Einfuehrung in die Computeralgebra

Einführung in die Computeralgebra
Übungsblatt 12
Sommersemester 2016
Michael Stoll
1. Juli 2016
Abgabe:
Donnerstag, 7. Juli, bis 10:00 Uhr im Briefkasten (NW II, 2. Stockwerk rechts).
Übungsaufgaben bitte handschriftlich bearbeiten (außer Programmieraufgaben);
nur ein Name pro Blatt! —
Schnellhefter und Deckblatt nicht vergessen!
(1) Sei N ≥ 2 eine zusammengesetzte Zahl mit Primfaktorzerlegung N = pe11 · · · pekk .
(a) Zeigen Sie: N ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn für alle 1 ≤ i ≤ k und
alle Restklassen x ∈ (Z/pei i Z)× gilt xN −1 = 1.
Hinweis: Chinesischer Restsatz.
(b) Zeigen Sie: Ist N Carmichael-Zahl, dann gilt für alle 1 ≤ i ≤ k und alle Restklassen x ∈ (Z/pei i Z)× , dass xpi −1 = 1 ist.
Hinweis: Beweis von Satz 9.7 im Skript, Fall (1).
(c) Sei N eine Carmichael-Zahl. Folgern Sie aus (a) und (b), dass N quadratfrei sein
muss und dass pi − 1 | N − 1 gilt für alle 1 ≤ i ≤ k.
(d) Zeigen Sie: Ist N quadratfrei und gilt pi − 1 | N − 1 für alle 1 ≤ i ≤ k, dann ist
N eine Carmichael-Zahl.
Hinweis: Kleiner Satz von Fermat.
(e) Zeigen Sie: Ist N eine Carmichael-Zahl, dann ist N ungerade.
(f) Zeigen Sie: Ist N eine Carmichael-Zahl, dann ist k ≥ 3.
Hinweis: Sei sonst N = p1 p2 mit p1 < p2 . Dann kann p2 − 1 kein Teiler von
N − 1 sein (warum?).
(10+10+15+10+5+10)
(2) Programmieraufgabe:
(a) Implementieren Sie eine Funktion MillerRabin(N, a) in Magma, die den MillerRabin-Test für N mit der Basis a durchführt.
Hinweis: Am besten rechnet man direkt in Z/N Z. Dieser Ring wird in Magma
mittels Integers(N ) konstruiert.
(b) Verwenden Sie Ihre Implementation, um für die zusammengesetzten ungeraden
Zahlen 9 ≤ N < 10 000 die Anzahl #S(N ) der schlechten“ Restklassen zu
”
bestimmen für N (vgl. Beweis von Satz 9.7). Stellen Sie die kumulative Verteilungsfunktion
F (t) = #{N | #S(N )/N ≤ 2t }
für −13 ≤ t ≤ −2 graphisch dar.
(20+20)