Notizen zu Audio

Notizen zu Audio-Special 1
Thema dieser Notizen sind Normalteiler.
In der Audio-Datei gibt es Hintergrundinformationen dazu, und das Thema wird in der
Vorlesug Algebra“ noch einmal ausführlich aufgegriffen.
”
Um Normalteiler besser zu verstehen, nehmen wir eine Gruppe (G, ◦) her und fixieren darin
ein Element g ∈ G.
Nun definieren wir eine Abbildung kg für dieses feste Gruppenelement (kg wie Konjugation
”
mit g“).
kg : G → G, für alle a ∈ G sei akg := g −1 ◦ a ◦ g.
Wir überlegen uns, dass kg ein bijektiver Gruppenhomomorphismus von G nach G ist. (∗)
Beweis von (∗):
Seien a, b ∈ G. Dann ist (a ◦ b)kg = g −1 ◦ (a ◦ b) ◦ g.
Mit dem Assoziativgesetz erhalten wir daraus (g −1 ◦ a) ◦ (b ◦ g) und fügen in der Mitte
künstlich g ◦ g −1 ein.
Wieder mit Umklammern ergibt sich
(a ◦ b)kg = g −1 ◦ (a ◦ b) ◦ g = (g −1 ◦ a ◦ g) ◦ (g −1 ◦ b ◦ g) = akg ◦ bkg .
Also ist kg ein Homomorphismus. Nun kommt die Bijektivität!
Da gibt es viele Möglichkeiten - wir machen es ganz elementar.
Seien a, b ∈ G und sei akg = bkg . Ausgeschrieben ist dann
g −1 ◦ a ◦ g = g −1 ◦ b ◦ g.
Die Kürzungsregel, einmal rechts und einmal links angewandt, ergibt dann sofort a = b.
Also ist kg injektiv.
Für die Surjektivität sei h ∈ G beliebig. Da g und g −1 in G liegen, ist auch das Element
y := g ◦ h ◦ g −1 in G.
Jetzt ist y ein Urbild von h unter kg , denn mit Einsetzen und Umklammern sehen wir
y kg = g −1 ◦ y ◦ g = g −1 ◦ (g ◦ h ◦ g −1 ) ◦ g = (g −1 ◦ g) ◦ h ◦ (g −1 ◦ g) = h.
Also ist kg insgesamt bijektiv.
Wir halten immer noch g ∈ G fest und betrachten eine Untergruppe U ≤ G.
Wenn wir kg auf U einschränken, gibt es zwei Möglichkeiten:
Das Bild liegt wieder in U oder nicht.
Falls g ∈ U ist, dann ist zum Beispiel die Einschränkung von kg auf U sofort ein bijektiver
Gruppenhomomorphismus von U nach U .
Spannender ist aber die Frage, was passiert, wenn g nicht aus U ist.
Beispiel
In der Gruppe G := S3 (mit Verknüpfung ∗) fixieren wir das Element g := (12) und betrachten zuerst die Untergruppe N := h(123)i. Dann besteht N aus den Elementen id, (123)
und (132).
Die Bilder der Elemente aus N unter kg können wir schnell ausrechnen und beachten dabei,
dass g eine Transposition ist, d.h. g = (12) = g −1 .
idkg = g −1 ∗ id ∗ g = (12) ∗ id ∗ (12) = id ∈ N,
(123)kg = g −1 ∗ (123) ∗ g = (12) ∗ (123) ∗ (12) = (132) ∈ N
und
(132)kg = g −1 ∗ (132) ∗ g = (12) ∗ (132) ∗ (12) = (123) ∈ N.
Anschaulich gesprochen passiert bei der Abbildung kg auf N Folgendes:
Das Element id aus N bleibt fest, und die beiden 3-Zyklen werden von kg vertauscht. Die
Untergruppe N wird als Menge wieder auf sich selbst abgebildet, ist also invariant oder
stabil unter kg .
Die nächste Untergruppe von S3 , die wir uns anschauen, ist U := h(23)i. Es besteht U aus
den Elementen id und (23) und wir wissen schon, dass idkg = id ∈ U ist.
Wir berechnen noch
(23)kg = g −1 ∗ (23) ∗ g = (12) ∗ (23) ∗ (12) = (13) ∈
/ U.
