7.Vorlesung
Überblick
I)
Mechanik
4. starre Körper
a) Drehmoment
b) Schwerpunkt
c) Drehimpuls
5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen
a) Deformation von Festkörpern
b) Hydrostatik
Versuche:
Garnrolle
Trommelstock
Drehstuhl mit Kreisel (Erhaltung des Gesamtdrehimpulses)
Drehstuhl mit Hanteln (Variation des Trägheitsmoments)
Hohl-, Vollzylinder und Vollkugel auf schiefer Ebene
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Noch zu 3a) Drehmoment
Versuch Garnrolle auf Boden
Drehmoment (incl. Vorzeichen) hängt von Lage des
Angriffspunktes der Kraft relativ zu Drehpunkt ab
(Abstandvektor
)
r
r
Drehpunkt ist in diesem Fall nicht fest, kann abrollen.
Ähnliche Fälle: Rolle oder Kugel auf schiefer Ebene, Fahrrad
fahren
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b) Schwerpunkt
b) Schwerpunkt (Massenmittelpunkt): r
rsp =
Ortsvektor des gegeben durch
∑
∑
r
m i ri
mi
Die Summe der Schwerkräfte auf alle Massenpunkte eines
starren Körpers ergibt ein Drehmoment, so als ob die Gesamtkraft im
Schwerpunkt angreift. (Eventuell zeigen mit Def.-Gl oben, x g auf beiden Seiten)
Ist r0 der Abstand des Drehpunktes zur senkrechten Geraden durch den Schwerpunkt
r
und
r r
r sp = rc.m.
= Ortsvektor vom Drehpunkt zum Schwerpunkt und
Fges die Gesamt-Schwerkraft auf den Körper,
r so rist das
r Gesamtdrehmoment Mges = r0Fges
, genauer:
M ges = rc.m. × Fges
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Schwerpunkt
Beispiel 1: Wird ein System im Schwerpunkt unterstützt (ro = rsp = 0)
u wirken keine äußeren Kräfte, so ruht es.
Die Summe der Drehmomente verursacht durch Gravitation ist Null.
Rechts ein System mit zwei
starr verbundenen Massen Beispiel 2: Starrer Körper kippt um,
wenn der Schwerpunkt nicht über
der Unterstützungsfläche liegt.
r
Fges
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Schwerpunkt
Schwerpunktsatz:
Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob die gesamte
Masse dort vereinigt wäre und die Summe aller äußeren Kräfte auf
den Körper dort angreifen würde.
Der Schwerpunktsbewegung kann noch eine Rotation überlagert sein,
wobei jedoch nur Drehachsen durch den Schwerpunkt möglich sind.
Versuch rotierender Trommelstock
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c) Drehimpuls
Der Bewegungszustand eines rotierenden Körpers
wird durch seinen Drehimpuls L beschrieben.
Analog zum Drehmoment nimmt der Drehimpuls
mit dem Impuls p und dem Bahnradius r zu.
Für Massenpunkt auf Kreisbahn:
Drehimpuls
L = r— p
Drehimpuls ist Vektor in Richtung Drehachse, senkrecht auf r und auf p,
Vorzeichen nach Rechte-Hand-Regel. So wie Kreisgeschwindigkeit ω
und Drehmoment M Vektoren sind, senkrecht zu r und v bzw F.
Mathematisch vollständige Formulierung
r r r
L = r ×p
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Drehimpulserhaltungssatz
r
r
F = ∆p ∆t
Aus
(Newtons Axiom 2) folgt durch Multiplikation
(Vektorprodukt) mit r x auf beiden Seiten
r r r r
r r
r × F = r × ∆p / ∆t = ∆( r × p) / ∆t
Und daraus sofort:
r
r ∆L
M=
∆t
D.h. Drehmoment bewirkt zeitliche Veränderung des Drehimpulses,
so wie Kraft zeitliche Änderung des (linearen) Impulses bewirkt.
Auch hier kann für ein abgeschlossenes System mit i Massepunkten
ein Erhaltungssatz hergeleitet werden, analog Impulserhaltungssatz:
Drehimpulserhaltungssatz:
Die Summe aller Drehimpulse Lges = ΣLi ist zeitlich konstant, wenn die
Summe der äußeren Drehmomente Mges = ΣMi = Null ist.
