ist. Anleitung: Man betrachte die Verteilungsfunktion F von max(Xi )
Man zeige, dass
und nde durch Dierenzieren die Dichte.
6.25
T1
σ22 .
T2
Es seien
und
σ12
Dann ist auch
und
zwei unabhängige erwartungstreue Schätzungen für einen Parameter
Wann ist die Varianz von
6.26
T = (1 − a)T1 + aT2
T
erwartungstreu für
θ
für jedes
θ mit Varianzen
a.
minimal?
max Xi +min Xi
erwartungstreuer Schätzer
2
für a. Anleitung: Man betrachte die Verteilungsfunktion von max Xi und nde die Dichte durch DifEs seien
X1 . . . Xn
gleichverteilt in
(a − 21 , a + 12 ); dann ist W =
ferenzieren.
6.27
Es seien
X1 . . . Xn
Zufallsvariable mit
E(Xi ) = µ
(a) Man nde eine Bedingung für die
ai
und
VarXi = ki σ 2 .
Es sei
P
ai Xi
ein Schätzer für
µ.
derart, dass der obige Schätzer erwartungstreu wird.
(b) Unter der Bedingung aus a) bestimme man die
ai
so, dass die Varianz des Schätzers minimal
wird.
6.28
µ zu einer Stichprobe von n normal N (µ, 1) verteilten Zufallsgröÿen,
µ die Standardnormalverteilung ist und (wie im Skriptum) die quadratische
Berechne den Bayes-Schätzer für
wenn die Vorbewertung für
Verlustfunktion gewählt wird.
6.29
6
SCHÄTZMETHODEN
Sei
f (x, θ) = θ1 I[0,θ]
32
die Dichte zu einer Beobachtung
X.
(a) Nach der ChapmanRobbins Ungleichung läÿt sich die Varianz eines beliebigen erwartungstreuen
Schätzers
T
durch
Vθ0 T ≥ supθ∈Θ0
abschätzen. Dabei ist
(θ − θ0 )2
{ V ar}θ0 Lθ0 ,θ
Θ0 = {θ ∈ Θ \ {θ0 }|Pθ Pθ0 }
(
Lθ0 ,θ =
und
f (x,θ)
f (x,θ0 )
falls
0
sonst
f (x, θ0 ) > 0 ,
der LikelihoodQuotient. Berechnen Sie die ChapmanRobbinsSchranke für unser Beispiel.
(b) Nach Aufgabe (30)
Berechnen Sie
(n = 1)
{ V ar}θ0 T
ist
T (x) = 2x
ein erwartungstreuer Schätzer für
θ0 .
in diesem Fall.
(c) Nach dem Satz von Rao hat ein erwartungstreuer Schätzer
T
genau dann gleichmäÿig kleinste
Varianz (unter allen erwartungstreuen Schätzern), falls gilt:
Eθ T ô = 0 ∀θ ∈ Θ,
Dabei ist
Eθ ô = 0
E die Menge aller L2 (Θ) Nullschätzer, d.h.
∀θ ∈ Θ und { V ar}θ ô < ∞ ∀θ ∈ Θ.
∀ô ∈ E.
die Menge aller Funktionen
Man beweise mittels des Satzes von Rao die Optimalität (kleinste Varianz) von
Man vergleiche nun
{ V ar}θ0 T
Anleitung: man zeige, dass
E
aus Punkt b).
nur Funktionen enthält, die fast überall Null sind.
T
unter den erwartungtreuen Schätzern optimal, falls
auch suzient und vollständig ist. Man verwende diesen Sachverhalt um nachzuweisen, dass
im Falle einer Stichprobe mit
n
Beobachtungen
T (X1 , . . . , Xn ) :=
ein optimaler Schätzer für
6.30
sodass
aus b) mit der ChapmanRobbins Schranke.
(d) Nach dem Satz von LehmannScheé ist
T
T
ô,
θ
n+1
max1≤i≤n (Xi )
n
ist.
Man zeige
(a)
(b)
1
n
P
(Xi − µ)2 ist ezient für σ 2 einer Familie N (µ, σ 2 ).
P
1
(Xi − X̄)2 ist nicht ezient für σ 2 einer Familie N (µ, σ 2 ).
n−1
1
n
P
Xi
Man untersuche ob
6.32
Man bestimme eine eziente erwartungstreue Schätzung für den Parameter
6.33
Man zeige, dass in einer einparametrigen Exponentialfamilie
T (X)
eine eziente Schätzung für
p
6.31
ein ezienter erwartungstreuer Schätzer für
einer Binomialverteilung ist.
λ
einer Poissonverteilung.
f (x, θ) = e(c(θ)T (X)+d(θ)+S(x))
0
(θ)
m(θ) = − dc0 (θ)
ist.
die Statistik
6
6.34
SCHÄTZMETHODEN
33
X1 , . . . , Xn
Gegeben seien die Zufallsvariablen
mit Dichte
f ( xiσ−µ ).
Eine Statistik
T
ist Lageequi-
variant, falls gilt:
a∈R
T (x1 + a, . . . , xn + a) = T (x1 , . . . , xn ) + a
T
Eine Statistik
ist Skalenequivariant, falls
T (σx1 , . . . , σxn ) = σ r T (x1 , . . . , xn ) σ > 0
für eine Potenz
r.
Untersuche, welche der folgenden Statistiken Lage- bzw. Skalenequivariant sind!
(a)
1
n
Pn
xi .
1
n
Pn
x2i .
i=1
(b)
T (x1 , . . . , xn ) =
(c)
T (x1 , . . . , xn ) = min1≤i≤n xi − c .
(
x1 fallsx3 ≥ 0 ,
T (x1 , x2 , x3 ) =
x2 fallsx3 < 0 .
(d)
6.35
T (x1 , . . . , xn ) =
i=1
Gegeben seien die Zufallsvariablen
x1 , . . . , x n
mit Dichte
Lageequivariante Schätzer, der das quadratische Risiko
´∞
T (x1 , . . . , xn ) = ´−∞
∞
f (x1 − µ, . . . , xn − µ). In diesem Fall
Eµ (T − µ)2 minimiert, die Gestalt
ufµ=0 (x1 − u, . . . , xn − u) du
−∞
fµ=0 (x1 − u, . . . , xn − u) du
hat der
.
Man berechne den (hinsichtlich dieses Kriteriums) optimalen Schätzer im Falle einer Stichprobe unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen mit unbekanntem
µ
und bekanntem
λ.
(siehe Bsp.
4.20)
6.36
Seien
X1 , . . . , Xn
µ = 0 (siehe Bsp. 4.20). Mit einer Skalen
T kann man einen optimalen equivarianten Schätzer hinsichtlich des quadratis2
Eλ [ (T −λ)
] konstruieren. Es hat die Form:
λ2
unabhängig und exponentialverteilt mit
equivarianten Statistik
chen Risikos
T∗ = T
X1
n
Z = (X
,..., X
Xn ).
n
Pn
Wähle T =
i=1 Xi und
Eλ=1 [T |Z]
Eλ=1 [T 2 |Z]
mit
Hinweis:
Da
folgt, dass
T
T
und
berechne
T ∗!
eine suziente und vollständige Statistik ist und zudem
Z
unabhängig sind.
(Satz von Basu).
Z
nicht von
λ
abhängt
Was ergibt sich damit für den bedingten
Erwartungswert?
6.37
Zeigen Sie:
Die Familie der Wahrscheinlichkeitsverteilungen
ϑ)2 ϑn , n = 0, 1, 2, . . ., 0 < ϑ < 1
f1 , . . . mit
Pϑ (0 < ϑ < 1)
mit
Pϑ ({−1}) = ϑ, Pϑ ({n}) = (1 −
f−1 , f0 ,
ist nicht vollständig, d.h. es existiert eine nicht-triviale Folge
∞
X
n=−1
fn Pϑ ({n}) = 0 ∀ ϑ .
6
6.38
SCHÄTZMETHODEN
34
Zeigen Sie:
Die Familie der Binomialverteilungen
6.39
Seien
X1 , . . . , Xn
B(n, p), 0 ≤ p ≤ 1
ist suzient (und vollständig).
unabhängig und Poisson-verteilt mit Parameter
λ.
Zeigen Sie:
n
1X
Xi
n i=1
ist eine suziente Statistik für
6.40
Seien
X1 , . . . , Xn
λ.
unabhängig und Gamma-verteilt (siehe Beispiel 4.20). Zeigen Sie:

