A lg o rith m ik 1

Algorithmik 1
Prof. Dr. Michael Philippsen
Handy aus!
M. Philippsen
Friedrich-Alexander-Universität
Erlangen-Nürnberg
Informatik 2 • Programmiersysteme
Martensstraße 3 • 91058 Erlangen
Graph-Grundlagen
Darstellung von Graphen im Rechner
Euler-Pfad
Graph-Traversierung
Topologische Sortierung
Kürzeste Pfade
Minimaler Spannbaum
Transitive Hülle
Matching
Kapitel 17 - Graphalgorithmen
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-3
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
v2
v4
v5
Übliche graphische Darstellung:
v1
v3
M. Philippsen
v6
v7
Ein ungerichteter Graph ist ein Graph G=(V,E) für den gilt:
für alle vi,vj V: (vi,vj) E
(vj,vi) E.
E ist symmetrisch.
In der graphischen Darstellung gehört zu jedem Pfeil ein Pfeil in die
Gegenrichtung. Statt Pfeilen zeichnet man daher spitzenlose Linien.
In der Mengenschreibweise schreibt man [vi,vj] für beide Paare.
Beispiel:
V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}
E={[v1,v2],
[v2,v3], [v2,v6], [v2,v7],
[v5,v3], [v5,v7],
[v6,v5],
[v7,v6], [v7,v7]}
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Organisatorisches
Klausuranmeldung
M. Philippsen
I&K-Studenten müssen sich zu den Klausuren Mathematik I,
Einführung in I&K, Algorithmik I und Digitaltechnik anmelden.
Nachfrist: MITTWOCH 28.1. also MORGEN!
Lehramt: bis 13.2., natürlich gerne auch früher!
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-2
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
reflexive Kante, Schlinge
Ein gerichteter Graph ist ein Paar G=(V,E), wobei
V eine endliche Menge von Knoten („vertex“) und
E eine zweistellige Relation auf V ist, d.h. E V V.
Die Elemente von E werden (gerichtete) Kante („edge“) genannt.
Knoten
M. Philippsen
(gerichtete) Kante
Übliche graphische Darstellung:
Beispiel:
v2
V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}
v7
v1
E={(v1,v2),
(v2,v3), (v2,v6), (v2,v7),
v6
(v5,v3), (v5,v7),
v4
v
(v6,v5),
3
v5
(v7,v6), (v7,v7)}
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
Ein Pfad (Weg, Kantenzug) von x nach y ist eine endliche Folge von
Knoten x=a0, a1, …, ap=y wobei (ai, ai+1) E.
p ist Anzahl der Kanten im Pfad und heißt Länge des Pfades
Der Pfad verbindet x und y,
y ist von x aus erreichbar.
Beachte: In unserer
Graph-Definition kann es
keine "parallelen Kanten
(mit gleicher Richtung)"
zwischen zwei Knoten
geben. Sonst „Multigraph“
M. Philippsen
In einem einfachen Pfad kommt jeder Knoten höchstens einmal vor.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
v5
X
M. Philippsen
zwei (einfache) Pfade von v1 nach v5
vier (einfache) Pfade von v1 nach v5
Pfade im ungerichteten Graph:
v1
v1
Pfade im gerichteten Graph:
v5
„nicht gegen die Pfeilrichtung“
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
Jeder Knoten ist von jedem anderen Knoten aus erreichbar.
X
gerichteter Beispielgraph:
X
X
M. Philippsen
Diese Knoten sind nicht von
jedem anderen Knoten aus
erreichbar.
X
Ein Graph G=(V,E) heißt (stark) zusammenhängend (oder stark
verbunden), wenn es für alle x,y V einen Pfad von x nach y gibt.
ungerichteter Beispielgraph:
X
Graph ist nur ohne diesen
Knoten zusammenhängend
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
…
Weglassen von Kanten kann Bäume erzeugen:
Ein stark zusammenhängender ungerichteter Graph heißt Baum,
wenn es keine Schlingen gibt und wenn es zwischen je zwei
verschiedenen Knoten genau einen einfachen Pfad gibt.
Ein Knoten, zu dem
nur eine Kante
führt, heißt Blatt.
M. Philippsen
Später folgt: Definition vom Bäumen in gerichteten Graphen.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
v5
v7
v6
M. Philippsen
Zyklen:
• v5, v7, v6, v5
ist minimal
• v5, v7, v7, v7, v6, v5
ist nicht minimal
• v7, v7 ist minimal
• Gibt es mehr minimale
Zyklen?
Ein Pfad der Länge p 1 von x nach x heißt Zyklus (von x nach x).
Ein Zyklus von x nach x heißt minimaler Zyklus (von x nach x), wenn
außer x kein anderer Knoten mehr als einmal vorkommt.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
M. Philippsen
Der gerichtete Graph ist daher
schwach zusammenhängend.
gerichteter Beispielgraph
(nicht stark zusammenhängend)
Ein gerichteter Graph heißt schwach zusammenhängend, wenn der
zugehörige ungerichtete Graph (der durch Hinzunahme aller
Rückwärtskanten entsteht) zusammenhängend ist.
Im gerichteten Graph gibt es
keinen Pfad zu diesem Knoten
zugehöriger ungerichteter Graph
ist zusammenhängend:
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-10
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein Graph G'=(V',E') ist ein Teilgraph (Untergraph) eines Graphen
G=(V,E) genau dann, wenn V' V und E' E.
Ein Teilgraph muss
diese Kante nicht
enthalten, wohl
aber ein induzierter
Teilgraph.
Ein Graph G'=(V',E') ist ein induzierter Teilgraph eines Graphen
G = (V,E) gdw V' V und E' = { (u,v) ∈ E | u,v ∈ V' }
M. Philippsen
Wähle einige Knoten aus G aus; es „überleben“ in E'
alle Kanten, die diese ausgewählte Knoten verbinden
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
M. Philippsen
…
Sind G ein Graph und R ein zyklenfreier Teilgraph von G, der alle
Knoten von G enthält, und sind G und R beide zusammenhängend,
dann heißt R Spannbaum (aufspannender Baum) von G.
Einige Spannbäume:
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-13
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17.1 Graph-Grundlagen
Eine Zusammenhangskomponente Z eines Graphen ist ein
zusammenhängender Teilgraph von G, der in keinem anderen
zusammenhängenden Teilgraph von G enthalten ist. Z ist also ein
maximaler zusammenhängender Teilgraph von G.
Folgender Graph hat zwei Zusammenhangskomponenten:
M. Philippsen
Jeder Graph kann in eindeutiger Weise in die Menge seiner
Zusammenhangskomponenten partitioniert werden.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-15
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17.1 Graph-Grundlagen
4
3
3
0/1
2/0
1/3
Eingangs-/Ausgangsgrad
3/2
2/1
M. Philippsen
Knoten mit Grad 0/* heißen Quelle,
Knoten mit Grad */0 heißen Senke.
1/2
gerichteter Beispielgraph:
Die Anzahl der direkten Vorgänger eines Knotens heißt
Eingangsgrad des Knotens. Die Anzahl der direkten Nachfolger eines
Knotens heißt Ausgangsgrad des Knotens. Bei ungerichteten
Graphen spricht man vom Grad des Knoten.
0
3
ungerichteter Beispielgraph:
1
2
Grad
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
Eine Familie Gi=(Vi,Ei) mit i ∈ {1,…,n} von Teilgraphen heißt
Partitionierung eines Graphen G = (V,E) gdw
M. Philippsen
Partitionierung in 3 Komponenten
Jeder Graph Gi wird Komponente von G genannt.
1. jeder Graph Gi zusammenhängend ist und
2. ∀i,j ∈ {1,…,n}, i≠j Vi ∩Vj = ∅
3. Ui=1...n Vi = V
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-14
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17.1 Graph-Grundlagen
Ist (x,y) E, so heißen
x direkter Vorgänger (bei gerichteten Graphen auch: Elternknoten) von y
y direkter Nachfolger (bei gerichteten Graphen auch: Kind) von x.
Man schreibt x → y
Die Kante (x,y) heißt inzident zu x (bzw. zu y).
Falls ein Pfad von x nach z führt, so heißen
B
D
A
F
E
M. Philippsen
A ist Vorfahr von allen anderen Knoten
C und D sind Kinder von B
B und E sind Eltern von D
F ist Nachkomme von A und von E
x Vorgänger (bei gerichteten Graphen auch: Vorfahr) von z
z Nachfolger (bei gerichteten Graphen auch: Nachkomme) von x.
