WS 06/07 6.9 Mathematische Stochastik

Gerhard Hübner, Universität Hamburg
Dpt. Mathematik, Schwerpunkt Stochastik
WS 06/07 6.9
Mathematische Stochastik
Inhalt von Abschnitt 6.9 (4. Aufl.)
Konvergenzbegriffe und Grenzwertsätze
Beispiel: EYn → c, VarYn → 0 ⇒ Yn → c ?
Gegeben: X, X1 , X2 , . . . ∈ F. Gesucht: Grenzverhalten von Xn für n → ∞.
Definition Konvergenz“: (a) Xn → X (punktweise): ⇔ Xn (ω) → X(ω) ∀ω.
”
P −f.s.
(b) Xn −→ X (P -fast-sicher):⇔ ∃ N mit P (N ) = 0 und Xn (ω) → X(ω) ∀ ω ∈ N c .
st
(c) Xn −→ X (stochastisch) :⇔ P (|Xn −X| < ε) → 1 ∀ ε > 0.
R
Lp
(d) Xn −→ X (in Lp , p ≥1) :⇔ ||Xn −X||p → 0 (||Y ||p := ( |Y |p dP )1/p ).
V
(e) Xn −→ X (nach Verteilung) :⇔ F Xn (t) → F X (t) ∀ t mit P X ({t}) = 0 (in IR).
√
Beispiel: Xn ∼ N (0, 1/n), X ∼ ε0 , F Xn (t) = Φ(t· n), F X (t) = 1[0,∞) (t) (t = 0 ?).
(∗)
Für Xn → X gilt: punktw.“ ⇒ P -f.s. ⇒ stoch., Lp ⇒ L1 ⇒ stoch. ⇒ V .
”
Zu (∗): Chebyshev-Markov-Ungleichung:
P (|Y | ≥ ε) ≤ E |Y |p /εp .
R
Bew.: P (|Y | ≥ ε) = g(Y ) dP mit
g(y) := 1(−ε,ε)c (y) ≤ |y|p /εp .
Schwaches und starkes Gesetz der großen Zahlen
Def.: X1 , X2 , . . . erfüllt das schwache [starke] Gesetz der großen Zahlen
P
P −f.s.
st
:⇔ n1 Sen := n1 (Sn −ESn ) := n1 ni=1 (Xn −EXn ) −→ 0 [ −→ 0]. (Xi i.v. ⇒ ?)
P
Satz: X1 , X2 , . . . unkorreliert und n12 ni=1 VarXi → 0 (o. VarXi = VarX1 < ∞)
⇒ (Xn ) erfüllt das schwache Gesetz der großen Zahlen.
L2
st
1 Pn
1 e
VarX
⇒
S
−→
0 ⇒ n1 Sen −→ 0.
i
n2 i=1
n n
st
st
Xn ∼ B(p) ⇒ n1 Sn −→ p ( n1 (Sn − n p) −→ 0).
st
1 Pn
cX
X1
Xi u.i.v. ⇒ F
(t),
n (t) := n 1 1{Xi ≤t} −→ E 1{Xi ≤t} = F
Beweis: Var( n1 Sn ) =
Beispiele: 1.
2.
t ∈ IR.
Satz: X1 , X2 , . . . stoch. unabh., identisch verteilt, E|Xi | < ∞
⇒ (Xn ) erfüllt das starke Gesetz der großen Zahlen.
Zentraler Grenzwertsatz
Def.: X1 , X2 , . . . erfüllt den Zentralen Grenzwertsatz ⇐⇒
Pn
i=1 (Xi −EXi ) V
−→ Y ∼ N (0, 1)
P
Str( ni=1 Xi )
Satz: X1 , X2 , . . . (z.B.) stoch. unabhängig, identisch verteilt, VarXi < ∞
⇒ (Xn ) erfüllt den Zentralen Grenzwertsatz.