n
Y

j=1
(α, β).
bekanntem β .
ist suzient für
α
6.41
bei
Es seienX1 und
X2
Speziell ist
Qn
j=1
Xj
Xj ,
n
X

Xi 
i=1
suzient für
β
bei bekanntem
α
und
Pn
6.42
6.43
ϑ > 0.
Xi
suzient für
durch folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion bestimmt und unabhängig:
f (0, ϑ) = e−ϑ , f (1, ϑ) = ϑe−ϑ , f (2, ϑ) = 1 − e−ϑ − ϑe−ϑ , f (x, ϑ) = 0
wobei
i=1
Man zeige, dass
X1 + X2
nicht suzient für
ϑ
sonst,
ist.
Pn
1
i=1 Xi weder suzient noch eine konsistente Schätzung für den Parameter
n
1
einer Cauchyverteilung mit Dichte f (x) =
π[1+(x−µ)2 ] ist.
Man zeige, dass
Tn =
µ
Welches der folgenden Modelle ist nichtparametrisch, semiparametrisch, parametrisch? Was sind gegebenenfalls die die Parameter?
1.lineare Regression
2.empirische Verteilungsfunktion als Schätzer für die Verteilungsfunktion
3.Eine Verteilungsfunktion
6.44
Für die Fisher-Information sind die folgenden Beziehungen oft sehr nützlich:
1.Zeigen Sie die Beziehung
"
E
2 #
∂
∂2
l (θ)
= E − 2 l (θ) .
∂θ
∂θ
Welche Voraussetungen müssen dazu gemacht werden?
2.Zeigen Sie, dass in diesem Fall auch
I (θ) = V ar
gilt. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst
Aussage zu zeigen)
E
∂
∂θ l (θ)
∂
l (θ)
∂θ
=0
und benützen Sie obige Aussage, um diese
6
6.45
SCHÄTZMETHODEN
35
Beschreiben Sie die Vorgehensweise für das Newton-Raphson Verfahren, oder für das Fisher-scoring am
Beispiel der Weibull-Verteilung.
6.46
Take one observation -
X
- from the distribution:

(1 − ϑ)/4 , x = −2




ϑ/12
, x = −1

1/2
, x=0 , 0≤ϑ≤1
P (X = x|ϑ) =


(3
−
ϑ)/12
, x=1



ϑ/4
, x=2
Find an unbiased estimator of
ϑ.
Obtain the maximum likelihood estimator
is not unique. Is any choice of MLE unbiased?
ϑ̂(x)
of
ϑ
and show that it