(M und L sind Vektoren).
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Beispiele zur Drehimpulserhaltung. Versuch Drehstuhl mit Kreisel
Kreisel: sowohl Betrag als auch Richtung
des Drehimpulses (Achse)
bleiben erhalten
Solange keine äußeren Drehmomente
wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls
des Systems (Person + Schwungrad)
erhalten (da der Drehimpuls des Rads
geändert wird, muss die Person ein
inneres Drehmoment ausüben).
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Trägheitsmoment
Trägheitsmoment starrer (ausgedehnter) Körper
- Alle Elemente rotieren mit fester Winkelgeschwindigkeit ω
r r
- Summation über Massenelemente r
L = ∑ ri × p i
Wegen pi = mivi = mi R0i ω (R = Abstand, siehe Bild)
lassen sich die Beiträge der Massenelemente im
Trägheitsmoment zusammenfassen:
I = ∑ m i ⋅ R 02i
i
Die ‘Rotationsträgheit’ eines Körpers steigt
quadratisch mit dem Abstand der
Massenelemente von der Drehachse
L = I⋅ω
vektoriell:
r
r
L = I⋅ω
Vektoren
r
L und
r
ω in Richtung der Drehachse
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Beispiele zur Drehimpulserhaltung. Versuch Drehstuhl mit Hanteln
Drehimpuls (erhalten)
L = I ⋅ω
mit Trägheitsmoment I =
∑m ⋅ R
i
2
i
i
Rotierende Hantel:
ω1
ω2
Bremsen der Rotation durch
Ausdehnen der Massenverteilung
ω3
ω1 : ω2 : ω3 = (1/1,2) : (1/2,3):1/8
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Formel- Beispiele für Trägheitsmomente
Hohlzylinder I = m — R²
Versuch
Vollzylinder I = (1/2) mR²
Versuch
Kugel I = (2/5) mR²
Versuch
m = Gesamtmasse ; Drehung um Zylinderachse bzw. um Achse
durch Mittelpunkt der Kugel.
Steinerscher Satz
Trägheitsmoment eines Körpers für beliebige Drehachse A
IA = Ic.m. + Ma²
wobei Ic.m. = Trägheitsmoment für Achse parallel zu A durch
Schwerpunkt,
a = Abstand zwischen beiden Achsen
M = Gesamtmasse des Körpers
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Rotationsenergie (kinetische Energie der Rotationsbewegung)
für Massenpunkt:
2
1
(Zur Erinnerung: v = rω)
kin , rot
2
E
= m(rω)
Für Körper mit Trägheitsmoment I gilt somit
Ekin , rot = 12 I ⋅ ω2
Beispiel: Rollende Körper gleicher Masse und gleichen Durchmessers
aber unterschiedlicher Massenverteilung auf schiefer Ebene
Trägheitsmoment nimmt von
links nach rechts ab, Rotationsenergie ebenfalls, deshalb nimmt
kinetische Energie der Translation
von links nach rechts zu.
Zieleinlauf
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Zur Vertiefung
Vergleich Drehbewegung - Translationsbewegung
Rotation
Translation
Winkel φ [rad]
Weg
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Trägheitsmoment
r
M
rot
=
r r
= rxF
∆ϕ
∆t
∆ω
∆t
I = Σ∆ m i r i
Rotationsenergie E
Drehmoment
ω =
1
Iω
2
bzw.
r
r
r
s = x2 − x4
Ort
Geschwindigkeit
Beschleunigung
2
Masse
2
r
x
oder
r
r
∆s
v =
∆t
∆v
∆t
M = Σ∆ m i
Translationsenergie E
Kraft
r
r
kin
=
1
Mv
2
2
r
F
M = r ⋅ F ⋅ sin α
Drehimpuls
r
r
L = I⋅ω
Impuls
r
r
p = M ⋅v
Mit der „Übersetzungsvorschrift“ v → ω, m → I, p → L , F → M
können alle Gesetze der linearen Bewegungen (Translation) in
die Drehwelt übertragen werden, z.B.
Dynamische Gleichungen
r
r ∆(I ⋅ ω
)
M=
∆t
r ∆( pv )
F=
∆t
Erhaltungssätze für abgeschlossene Systeme
r
Σ L i = const
r
Σpi = const
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