Ubungsblatt 5 8. Januar 2009

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Universität Stuttgart
Mathematik am Computer
Fachbereich Mathematik
PD Dr. J. Mayer, Dr. H. Schulz
Übungsblatt 5
8. Januar 2009
Aufgabe 1
Stellen Sie die Aufgaben des letzten Übungsblatts fertig.
Aufgabe 2
a) Plotten Sie die folgenden Funktionen bzw. Kurven mit Hilfe des MatlabBefehls plot.
y = g1 (x) = x2
y = g2 (x) =
x ∈ [−1, 1]
1
1 − x2
x = ϕ(t) = cosh t
x ∈ (−1, 1)
y = ψ(t) = sinh t
t ∈ [−1, 1]
Verwenden Sie mindestens 100 Unterteilungspunkte und passen Sie gegebenfalls die Axen mit dem Befehl axis([xmin xmax ymin ymax]) bzw. axis
equal an.
b) Plotten Sie die folgenden Funktionen mit Hilfe des Matlab-Befehls surf und
contour.
h1 (x, y)
h2 (x, y)
= xy
p
=
x2 + 2y 2
h3 (x, y)
=
x2 − y 2
x2 + y 2
jeweils für x, y ∈ [−1, 1]. Verwenden Sie mindestens 100 Unterteilungspunkte
in je x- und y-Richtung
c) Schreiben Sie je eine Matlab-Funktion funktion plotten(f,a,b,N), welche
die Funktion f : [a, b] −→ R unter Verwendung von N Unterteilungspunkten
des Intervalls [a, b] plottet. Verwenden Sie dazu den Matlab-Befehl plot.
d) Plotten Sie die für x 6= 0 definierten Funktionen
1
x
r1 (x, y)
=
sin
r2 (x, y)
=
x sin
1
x
mit Hilfe der in c) programmierten Funktion funktion plotten. Existiert
lim r1 (x)
x→0
bzw.
lim r2 (x)?
x→0
Hinweis: Plotten Sie die Funktionen mit hoher Auflösung auf stets kleiner
werdenden Intervalle um 0. Was erkennen Sie?
Aufgabe 3
a) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion bisektionsverfahren(f,a,b,epsilon),
welche das in der Vorlesung vorgestellte Bisektionsverfahren implementiert.
Dabei ist f die Funktion, von der eine Nullstelle in dem durch die Parameter
a und b festgelegten Intervall mit einer Genauigkeit von epsilon berechnet
werden soll.
Hinweis: Um Nullstellen mit hoher Genauigkeit zu erhalten, müssen alle Dezimalstellen ausgegeben werden. Dies geschieht durch die Eingabe von format
long. Zahlen der Form a × 10b werden durch aeb eingegeben, also ist 1e-8
die Zahl 10−8 .
b) Schreiben Sie je eine Matlab-Funktion für die mathematischen Funktionen
f1 (x)
=
3x − 6
f2 (x)
=
10ex − 11 − 10x
f3 (x)
=
742x3 − 6889x2 + 21315x − 21978
und bestimmen Sie mit Hilfe des Bisektionverfahrens jeweils die ersten 6 Dezimalstellen aller Nullstellen.
Hinweis: f3 besitzt 3 reelle Nullstellen. Bestimmen Sie geeignete Startintervalle mit Hilfe von funktion plotten aus Aufgabe 2.
√
c) Berechnen Sie die ersten 6 Dezimalstellen von 2 so, dass nur die Grundrechenarten genötigt werden.
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