Man schreibt x →* y
C
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein stark zusammenhängender ungerichteter Graph heißt Baum,
wenn es keine Schlingen gibt und wenn es zwischen je zwei
verschiedenen Knoten genau einen einfachen Pfad gibt.
Bei gerichteten Graphen sind mehr Begriffe nötig:
Wurzel
X
Wurzelgraph:
Wurzel
M. Philippsen
Gerichteter azyklischer Graph (DAG, „directed acyclic graph“):
Gerichteter Graph ohne Zyklen.
Ein Knoten v eines DAG heißt Wurzel, falls es keine auf ihn gerichteten
Kanten gibt. Hat ein DAG nur eine Wurzel, so heißt er Wurzelgraph.
DAG:
Wurzel
nur zyklenfrei, wenn X entfernt ist.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
Baum:
X
X
Es gibt noch andere
Möglichkeiten, um durch
Entfernen von Kanten
aus dem Graph ein
Baum zu machen.
Bei gerichteten Graphen ist ein Baum ein Wurzelgraph, in dem zu
jedem Knoten genau ein (eindeutiger) Pfad von der Wurzel aus führt.
Wurzel
Ein DAG mit mehreren Wurzeln, aber eindeutigen Pfaden, heißt
Wald.
M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Aus dieser Baum-Definition folgt:
Es gibt (auch bei gerichteten Graphen) keinen Zyklus.
Die Wurzel ist der einzige Knoten ohne direkten Vorgänger.
Jeder andere Knoten hat genau einen direkten Vorgänger, er kann aber
beliebig viele direkte Nachfolger haben.
Abweichend zu ungerichteten Graphen definiert man:
M. Philippsen
Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Nachfolger eines Knotens.
(Es werden als nur die Ausgangskanten berücksichtigt.)
Der Grad des Baums ist der maximale Grad seiner Knoten.
Ein Knoten mit Grad 0, also ohne Nachfolger, heißt Blatt.
Alle anderen Knoten heißen innere Knoten des Baums.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
Weitere Baum-Begriffe (2)
Binärbaum = Baum mit Grad 2
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
Beispiele:
*
3
Ausdrucksbaum
„Kantorowitsch-Baum“ 5 * (7-3)
5
7
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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Elisabeth
Victoria
Loius
Andrew
Alice
ist Kind von
Olga
Georg I
Mary
Georg VI
George V
Cecilia
Claude
Abstammungsbaum
Elisabeth II
Philip
M. Philippsen
Charles
M. Philippsen
Bei binären Suchbäum andere Höhen-Definition: Blätter
haben die Höhe 0, Höhe eines Knotens = Länge des
längsten Pfades zu einem Blatt.
Die Wurzel hat die Höhe 0.
Die Höhe aller direkten Nachfolger eines Knotens v ist um 1 größer als
die Höhe von v.
Die Länge des Pfades von der Wurzel zu einem Knoten k bestimmt
die Höhe von k im Baum.
Triviale Bäume: leerer Graph; kantenloser Graph mit nur einem
Knoten.
Unterbäume sind wieder Bäume.
Der Unterbaum eines Knotens v im Baum sind v und alle
nachfolgenden Knoten plus die verbindenden Kanten.
Weitere Baum-Begriffe (1)
M. Philippsen
0:1
M. Philippsen
1:1
Unterbaum dieses Knotens:
2:0
2:1
2:0
innerer Knoten
3:1
Blatt
Jeder Knoten hat maximal 2 Nachfolger.
Man spricht vom rechten/linken Kind (Nachfolger, Sohn).
Wenn bei der graphischen Darstellung von Bäumen klar ist, welcher
Knoten die Wurzel ist (und welche Bedeutung die Kante zwischen
Elternknoten und Kinderknoten hat), kann man auf die Pfeilspitzen
verzichten.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
1:2
17.1 Graph-Grundlagen
4:0
Am Beispiel:
0:1
Wurzel
Blatt
n:m = Höhe:Grad
Grad des Baums: 2
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
J
D
F
E
G
2
4
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
A
B
C
3
N
Ü
R
N
B
E
R
G
H
J
D
E
F
300
M. Philippsen
M. Philippsen
boolean-Werte: true (1)
bedeutet, dass es eine
Kante von 2 nach 4 gibt.
M. Philippsen
G
Andere Darstellungsformen von Bäumen
Einrückungsdarstellung
H
C
Kontour-Darstellung
B
A
Listendarstellung
A(B(HJ)C( DE( G)F ))
Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
1
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Graphische Darstellung:
0
0
1
0
1 2 3 4
Mengenschreibweise:
G = (V,E) mit x
y
(x,y) ∈ E V V.
V={1,2,3,4} E={(1,2), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (4,4)}
Matrixdarstellung:
(Adjazenzmatrix)
1
2
3
4
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-27
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M
Ü
N
C
H
E
N
S
T
U
T
T
G
A
R
T
L
E
I
P
Z
I
G
K
A
R
L
S
R
U
H
E
-
100 230
250 150 450
400 300 300 70
400
-
-
LEIPZIG
300 250
450 230 300
300 150 100
70
NÜRNBERG
STUTTGART
MÜNCHEN
KARLSRUHE
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Adjazenzmatrix
Entfernungstabelle
ist die bekannteste
Form der Adjazenzmatrix
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-29
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.1 Graph-Grundlagen
Ein Graph G=(V,E) wird zu einem bewerteten/gewichteten Graphen,
>0 ergänzt,
indem man eine Gewichtsfunktion gw:E
bzw. gw:E
die jeder Kante e E ein positives Gewicht gw(e) zuordnet.
c(w) =
i=0
p-1
gw(ai,ai+1)
Die (bewertete) Länge c(w) eines Pfades w definiert man in
gewichteten Graphen als die Summe der Gewichte seiner Kanten:
für w = (x=a0, a1, …, ap=y) ist
true},
true},
false},
true}
M. Philippsen
Statt von (bewerteter) Länge spricht man auch von Kosten („cost“)
des Pfades w.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-26
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
3
}
boolean [][] kanten = {
{false, true, false,
{false, false, true,
{true, false, false,
{false, false, false,
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
2
Adjazenzmatrix
1
4
2
3
1
4
Knoten(1,
Knoten(2,
Knoten(3,
Knoten(4,
4
4
new
new
new
new
1
2
M. Philippsen
3
M. Philippsen
Verbindung(2, new Verbindung(4));
Verbindung(3, new Verbindung(4));
Verbindung(1));
Verbindung(4));
4
Bei ungerichteten Graphen sind Adjazenzmatrizen symmetrisch, es
reicht die Speicherung einer Dreiecksmatrix.
Graphen ohne Schlingen haben in der Diagonalen stets „false“.
Graphen mit wenigen Kanten führen zu spärlich besetzten Matrizen.
Bei bewerteten/gewichteten Graphen speichert man statt booleanWerten die Kantengewichte in der Matrix. Fehlende Kanten durch ein
Gewicht nahe ausgedrückt.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-28
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
new
new
new
new
1
2
3
4
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
=
=
=
=
Adjazenzlisten:
knoten[1]
knoten[2]
knoten[3]
knoten[4]
Bei gewichteten Graphen hat das Verbindungsobjekt
Instanzvariablen für die Speicherung des Gewichts.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-30
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Nachfolger von Knoten 1
sind die Knoten 2 und 4.
10
5
2
6
4
7 8
Kanten
3
9 10
1
Als Reihung:
9
4
4
7
3
4
5
2
Knoten
1
Die Nachfolger von
Knoten 1 finden sich in
der Reihung ab
Position 5 (und bis <7)
C
B
1
A
2
4
3
M. Philippsen
D
M. Philippsen
Bei gewichteten Graphen hat die Reihung zwei „Zeilen“.
Gewichte im Kantenteil der 2. Zeile speichern.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-31
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.3 Euler-Pfad
Königsberger Brückenproblem:
Gibt es einen geschlossenen
Pfad, der über alle 7 Brücken
führt?
Zeichenproblem:
Kann das Häuschen mit
einem Strich gezeichnet
werden?
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-33
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Bisher war die Bearbeitung der Eingabe immer einfach: man ist
sequentiell vorgegangen und hat ein Eingabe-Element nach dem
anderen betrachtet.
Aber bei Graphen? Traversierung von Graphen, die jeden Knoten
einmal betrachten, ist eine Aufgabe für sich, die in vielen GraphAlgorithmen bewältigt werden muss.