Das bedeutet, dass wir zwar die Abbildung kg auf U einschränken können, aber es kommt
dann keine Abildung nach U heraus. De Untergruppe U ist nicht invariant unter kg ,
sondern sie wird von kg auf eine andere Untergruppe, und zwar h(13)i, abgebildet.
(Ende des Beispiels)
In der Gruppentheorie werden ganz unterschiedliche Arten von Untergruppen gebraucht und
untersucht. Manchmal ist eine gewisse Stabilität wichtig: zum Beispiel für Induktionsargumente, bei denen man eine Gruppe sozusagen in kleinere Gruppen aufspalten“ möchte.
”
Manchmal geht das nicht (.... und das wird jetzt wirklich zu speziell).
Normalteiler sind diejenigen Untergruppen, die das Aufspalten“ möglich machen, weil bei
”
ihnen die Menge der Nebenklassen eben nicht einfach nur eine Menge ist, sondern selbst
eine Gruppenstruktur hat.
2
In der Vorlesung haben wir Normalteiler wie folgt definiert:
Ist (G, ◦) eine Gruppe und N ≤ G, so nennen wir N einen Normalteiler genau dann, wenn
für alle g ∈ G und alle a ∈ N gilt:
g −1 ◦ a ◦ g ∈ N.
Anders formuliert hat N die Eigenschaft, dass für jedes g ∈ G schon N stabil unter der
Konjugationsabbildung kg ist.
In unserem Beispiel mit der S3 sehen wir, dass die Untergruppe h(23)i kein Normalteiler
ist, denn sie ist unter Konjugation mit (12) nicht stabil.
Dagegen haben wir für die Untergruppe h(123)i gesehen, dass sie bei Konugation mit (12)
stabil ist. Für die Normalteilereigenschaft muss dann noch die Stabilität unter Konjugation
mit allen anderen Gruppenelementen nachgerechnet werden. Wie wir oben gesehen haben,
reicht es, sich die Elemente in S3 anzuschauen, die nicht selbst schon in h(123)i liegen. Da
sind also nur noch (13) und (23) übrig.
Nachrechnen zeigt, dass dort genau das passiert, was wir schon bei (12) gesehen haben: id
bleibt fest, und die beiden 3-Zyklen (123) und (132) werden bei Konjugaton mit (13) bzw.
(23) vertauscht.
Zum Schluss
Die Untergruppe h(123)i von S3 ist genau die A3 .
In der Vorlesung wuerde gezeigt, dass für jedes n ∈ N die alternierende Gruppe An ein
Normalteiler von Sn ist. Dazu wurde ein Gruppenhomomorphismus von Sn in eine andere
Gruppe angegeben, dessen Kern genau An ist.
Hier ist ein alternatives Argument, bei dem wir uns zu Fuß“ die oben wiederholte Normal”
teilereigenschaft anschauen.
Dazu sei σ ∈ An . Wir wissen dann, dass σ eine gerade Permutation ist (d.h. zusammengesetzt aus einer geraden Anzahl m ∈ N von Transpositionen).
Nun nehmen wir ein beliebiges τ ∈ Sn her und bezeichnen mit l ∈ N die Anzahl von
Transpositionen, die man braucht, um τ als Hintereinanderausführung von Transpositionen
zu schreiben.
Für das folgende Argument ist komplett egal, ob l gerade oder ungerade ist!
Wir erhalten τ −1 aus τ , indem wir die gleichen l Transpositionen, aus denen wir τ gebastelt
haben, in umgekehrter Reihenfolge hinschreiben. Insbesondere kann τ −1 mit der gleichen
Anzahl l von Transpositionen geschrieben werden.
Nun sehen wir eine Darstellung der Permutation τ −1 ∗ σ ∗ τ mit Transpositionen: Wir
schreiben einfach die l Transpositionen für τ −1 hin, dann die m Transpositionen für σ und
dann die l Transpositionen für τ . Insgesamt brauchen wir dafür l + m + l = 2 · l + m
Transpositionen, und das ist immer eine gerade Anzahl.
Daher liegt τ −1 ∗ σ ∗ τ i An , und wir haben die Normalteilereigenschaft nachgewiesen.
3