¨UBUNGSBLATT 1 MAT121/MAT131 ANALYSIS II FR

ÜBUNGSBLATT 1
MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011
PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ABGABE: Montag 7.03.2011 bis 13 Uhr
Die Übungsblätter werden während der Montagsvorlesung
http://www.math.unizh.ch/fs11/mat121 publiziert.
auf
der
Homepage
Für eine Wertung sind mindestens die ersten beiden Aufgaben zu lösen. Generell soll der
Herleitungsweg von Resultaten übersichtlich und vollständig sein, und es wird gebeten, leserlich zu schreiben. Bitte geben Sie nur die Lösung der für Ihre Studienrichtung gedachten
Aufgabe 5 ab (Mathematik & andere: 5M, Physik: 5P).
Bitte die Lösungen bis spätestens 13h am Abgabetermin in den Fächern auf den Briefkästen
im K–Stock des Instituts für Mathematik, Bau 27, (MATH & andere), respektive in die
Box im K–Stock (linker Korridor) des Instituts für Theoretische Physik, Bau 36, (PHYS)
deponieren.
Aufgabe 1. Entscheiden Sie für folgende Teilmengen des Rn (n ∈ N \ {0}), ob diese
offen und/oder abgeschlossen sind.
n
)
(
X
|xi − ci | ≤ 1 , (c ∈ Rn );
(a) A(c) = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1
)
(
1
(b) B(c) = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |xi − ci | < , für alle 1 ≤ i ≤ n , (c ∈ Rn );
n
(c) C(c) = A(c) ∩ B(c),
(c ∈ Rn );
n
o
n (d) D = (x1 , . . . , xn ) ∈ R xn < 0 ;
(e) E = A (0, . . . , 0) ∩ D.
(f) F = Nn .
Aufgabe 2. Geben Sie für folgende Teilmengen des Rn (n ∈ N \ {0}) ihr Inneres, ihren
Abschluss, sowie ihren Rand an.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
A = Rn \ Nn ;
im Fall n = 1, B = R \ Q;
im Fall n = 1, C = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn 0 < x1 < 1 ;
im Fall n = 2, D = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn 0 < x1 < 1 ;
E, wobei E die Menge aus Aufgabe 1(e) bezeichnet;
F = ∅.
Aufgabe 3. Sei (X, d) ein metrischer Raum.
(a) Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge in X eine Cauchy–Folge ist.
(b) Geben Sie ein Beispiel für X und d an, für welche eine Cauchy–Folge in X
existiert, welche nicht konvergiert.
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Aufgabe 4. Für p ∈ [1, +∞) definieren wir für x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn
! p1
n
X
.
kxkp =
|xi |p
i=1
(a) Zeigen Sie, dass für alle p, q > 1 mit
n
X
1
p
+
1
q
= 1 und alle v, w ∈ Rn gilt
|vi wi | ≤ kvkp kwkq .
i=1
Beweisen Sie hierzu, dass für alle Zahlen a, b > 0 und p, q wie oben gilt, dass
1
1
ab ≤ ap + bq .
p
q
(Hinweis: Benutzen Sie die Konvexität der Abbildung t 7→ et nachdem Sie das
Produkt auf der linken Seite geschickt umgeschrieben haben.)
Wenden Sie alsdann diese Ungleichung auf
|vi |
|wi |
und
(i ∈ {1, . . . , n})
kvkp
kwkp
an.
(b) Beweisen Sie, dass k·kp für alle p ≥ 1 eine Norm auf Rn definiert. Benutzen
Sie hierzu Teilaufgabe (a), um die Dreiecksungleichung im Fall p > 1 zu verifizieren. (Hinweis: Betrachten Sie kx + ykpp und klammern Sie im Summanden
|xi + yi|p−1 aus.)
Aufgabe 5M. Sei C > 0. Finden Sie alle stetig differenzierbaren, nicht–negativen
Funktionen f auf [0, +∞) welche in 0 verschwinden und für alle t ≥ 0
(
Cf (t) |ln f (t)| ,
f (t) > 0,
d
f (t) ≤
dt
0,
f (t) = 0,
erfüllen.
Aufgabe 5P. Sei C > 0. Finden Sie alle stetig differenzierbaren, nicht–negativen
Funktionen f auf [0, +∞) welche in 0 verschwinden und für alle t ≥ 0 und alle ǫ ∈ (0, 1),
d
C
f (t) ≤ f 1−ǫ (t)
dt
ǫ
erfüllen.