Gegeben: Graph G
Gesucht: Besuch jedes Knotens
Lösungswege:
M. Philippsen
Tiefensuche
Breitensuche
Bei Bäumen können spezielle Verfahren angewendet werden, weil keine
Zyklen vorliegen.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-35
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Graphik:
+ geeignet für einige mathematische Operationen
- teure Suche nach Knoten und Kanten
+ sehr leicht lesbar für Menschen
- extrem kompliziert für maschinelle Bearbeitung
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Mengen:
+ sehr kompakte Darstellung (wenig Speicher), O(|V|+|E|)
- kostspielige Suche nach Kanten, O(|E|)
Adjazenzmatrix:+ sehr schnell feststellbar, ob eine Kante existiert, O(1)
+ manche Graphenoperationen lassen sich als
Matrizenoperationen darstellen
- Speicherverschwendung bei dünnen Graphen, O(n²)
Adjazenzliste:
+ noch kompakter als Liste
- aufwändige Änderungen (Einfügen/Löschen)
M. Philippsen
Reihung:
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-32
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.3 Euler-Pfad
Pfad, der alle Kanten umfasst und jede genau einmal durchläuft.
Eulerscher Pfad:
A
D
als Multigraph, da
parallele
Kanten
C
B
A
D
Eulerscher Pfad, bei dem Start- und Endknoten identisch sind.
Eulerscher Zyklus:
C
B
M. Philippsen
Die Frage, ob ein Eulerscher Zyklus existiert, ist leicht zu beantworten.
Idee: Wenn man in einen Knoten kommt, muss man auf anderem
Weg wieder herauskommen.
Euler zeigte: Es existiert ein Euler-Zyklus gdw. der Grad jedes
Knotens durch 2 teilbar ist und der Graph zusammenhängend ist.
(Beweisrichtung
leicht, Beweisrichtung
Übung)
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-34
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Grundidee der Tiefensuche (DFS, „depth-first-search“)
13
2
3
7
11
M. Philippsen
mögliche Tiefensuch-Reihenfolgen:
2, 13, 5, 1, 3, 7, 11
2, 13, 3, 5, 1, 7, 11
2, 7, 11, 13, 5, 1, 3
2, 7, 11, 13, 3, 5, 1
Besuche zuerst die Kinder jedes Knotens, Absteigen bis zum Blatt,
dann zum nächsten Blatt, …
5
1
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-36
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
17.4 Graph-Traversierung
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-38
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Rekursion am Beispiel:
13
2
3
7
11
X
DFS(7)
X
DFS(2)
DFS(13)
Besuch der Nachfolger von links nach rechts
5
1
while-Schleife über die
Kanten, die von 2 abgehen,
hier v.l.n.r.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-40
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
}
}
}
}
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-42
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
X
2
1
3
M. Philippsen
DFS(1)
M. Philippsen
M. Philippsen
5
4
Die Kinder eines
Knotens v kommen
oben auf den
Keller. Ein Kind k
wird als erstes
besucht. Dessen
Kinder kommen
wieder oben auf
den Keller …
Erst wenn alle
Enkel (und deren
Nachfolger) besucht wurden,
kommen die
Geschwister von
k an die Reihe …
Tiefensuche
DFS(11)
DFS(3)
DFS(5)
Die Markierung dient dazu, dass der Algorithmus bei
allgemeinen Graphen nicht in Endlosschleifen läuft.
Es wird nur die Zusammenhangskomponente besucht,
in der sich der Startknoten befindet.
Startknoten
Grundidee der Tiefensuche (DFS, „depth-first-search“)
Speicherung als Adjazenzliste:
Reihenfolge nicht festgelegt.
Jeder Knoten einer
Zusammenhangskomponente
wird erreicht: sonst gäbe es
einen Knoten ohne
Markierung, der über eine
Kante mit einem markierten
Knoten verbunden ist. Das
kann nicht vorkommen.
X
Tiefensuche am Beispiel
Besuch eines Museums mit vielen Gängen, wobei man jeden Gang
ablaufen möchte.
Verfahren:
Man läuft in das Museum hinein.
Man betritt einen neuen Gang, sobald er sich öffnet. Wenn sich mehrere
Gänge gleichzeitig öffnen, wählt man einen (meist den linken).
und hinterlässt an der Kreuzung einen Kieselstein.
Wenn man an eine Kreuzung stößt, die bereits einen Kiesel hat, kehrt
man um und geht den gleichen Weg zurück bis zur vorhergehenden
Kreuzung.
Wenn von dieser noch ein unausprobierter Gang abgeht, wird dieser
erforscht.
Gibt es keinen unausprobierten Gang mehr, kann der Kieselstein
entfernt werden und weiter zurück gegangen werden.
}
M. Philippsen
Ariadne benutzte ein Garnknäuel, um Theseus die Rückkehr aus
dem Labyrinth zu ermöglichen, in dem er den Minotaurus getötet hat.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-37
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Rekursive DFS-Implementierung
}
void DFS(Graph G, Node v) {
v.mark();
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
DFS(G, e.target);
}
M. Philippsen
Erweiterung für nicht zusammenhängenden Graph:
wiederhole beginnend bei unmarkiertem Knoten
Aufwand O(|V|+|E|):
• jede der |E| Kanten wird von beiden Seiten betrachtet
• zusätzlich gibt es ggf. isolierte Knoten in V
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-39
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
DFS(1)
DFS(3)
DFS(7)
17.4 Graph-Traversierung
DFS(2) DFS(13) DFS(5)
DFS(7)
DFS(3)
DFS(7)
DFS(7)
DFS(11)
Iterative DFS-Implementierung mit Keller
2
7
DFS(3)
DFS(7)
M. Philippsen
void DFS(Graph G, Node v) {
Keller k = new Keller();
k.push(v); //merke Wurzel für Besuch vor
while (!k.isEmpty()) {
//besuche oberstes Kellerelement
v = k.top(); k.pop();
v.mark();
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
//lege alle Nachfolger auf Keller
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
k.push(e.target);
Keller zur Implementierung der Rekursion
13
3
11
Besuch der Nachfolger von links nach rechts
5
1
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-41
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
M. Philippsen
Graph wird besucht, um
eine bestimmte Aufgabe
zu erledigen. Abhängig
von der Aufgabe sind zu
konkretisieren:
• präKnotenArbeit: was ist
beim ersten Betreten eines
Knotens zu tun?
• inKnotenArbeit: was ist
zwischen dem Besuchen
der Nachfolger zu tun?
• postKnotenArbeit: was ist
nach Besuch aller Nachfolger zu tun?
• kantenArbeit: was ist beim
Abstieg zu tun?
(Rekursive) DFS-Implementierung mit Nutzarbeit
void DFS(Graph G, Node v) {
v.mark();
//präKnotenArbeit(v);
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
//inKnotenArbeit(v);
DFS(G, e.target);
//kantenArbeitif(e)
}
//kantenArbeitimmer(e);
}
//postKnotenArbeit(v);
}
Aufgabe: ergänzen Sie Nutzarbeit
in iterativer Version
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-43
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: Knotenzahl des Unterbaums (1)
3
8
6
1
2
1
}
}
*
7
M. Philippsen
void DFSKnotenZahl(Graph G, Node v) {
v.mark();
v.zaehler = 1; //präKnotenArbeit(v)
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
DFSKnotenZahl(G, e.target);
}
//kantenArbeitimmer(e):
v.zaehler += e.target.zaehler;
Gegeben: Baum G
Gesucht: Bestimmt für jeden Knoten v die Anzahl der Knoten des
Unterbaums, der v als Wurzel hat.
1
1
In Bäumen gibt
es keine bereits
markierten
Nachfolger.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-44
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
5 * (7-3)
573-*
-
17.4 Graph-Traversierung
-
M. Philippsen
//Operatoren zwischen den Operanden
//Operatoren hinter den Operanden
//siehe „Auswertung mit Keller“
//Operatoren stehen vor Operanden
//“polnische Notation“
5
17.4 Graph-Traversierung
Betrachte den Ausdruck 5 * (7-3)
Darstellung als Ausdrucksbaum:
Infix-Form:
Postfix-Form:
*5-73
?
ang
enh
amm
Zus
Präfix-Form:
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-46
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
3
DFS-Anwendungsbeispiel: Ausdrucksbaum (1)
D
F
3
1
A.zaehler = 1;
A
B.zaehler = 1;
C
A.zaehler += B.zaehler // = 2
C.zaehler = 1;
E
D.zaehler = 1;
G
H
F.zaehler = 1;
D.zaehler += F.zaehler // = 2
G.zaehler = 1;
D.zaehler += G.zaehler // = 3
C.zaehler += D.zaehler // = 4
8
E.zaehler = 1;
6
H.zaehler = 1;
2
E.zaehler += H.zaehler // = 2
C.zaehler += E.zaehler // = 6
A.zaehler += C.zaehler // = 8
1
DFS-Anwendungsbeispiel: Knotenzahl des Unterbaums (2)
B
1
1
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-45
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
5.
