Stochastik I - Mathematik, TU Dortmund

TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Woerner
M. Sc. R. Shevchenko
M. Sc. V. Schulmann
Sommersemester 2017
Stochastik I
Blatt 1
Abgabe der Übungsaufgaben:
Mittwoch, 26.04.2017, 10.15 Uhr, in festen Zweiergruppen und getrennt nach
Aufgaben (die entsprechenden Briefkastennummern sind im jeweiligen
Aufgabenkopf vermerkt).
Aufgabe 1
(4 Punkte, Briefkasten Nr. 25)
Sei Ω eine Menge. Man definiert den Indikator (oder die Indikatorfunktion) von
A ∈ 2Ω als
(
1, falls ω ∈ A
1A : Ω → R, 1A (ω) =
0, falls ω ∈ Ac
Seien A, B ∈ 2Ω , (An |n ∈ N) ⊂ 2Ω eine beliebige Falimilie von Teilmengen von Ω
und (Bn |n ∈ N) ⊂ 2Ω eine paarweise disjunkte Familie. Zeigen Sie:
a) 1A = 1 − 1Ac
Q∞
b) 1T∞
=
A
n
n=1 1An
n=1
P∞
c) 1S∞
=
B
n
n=1 1Bn
n=1
d) 1A\B = (1A − 1B )+ = 1A − 1A · 1B
f) 1A∆B = |1A − 1B |
Hinweis: A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A),
Aufgabe 2
Seien k, n ∈ N.
x+ := max{0, x} für x ∈ R.
(4 Punkte, Briefkasten Nr. 26)
a) In einem Versandhauskatalog werden n verschiedene Artikel angeboten. Wie
viele Möglichkeiten gibt es, eine Lieferung von k nicht notwendigerweise verschiedenen Artikeln zusammenzustellen?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, n 1- e-Münzen an k Personen so zu verteilen,
dass jede dieser Personen mindestens eine Münze erhält? Finden Sie für den
Fall max{2, k} ≤ n mindestens zwei Lösungswege. Hinweis: Begründen Sie
Ihre Lösungen mit einem mathematischen Modell.
Aufgabe 3
(4 Punkte, Briefkasten Nr. 28)
Betrachten Sie einen Münzwurf, bei dem die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und
Zahl gleich sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim m-ten Wurf zum
ersten Mal Kopf geworfen wird? Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir mit f (m).
Zeigen Sie: f definiert eine Zählfunktion
auf der Menge der natürlichen Zahlen,
P
das heißt, f (m) ≥ 0 für m ∈ N und m≥1 f (m) = 1.
Aufgabe 4
(4 Punkte, Briefkasten Nr. 36)
Wir betrachten ein Schachbrett mit 8 × 8 Feldern. Auf dem Spielfeld sollen nun
zufällig m Türme (m ∈ N) platziert werden, wobei auf jedes Feld höchstens eine
Spielfigur gestellt werden darf. Es gilt somit m ≤ 64.
a) Beim Schachspiel bedrohen sich zwei Türme, wenn sie in der gleichen Reihe
oder Spalte stehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von
m, dass sich bei einer zufälligen Anordnung keine Türme bedrohen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von m, dass sich bei der
zufälligen Anordnung alle Türme in der gleichen Reihe oder Spalte befinden?
Aufgabe 5
(4 Punkte, Briefkasten Nr. 45)
Seien (Ω, P ) eine Wahrscheinlichkeitsraum, A, B, C ⊂ Ω drei Ereignisse.
a) Schreiben Sie die Formel für P (A ∪ B ∪ C), die das Einschluss-AusschlussPrinzip liefert, komplett aus.
b) Nehmen Sie an, dass P (A ∩ (B ∪ C)) = 0. Wie vereinfacht sich die Formel?
c) In einer Stichprobe von insgesamt 230 Befragten gaben 55 an, keinen Alkohol
zu trinken, 167 sagten, dass sie Bier tränken und 108 gaben an, Wein zu
trinken. Es hat niemand die Antwort verweigert. Wie groß ist der Anteil der
Personen aus der Stichprobe, die Bier und Wein trinken?
Die neuen Übungsblätter, Modalitäten zur Abgabe sowie weitere
Informationen zur Veranstaltung finden Sie auf unserer Homepage:
www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2017Sommer/StochI/index.htm