Monte-Carlo-Methoden: Fragen zur Wiederholung

Monte-Carlo-Methoden: Fragen zur Wiederholung
1. Grundbegriffe der W-Theorie: Erwartungswert, Tschebyschev-Ungleichung, Unabhängigkeit
2. Fehler und Kosten einer MC-Methode: Def. 2.3 und 2.4.
fn
3. Zählprobleme: optimaler deterministischer Algorithmus, Vergleich mit M
4. Direkte Simulation. Fehler bei der direkten Simulation: Satz 3.2. Konsequenz aus Korollar 3.3: Bei der dir. Simulation sollte das Produkt von Kosten und Varianz beim
Basisexperiment klein sein.
5. Beispiele für direkte Simulation: numerische Integration, zufällige Polyeder, Chancen
beim Patience-Spiel, Bewertung von Finanzderivaten, ein Ruinproblem
6. Gesetze der großen Zahlen: Satz 3.5. Hoeffding-Ungleichung Satz 3.12.
7. Wie kann man die Varianz schätzen? Warum ist es bei der dir. Simulation sinnvoll, die
Varianz mitzuschätzen?
8. Wie erzeugt man zufällige Permutationen? (A 3.7)
9. Wie erzeugt man Zufallszahlen bezüglich der Exponentialverteilung, der geometrischen
Verteilung, der Normalverteilung? Inversionsmethode?
10. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten beim Durchgang von Neutronen durch eine Wand.
11. Der sphärische Prozess und das Dirichlet-Problem.
12. Die Verwerfungsmethode.
13. Wie erzeugt man gleichverteilte Zufallsvektoren auf einem Simplex im Rd , auf der Einheitssphäre im Rd , auf der (euklidischen) Einheitskugel im Rd ?
14. Was versteht man unter antithetic sampling? Fehlerabschätzung von Satz 5.6. Andere
Methoden der Varianzreduktion?
15. Verbesserung der Konvergenzordnung: Satz 5.35. Konvergenzordnungen bei der Numerischen Integration? Aufgabe 5.14. Vergleich von det. und random. Algorithmen.
16. Kap. 6 über MCMC: Problemstellung, Berechnung von a = Eµ (f ), wobei aber kein
ZZG für µ zur Verfügung steht, Abschnitt 6.1.
17. Beispiele: Das Hard-Core-Modell, das Ising-Modell.
18. Markov-Ketten: Begriffe wie aperiodisch“ und irreduzibel“; Formel µ(n+ℓ) = µ(n) · Qℓ ;
”
”
stationäre Verteilung; Reversibilität; Konvergenz gegen die stationäre Verteilung.
19. Ergodensatz; conductance = Leitfähigkeit; burn in
20. Metropolis-Algorithmus und Beispiel: Hard-Core-Modell, Ising-Modell. Weiteres Beispiel: Aufgabe 6.11.