6.:„(“
2.:„5“
5
1. Besuche Unterbäume (v.l.n.r.)
2. postKnotenArbeit: Drucke Knotensymbol1.
Solange „links-abwärts“ wie
möglich. Rechtes Kind wird
erst besucht, wenn der
linke Unterbaum völlig
abgearbeitet ist.
*
3.
6.:„7“
4.
5.
7
erzeugte lineare Liste: 5 7 3 - …
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-48
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
7.
-
3
9.:„3“
M. Philippsen
8.
11.:„-“
Tiefensuche durch Ausdrucksbaum, dabei Nachfolger v.l.n.r.
Postfix/Postorder-Form
DFS-Anwendungsbeispiel: Ausdrucksbaum (3)
*
3.
7.
7
3
DFS-Anwendungsbeispiel: Ausdrucksbaum (2)
5
8.:„7“
M. Philippsen
Tiefensuche durch Ausdrucksbaum, dabei Nachfolger v.l.n.r.
Infix/Inorder-Form (nur Binärbäume)
4.: „*“
2.:„5“
1. Besuche linken Unterbaum
2. inKnotenArbeit: Drucke Knotensymbol 1.
3. Besuche rechten Unterbaum
Zahlen geben die
Reigenfolge an, in „“
steht ausgegebener Text
erzeugte lineare Liste: 5 * ( 7 - …
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-47
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
36
39
26
41
39
41
43
94
54
57
65
65
97
78
78
92
99
92
94
99
M. Philippsen
97
17.4 Graph-Traversierung
DFS mit
inKnotenArbeit
27
36
= drucke Wert
27
57
17.4 Graph-Traversierung
10.
3
26
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-50
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Initialisierung: Knoten "ganz links" im Baum
}
position = treeSet.root;
if (position != null) {
while (position.left != null) {
position = position.left;
}
alte
position
neue
position
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-54
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
}
}
M. Philippsen
M. Philippsen
if (position.right != null) {
position = position.right;
while (position.left != null) {
position = position.left;
Dann wird zu diesem rechten Nachfolger gegangen und von dort sofort
weiter so weit wie möglich nach links unten.
Beim next()-Aufruf wird der Knoten position zurück gegeben.
Für den nächsten next()-Aufruf wird position fortgeschaltet.
Fall 1: Der aktuelle Knoten position (der keinen linken Nachfolger
haben kann) hat einen rechten Nachfolger.
Tiefensuche-Iterator für Inorder-Besuch (3)
17.4 Graph-Traversierung
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-52
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
An der Stelle position geht es nicht mehr nach links weiter,
position hat (wenn überhaupt) einen rechten Nachfolger.
position
Zustand des Iterators muss im Iterator-Objekt gespeichert werden:
Instanzvariable position zeigt jeweils auf dasjenige Element, das
beim nächsten next()-Aufruf geliefert werden soll.
Tiefensuche-Iterator für Inorder-Besuch (1)
54
Inorder-Besuch eines binären Suchbaums liefert sortierte Liste
4. 5.
6.:„-“
7.
7
11.:„3“
M. Philippsen
43
DFS-Anwendungsbeispiel: Ausdrucksbaum (4)
5
8.:„7“
9.
Tiefensuche durch Ausdrucksbaum, dabei Nachfolger v.l.n.r.
3.:„5“
Präfix/Präorder-Form
1.:„*“
1. präKnotenArbeit: Drucke Knotensymbol
*
2. Besuche Unterbäume (v.l.n.r.)
2.
Solange „links-abwärts“ wie
möglich. Rechtes Kind wird
erst besucht, wenn der
linke Unterbaum völlig
abgearbeitet ist.
erzeugte lineare Liste: * 5 - 7 3
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-49
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Beim Besuchen von Binärbäumen kann man die Tiefensuche iterativ
implementieren, ohne einen expliziten Keller zu benötigen.
Idee:
Die zwei Nachfolger sind ohnehin im Knoten gespeichert und können
v.l.n.r. abgefragt werden.
Wenn man die aktuelle Besuchsposition kennt kann man beim
Rückkehren von unten erkennen, ob man von links unten oder von
rechts unten kommt.
Wenn man von links unten kommt, dann muss der rechte Nachfolger (und
dessen Nachfahren) noch besucht werden
Wenn man von rechts kommt, geht‘s weiter Richtung Wurzel zurück
M. Philippsen
Auf den folgenden Folien wird ein entsprechender Iterator für einen
Binärbaum entwickelt, der bei next() den nächsten Knoten gemäß
DFS-Reihenfolge liefert.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-51
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche-Iterator für Inorder-Besuch (2)
class TreeSetIterator implements java.util.Iterator {
// Zu traversierender Baum
private TreeSet treeSet;
M. Philippsen
private Entry position; // Aktuelle Position
public TreeSetIterator(TreeSet treeSet) {
this.treeSet = treeSet; //ggf. Baum vorher kopieren
// Erste Position ist Knoten "ganz links"
position = treeSet.root;
if (position != null) {
while (position.left != null) {
position = position.left;
}
}
}
public boolean hasNext() {
return position != null;
}
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-53
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche-Iterator für Inorder-Besuch (4)
}
M. Philippsen
//Schleppzeiger
Entry previous = position;
position = position.parent;
if (position.right == previous) {
//Fall 2b
} else {
//Fall 2a
Wie unterscheidet man zwischen
den Fällen 2a und 2b?
Fall 2: Der aktuelle Knoten position (der keinen linken Nachfolger
haben kann) hat auch keinen rechten Nachfolger.
Rückweg Richtung Wurzel
Fall 2a: von links kommend
neue
position
alte
position
neue position
Fall 2b: von rechts kommend
alte
position
17.4 Graph-Traversierung
//Ergebnis konservieren
//Fall 1
M. Philippsen
if (position == treeSet.root) position = null; //Wurzel erreicht
else {
Entry prevPosition = position;
// Schleppzeiger
position = position.parent;
// Aufstieg um eins
while (
position.right==prevPosition
&& position!=treeSet.root){
prevPosition = position; position = position.parent;
}
if (position.right==prevPosition && position==treeSet.root)
//Wurzel erreicht
position = null;
}
}
return result; //konserviertes Ergebnis zurückgeben
position = position.right;
while (position.left != null) position = position.left;
} else { //Fall 2
public Object next() {
Object result = position.value;
if (position.right != null) {
}
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-56
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-55
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
1
7
8
2
3
4
6
5
1
7
Tiefensuchbaum, „DFS-tree“) auf, einen Spannbaum.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-58
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
kantenArbeitif baut aus diesen Kanten den sog. DFS-Baum (oder
Durchgezogene Kanten verbinden Knoten mit denjenigen Nachfolgern,
die die DFS-Nummerierung als noch unmarkiert vorgefunden hat.
Startknoten
DFS-Anwendungsbeispiel: DFS-Nummerierung/-Baum (2)
2
6
Beweis:
Es sei (v,u) Kante von G, v sei
bereits besucht. Nach dem
Markieren von v werden die
Nachfolger von v besucht.
Wäre u als erster Nachfolger
besucht worden, dann würde
(v,u) zu F gehören.
Oder u wird besucht, ehe DFS
zum Vorgänger von v zurücklehrt, dann ist u Nachfolger von
v in T.
8
Knoten mit DFS-Nummern:
DFS-Anwendungsbeispiel: DFS-Nummerierung/-Baum (1)
Die Tiefensuche durchläuft die Knoten eines Graphen in einer
bestimmten Reihenfolge.
Wenn jedem Knoten die Position in dieser Reihenfolge zugeordnet
wird, ist das eine DFS-Nummerierung.
DFS-Nummern sind für viele Graph-Algorithmen nützlich.
Umsetzung mit DFS-Algorithmus:
Globale Variable dfs = 0 vor dem Start initialisieren
präKnotenArbeit(v): v.dfs = dfs++
DFS-Nummer des Knotens wird auf den Wert der globalen Variable
gesetzt; diese wird inkrementiert.
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-57
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche in gerichteten Graphen:
3
Es gibt keine
Querverbindungen
M. Philippsen
V
Tiefensuche(V) durchläuft alle Knoten
Tiefensuche(A) durchläuft nur die Knoten A,B und C
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-60
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Ebenso wie man bei ungerichteten Graphen davon ausgeht, dass
der DFS-Algorithmus so lange läuft, bis alle Zusammenhangskomponenten bearbeitet sind, geht man auch bei gerichteten
Graphen davon aus, dass DFS so oft mit noch unbesuchten
Knoten wiederholt wird, bis alle Knoten besucht worden sind.
B
C
A
Prinzip ist gleich wie bei ungerichteten Graphen.
Aber Problem: Welcher Teil des Graphen abgesucht wird, hängt vom
Startknoten ab:
Wichtige Eigenschaft ungerichteter DFS-Bäume
1
7
4
Seien G=(V,E) ein ungerichteter Graph und T=(V,F) ein DFS-Baum
von G, dann gilt für alle Kanten e E entweder e F oder e verbindet
zwei Knoten von G, von denen einer Vorfahre des anderen in T ist.
6
5
8
Am Beispiel:
2
3
4
5
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-59
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
1
7
Einen (gerichteten) Zyklus kann es nur
geben, wo es eine Rückwärtskante gibt.
Rückwärskante („backward edge“)
17.4 Graph-Traversierung
3
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-62
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Auf dem Pfad von der Wurzel nach unten setzt man eine boolesche
Variable auf true.
Man setzt diese Variable auf false, wenn man alle Nachfolger besucht hat,
ohne einen Zyklus zu finden.
Eine Rückwärtskante (v,w) erkennt man daran, dass die boolesche
Variable von w noch immer gesetzt ist. (Bei Vorwärtskanten und
Querkanten ist die Variable bereits wieder auf false gesetzt worden.)
Erkennung des Zyklus per DFS-Algorithmus:
5
6
17.4 Graph-Traversierung
Baumkante („tree edge“)
Vorwärskante („forward edge“)
Rückwärskante („backward edge“)
2
Zyklenerkennung (1)
Definiert für DFS-Baum im gerichteten Graphen:
1
6
7
Querkante („cross edge“), von rechts nach links
M. Philippsen
4
Verschiedene Kantenarten in DFS-Bäumen gerichteter Graphen
3
2
Baumkanten sind Teil des Tiefensuchbaums
Nicht Teil des Tiefensuchbaums sind
Vorwärtskanten verbinden Knoten mit einem Nachkommen
Rückwärtskanten verbinden mit einem Vorfahr
Querkanten verbinden „nicht direkt verwandte“ Knoten
4
5
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-61
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
7
6
17.4 Graph-Traversierung
1
17.4 Graph-Traversierung
2
3
5
XX X
2
1
5
M. Philippsen
3
4
M. Philippsen
Seien G=(V,E) ein gerichteter Graph und T=(V,F)
ein DFS-Baum von G, dann gilt für alle Kanten
e=(v,w) E: wenn v.dfs<w.dfs, dann ist v Vorfahre
von w in T.
Wichtige Eigenschaft gerichteter DFS-Bäume
Erkennung des Zyklus per DFS-Algorithmus:
mögliche Breitensuch-Reihenfolgen:
2, 13, 7, 5, 3, 11, 1
2, 7, 13, 11, 3, 5, 1
…
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-66
X
X
5 ist weder Vorfahre von 4 noch von 2.
7 ist nicht Vorfahre von 5.
1 ist aber Vorfahre von 5.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-64
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
4
Zyklenerkennung (2)
Auf dem Pfad von der Wurzel nach unten setzt man eine boolesche
Variable auf true.
Man setzt diese Variable auf false, wenn man alle Nachfolger besucht hat,
ohne einen Zyklus zu finden.
Eine Rückwärtskante (v,w) erkennt man daran, dass die boolesche
Variable von w noch immer gesetzt ist. (Bei Vorwärtskanten und
Querkanten ist die Variable bereits wieder auf false gesetzt worden.)
Konkret:
M. Philippsen
präKnotenArbeit(v): v.onPath = true;
knotenArbeitimmer(e): if (e.target.onPath) {
Zurücksetzen
foundCycle=true;
nachdem letzter
break;
Nachfolger
}
if (!iter.hasNext()) { besucht wurde.
v.onPath=false;
}
17.4 Graph-Traversierung
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-63
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.4 Graph-Traversierung
Breitensuche am Beispiel:
2
7
M. Philippsen
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Grundidee der Breitensuche (BFS, „breadth-first-search“)
13
3
11
Besuche die Knoten eines Graphen also „ebenenweise“: erst alle
Knoten mit Höhe 0, dann alle mit Höhe 1, dann alle mit Höhe 2, …
5
1
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-65
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Implementierung:
ersetze den Keller
der iterativen DFSImplementierung
durch Schlange
(FIFO).
5
6
7
Eingangsgrad 0
1
2
3
7
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-70
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.6 Kürzeste Pfade
Suche nach einem geschlossenen
Pfad durch gegebene Knoten:
Wie besucht ein Handlungsreisender alle seine
Kunden mit einer Rundreise?
S
400
230
300
300
L
Suche nach einem „billigen“ Pfad:
KA
Wie komme ich am billigsten von
Stuttgart nach Leipzig?
oder beides:
Billigste Rundreise?
70
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-72
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
2
13 7
753
5 3 11
3 11 1
11 1
1
70
KA
N
100
M
150
S
400
230
300
300
L
M. Philippsen
N
M. Philippsen
100
M
150
M. Philippsen
Es gibt sicher einen Knoten v mit Eingangsgrad 0.
(Sonst gäbe es einen Zyklus).
Dieser Knoten bekommt die Nummer 1.
Für die übrigen n-1 Knoten wird nach Induktionsvoraussetzung eine
topologische Sortierung von 2…n“ berechnet.
Hypothese: Es ist klar, wie man Graphen mit <n Knoten topol. sortiert
Induktionsanfang: Der einzige Knoten eines Graph mit |V|=1
bekommt die Nummer 1; dies ist die topologische Sortierung
Induktionsschritt „n-1 n“:
17.5 Topologische Sortierung
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-68
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
1
13
17.4 Graph-Traversierung
4
11
17.4 Graph-Traversierung
}
2
M. Philippsen
5
Breitensuche mit Schlange
}
M. Philippsen
prä/post/in sind
nicht wohldefiniert.
Daher nur arbeit.
Iterative BFS-Implementierung mit Schlange
}
void DFS(Graph G, Nod v) {
Schlange s = new Schlange();
k.enq(v); //merke Wurzel für Besuch vor
while (!s.isEmpty()) {
//besuche vorderstes Schlangenelement
v = s.front(); s.deq();
v.mark();
//Arbeit(v);
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
//lege alle Nachf. in Schlange
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
k.enq(e.target);
}
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-67
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.5 Topologische Sortierung
Beispiel: Eine Menge von Aufgaben muss erledigt werden. Manche
Aufgaben hängen von einer anderen Aufgabe ab und können erst
begonnen werden, wenn die erste Aufgabe erledigt ist. In welcher
Reihenfolge sollten die Aufgaben hintereinander ausgeführt werden?
3
Gegeben: gerichteter azyklischer Graph G=(V,E) mit n Knoten.
Gäbe es einen Zyklus, dann kann keine sequentielle Reihenfolge der
Aufgaben gefunden werden, die alle Abhängigkeiten berücksichtigt.
Gesucht: Nummerierung der Knoten von 1 bis |V|=n, so dass alle
Knoten, die von einem Knoten v mit Nummer k aus erreicht werden
können, eine Nummer >k haben.
1
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-69
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.5 Topologische Sortierung
Algorithmus zum topologischen Sortieren
kantenArbeit(e): e.target.indegree++
1. Traversiere den Graph und berechne für jeden Knoten eine
Instanzvariable indegree, die mit dem Eingangsgrad initialisiert wird:
2. Knoten mit indegree==0 werden in einen beliebigen
Behälterdatentyp (Liste, Schlange, Keller, …) gesteckt.
3. Initialisiere einen globalen Zähler topolSort = 0
4. Solange der Behälter nicht leer ist:
Entnimm einen Knoten v und setze v.topoNr=topolSort++;
Für alle direkten Nachfolger w von v
Setze w.indegree -= 1;
Wenn w.indegree==0 dann füge w in den Behälter ein
M. Philippsen
Aufwand O(|V|+|E|): indegree-Berechnung O(|V|+|E|), Behälterzugriff
O(1), jeder Kante wird einmal berücksichtigt, wenn indegree des
Zielknotens verkleinert wird O(|E|).
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-71
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.6 Kürzeste Pfade
Bemerkungen
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-74
5
11
6
24
W
22
25
c(sp(v,x))=13
c(sp(v,y))=17
c(sp(v,z))=19
3
8
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
y
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-76
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
v
V2={w,x}
V3={w,x,y}
Vk
z
Vk+1
z
w
w
der Knoten mit dem
kürzestem Abstand zu v
die 2 Knoten …
die 3 Knoten …
M. Philippsen
Wegen der gestrichelten
Kante könnte es in Vk+1
einen billigeren Weg zu z
geben als vorher in Vk.
Sei w der Knoten, mit
dem k+1-kleinsten
Abstand zu v.
M. Philippsen
Suche denjenigen Knoten w Vk, der den k+1-kleinsten Abstand zu v hat.
Induktionsschritt „k k+1“:
Die Menge Vk der k Knoten, die am nächsten an v liegen, ist bekannt.
In Vk ist also der Knoten mit dem kürzesten Abstand zu v, mit dem
zweitkleinsten Abstand zu v, …, mit dem k-kleinsten Abstand zu v.
Induktionsannahme:
3
Betrachte Knoten v und alle seine abgehenden Kanten.
Offensichtlich: Wenn (v,w) die kürzeste Kante ist, die von v abgeht, dann
ist w der Knoten, der am nächsten an v liegt.
V1={w}
v
x
w
2
1
M. Philippsen
Widerspruchsbeweis: Angenommen es gäbe einen kürzeren Pfad p“ von
vi nach vj. Dann kann in p p‘ durch p“ ersetzt werden, der entstehende
Pfad von v0 nach vk wäre kürzer als p.
Für jeden kürzesten Pfad p = (v0, v1, ..., vk) von v0 nach vk ist jeder
Teilpfad p‘ = (vi, ..., vj), 0≤i<j ≤k, ein kürzester Pfad von vi nach vj.
2
In gerichteten Graphen gilt natürlich nicht, dass der kürzeste Pfad
von v nach w der gleiche ist wie der von w nach v.
Suche nach dem kürzesten Pfad
Gegeben:
Gesucht:
Ein Graph, zwei Knoten v und w.
Der (nach Anzahl der Kanten) kürzeste Pfad
von v nach w.
v
w
Verallgemeinerung:
Pfadlänge nicht durch Kantenzahl bestimmt, sondern durch
Summe der Kantengewichte (die alle positiv sein sollen).
Beispiel:
Gegeben: Eine Straßenkarte mit Entfernungsangaben
zwischen Kreuzungen
Finde die kürzeste Route von Erlangen nach Berlin
Aufgabe:
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-73
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmus von Dijkstra (1)
X
Y
Z
Induktionsbeginn:
Grundidee für kürzeste Pfade
13
17
Angenommen man kennt die kürzesten Pfade („shortest path“, sp) zu
allen direkten Vorgängern eines Knoten w.
V
19
Zur Erinnerung:
c(w) = Kosten
des Pfads w.
Dann ist c(sp(v,w)) = min( c(sp(v,x)) + c(x,w),
c(sp(v,y)) + c(y,w),
c(sp(v,z)) + c(z,w)) = min(24,22,25)=22
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-75
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.6 Kürzeste Pfade
Die Kosten des
Pfades von v zu
diesem Knoten
seien c.
Effizienzverbesserung
Algorithmus von Dijkstra (3)
Induktionsschritt „k k+1“:
w
Einer dieser Knoten ist
der gesuchte k+1-te
Knoten
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-78
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Die Kosten des
Pfades von v zu
diesem Knoten
bleiben unverändert!
v
Algorithmus von Dijkstra (2)
Vk
Suche denjenigen Knoten w Vk, der den k+1-kleinsten Abstand zu v hat.
Der kürzeste Pfad von v nach w kann nur durch Vk laufen, nur die letzte
Kante kann einen Knoten u Vk mit w verbinden.
(Sonst wären andere Knoten in Vk.)
Dann ist (siehe „Grundidee“) der Knoten w mit minimalen Kosten
c(sp(v,w)) = minu Vk ( c(sp(v,u)) + c(u,w) ) der gesuchte k+1-te Knoten.
v
M. Philippsen
Problem: Aufwändige Berechnung der Kosten für alle w Vk
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-77
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmus von Dijkstra auf einen Blick
17.6 Kürzeste Pfade
Effizienzverbesserung
+
?
<
4
D
V
B
5
12
8
2 1
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-80
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Minimumsauswahl:
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-82
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Die Halde ist die ideale Datenstruktur für die Suche nach dem Knoten w mit
minimalem Pfad. O(1) für Zugriff auf das Minimum, O(log2|V|) für das
Entfernen von w aus der Halde.
Insgesamt sind |V| Knoten zu suchen & entfernen: O(|V| log2|V|)
M. Philippsen
1. Minimumsauswahl:
wähle/besuche einen Knoten w, mit w.sp minimal
(1. Iteration: nur v.sp=0, daher wird v gewählt)
2. Aktualisierung:
Für alle Kanten (w,z) zu unbesuchten z:
Wenn (w.sp + c(w,z) < z.sp)
dann setze z.sp := w.sp + c(w,z)
(1. Iteration: Kosten der direkten Nachfolger von v werden gesetzt.)
Solange nicht besuchte Knoten existieren
Markiere alle Knoten als unbesucht.
Setze v.sp=0 und w.sp= für alle w v
Algorithmus von Dijkstra (4)
w
z
D
D
C
M. Philippsen
Gestrichelte
Kanten
bilden den
Spannbaum
kürzester
Pfade.
3
C
M. Philippsen
wenn ja: gespeicherten
min. Pfad zu z aktualisieren
Speichere die Kosten der kürzesten Wege zu Knoten außerhalb von Vk.
Diese Kosten können meistens unverändert als Kosten der kürzesten
Wege zu Knoten außerhalb von Vk+1 übernommen werden.
Nur die Pfade zu w‘ Vk+1, die über den neuen Knoten w (w Vk, aber
w Vk+1) führen, könnten sich verbilligen (oben: gestrichelte Kante).
v
gespeicherter min.
Pfad zu z
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-79
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
4
V
B
5
12
A
8
2 1
3
C
B
12
Wahl
8 minWahl
13
12
11min-
D
17.6 Kürzeste Pfade
D
V
B
5
12
A
8
2 1
4
A
5
minWahl
10minWahl
4
17.6 Kürzeste Pfade
V
B
5
12
A
8
2 1
3
C
Aufwand von Dijkstras Algorithmus (1)
D
V
0
3
C
Algorithmus von Dijkstra am Beispiel
A
4
V
B
5
12
A
8
2 1
3
C
bisher
gefundene
billigste
Wege
besucht
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-81
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.6 Kürzeste Pfade
Beispiel-Problem:
Aktualisierung:
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-84
oder
Was ist besser?
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Gegeben: Eine Landkarte als Graph G.
Gesucht: Es soll ein Wasserleitungsnetz mit minimalen Kosten
aufgebaut werden, das alle Ortschaften versorgt. Die Gesamtkosten
des Netzes sind proportional zur Summe der Längen aller
vorkommenden Leitungen.
Ähnliche Probleme gibt es beim Entwurf von Rechnernetzen.
Aufwand von Dijkstras Algorithmus (2)
Für jeden Knoten w müssen dessen Nachfolger z gefunden und ggf. die
Pfade zu z korrigiert werden.
Die Halde unterstützt die Suche nach z nicht. Daher ist eine Reihung
erforderlich, die für jedes z dessen Position in der Halde angibt.
Die Korrektur der Pfadlänge zu z macht eine Umsortierung der Halde
erforderlich O(log2|V|)
Insgesamt führen |E| Kanten zu solchen Aktualisierungen: O(|E|
log2|V|)
M. Philippsen
Gesamtaufwand: O((|E|+|V|) log2|V|)
Mit sog. Fibonacci-Halden geht es noch besser: O(|E|+|V| log2|V|),
das sprengt aber den Rahmen der Algorithmik-1.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-83
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.7 Minimaler Spannbaum
Erster Ansatz:
17.7 Minimaler Spannbaum
C
O(|V| (|E| + |V| log|V|)).
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-86
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Man kann den minimalen Spannbaum finden, indem man den
Spannbaum kürzester Pfade für jeden Knoten berechnet und dann
den kleinsten dieser Spannbäume auswählt.
In jedem Schritt wurde eine Kante so hinzugefügt, dass der entstehende
Pfad minimale Länge hatte.
Aufwand: O(|E| + |V| log|V|).
Der Algorithmus für die Suche nach dem kürzesten Pfad lieferte für
einen gegebenen Knoten einen Spannbaum kürzester Pfade.
Aufgabe:
Gegeben: Ein ungerichteter Graph mit Kantengewichten.
Gesucht: Zusammenhängender Teilgraph der alle Knoten enthält,
wobei die Summe der Kantengewichte minimal ist.
Eigenschaft:
Der gesuchte Teilgraph ist azyklisch:
Denn gäbe es einen Zyklus, dann könnte man zumindest eine Kante
entfernen (also Kosten verringern) und trotzdem alle Knoten erreichen.
Also ist der gesuchte Teilgraph ein Baum.
Genauer, ein Spannbaum (aufspannender Baum)
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-85
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmus von Prim (2)
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-88
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
A
1
B
12
F
C
2 6 4 11 9
H
I
T
w
u
M. Philippsen
(u,w) sei die billigste Kante, die einen Knoten von T mit einem Knoten
außerhalb von T verbindet.
(u,w) gehört zum minimalen Spannbaum. Andernfalls gäbe es einen
Pfad von irgendeinem Knoten aus T zu w mit niedrigeren Kosten. Da
jeder Pfad T verlassen muss, hat dieser Pfad mindestens die Kosten
der ersten Kante, die T verlässt. Diese sind aber höher als die Kosten
der Kante (u,w).
zu T gehörig
Die Kante mit dem kleinsten Gewicht, die einen zu T benachbarten
Knoten verbindet, wird zum minimalen Spannbaum hinzugenommen.
Zweiter Ansatz: Algorithmus von Prim (1)
T
Angenommen man hat einen Teilgraph T von G gefunden, der auch
Teilgraph des minimalen Spannbaums ist.
Wie kann man T um eine weitere Kante vergrößern?
zu T gehörig
M. Philippsen
Es gibt Knoten, die über eine Kante mit T verbunden sind,
die aber noch nicht zu T gehören.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-87
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
12
17.7 Minimaler Spannbaum
B
D
17.7 Minimaler Spannbaum
1
F
G
19 1317 22 28
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-90
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Knoten D kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(EF)-11
(BC)-12
(EH)-17
(DG)-19
Knoten A kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(AD)-2
Wegen Hinzunahme
(ED)-6
von D wird diese
(EF)-11
Kante gestrichen.
(BC)-12
(EH)-17
Algorithmus von Prim am Beispiel (2)
A
2 6 4 11 9
I
M. Philippsen
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(BA)-1
Mit Knoten B kommen
(ED)-6
neue Kanten hinzu,
(EF)-11
einsortieren.
(BC)-12
(EH)-17
Starten wir zum Beispiel mit Knoten E
E gehört sicher zum Spannbaum
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(EB)-4
(ED)-6
Minimum
(EF)-11
(EH)-17
Algorithmus von Prim am Beispiel (1)
D
H
19 1317 22 28
G
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-89
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
C
1
B
12
F
C
2 6 4 11 9
A
17.7 Minimaler Spannbaum
12
dito
H
I
Knoten G kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(HI)-22
(FI)-28
M. Philippsen
Knoten I kommt hinzu.
Keine Kanten mehr zu untersuchen.
Minimaler Spannbaum gefunden.
Es ist garantiert, dass kein Zyklus entsteht.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-94
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Jetzt kann man die Kanten nacheinander betrachten und sofort
entscheiden, ob die Kante zur Lösung gehört oder nicht.
einen vorhandenen Baum um einen noch nicht betrachteten Knoten
erweitert
zwei noch nicht betrachtete Knoten verbindet (zu einem neuen Baum)
zwei verschiedene Bäume verbindet
Statt einen Teilgraph des Minimalen Spannbaum in jedem Schritt um
eine Kante zu erweitern, beginnt man mit einem Wald von einzelnen
Knoten und fügt diese nach und nach zum Minimalen Spannbaum
zusammen.
Beginne mit sortierter Kantenliste in aufsteigender Reihenfolge
Kante gehört zur Lösung, wenn sie
Dritter Ansatz: Algorithmus von Kruskal (1)
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-92
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
G
19 1317 22 28
D
17.7 Minimaler Spannbaum
B
F
dito
Knoten H kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(HG)-13
(DG)-19
(HI)-22
(FI)-28
Algorithmus von Prim am Beispiel (4)
1
I
Knoten F kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(FC)-9
Wegen Hinzunahme
(BC)-12
von C wird diese
(EH)-17
Kante gestrichen.
(DG)-19
(FI)-28
M. Philippsen
Knoten C kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(EH)-17
(DG)-19
(FI)-28
Algorithmus von Prim am Beispiel (3)
A
2 6 4 11 9
H
19 1317 22 28
D
G
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-91
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.7 Minimaler Spannbaum
Beachte die Analogie zu Dijkstras Algorithmus:
Minimumauswahl unter den Kanten, die aus T herausführen.
T vergrößern.
Aktualisierung und gleiche Idee zur Effizienzverbesserung:
Statt alle Kanten, die aus dem neuen T herausführen, neu zu
untersuchen, aktualisiert man die Kosten der billigsten Kante aus T für
alle Nachbarknoten von w.
Durch diese Änderung berechnet der selbe Algorithmus den
minimalen Spannbaum
Natürlich mit dem gleichen Gesamtaufwand: O(|E|+|V| log2|V|)
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-93
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.7 Minimaler Spannbaum
dito
Sortierte Kantenliste (hier nur Gewichte):
1 2 4 6 9 11 12 13 17 19 22 28
Andere Sichtweise:
12
entfällt, da Zyklus
entstünde
M. Philippsen
" #
$
"
&
%$
!"
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-96
!
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
!
' (!
"
!
M. Philippsen
Induktion: Zu jedem Zeitpunkt haben wir einen Wald minimal
spannender Bäume.
Induktionsanfang: Jeder Knoten ist für sich ohne Kanten ein minimal
spannender Baum.
Induktionsschritt: Vereinige durch Hinzufügen zwei Bäume zu einem,
so dass dieser seine Knoten auch minimal aufspannt.
Algorithmus von Kruskal am Beispiel
1
2 6 4 11 9
19 1317 22 28
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-95
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.7 Minimaler Spannbaum
Aufwand von Kruskals Algorithmus (1)
17.7 Minimaler Spannbaum
e
H
vkx vl1 vl2 vl3 … vly
kürzere Liste wird angehängt, O(1)
G:
Verweis auf Identifikator der Zusammenhangskomponente
Anfangs eine Komponente für jeden Knoten.
Aufwand des Zyklentests: Beim Einfügen von (vi,vj) wird
überprüft, ob vi und vj in derselben Zusammenhangskomponente liegen. Dann Zyklus. Aufwand des Tests: O(1)
vk1 vk2 vk3
vkx
M. Philippsen
Zusammengangskomponente mit x Knoten,
nämlich vk1, …, vkx
Baumerweiterung: Konkatenation und Zeigerkorrektur
x
vl1 vl2 vl3 … vly
…
Vn-1
y
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-100
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Transitive Hülle von G:
Gegeben ein gerichteter Graph G=(V,E). Die transitive Hülle C=(V,F)
von G ist ein gerichteter Graph, in dem es genau dann eine Kante
(v,w) VxV gibt, wenn es in G einen gerichteten Pfad v *w gibt.
17.8 Transitive Hülle
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-98
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
vn
…
…
v5
v4
v3
v2
v1
Jede Kante wird aus der Halde entfernt: O(|E| log2|V|)
Aufwand für Baumerweiterung und Test auf Zyklenfreiheit?
Daraus dann Beweis für Korrektheit:
Induktionsanfang: trivial.
Induktionsschritt:
G
M. Philippsen
Nach Induktion gilt, dass der Teilgraph G ein minimaler Spannbaum ist
und ebenso Teilgraph H.
Nach Verfahren ist e die kürzeste Kante, die G und H verbindet.
G∪H∪e ist auch minimal, weil G∪H∪f nicht besser sein kann, und eine
„Umordnung“ G oder H „länger“ macht.
Würde man G und H mit mehr als einer Kante verbinden, würde ein
Zyklus entstehen, außer man entfernt dafür andere (kürzere) Kanten
Summe wieder länger.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-97
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.7 Minimaler Spannbaum
Aufwand von Kruskals Algorithmus (2)
O(|E| log2|V|)
x+y vk1 vk2 vk3
…
Wenn bei der Baumerweiterung eines Knotens der
Zeiger kopiert wird, dann war der Knoten in der
kleineren Gruppe. Das kann insgesamt höchstens
log2|V| mal der Fall sein, weil dann der Spannbaum
erreicht ist. Da jede Kante einmal betrachtet wird,
ergibt sich als Gesamtkosten der Baumerweiterung
Aufwand für Baumerweiterung?
v1
v2
v3
v4
v5
…
…
Vn-1
vn
gestrichelt: y Zeiger werden korrigiert.
M. Philippsen
Gesamtaufwand O(|E| log2|V|)
17.9 Matching
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-99
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.8 Transitive Hülle
Bipartiter Graph:
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-102
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Bäume sind bipartit (ebenenweise aufteilen)
Satz von König: Graphen ohne Zyklen mit ungrader Kantenanzahl sind
bipartit. (Aufteilung: Graph traversieren und dabei Markierungsbit auf
alternierend/jeweils invers zum Vorgänger setzen.)
Männer / Frauen im Tanzkurs
Arbeiten / Arbeitskräfte
Koffer / Schließfächer
usw.
Praktische Relevanz: Viele Zuordnungsprobleme ordnen Dinge
verschiedener Arten einander zu, z.B.
Ungerichteter Graph G=(U ∪V,E) mit U∩V = ∅ und nur Kanten [v1, v2] ∈ E
mit v1∈U, v2∈V.
In diesem Abschnitt betrachten wir nur ungerichtete Graphen.
Lösung durch Reduktion auf ein anderes Problem
M. Philippsen
Die transitive Hülle kann man finden, indem man das Problem
auf ein anderes (bekanntes) Problem reduziert.
Sei G‘=(V,E‘) ein vollständig verbundener Graph („jeder mit jedem“).
Jeder Kante e E‘ hat das Gewicht 0, wenn sie auch Kante in G ist
(e E) und 1 sonst.
Es gibt also einen von v nach w in G, wenn der kürzeste Pfad
zwischen v und w in G‘ die Länge 0 hat.
Berechne die Länge aller kürzesten Pfade für jeden Knoten aus G‘;
dann kann die Transitive Hülle abgelesen werde.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-101
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.9 Matching
Beispiel
Maria
Heino
Uwe
Pia
Eva
Gegeben: Wir befinden uns im Tanzkurs.
Jeder Teilnehmer (Knoten) weiß,
mit wem er gerne tanzt (Kante).
Bestimme mögliche Paarungen.
Aufgabe:
Klaus
Lilo
Martin
M. Philippsen
17.9 Matching
Klaus
Heino
Maria
Lilo
Eva
Pia
Uwe
Martin
Es ist ja noch ein Herr und eine Dame übrig geblieben!
M. Philippsen
Drei Paare sind gefunden (gestrichelt), aber nicht jeder Knoten hat
einen Partner, und es sind keine weiteren Paarungen möglich.
Frage: Wie kriegt man eine optimale Paarbildung zustande?
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-104
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.9 Matching
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-103
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.9 Matching
Definitionen
Tutorien
…
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-106
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Zwei Kanten (u,v) und (x,y) heißen unabhängig, wenn u,v,x,y vier
verschiedene Knoten sind.
Wenn u=x oder u=y oder v=x oder v=y, dann heißen die Kanten
benachbart (oder verbunden oder adjazent).
Eine Kantenmenge M heißt unabhängig, wenn alle ihre Elemente
paarweise unabhängig sind. Solche Kantenmengen heißen auch
Matching.
Anderes Beispiel
…
Jeder Algorithmik-Student darf 2 Wünsche für Übungsgruppen
angeben. Die Übungsgruppen haben eine begrenzte Zahl an Plätzen.
Gibt es eine Lösung, die alle Übungsgruppenwünsche erfüllt?
Studenten
…
M. Philippsen
17.9 Matching
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-105
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.9 Matching
Bemerkungen
Nicht jeder Graph hat ein (fast) perfektes Matching.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-108
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Ein Zyklus mit gerader Knotenzahl hat genau 2 perfekte Matchings.
Definitionen
M. Philippsen
ist nicht perfekt
Ein Knoten heißt frei bzgl. eines Matchings, wenn
er keine Kante des Matchings hat, sonst sagt man,
dass er zum Matching gehört.
Ein Matching heißt perfekt, wenn es alle Knoten
des Graphen überdeckt.
Ein Matching heißt größtes Matching wenn es um
keine Kante erweitert werden kann.
Ein Matching heißt größtmögliches Matching wenn
es kein Matching mit mehr Kanten gibt.
Ein Matching bei dem nur ein Knoten frei bleibt,
heißt fast perfekt.
gematcht
frei
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-107
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.9 Matching
Ein gieriger Algorithmus:
Gegeben: Graph G
Gesucht: Matching M
Dieser giereige Algorithmus liefert
ein maximales Matching
aber kein (fast) perfektes Matching
"
!
!
!
Verbesserung der Matchingqualität durch Heuristiken:
#
)
M. Philippsen
zuerst Knoten mit geringem Grad bearbeiten („schwer zu verkuppeln“)
…
17.9 Matching
}A
}B
Idee klappt bei
alternierenden
Pfaden:
/
v
v
M. Philippsen
w
w
M. Philippsen
größtmögliches
(auch perfektes)
Matching.
ersetze hier 2 Kanten des
Matchings durch 3 neue Kanten
}B
}A
}B
}A
Idee: Verbesserung eines größten Matchings
Um diesen freien
Knoten ins Matching
aufzunehmen…
…muss diese MatchingKante ersetzt werden.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-110
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.9 Matching
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-109
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.9 Matching
v
.
M (fette Linien) ist kein
größtmögliches Matching, da Verbessern
es einen alternierenden Pfad
zwischen Knoten v,w M gibt.
,-
/
v
Beispiel (1)
w
w
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-112
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
+
/. #
, !
0
M (fette Linien) ist kein
größtmögliches Matching, da Verbessern
es einen alternierenden Pfad
zwischen Knoten v,w M gibt.
Definition
Ein Pfad heißt (vergrößernd) alternierender Pfad bzgl. eines
Matchings M gdw.
w
der Pfad der abwechselnd Kanten M und M hat
und Anfangs- und Endknoten des Pfades nicht in M liegen.
v
M. Philippsen
Satz von Berge:
Ein Matching M in einem Graphen G ist größtmöglich gdw.
G keinen alternierenden Pfad bzgl. M enthält.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-111
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
*
0
%'
Noch offen: Wie findet man M-alternierende Pfade?
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-114
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
M. Philippsen
Der Algorithmus fügt in jedem Schritt eine Kante zu M hinzu.
Da es nur endlich viele Kanten gibt, terminiert er.
Wenn er terminiert, hat er ein größtmögliches Matching gefunden.
#
17.9 Matching
v
17.9 Matching
w
Matching-Algorithmus:
v M (fette Linien) ist kein
größtmögliches Matching, da Verbessern
es einen alternierenden Pfad
zwischen Knoten v,w M gibt.
Beispiel (2)
w
M. Philippsen
In jedem Fall landet man bei einem größtmöglichen Matching.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-113
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.9 Matching
Das Finden eines alternierenden Pfades ist in bipartiten Graphen G
mit zwei Klassen A und B leicht.
Sei ein Matching gegeben:
}A
}B
Definiere G‘ so dass alle Matching-Kanten von A nach B und
alle anderen von B nach A gerichtet sind.
}A
}B
M. Philippsen
17.9 Matching
Traversiere den Graph (egal ob Tiefen- oder Breitensuche).
}
}
}
M. Philippsen
M. Philippsen
Jeder Pfad wechselt zwischen M´ und G´\M´.
Ein alternierender Pfad ist gefunden, sobald man von einem
Knoten v M‘ einen Knoten w M‘ erreicht.
Vergrößerung der Matchings:
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-116
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
17.8 Transitive Hülle
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-115
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Organisatorisches
Elegante Verwendung der Adjazenzmatrix
}
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-118
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
}
boolean [][] A = {...}
int dim = A.length;
...
void warshall() {
for (int y = 0; y < dim; y++) {
for (int x = 0; x < dim; x++) {
if (A[x][y]) {
for (int z = 0; z < dim; z++) {
if (A[y][z])
A[x][z] = true;
Warshall‘s Allgorithmus
Vorlesungsbefragung
1. Papierfragebögen (vorlesungsspezifische Fragen)
Was können wir an Algorithmik-1 in Zukunft verbessern?
Bitte helfen Sie mir und dem nächsten Jahrgang!
Nehmen Sie sich Zeit zum Lesen und Beantworten.
Jede Frage einzeln lesen, nicht nur von oben nach unten ankreuzen.
Langschriftliche Kommentare sind besonders nützlich.
Ergebnisse werde ich auf der Material-Seite veröffentlichen.
2. Online-Evaluation (allgemeine Fragen)
M. Philippsen
Wir teilen nach der Vorlesung eine TAN pro Person aus.
Bitte nehmen Sie sich die Zeit.
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-117
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg