APX - LS1 - Logik in der Informatik

Komplexitätstheorie
Teil G: Der PCP-Satz und Grenzen der Approximierbarkeit
25: Weitere Nicht-Approximierbarkeits-Resultate
Version von: 9. Juli 2015 (17:50)
Sommersemester 2015 - Thomas Schwentick
Inhalt
✄ 25.1 Nicht-Approximierbarkeit von M AX -I NDEPENDENT S ET
25.2 M AX -3-SAT ist vollständig für APX
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 1
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -I NDEPENDENT S ET (1/6)
• Abkürzung: M AX -IS sei
M AX -I NDEPENDENT S ET
• Wir werden sehen: M AX -IS ist überhaupt
nicht konstant approximierbar
(falls P
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
6= NP)
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 2
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -I NDEPENDENT S ET (1/6)
• Abkürzung: M AX -IS sei
M AX -I NDEPENDENT S ET
• Wir werden sehen: M AX -IS ist überhaupt
nicht konstant approximierbar
(falls P
6= NP)
• Zum Aufwärmen (und als Basis für weite-
res) zeigen wir vorher, dass M AX -IS nicht
besser approximierbar ist als M AX -3-SAT
• Dazu verwenden wir eine „lückenerhalten-
de“ Reduktion von M AX -3-SAT auf M AX -IS
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 2
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -I NDEPENDENT S ET (1/6)
• Abkürzung: M AX -IS sei
M AX -I NDEPENDENT S ET
• Wir werden sehen: M AX -IS ist überhaupt
nicht konstant approximierbar
(falls P
6= NP)
• Zum Aufwärmen (und als Basis für weite-
res) zeigen wir vorher, dass M AX -IS nicht
besser approximierbar ist als M AX -3-SAT
• Dazu verwenden wir eine „lückenerhalten-
de“ Reduktion von M AX -3-SAT auf M AX -IS
Proposition 25.1
• Es gibt eine PolyZeit-Funktion f mit den
folgenden Eigenschaften:
(1) f bildet 3CNF-Formeln mit m Klauseln, auf Graphen mit 7m Knoten ab
(2) Zu jeder Belegung von ϕ, die k Klauseln wahr macht, kann in polynomieller
Zeit ein k-IS in f (ϕ) berechnet werden und umgekehrt
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 2
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -I NDEPENDENT S ET (1/6)
• Abkürzung: M AX -IS sei
Beweisskizze
M AX -I NDEPENDENT S ET
• Wir werden sehen: M AX -IS ist überhaupt
nicht konstant approximierbar
(falls P
• Sei ϕ gegeben mit Klauseln ϕ1 , . . . ,ϕm
6= NP)
• Zum Aufwärmen (und als Basis für weite-
res) zeigen wir vorher, dass M AX -IS nicht
besser approximierbar ist als M AX -3-SAT
• Dazu verwenden wir eine „lückenerhalten-
de“ Reduktion von M AX -3-SAT auf M AX -IS
Proposition 25.1
• Es gibt eine PolyZeit-Funktion f mit den
folgenden Eigenschaften:
(1) f bildet 3CNF-Formeln mit m Klauseln, auf Graphen mit 7m Knoten ab
(2) Zu jeder Belegung von ϕ, die k Klauseln wahr macht, kann in polynomieller
Zeit ein k-IS in f (ϕ) berechnet werden und umgekehrt
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 2
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -I NDEPENDENT S ET (1/6)
• Abkürzung: M AX -IS sei
Beweisskizze
M AX -I NDEPENDENT S ET
• Wir werden sehen: M AX -IS ist überhaupt
nicht konstant approximierbar
(falls P
6= NP)
• Zum Aufwärmen (und als Basis für weite-
res) zeigen wir vorher, dass M AX -IS nicht
besser approximierbar ist als M AX -3-SAT
• Sei ϕ gegeben mit Klauseln ϕ1 , . . . ,ϕm
• Die Knoten von f (ϕ) sind Paare (i,β),
wobei i ≤ m und β eine Belegung der
Variablen von ϕi ist, die ϕi wahr macht
• Zwischen (i,β) und (i′ ,β ′ ) ist eine Kante, wenn i = i′ oder wenn β und β ′ inkompatibel sind
⊞
• Dazu verwenden wir eine „lückenerhalten-
de“ Reduktion von M AX -3-SAT auf M AX -IS
Proposition 25.1
• Es gibt eine PolyZeit-Funktion f mit den
folgenden Eigenschaften:
(1) f bildet 3CNF-Formeln mit m Klauseln, auf Graphen mit 7m Knoten ab
(2) Zu jeder Belegung von ϕ, die k Klauseln wahr macht, kann in polynomieller
Zeit ein k-IS in f (ϕ) berechnet werden und umgekehrt
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 2
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -I NDEPENDENT S ET (1/6)
• Abkürzung: M AX -IS sei
Beweisskizze
M AX -I NDEPENDENT S ET
• Wir werden sehen: M AX -IS ist überhaupt
nicht konstant approximierbar
(falls P
6= NP)
• Zum Aufwärmen (und als Basis für weite-
res) zeigen wir vorher, dass M AX -IS nicht
besser approximierbar ist als M AX -3-SAT
• Dazu verwenden wir eine „lückenerhalten-
de“ Reduktion von M AX -3-SAT auf M AX -IS
• Sei ϕ gegeben mit Klauseln ϕ1 , . . . ,ϕm
• Die Knoten von f (ϕ) sind Paare (i,β),
wobei i ≤ m und β eine Belegung der
Variablen von ϕi ist, die ϕi wahr macht
• Zwischen (i,β) und (i′ ,β ′ ) ist eine Kante, wenn i = i′ oder wenn β und β ′ inkompatibel sind
⊞
• Es gelten (1) und (2)
Proposition 25.1
• Es gibt eine PolyZeit-Funktion f mit den
folgenden Eigenschaften:
(1) f bildet 3CNF-Formeln mit m Klauseln, auf Graphen mit 7m Knoten ab
(2) Zu jeder Belegung von ϕ, die k Klauseln wahr macht, kann in polynomieller
Zeit ein k-IS in f (ϕ) berechnet werden und umgekehrt
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 2
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -I NDEPENDENT S ET (1/6)
• Abkürzung: M AX -IS sei
Beweisskizze
M AX -I NDEPENDENT S ET
• Wir werden sehen: M AX -IS ist überhaupt
nicht konstant approximierbar
(falls P
6= NP)
• Zum Aufwärmen (und als Basis für weite-
res) zeigen wir vorher, dass M AX -IS nicht
besser approximierbar ist als M AX -3-SAT
• Dazu verwenden wir eine „lückenerhalten-
de“ Reduktion von M AX -3-SAT auf M AX -IS
Proposition 25.1
• Es gibt eine PolyZeit-Funktion f mit den
folgenden Eigenschaften:
(1) f bildet 3CNF-Formeln mit m Klauseln, auf Graphen mit 7m Knoten ab
(2) Zu jeder Belegung von ϕ, die k Klauseln wahr macht, kann in polynomieller
Zeit ein k-IS in f (ϕ) berechnet werden und umgekehrt
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
• Sei ϕ gegeben mit Klauseln ϕ1 , . . . ,ϕm
• Die Knoten von f (ϕ) sind Paare (i,β),
wobei i ≤ m und β eine Belegung der
Variablen von ϕi ist, die ϕi wahr macht
• Zwischen (i,β) und (i′ ,β ′ ) ist eine Kante, wenn i = i′ oder wenn β und β ′ inkompatibel sind
⊞
• Es gelten (1) und (2)
• Aus Proposition 25.1 und Satz 23.6 folgt:
Satz 25.2
• Falls P 6= NP hat M AX -IS für kein
ǫ < 1/7 einen (1 + ǫ)-Approximationsalgorithmus
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 2
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -I NDEPENDENT S ET (1/6)
• Abkürzung: M AX -IS sei
Beweisskizze
M AX -I NDEPENDENT S ET
• Wir werden sehen: M AX -IS ist überhaupt
nicht konstant approximierbar
(falls P
6= NP)
• Zum Aufwärmen (und als Basis für weite-
res) zeigen wir vorher, dass M AX -IS nicht
besser approximierbar ist als M AX -3-SAT
• Dazu verwenden wir eine „lückenerhalten-
de“ Reduktion von M AX -3-SAT auf M AX -IS
Proposition 25.1
• Es gibt eine PolyZeit-Funktion f mit den
folgenden Eigenschaften:
(1) f bildet 3CNF-Formeln mit m Klauseln, auf Graphen mit 7m Knoten ab
(2) Zu jeder Belegung von ϕ, die k Klauseln wahr macht, kann in polynomieller
Zeit ein k-IS in f (ϕ) berechnet werden und umgekehrt
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
• Sei ϕ gegeben mit Klauseln ϕ1 , . . . ,ϕm
• Die Knoten von f (ϕ) sind Paare (i,β),
wobei i ≤ m und β eine Belegung der
Variablen von ϕi ist, die ϕi wahr macht
• Zwischen (i,β) und (i′ ,β ′ ) ist eine Kante, wenn i = i′ oder wenn β und β ′ inkompatibel sind
⊞
• Es gelten (1) und (2)
• Aus Proposition 25.1 und Satz 23.6 folgt:
Satz 25.2
• Falls P 6= NP hat M AX -IS für kein
ǫ < 1/7 einen (1 + ǫ)-Approximationsalgorithmus
• Mit Hilfe einer Lücken-vergrößernden Reduktion lässt sich das noch verschärfen...
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 2
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (2/6)
Satz 25.3
• Falls P 6= NP ist M AX -IS 6∈ APX
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 3
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (2/6)
Satz 25.3
• Falls P 6= NP ist M AX -IS 6∈ APX
Beweisskizze
• Wir betrachten zunächst eine einfache „lückenvergrößernde“ Reduktion von M AX -IS auf M AX -IS
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 3
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (2/6)
Satz 25.3
• Falls P 6= NP ist M AX -IS 6∈ APX
Beweisskizze
• Wir betrachten zunächst eine einfache „lückenvergrößernde“ Reduktion von M AX -IS auf M AX -IS
Sei G = (V,E) ein Graph
•
def
• Sei H = f (G) der Graph mit Knotenmenge V × V und
Kanten zwischen (u1 ,v1 ) und (u2 ,v2 ) falls
◮ (u1 ,u2 ) ∈ E oder (v1 ,v2 ) ∈ E
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 3
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (2/6)
Satz 25.3
• Falls P 6= NP ist M AX -IS 6∈ APX
Beweisskizze
• Wir betrachten zunächst eine einfache „lückenvergrößernde“ Reduktion von M AX -IS auf M AX -IS
Sei G = (V,E) ein Graph
•
def
• Sei H = f (G) der Graph mit Knotenmenge V × V und
Kanten zwischen (u1 ,v1 ) und (u2 ,v2 ) falls
◮ (u1 ,u2 ) ∈ E oder (v1 ,v2 ) ∈ E
• Klar: Ist I eine unabhängige Menge von G, so ist I × I eine
unabhängige Menge in H
➨ Hat G k-IS, so hat H k2 -IS
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 3
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (2/6)
Satz 25.3
• Falls P 6= NP ist M AX -IS 6∈ APX
Beweisskizze
• Wir betrachten zunächst eine einfache „lückenvergrößernde“ Reduktion von M AX -IS auf M AX -IS
Sei G = (V,E) ein Graph
•
def
• Sei H = f (G) der Graph mit Knotenmenge V × V und
Kanten zwischen (u1 ,v1 ) und (u2 ,v2 ) falls
◮ (u1 ,u2 ) ∈ E oder (v1 ,v2 ) ∈ E
• Klar: Ist I eine unabhängige Menge von G, so ist I × I eine
unabhängige Menge in H
➨ Hat G k-IS, so hat H k2 -IS
• Umgekehrt:
◮ ist J eine unabhängige Menge von H , so sind die Projektionen I1 und I2 von J aufp
die 1. und 2. Komponente
p jeweils
unabhängig und |I1 | ≥
|J | oder |I2 | ≥ |J |
➨ Hat H k2 -IS, so hat G k-IS
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 3
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Angenommen, M AX -IS wäre, für ein
c > 1, c-approximierbar durch einen Algorithmus A
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 4
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Angenommen, M AX -IS wäre, für ein
c > 1, c-approximierbar durch einen Algorithmus A
• Seien m und d so gewählt, dass:
◮ 1 < d < 87 und
◮ d2
m
>c
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 4
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Angenommen, M AX -IS wäre, für ein
c > 1, c-approximierbar durch einen Algorithmus A
• Seien m und d so gewählt, dass:
◮ 1 < d < 87 und
m
◮ d2 > c
• Sei g die m-fache Komposition von f
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 4
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Angenommen, M AX -IS wäre, für ein
c > 1, c-approximierbar durch einen Algorithmus A
• Seien m und d so gewählt, dass:
◮ 1 < d < 87 und
m
◮ d2 > c
• Sei g die m-fache Komposition von f
➨ Aus jeder unabhängigen Menge der Größe
k für G lässt sich eine unabhängige Menm
2
für g(G) berechnen
ge der Größe k
und umgekehrt
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 4
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Angenommen, M AX -IS wäre, für ein
c > 1, c-approximierbar durch einen Algorithmus A
• Seien m und d so gewählt, dass:
◮ 1 < d < 87 und
m
◮ d2 > c
• Sei g die m-fache Komposition von f
➨ Aus jeder unabhängigen Menge der Größe
k für G lässt sich eine unabhängige Menm
2
für g(G) berechnen
ge der Größe k
und umgekehrt
➨
OPT- V (G)
=
2m
p
OPT- V(g(G))
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 4
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
Beweisskizze (Forts.)
• Angenommen, M AX -IS wäre, für ein
c > 1, c-approximierbar durch einen Algorithmus A
• Seien m und d so gewählt, dass:
◮ 1 < d < 87 und
m
◮ d2 > c
• Sei g die m-fache Komposition von f
➨ Aus jeder unabhängigen Menge der Größe
k für G lässt sich eine unabhängige Menm
2
für g(G) berechnen
ge der Größe k
• Wir konstruieren einen (besseren) Approximationsalgorithmus B für M AX -IS:
◮ B berechnet bei Eingabe G mit Hilfe
von A den Graphen H = g(G) und
eine unabhängige Menge S ⊆ V m
1
der Größe ≥ c OPT- V(H)
und umgekehrt
➨
OPT- V (G)
=
2m
p
OPT- V(g(G))
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 4
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
Beweisskizze (Forts.)
• Angenommen, M AX -IS wäre, für ein
c > 1, c-approximierbar durch einen Algorithmus A
• Seien m und d so gewählt, dass:
◮ 1 < d < 87 und
• Wir konstruieren einen (besseren) Approximationsalgorithmus B für M AX -IS:
◮ B berechnet bei Eingabe G mit Hilfe
von A den Graphen H = g(G) und
eine unabhängige Menge S ⊆ V m
1
der Größe ≥ c OPT- V(H)
➨ B kann eine unabhängige Menge der Größe q
m
≥ 2 1c OPT- V(H)
√
2m
OPT- V(H)
1
≥
=
OPT- V(G)
d
d
m
◮ d2 > c
• Sei g die m-fache Komposition von f
➨ Aus jeder unabhängigen Menge der Größe
k für G lässt sich eine unabhängige Menm
2
für g(G) berechnen
ge der Größe k
und umgekehrt
➨
OPT- V (G)
=
2m
p
OPT- V(g(G))
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
in G berechnen
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 4
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
Beweisskizze (Forts.)
• Angenommen, M AX -IS wäre, für ein
c > 1, c-approximierbar durch einen Algorithmus A
• Seien m und d so gewählt, dass:
◮ 1 < d < 87 und
• Wir konstruieren einen (besseren) Approximationsalgorithmus B für M AX -IS:
◮ B berechnet bei Eingabe G mit Hilfe
von A den Graphen H = g(G) und
eine unabhängige Menge S ⊆ V m
1
der Größe ≥ c OPT- V(H)
➨ B kann eine unabhängige Menge der Größe q
m
≥ 2 1c OPT- V(H)
√
2m
OPT- V(H)
1
≥
=
OPT- V(G)
d
d
m
◮ d2 > c
• Sei g die m-fache Komposition von f
➨ Aus jeder unabhängigen Menge der Größe
k für G lässt sich eine unabhängige Menm
2
für g(G) berechnen
ge der Größe k
und umgekehrt
➨
OPT- V (G)
=
2m
p
OPT- V(g(G))
in G berechnen
➨ B ist d-Approximationsalgorithmus für
M AX -IS
➨ Widerspruch zu Satz 25.2
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 4
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
• Können wir den Ansatz aus dem Beweis von Satz 25.3 dafür verwenden?
• Dort hatten wir eine Korrespondenz
def
zwischen G und H = Gℓ
◮ Knoten in H sind ℓ-Tupel von
Knoten in G
◮ Ist I unabhängig in G, so ist I ℓ
unabhängig in H
√
ℓ
◮ J unabhängig in H ⇒ „ J “
unabhängig in G
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
• Können wir den Ansatz aus dem Beweis von Satz 25.3 dafür verwenden?
• Dort hatten wir eine Korrespondenz
def
zwischen G und H = Gℓ
◮ Knoten in H sind ℓ-Tupel von
Knoten in G
◮ Ist I unabhängig in G, so ist I ℓ
unabhängig in H
√
ℓ
◮ J unabhängig in H ⇒ „ J “
unabhängig in G
Problem:
◮ Für nδ -Nicht-Approximierbarkeit
wäre ℓ = Ω(log n) nötig
➨ |H| wäre superpolynomiell
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
• Können wir den Ansatz aus dem Be-
• Idee: wir versuchen eine ähnliche Konstruktion, in
der nicht alle ℓ-Tupel Knoten werden, sondern nur
polynomiell viele
weis von Satz 25.3 dafür verwenden?
• Dort hatten wir eine Korrespondenz
def
zwischen G und H = Gℓ
◮ Knoten in H sind ℓ-Tupel von
Knoten in G
◮ Ist I unabhängig in G, so ist I ℓ
unabhängig in H
√
ℓ
◮ J unabhängig in H ⇒ „ J “
unabhängig in G
Problem:
◮ Für nδ -Nicht-Approximierbarkeit
wäre ℓ = Ω(log n) nötig
➨ |H| wäre superpolynomiell
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
• Können wir den Ansatz aus dem Be-
• Idee: wir versuchen eine ähnliche Konstruktion, in
der nicht alle ℓ-Tupel Knoten werden, sondern nur
polynomiell viele
• Die Korrespondenz zwischen unabhängigen Mengen in G und H soll erhalten bleiben:
weis von Satz 25.3 dafür verwenden?
• Dort hatten wir eine Korrespondenz
def
zwischen G und H = Gℓ
◮ Knoten in H sind ℓ-Tupel von
Knoten in G
◮ Ist I unabhängig in G, so ist I ℓ
unabhängig in H
√
ℓ
◮ J unabhängig in H ⇒ „ J “
unabhängig in G
Problem:
◮ Für nδ -Nicht-Approximierbarkeit
wäre ℓ = Ω(log n) nötig
➨ |H| wäre superpolynomiell
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
• Können wir den Ansatz aus dem Beweis von Satz 25.3 dafür verwenden?
• Dort hatten wir eine Korrespondenz
def
zwischen G und H = Gℓ
◮ Knoten in H sind ℓ-Tupel von
Knoten in G
◮ Ist I unabhängig in G, so ist I ℓ
unabhängig in H
√
ℓ
◮ J unabhängig in H ⇒ „ J “
unabhängig in G
• Idee: wir versuchen eine ähnliche Konstruktion, in
der nicht alle ℓ-Tupel Knoten werden, sondern nur
polynomiell viele
• Die Korrespondenz zwischen unabhängigen Mengen in G und H soll erhalten bleiben:
◮ Unabhängige Mengen I in G sollen unabhängi|J|
|I|
ge Mengen J in H mit |H| ≈ ( |G| )ℓ induzieren
Problem:
◮ Für nδ -Nicht-Approximierbarkeit
wäre ℓ = Ω(log n) nötig
➨ |H| wäre superpolynomiell
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
• Können wir den Ansatz aus dem Beweis von Satz 25.3 dafür verwenden?
• Dort hatten wir eine Korrespondenz
def
zwischen G und H = Gℓ
◮ Knoten in H sind ℓ-Tupel von
Knoten in G
◮ Ist I unabhängig in G, so ist I ℓ
unabhängig in H
√
ℓ
◮ J unabhängig in H ⇒ „ J “
unabhängig in G
• Idee: wir versuchen eine ähnliche Konstruktion, in
der nicht alle ℓ-Tupel Knoten werden, sondern nur
polynomiell viele
• Die Korrespondenz zwischen unabhängigen Mengen in G und H soll erhalten bleiben:
◮ Unabhängige Mengen I in G sollen unabhängi|J|
|I|
ge Mengen J in H mit |H| ≈ ( |G| )ℓ induzieren
• Ansatz: Knoten in H sind ℓ-Tupel, die Wege in einem Hilfsgraphen E(G) derselben Knotenmenge
darstellen
(nicht: Wege in G!)
◮ E(G) hat konstanten Knotengrad
➨ die Menge solcher Tupel ist nur polynomiell groß
Problem:
◮ Für nδ -Nicht-Approximierbarkeit
wäre ℓ = Ω(log n) nötig
➨ |H| wäre superpolynomiell
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
• Können wir den Ansatz aus dem Beweis von Satz 25.3 dafür verwenden?
• Dort hatten wir eine Korrespondenz
def
zwischen G und H = Gℓ
◮ Knoten in H sind ℓ-Tupel von
Knoten in G
◮ Ist I unabhängig in G, so ist I ℓ
unabhängig in H
√
ℓ
◮ J unabhängig in H ⇒ „ J “
unabhängig in G
Problem:
◮ Für nδ -Nicht-Approximierbarkeit
wäre ℓ = Ω(log n) nötig
• Idee: wir versuchen eine ähnliche Konstruktion, in
der nicht alle ℓ-Tupel Knoten werden, sondern nur
polynomiell viele
• Die Korrespondenz zwischen unabhängigen Mengen in G und H soll erhalten bleiben:
◮ Unabhängige Mengen I in G sollen unabhängi|J|
|I|
ge Mengen J in H mit |H| ≈ ( |G| )ℓ induzieren
• Ansatz: Knoten in H sind ℓ-Tupel, die Wege in einem Hilfsgraphen E(G) derselben Knotenmenge
darstellen
(nicht: Wege in G!)
◮ E(G) hat konstanten Knotengrad
➨ die Menge solcher Tupel ist nur polynomiell groß
• Damit der Beweis funktioniert, muss der Anteil der
Wege der Länge log n, die nur aus Knoten von I
bestehen an allen Wegen der Länge log n unge|I|
fähr ( |G| )ℓ sein
➨ |H| wäre superpolynomiell
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (4/6)
• Also: M AX -IS ist (wohl) nicht konstant approximierbar
• Ziel jetzt: es gibt ein δ > 0, so dass
M AX -IS nicht nδ -approximierbar ist
• Können wir den Ansatz aus dem Beweis von Satz 25.3 dafür verwenden?
• Dort hatten wir eine Korrespondenz
def
zwischen G und H = Gℓ
◮ Knoten in H sind ℓ-Tupel von
Knoten in G
◮ Ist I unabhängig in G, so ist I ℓ
unabhängig in H
√
ℓ
◮ J unabhängig in H ⇒ „ J “
unabhängig in G
Problem:
◮ Für nδ -Nicht-Approximierbarkeit
wäre ℓ = Ω(log n) nötig
➨ |H| wäre superpolynomiell
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
• Idee: wir versuchen eine ähnliche Konstruktion, in
der nicht alle ℓ-Tupel Knoten werden, sondern nur
polynomiell viele
• Die Korrespondenz zwischen unabhängigen Mengen in G und H soll erhalten bleiben:
◮ Unabhängige Mengen I in G sollen unabhängi|J|
|I|
ge Mengen J in H mit |H| ≈ ( |G| )ℓ induzieren
• Ansatz: Knoten in H sind ℓ-Tupel, die Wege in einem Hilfsgraphen E(G) derselben Knotenmenge
darstellen
(nicht: Wege in G!)
◮ E(G) hat konstanten Knotengrad
➨ die Menge solcher Tupel ist nur polynomiell groß
• Damit der Beweis funktioniert, muss der Anteil der
Wege der Länge log n, die nur aus Knoten von I
bestehen an allen Wegen der Länge log n unge|I|
fähr ( |G| )ℓ sein
◮ Dafür benötigen wir ein kombinatorisches Hilfsmittel: Expandergraphen
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 5
Exkurs: Expander-Graphen (1/2)
• Expander-Graphen kommen in vielen Be-
reichen der Theoretischen Informatik vor:
◮ z.B.: Error-Correcting Codes, Derandomisierung, Routing-Algorithmen
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 6
Exkurs: Expander-Graphen (1/2)
• Expander-Graphen kommen in vielen Be•
reichen der Theoretischen Informatik vor:
◮ z.B.: Error-Correcting Codes, Derandomisierung, Routing-Algorithmen
Es gibt verschiedene Definitionen von
Expander-Graphen
◮ Wir werden keine formale Definition von
Expander-Graphen angeben
◮ Stattdessen geben wir Eigenschaften an,
die (Familien von) Expander-Graphen
haben
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 6
Exkurs: Expander-Graphen (1/2)
• Expander-Graphen kommen in vielen Be•
•
•
reichen der Theoretischen Informatik vor:
◮ z.B.: Error-Correcting Codes, Derandomisierung, Routing-Algorithmen
Es gibt verschiedene Definitionen von
Expander-Graphen
◮ Wir werden keine formale Definition von
Expander-Graphen angeben
◮ Stattdessen geben wir Eigenschaften an,
die (Familien von) Expander-Graphen
haben
Intuition: in einem Expandergraphen ist jede (nicht zu große) Knotenmenge S mit
Ω(|S|) vielen Knoten außerhalb von S
verbunden
Dabei ist der Knotengrad klein: Expandergraphen (einer Familie) sind d-regulär für
eine Konstante d
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 6
Exkurs: Expander-Graphen (1/2)
• Expander-Graphen kommen in vielen Be-
reichen der Theoretischen Informatik vor:
◮ z.B.: Error-Correcting Codes, Derandomisierung, Routing-Algorithmen
• Es gibt verschiedene Definitionen von
Expander-Graphen
◮ Wir werden keine formale Definition von
Expander-Graphen angeben
◮ Stattdessen geben wir Eigenschaften an,
die (Familien von) Expander-Graphen
haben
• Intuition: in einem Expandergraphen ist jede (nicht zu große) Knotenmenge S mit
Ω(|S|) vielen Knoten außerhalb von S
verbunden
• Dabei ist der Knotengrad klein: Expandergraphen (einer Familie) sind d-regulär für
eine Konstante d
✎ Gittergraphen ergeben keine (Familie von)
Expander-Graphen:
◮ ein (k × k)-Teilgitter hat höchstens 4k
Nachbarn
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 6
Exkurs: Expander-Graphen (1/2)
• Expander-Graphen kommen in vielen Be-
Proposition 25.4
reichen der Theoretischen Informatik vor:
Sei c ∈ (0,1)
◮ z.B.: Error-Correcting Codes, Derandomi(a) In jedem c-Expandergraphen
sierung, Routing-Algorithmen
G = (V,E) und für jede Menge
• Es gibt verschiedene Definitionen von
S ⊆ V mit |S| ≤ |V |/2 gilt:
Expander-Graphen
(1 + c) |S|
◮ Wir werden keine formale Definition von
Pr(u,v)∈E [u,v ∈ S] ≤
Expander-Graphen angeben
2
|V |
◮ Stattdessen geben wir Eigenschaften an,
k ein
(b)
Ist
G
ein
c
-Expandergraph,
so
ist
G
die (Familien von) Expander-Graphen
ck -Expandergraph
haben
(c) Für jedes c ∈ (0,1) gibt es ein d und
• Intuition: in einem Expandergraphen ist jeeinen PolyZeit-Algorithmus, der bei Einde (nicht zu große) Knotenmenge S mit
gabe 1n einen d-regulären c-ExpanderΩ(|S|) vielen Knoten außerhalb von S
Graphen mit n Knoten ausgibt
verbunden
• Dabei ist der Knotengrad klein: Expandergraphen (einer Familie) sind d-regulär für
eine Konstante d
✎ Gittergraphen ergeben keine (Familie von)
Expander-Graphen:
◮ ein (k × k)-Teilgitter hat höchstens 4k
Nachbarn
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 6
Exkurs: Expander-Graphen (1/2)
• Expander-Graphen kommen in vielen Be-
Proposition 25.4
reichen der Theoretischen Informatik vor:
Sei c ∈ (0,1)
◮ z.B.: Error-Correcting Codes, Derandomi(a) In jedem c-Expandergraphen
sierung, Routing-Algorithmen
G = (V,E) und für jede Menge
• Es gibt verschiedene Definitionen von
S ⊆ V mit |S| ≤ |V |/2 gilt:
Expander-Graphen
(1 + c) |S|
◮ Wir werden keine formale Definition von
Pr(u,v)∈E [u,v ∈ S] ≤
Expander-Graphen angeben
2
|V |
◮ Stattdessen geben wir Eigenschaften an,
k ein
(b)
Ist
G
ein
c
-Expandergraph,
so
ist
G
die (Familien von) Expander-Graphen
ck -Expandergraph
haben
(c) Für jedes c ∈ (0,1) gibt es ein d und
• Intuition: in einem Expandergraphen ist jeeinen PolyZeit-Algorithmus, der bei Einde (nicht zu große) Knotenmenge S mit
gabe 1n einen d-regulären c-ExpanderΩ(|S|) vielen Knoten außerhalb von S
Graphen mit n Knoten ausgibt
verbunden
• Dabei ist der Knotengrad klein: Expander• Bemerkungen:
graphen (einer Familie) sind d-regulär für
◮ Hier nur: ungerichtete Graphen
eine Konstante d
◮ Falls es jemanden interessiert:
✎ Gittergraphen ergeben keine (Familie von)
G ist c-Expander-Graph, falls der zweite
Expander-Graphen:
Eigenwert der normalisierten Adjazenz◮ ein (k × k)-Teilgitter hat höchstens 4k
Matrix von G höchstens c ist
Nachbarn
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 6
Exkurs: Expander-Graphen (2/2)
• Die gleichmäßige Verbindung von Knotenmengen
in Expandergraphen mit dem jeweiligen Rest des
Graphen hat folgende (intuitive) Konsequenz:
◮ Sei S eine Knotenmenge mit β|V | Knoten
◮ Dann ist die W-keit, dass der i-te Knoten eines Zufallsweges in S liegt, ungefähr β
◮ Die W-keit, dass ein Zufallsweg der Länge
log n vollständig in S liegt, ist ungefähr
β log n = nlog β
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 7
Exkurs: Expander-Graphen (2/2)
• Die gleichmäßige Verbindung von Knotenmengen
in Expandergraphen mit dem jeweiligen Rest des
Graphen hat folgende (intuitive) Konsequenz:
◮ Sei S eine Knotenmenge mit β|V | Knoten
◮ Dann ist die W-keit, dass der i-te Knoten eines Zufallsweges in S liegt, ungefähr β
◮ Die W-keit, dass ein Zufallsweg der Länge
log n vollständig in S liegt, ist ungefähr
Proposition 25.5
• Sei
◮ c ∈ (0,1)
◮ G = (V,E) ein c◮
◮
β log n = nlog β
Expandergraph
def
S ⊆ V und β = |S|/|V |
Wir betrachten das Zufallsexperiment, das gleichverteilt Wege W
der Länge ℓ − 1 in G wählt
• Dann gilt:
(β − 2c)ℓ ≤ PrW [W ⊆ S]
≤ (β + 2c)ℓ
• Bemerkungen:
def
◮ „W ⊆ S “ ⇔ alle Knoten von W
liegen in S
◮ Es werden nur einfache Wege ohne
◮
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
Mehrfachknoten betrachtet
Klar: die Aussage ist nur für kleine c
interessant
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 7
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (5/6)
• Jetzt kehren wir wieder zu M AX -IS zurück
def
• Bezeichnung: α̃(G) = max |I|/|V |
I ist IS
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 8 !
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (5/6)
• Jetzt kehren wir wieder zu M AX -IS zurück
def
• Bezeichnung: α̃(G) = max |I|/|V |
I ist IS
Lemma 25.6
• Für jedes c ∈ (0,1) gibt es eine PolyZeitberechenbare Funktion f , die Graphen G mit
n Knoten auf Graphen H abbildet mit:
(α̃(G) − 2c)log n ≤ α̃(H)
≤ (α̃(G) + 2c)log n
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 8 !
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (5/6)
• Jetzt kehren wir wieder zu M AX -IS zurück
def
• Bezeichnung: α̃(G) = max |I|/|V |
I ist IS
Lemma 25.6
• Für jedes c ∈ (0,1) gibt es eine PolyZeitberechenbare Funktion f , die Graphen G mit
n Knoten auf Graphen H abbildet mit:
(α̃(G) − 2c)log n ≤ α̃(H)
≤ (α̃(G) + 2c)log n
Beweisskizze
• Sei d so gewählt, dass es einen PolyZeit-Alg.
zur Erzeugung von c-Expandergraphen des
Grades d gibt
• Zu G = (V,E) sei K ein d-regulärer cExpander-Graph mit Knotenmenge V
def
◮ Knoten von H =
def
Wege in K der Länge ℓ = ⌊log n⌋
def
◮ (W1 ,W2 ) ist Kante in H ⇔
W1 ∪ W2 enthält eine Kante aus E
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 8 !
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (5/6)
• Jetzt kehren wir wieder zu M AX -IS zurück
def
• Bezeichnung: α̃(G) = max |I|/|V |
I ist IS
Lemma 25.6
• Für jedes c ∈ (0,1) gibt es eine PolyZeitberechenbare Funktion f , die Graphen G mit
n Knoten auf Graphen H abbildet mit:
(α̃(G) − 2c)log n ≤ α̃(H)
≤ (α̃(G) + 2c)log n
Beweisskizze (Forts.)
• Erste Ungleichung:
◮ Sei I IS-Menge von G
◮ Dann ist die Menge aller Wege in
K , die nur aus Knoten von I bestehen unabhängig in H
➨ α̃(H) ≥ (α̃(G) − 2c)ℓ
☞ Proposition 25.5
Beweisskizze
• Sei d so gewählt, dass es einen PolyZeit-Alg.
zur Erzeugung von c-Expandergraphen des
Grades d gibt
• Zu G = (V,E) sei K ein d-regulärer cExpander-Graph mit Knotenmenge V
def
◮ Knoten von H =
def
Wege in K der Länge ℓ = ⌊log n⌋
def
◮ (W1 ,W2 ) ist Kante in H ⇔
W1 ∪ W2 enthält eine Kante aus E
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 8 !
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (5/6)
• Jetzt kehren wir wieder zu M AX -IS zurück
def
• Bezeichnung: α̃(G) = max |I|/|V |
I ist IS
Lemma 25.6
• Für jedes c ∈ (0,1) gibt es eine PolyZeitberechenbare Funktion f , die Graphen G mit
n Knoten auf Graphen H abbildet mit:
(α̃(G) − 2c)log n ≤ α̃(H)
≤ (α̃(G) + 2c)log n
Beweisskizze
• Sei d so gewählt, dass es einen PolyZeit-Alg.
zur Erzeugung von c-Expandergraphen des
Grades d gibt
• Zu G = (V,E) sei K ein d-regulärer cExpander-Graph mit Knotenmenge V
def
◮ Knoten von H =
def
Wege in K der Länge ℓ = ⌊log n⌋
def
◮ (W1 ,W2 ) ist Kante in H ⇔
W1 ∪ W2 enthält eine Kante aus E
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
Beweisskizze (Forts.)
• Erste Ungleichung:
◮ Sei I IS-Menge von G
◮ Dann ist die Menge aller Wege in
K , die nur aus Knoten von I bestehen unabhängig in H
➨ α̃(H) ≥ (α̃(G) − 2c)ℓ
☞ Proposition 25.5
• Zweite Ungleichung:
◮ Sei T maximale IS-Menge von H
◮ Sei V ′ die Menge aller Knoten aus
V in Wegen von T
➨ V ′ ist unabhängig in G
➨ |V ′ | ≤ α̃(G)n
➨ |T | ≤ (α̃(G) + 2c)ℓ |H|
☞
|T |
|H|
≤ PrW [W ⊆ V ′ ] und
☞ Proposition 25.5
➨ α̃(H) ≤ (α̃(G) + 2c)ℓ
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 8 !
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (5/6)
• Jetzt kehren wir wieder zu M AX -IS zurück
def
• Bezeichnung: α̃(G) = max |I|/|V |
I ist IS
Lemma 25.6
• Für jedes c ∈ (0,1) gibt es eine PolyZeitberechenbare Funktion f , die Graphen G mit
n Knoten auf Graphen H abbildet mit:
(α̃(G) − 2c)log n ≤ α̃(H)
≤ (α̃(G) + 2c)log n
Beweisskizze
• Sei d so gewählt, dass es einen PolyZeit-Alg.
zur Erzeugung von c-Expandergraphen des
Grades d gibt
• Zu G = (V,E) sei K ein d-regulärer cExpander-Graph mit Knotenmenge V
def
◮ Knoten von H =
def
Wege in K der Länge ℓ = ⌊log n⌋
def
◮ (W1 ,W2 ) ist Kante in H ⇔
W1 ∪ W2 enthält eine Kante aus E
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
Beweisskizze (Forts.)
• Erste Ungleichung:
◮ Sei I IS-Menge von G
◮ Dann ist die Menge aller Wege in
K , die nur aus Knoten von I bestehen unabhängig in H
➨ α̃(H) ≥ (α̃(G) − 2c)ℓ
☞ Proposition 25.5
• Zweite Ungleichung:
◮ Sei T maximale IS-Menge von H
◮ Sei V ′ die Menge aller Knoten aus
V in Wegen von T
➨ V ′ ist unabhängig in G
➨ |V ′ | ≤ α̃(G)n
➨ |T | ≤ (α̃(G) + 2c)ℓ |H|
☞
|T |
|H|
≤ PrW [W ⊆ V ′ ] und
☞ Proposition 25.5
➨ α̃(H) ≤ (α̃(G) + 2c)ℓ
• Zusammen: Behauptung
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 8 !
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (6/6)
Satz 25.7
• Falls P 6= NP gibt es ein δ > 0, so dass es keinen
nδ -Approximationsalgorithmus für M AX -IS gibt
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 9
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (6/6)
Satz 25.7
• Falls P 6= NP gibt es ein δ > 0, so dass es keinen
nδ -Approximationsalgorithmus für M AX -IS gibt
Beweisskizze
• Die Kombination (des Beweises) von Satz 23.6 und
Proposition 25.1 liefert Graphen, in denen das maxi1
1
male IS entweder 7 oder höchstens (1 − ǫ) 7 aller
Knoten umfasst (für ǫ
< 81 )
1
gilt also:
• Mit β = 71 und ǫ = 10
◮ Falls P 6= NP gibt es keinen PolyZeitAlgorithmus, der für jeden Graphen G unter-
scheiden kann, ob
α̃(G) ≥ β oder
α̃(G) ≤ (1 − ǫ)β
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 9
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (6/6)
Satz 25.7
• Falls P 6= NP gibt es ein δ > 0, so dass es keinen
nδ -Approximationsalgorithmus für M AX -IS gibt
Beweisskizze
• Die Kombination (des Beweises) von Satz 23.6 und
Proposition 25.1 liefert Graphen, in denen das maxi1
1
male IS entweder 7 oder höchstens (1 − ǫ) 7 aller
Knoten umfasst (für ǫ
< 81 )
1
gilt also:
• Mit β = 71 und ǫ = 10
◮ Falls P 6= NP gibt es keinen PolyZeitAlgorithmus, der für jeden Graphen G unter-
scheiden kann, ob
α̃(G) ≥ β oder
α̃(G) ≤ (1 − ǫ)β
• Mit Lemma 25.6 (c = βǫ/8) folgt, dass es keinen
PolyZeit-Algorithmus gibt, der für jeden Graphen H
unterscheiden kann, ob
◮ α̃(H) ≥ (β − βǫ/4)log n oder
◮ α̃(H) ≤ ((1 − ǫ)β + βǫ/4)log n
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 9
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (6/6)
Satz 25.7
Beweisskizze (Forts.)
• Falls P 6= NP gibt es ein δ > 0, so dass es keinen
nδ -Approximationsalgorithmus für M AX -IS gibt
• Sei k groß genug, dass immer
|V (H)| ≤ |V (G)|k gilt
Beweisskizze
• Die Kombination (des Beweises) von Satz 23.6 und
Proposition 25.1 liefert Graphen, in denen das maxi1
1
male IS entweder 7 oder höchstens (1 − ǫ) 7 aller
Knoten umfasst (für ǫ
< 81 )
1
gilt also:
• Mit β = 71 und ǫ = 10
◮ Falls P 6= NP gibt es keinen PolyZeitAlgorithmus, der für jeden Graphen G unter-
scheiden kann, ob
α̃(G) ≥ β oder
α̃(G) ≤ (1 − ǫ)β
• Mit Lemma 25.6 (c = βǫ/8) folgt, dass es keinen
PolyZeit-Algorithmus gibt, der für jeden Graphen H
unterscheiden kann, ob
◮ α̃(H) ≥ (β − βǫ/4)log n oder
◮ α̃(H) ≤ ((1 − ǫ)β + βǫ/4)log n
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 9
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (6/6)
Satz 25.7
Beweisskizze (Forts.)
• Falls P 6= NP gibt es ein δ > 0, so dass es keinen
nδ -Approximationsalgorithmus für M AX -IS gibt
• Sei k groß genug, dass immer
|V (H)| ≤ |V (G)|k gilt
• Einsetzen der konkre-
Beweisskizze
• Die Kombination (des Beweises) von Satz 23.6 und
Proposition 25.1 liefert Graphen, in denen das maxi1
1
male IS entweder 7 oder höchstens (1 − ǫ) 7 aller
Knoten umfasst (für ǫ
1
und
7
< 81 )
1
gilt also:
10
ǫ=
• Mit β =
◮ Falls P 6= NP gibt es keinen PolyZeitAlgorithmus, der für jeden Graphen G unter-
ten Werte liefert, dass
kein PolyZeit-Algorithmus
α̃(H) ≥ (39/280)log n und
α̃(H) ≤ (37/280)log n unterscheiden kann
scheiden kann, ob
α̃(G) ≥ β oder
α̃(G) ≤ (1 − ǫ)β
• Mit Lemma 25.6 (c = βǫ/8) folgt, dass es keinen
PolyZeit-Algorithmus gibt, der für jeden Graphen H
unterscheiden kann, ob
◮ α̃(H) ≥ (β − βǫ/4)log n oder
◮ α̃(H) ≤ ((1 − ǫ)β + βǫ/4)log n
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 9
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (6/6)
Satz 25.7
Beweisskizze (Forts.)
• Falls P 6= NP gibt es ein δ > 0, so dass es keinen
nδ -Approximationsalgorithmus für M AX -IS gibt
• Sei k groß genug, dass immer
|V (H)| ≤ |V (G)|k gilt
• Einsetzen der konkre-
Beweisskizze
• Die Kombination (des Beweises) von Satz 23.6 und
ten Werte liefert, dass
kein PolyZeit-Algorithmus
Proposition 25.1 liefert Graphen, in denen das maxi1
1
male IS entweder 7 oder höchstens (1 − ǫ) 7 aller
Knoten umfasst (für ǫ
1
und
7
α̃(H) ≥ (39/280)log n und
α̃(H) ≤ (37/280)log n un-
< 81 )
1
gilt also:
10
ǫ=
• Mit β =
◮ Falls P 6= NP gibt es keinen PolyZeitAlgorithmus, der für jeden Graphen G unter-
terscheiden kann
• Durch Wahl von
def
ergibt sich die
δ = log(39/37)
k
scheiden kann, ob
α̃(G) ≥ β oder
Behauptung
α̃(G) ≤ (1 − ǫ)β
• Mit Lemma 25.6 (c = βǫ/8) folgt, dass es keinen
PolyZeit-Algorithmus gibt, der für jeden Graphen H
unterscheiden kann, ob
◮ α̃(H) ≥ (β − βǫ/4)log n oder
◮ α̃(H) ≤ ((1 − ǫ)β + βǫ/4)log n
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 9
Grenzen der Approximierbarkeit für M AX -IS (6/6)
Satz 25.7
Beweisskizze (Forts.)
• Falls P 6= NP gibt es ein δ > 0, so dass es keinen
nδ -Approximationsalgorithmus für M AX -IS gibt
• Sei k groß genug, dass immer
|V (H)| ≤ |V (G)|k gilt
• Einsetzen der konkre-
Beweisskizze
• Die Kombination (des Beweises) von Satz 23.6 und
ten Werte liefert, dass
kein PolyZeit-Algorithmus
Proposition 25.1 liefert Graphen, in denen das maxi1
1
male IS entweder 7 oder höchstens (1 − ǫ) 7 aller
Knoten umfasst (für ǫ
1
und
7
α̃(H) ≥ (39/280)log n und
α̃(H) ≤ (37/280)log n un-
< 81 )
1
gilt also:
10
ǫ=
• Mit β =
◮ Falls P 6= NP gibt es keinen PolyZeitAlgorithmus, der für jeden Graphen G unterscheiden kann, ob
α̃(G) ≥ β oder
α̃(G) ≤ (1 − ǫ)β
• Mit Lemma 25.6 (c = βǫ/8) folgt, dass es keinen
PolyZeit-Algorithmus gibt, der für jeden Graphen H
terscheiden kann
• Durch Wahl von
def
ergibt sich die
δ = log(39/37)
k
Behauptung
✎ Die Beweisskizze vernachlässigt
das „δ “ im Beweis von Satz 23.6
unterscheiden kann, ob
◮ α̃(H) ≥ (β − βǫ/4)log n oder
◮ α̃(H) ≤ ((1 − ǫ)β + βǫ/4)log n
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 9
M AX -IS: Abschließende Bemerkungen
• Es gilt sogar:
◮ Falls P 6= NP gibt es für M AX -IS keinen nδ Approximationsalgorithmus mit δ < 1
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 10
M AX -IS: Abschließende Bemerkungen
• Es gilt sogar:
◮ Falls P 6= NP gibt es für M AX -IS keinen nδ Approximationsalgorithmus mit δ < 1
• Andererseits gibt es offensichtlich einen nApproximationsalgorithmus...
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 10
M AX -IS: Abschließende Bemerkungen
• Es gilt sogar:
◮ Falls P 6= NP gibt es für M AX -IS keinen nδ Approximationsalgorithmus mit δ < 1
• Andererseits gibt es offensichtlich einen nApproximationsalgorithmus...
• Die Resultate für M AX -IS gelten natürlich auch für
M AX -C LIQUE
◮ Dazu muss nur der Komplementgraph betrachtet
werden
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 10
M AX -IS: Abschließende Bemerkungen
• Es gilt sogar:
◮ Falls P 6= NP gibt es für M AX -IS keinen nδ Approximationsalgorithmus mit δ < 1
• Andererseits gibt es offensichtlich einen nApproximationsalgorithmus...
• Die Resultate für M AX -IS gelten natürlich auch für
M AX -C LIQUE
◮ Dazu muss nur der Komplementgraph betrachtet
werden
• M AX -IS ist auch eng mit M IN -V ERTEX C OVER ver-
bunden:
◮ Das Komplement einer unabhängigen Menge ist
immer ein Vertex Cover
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 10
M AX -IS: Abschließende Bemerkungen
• Es gilt sogar:
◮ Falls P 6= NP gibt es für M AX -IS keinen nδ Approximationsalgorithmus mit δ < 1
• Andererseits gibt es offensichtlich einen nApproximationsalgorithmus...
• Die Resultate für M AX -IS gelten natürlich auch für
M AX -C LIQUE
◮ Dazu muss nur der Komplementgraph betrachtet
werden
• M AX -IS ist auch eng mit M IN -V ERTEX C OVER ver-
bunden:
◮ Das Komplement einer unabhängigen Menge ist
immer ein Vertex Cover
◮ Trotzdem unterscheidet sich die Approximierbarkeit: M IN -V ERTEX C OVER ist 2-approximierbar
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 10
Inhalt
25.1 Nicht-Approximierbarkeit von M AX -I NDEPENDENT S ET
✄ 25.2 M AX -3-SAT ist vollständig für APX
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 11
Erinnerung: PCP-Satz und lückenerzeugende Reduktionen
• In Kapitel 23 haben wir gesehen, dass der PCP-Satz
die Existenz besonderer lückenerzeugender Reduktionen impliziert
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 12
Erinnerung: PCP-Satz und lückenerzeugende Reduktionen
• In Kapitel 23 haben wir gesehen, dass der PCP-Satz
die Existenz besonderer lückenerzeugender Reduktionen impliziert
Satz 23.4
• Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) NP = PCP(log ,1)
(b) es gibt, für ein ρ, ρ > 1, eine ρlückenerzeugende Reduktion von 3-SAT auf
M AX -3-SAT, die erfüllbare Formeln auf erfüllbare Formeln abbildet
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 12
Erinnerung: PCP-Satz und lückenerzeugende Reduktionen
• In Kapitel 23 haben wir gesehen, dass der PCP-Satz
die Existenz besonderer lückenerzeugender Reduktionen impliziert
Satz 23.4
• Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) NP = PCP(log ,1)
(b) es gibt, für ein ρ, ρ > 1, eine ρlückenerzeugende Reduktion von 3-SAT auf
M AX -3-SAT, die erfüllbare Formeln auf erfüllbare Formeln abbildet
• Aus dem Beweis des Satzes ergibt sich außerdem,
dass für die ρ-lückenerzeugende Reduktion f gilt:
◮ Aus jeder erfüllenden Belegung für f (ϕ) lässt
sich in PolyZeit eine erfüllende Belegung für ϕ
berechnen
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 12
Erinnerung: PCP-Satz und lückenerzeugende Reduktionen
• In Kapitel 23 haben wir gesehen, dass der PCP-Satz
die Existenz besonderer lückenerzeugender Reduktionen impliziert
Satz 23.4
• Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) NP = PCP(log ,1)
(b) es gibt, für ein ρ, ρ > 1, eine ρlückenerzeugende Reduktion von 3-SAT auf
M AX -3-SAT, die erfüllbare Formeln auf erfüllbare Formeln abbildet
• Aus dem Beweis des Satzes ergibt sich außerdem,
dass für die ρ-lückenerzeugende Reduktion f gilt:
◮ Aus jeder erfüllenden Belegung für f (ϕ) lässt
sich in PolyZeit eine erfüllende Belegung für ϕ
berechnen
• Satz 23.4 wird im folgenden Beweis, dass
M AX -3-SAT vollständig für APX ist, eine wichtige
Rolle spielen
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 12
Approximationerhaltende Reduktionen
• Um zu zeigen, dass M AX -3-SAT vollständig
für APX ist, benötigen wir einen passenden
Reduktionsbegriff
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 13
Approximationerhaltende Reduktionen
• Um zu zeigen, dass M AX -3-SAT vollständig
•
für APX ist, benötigen wir einen passenden
Reduktionsbegriff
Da es um die Abgrenzung zwischen APX
und PTAS geht, brauchen wir eine Reduktion ≤ptas mit der Eigenschaft
O ∈ PTAS und O ′ ≤ptas O ⇒ O ′ ∈ PTAS
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 13
Approximationerhaltende Reduktionen
• Um zu zeigen, dass M AX -3-SAT vollständig
•
für APX ist, benötigen wir einen passenden
Reduktionsbegriff
Da es um die Abgrenzung zwischen APX
und PTAS geht, brauchen wir eine Reduktion ≤ptas mit der Eigenschaft
O ∈ PTAS und O ′ ≤ptas O ⇒ O ′ ∈ PTAS
Definition
• O ist PTAS-reduzierbar auf O ′
(O ≤ptas O ′ ), falls es PolyZeitFunktionen f,g und eine berechenbare,
unbeschränkte Funktion α : Q+ → Q+
gibt, so dass für jedes x und ǫ gilt:
◮ wenn y ′ eine 1 + ǫ′ Approximationslösung für
def
x′ = f (x,ǫ) ist,
def
◮ dann ist y = g(x,y ′ ,ǫ) eine
(1 + ǫ)-Approximationslösung für x
def
◮ wobei ǫ′ = α(ǫ)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 13
Approximationerhaltende Reduktionen
• Um zu zeigen, dass M AX -3-SAT vollständig
• Illustration:
x
f
x′
•
(1 + ǫ)-Lösung
y
g
y ′ (1 + ǫ′ )-Lösung
für APX ist, benötigen wir einen passenden
Reduktionsbegriff
Da es um die Abgrenzung zwischen APX
und PTAS geht, brauchen wir eine Reduktion ≤ptas mit der Eigenschaft
O ∈ PTAS und O ′ ≤ptas O ⇒ O ′ ∈ PTAS
Definition
• O ist PTAS-reduzierbar auf O ′
(O ≤ptas O ′ ), falls es PolyZeitFunktionen f,g und eine berechenbare,
unbeschränkte Funktion α : Q+ → Q+
gibt, so dass für jedes x und ǫ gilt:
◮ wenn y ′ eine 1 + ǫ′ Approximationslösung für
def
x′ = f (x,ǫ) ist,
def
◮ dann ist y = g(x,y ′ ,ǫ) eine
(1 + ǫ)-Approximationslösung für x
def
◮ wobei ǫ′ = α(ǫ)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 13
Approximationerhaltende Reduktionen
• Um zu zeigen, dass M AX -3-SAT vollständig
• Illustration:
x
f
x′
•
(1 + ǫ)-Lösung
y
g
y ′ (1 + ǫ′ )-Lösung
für APX ist, benötigen wir einen passenden
Reduktionsbegriff
Da es um die Abgrenzung zwischen APX
und PTAS geht, brauchen wir eine Reduktion ≤ptas mit der Eigenschaft
O ∈ PTAS und O ′ ≤ptas O ⇒ O ′ ∈ PTAS
Definition
• O ist PTAS-reduzierbar auf O ′
(O ≤ptas O ′ ), falls es PolyZeitFunktionen f,g und eine berechenbare,
unbeschränkte Funktion α : Q+ → Q+
gibt, so dass für jedes x und ǫ gilt:
◮ wenn y ′ eine 1 + ǫ′ -
• PTAS ist unter ≤ptas abgeschlossen
• Für Reduktionen zwischen Maximierungs-
problemen verwenden wir lieber eine Funktion α : (0,1] → (0,1] mit:
◮ Wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
dann v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
Approximationslösung für
def
x′ = f (x,ǫ) ist,
def
◮ dann ist y = g(x,y ′ ,ǫ) eine
(1 + ǫ)-Approximationslösung für x
def
◮ wobei ǫ′ = α(ǫ)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 13
Approximationerhaltende Reduktionen
• Um zu zeigen, dass M AX -3-SAT vollständig
• Illustration:
x
f
x′
•
(1 + ǫ)-Lösung
y
g
y ′ (1 + ǫ′ )-Lösung
für APX ist, benötigen wir einen passenden
Reduktionsbegriff
Da es um die Abgrenzung zwischen APX
und PTAS geht, brauchen wir eine Reduktion ≤ptas mit der Eigenschaft
O ∈ PTAS und O ′ ≤ptas O ⇒ O ′ ∈ PTAS
Definition
• O ist PTAS-reduzierbar auf O ′
(O ≤ptas O ′ ), falls es PolyZeitFunktionen f,g und eine berechenbare,
unbeschränkte Funktion α : Q+ → Q+
gibt, so dass für jedes x und ǫ gilt:
◮ wenn y ′ eine 1 + ǫ′ -
• PTAS ist unter ≤ptas abgeschlossen
• Für Reduktionen zwischen Maximierungs-
problemen verwenden wir lieber eine Funktion α : (0,1] → (0,1] mit:
◮ Wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
dann v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
• Wir zeigen jetzt:
Approximationslösung für
def
x′ = f (x,ǫ) ist,
def
◮ dann ist y = g(x,y ′ ,ǫ) eine
(1 + ǫ)-Approximationslösung für x
def
◮ wobei ǫ′ = α(ǫ)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 13
Approximationerhaltende Reduktionen
• Um zu zeigen, dass M AX -3-SAT vollständig
• Illustration:
x
f
x′
•
(1 + ǫ)-Lösung
y
g
y ′ (1 + ǫ′ )-Lösung
für APX ist, benötigen wir einen passenden
Reduktionsbegriff
Da es um die Abgrenzung zwischen APX
und PTAS geht, brauchen wir eine Reduktion ≤ptas mit der Eigenschaft
O ∈ PTAS und O ′ ≤ptas O ⇒ O ′ ∈ PTAS
Definition
• O ist PTAS-reduzierbar auf O ′
(O ≤ptas O ′ ), falls es PolyZeitFunktionen f,g und eine berechenbare,
unbeschränkte Funktion α : Q+ → Q+
gibt, so dass für jedes x und ǫ gilt:
◮ wenn y ′ eine 1 + ǫ′ -
• PTAS ist unter ≤ptas abgeschlossen
• Für Reduktionen zwischen Maximierungs-
problemen verwenden wir lieber eine Funktion α : (0,1] → (0,1] mit:
◮ Wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
dann v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
• Wir zeigen jetzt:
Satz 25.8
• M AX -3-SAT ist vollständig für APX unter
PTAS-Reduktionen
Approximationslösung für
def
x′ = f (x,ǫ) ist,
def
◮ dann ist y = g(x,y ′ ,ǫ) eine
(1 + ǫ)-Approximationslösung für x
def
◮ wobei ǫ′ = α(ǫ)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 13
Approximationerhaltende Reduktionen
• Um zu zeigen, dass M AX -3-SAT vollständig
• Illustration:
x
f
x′
•
(1 + ǫ)-Lösung
y
g
y ′ (1 + ǫ′ )-Lösung
für APX ist, benötigen wir einen passenden
Reduktionsbegriff
Da es um die Abgrenzung zwischen APX
und PTAS geht, brauchen wir eine Reduktion ≤ptas mit der Eigenschaft
O ∈ PTAS und O ′ ≤ptas O ⇒ O ′ ∈ PTAS
Definition
• O ist PTAS-reduzierbar auf O ′
(O ≤ptas O ′ ), falls es PolyZeitFunktionen f,g und eine berechenbare,
unbeschränkte Funktion α : Q+ → Q+
gibt, so dass für jedes x und ǫ gilt:
◮ wenn y ′ eine 1 + ǫ′ g(x,y ′ ,ǫ) eine
◮ dann ist y =
(1 + ǫ)-Approximationslösung für x
def
◮ wobei ǫ′ = α(ǫ)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
problemen verwenden wir lieber eine Funktion α : (0,1] → (0,1] mit:
◮ Wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
dann v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
• Wir zeigen jetzt:
Satz 25.8
• M AX -3-SAT ist vollständig für APX unter
PTAS-Reduktionen
Approximationslösung für
def
x′ = f (x,ǫ) ist,
def
• PTAS ist unter ≤ptas abgeschlossen
• Für Reduktionen zwischen Maximierungs-
• Satz 25.8 ist der „Satz von Cook für APX “
• Der Beweis beruht auf NTM-Berechnungen
und auf PCP-Protokollen
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 13
Beweis von Satz 25.8 (1/6)
Beweisskizze
• Wir müssen zeigen:
O ∈ APX ⇒ O ≤ptas M AX -3-SAT
• Zuerst Beweis für Maximierungsprobleme
• Sei also O ∈ APX ein Max-Problem,
τ ∈ (0,1) und A ein Algorithmus mit
vA (x) ≥ τ OPT- V(x)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 14
Beweis von Satz 25.8 (1/6)
Beweisskizze
• Wir müssen zeigen:
O ∈ APX ⇒ O ≤ptas M AX -3-SAT
• Zuerst Beweis für Maximierungsprobleme
• Sei also O ∈ APX ein Max-Problem,
τ ∈ (0,1) und A ein Algorithmus mit
vA (x) ≥ τ OPT- V(x)
• Wir brauchen f,g,α, so dass für alle x
und δ gilt:
◮ wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
def
für x′ = f (x) ist,
◮ dann ist v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
◮ mit y = g(x,y ′ ,δ)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 14
Beweis von Satz 25.8 (1/6)
Beweisskizze
• Wir müssen zeigen:
O ∈ APX ⇒ O ≤ptas M AX -3-SAT
• Zuerst Beweis für Maximierungsprobleme
• Sei also O ∈ APX ein Max-Problem,
τ ∈ (0,1) und A ein Algorithmus mit
vA (x) ≥ τ OPT- V(x)
• Wir brauchen f,g,α, so dass für alle x
und δ gilt:
◮ wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
def
für x′ = f (x) ist,
◮ dann ist v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
◮ mit y = g(x,y ′ ,δ)
• Vorsicht: wir haben es mit zwei Optimierungsproblemen zu tun:
◮ v ist die Bewertungsfunktion für O
◮ v ′ für M AX -3-SAT
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 14
Beweis von Satz 25.8 (1/6)
Beweisskizze
Beweisskizze (Forts.)
• Wir müssen zeigen:
O ∈ APX ⇒ O ≤ptas M AX -3-SAT
• Zuerst Beweis für Maximierungsprobleme
• Sei also O ∈ APX ein Max-Problem,
τ ∈ (0,1) und A ein Algorithmus mit
vA (x) ≥ τ OPT- V(x)
• Wir brauchen f,g,α, so dass für alle x
und δ gilt:
◮ wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
def
für x′ = f (x) ist,
◮ dann ist v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
◮ mit y = g(x,y ′ ,δ)
• Die Grundidee für die PTAS-Reduktion von
O auf M AX -3-SAT ist wie folgt:
⊞
◮ Bei Eingabe x lässt sich mit Hilfe von
A eine Näherungs-Lösung y0 berechnen mit
def
v0 = v(x,y0 ) ≥ τ OPT- V(x)
➨ OPT- V(x) ≤ τ1 v0
• Vorsicht: wir haben es mit zwei Optimierungsproblemen zu tun:
◮ v ist die Bewertungsfunktion für O
◮ v ′ für M AX -3-SAT
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 14
Beweis von Satz 25.8 (1/6)
Beweisskizze
Beweisskizze (Forts.)
• Wir müssen zeigen:
O ∈ APX ⇒ O ≤ptas M AX -3-SAT
• Zuerst Beweis für Maximierungsprobleme
• Sei also O ∈ APX ein Max-Problem,
τ ∈ (0,1) und A ein Algorithmus mit
vA (x) ≥ τ OPT- V(x)
• Wir brauchen f,g,α, so dass für alle x
und δ gilt:
◮ wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
def
für x′ = f (x) ist,
◮ dann ist v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
◮ mit y = g(x,y ′ ,δ)
• Die Grundidee für die PTAS-Reduktion von
O auf M AX -3-SAT ist wie folgt:
⊞
◮ Bei Eingabe x lässt sich mit Hilfe von
A eine Näherungs-Lösung y0 berechnen mit
def
v0 = v(x,y0 ) ≥ τ OPT- V(x)
➨ OPT- V(x) ≤ τ1 v0
◮ Wir teilen das Intervall [v0 , τ1 v0 ] ein in
k Teilintervalle der Art i
δ
δ i−1
Ii = [ τ v 0 , τ v 0 ]
◮ Dabei ist k minimal mit δ k ≤ τ
• Vorsicht: wir haben es mit zwei Optimierungsproblemen zu tun:
◮ v ist die Bewertungsfunktion für O
◮ v ′ für M AX -3-SAT
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 14
⊞
Beweis von Satz 25.8 (1/6)
Beweisskizze
Beweisskizze (Forts.)
• Wir müssen zeigen:
O ∈ APX ⇒ O ≤ptas M AX -3-SAT
• Zuerst Beweis für Maximierungsprobleme
• Sei also O ∈ APX ein Max-Problem,
τ ∈ (0,1) und A ein Algorithmus mit
vA (x) ≥ τ OPT- V(x)
• Wir brauchen f,g,α, so dass für alle x
und δ gilt:
◮ wenn v ′ (x′ ,y ′ ) ≥ α(δ)OPT- V′ (x′ )
def
für x′ = f (x) ist,
◮ dann ist v(x,y) ≥ δ OPT- V(x)
◮ mit y = g(x,y ′ ,δ)
• Vorsicht: wir haben es mit zwei Optimierungsproblemen zu tun:
◮ v ist die Bewertungsfunktion für O
◮ v ′ für M AX -3-SAT
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
• Die Grundidee für die PTAS-Reduktion von
O auf M AX -3-SAT ist wie folgt:
⊞
◮ Bei Eingabe x lässt sich mit Hilfe von
A eine Näherungs-Lösung y0 berechnen mit
def
v0 = v(x,y0 ) ≥ τ OPT- V(x)
➨ OPT- V(x) ≤ τ1 v0
◮ Wir teilen das Intervall [v0 , τ1 v0 ] ein in
k Teilintervalle der Art i
δ
δ i−1
Ii = [ τ v 0 , τ v 0 ]
◮ Dabei ist k minimal mit δ k ≤ τ
⊞
◮ Nach dieser Vorberechnung erzeugt f
eine 3CNF Formel ϕ, so dass g mit Hilfe einer Näherungslösung von ϕ ein
Intervall Ii mit OPT- V(x) ∈ Ii identifizieren kann
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 14
Beweis von Satz 25.8 (2/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Zur Definition von f betrachten wir die
folgenden TMs Mi mit Zusatzeingabe:
◮ Bei Eingabe x rät Mi Lösung yi
◮ Mi akzeptiert, falls yi ∈ S(x) und
δi
v(x,y) ≥ τ v0
• Für jedes i lässt sich nun, wie im Satz von
Cook eine 3CNF-Formel ψi berechnen
mit:
OPT- V (x)
≥
δi
v
τ 0
⇐⇒ ψi erfüllbar
• Wegen Satz 23.4 und dem PCP-Satz lässt
sich jedes ψi in eine 3CNF-Formel ϕi
(mit mi Klauseln) umwandeln, so dass
◮ ψi erfüllbar ⇐⇒ ϕi erfüllbar
◮ Jede Variablen-Belegung macht entweder alle Klauseln von ϕi wahr oder
höchstens ρmi Klauseln
• OBdA: alle mi gleich (=: m)
def
def Vk
• Sei ϕ = f (x) = i=1 ϕi
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 15
Beweis von Satz 25.8 (2/6)
Beweisskizze (Forts.)
Beweisskizze (Forts.)
• Zur Definition von f betrachten wir die
folgenden TMs Mi mit Zusatzeingabe:
◮ Bei Eingabe x rät Mi Lösung yi
◮ Mi akzeptiert, falls yi ∈ S(x) und
δi
v(x,y) ≥ τ v0
• Für jedes i lässt sich nun, wie im Satz von
Cook eine 3CNF-Formel ψi berechnen
mit:
OPT- V (x)
≥
δi
v
τ 0
• Sei nun δ ′ = α(δ) = 1 − 1−ρ
2k
✎ Bemerkung: k hängt von δ ab!
def
• Für das Folgende wichtig: die Variablenmengen der ϕi sind paarweise disjunkt
• Sei y ′ eine Belegung für ϕ mit
v ′ (ϕ,y ′ ) ≥ δ ′ OPT- V(ϕ)
➨
OPT- V (ϕ)
⇐⇒ ψi erfüllbar
• Wegen Satz 23.4 und dem PCP-Satz lässt
sich jedes ψi in eine 3CNF-Formel ϕi
(mit mi Klauseln) umwandeln, so dass
◮ ψi erfüllbar ⇐⇒ ϕi erfüllbar
◮ Jede Variablen-Belegung macht entweder alle Klauseln von ϕi wahr oder
höchstens ρmi Klauseln
• OBdA: alle mi gleich (=: m)
def
def Vk
• Sei ϕ = f (x) = i=1 ϕi
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
def
G: 25. PCP-Satz und Approximation
− v ′ (ϕ,y ′ ) ≤
1−ρ
m
2
. ✁✄
⊞
Folie 15
Beweis von Satz 25.8 (2/6)
Beweisskizze (Forts.)
Beweisskizze (Forts.)
• Zur Definition von f betrachten wir die
folgenden TMs Mi mit Zusatzeingabe:
◮ Bei Eingabe x rät Mi Lösung yi
◮ Mi akzeptiert, falls yi ∈ S(x) und
δi
v(x,y) ≥ τ v0
• Für jedes i lässt sich nun, wie im Satz von
Cook eine 3CNF-Formel ψi berechnen
mit:
OPT- V (x)
≥
δi
v
τ 0
⇐⇒ ψi erfüllbar
• Wegen Satz 23.4 und dem PCP-Satz lässt
sich jedes ψi in eine 3CNF-Formel ϕi
(mit mi Klauseln) umwandeln, so dass
◮ ψi erfüllbar ⇐⇒ ϕi erfüllbar
◮ Jede Variablen-Belegung macht entweder alle Klauseln von ϕi wahr oder
höchstens ρmi Klauseln
• OBdA: alle mi gleich (=: m)
def
def Vk
• Sei ϕ = f (x) = i=1 ϕi
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
• Sei nun δ ′ = α(δ) = 1 − 1−ρ
2k
✎ Bemerkung: k hängt von δ ab!
def
def
• Für das Folgende wichtig: die Variablenmengen der ϕi sind paarweise disjunkt
• Sei y ′ eine Belegung für ϕ mit
v ′ (ϕ,y ′ ) ≥ δ ′ OPT- V(ϕ)
➨
OPT- V (ϕ)
− v ′ (ϕ,y ′ ) ≤
1−ρ
m
2
⊞
➨ Ist ϕi erfüllbar, so macht y ′ alle Klauseln
von ϕi wahr
◮ Andernfalls würde folgen:
′
′
OPT- V (ϕ)−v (ϕ,y ) ≥ (1−ρ)m
• Die Funktion g kann also, gegeben x,y ′ ,
das größte i wählen, für das ϕi durch y ′
erfüllt wird und daraus eine erfüllende Belegung βi für ψi berechnen
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 15
Beweis von Satz 25.8 (2/6)
Beweisskizze (Forts.)
Beweisskizze (Forts.)
• Zur Definition von f betrachten wir die
folgenden TMs Mi mit Zusatzeingabe:
◮ Bei Eingabe x rät Mi Lösung yi
◮ Mi akzeptiert, falls yi ∈ S(x) und
δi
v(x,y) ≥ τ v0
• Für jedes i lässt sich nun, wie im Satz von
Cook eine 3CNF-Formel ψi berechnen
mit:
OPT- V (x)
≥
δi
v
τ 0
⇐⇒ ψi erfüllbar
• Wegen Satz 23.4 und dem PCP-Satz lässt
sich jedes ψi in eine 3CNF-Formel ϕi
(mit mi Klauseln) umwandeln, so dass
◮ ψi erfüllbar ⇐⇒ ϕi erfüllbar
◮ Jede Variablen-Belegung macht entweder alle Klauseln von ϕi wahr oder
höchstens ρmi Klauseln
• OBdA: alle mi gleich (=: m)
def
def Vk
• Sei ϕ = f (x) = i=1 ϕi
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
• Sei nun δ ′ = α(δ) = 1 − 1−ρ
2k
✎ Bemerkung: k hängt von δ ab!
def
def
• Für das Folgende wichtig: die Variablenmengen der ϕi sind paarweise disjunkt
• Sei y ′ eine Belegung für ϕ mit
v ′ (ϕ,y ′ ) ≥ δ ′ OPT- V(ϕ)
➨
OPT- V (ϕ)
− v ′ (ϕ,y ′ ) ≤
1−ρ
m
2
⊞
➨ Ist ϕi erfüllbar, so macht y ′ alle Klauseln
von ϕi wahr
◮ Andernfalls würde folgen:
′
′
OPT- V (ϕ)−v (ϕ,y ) ≥ (1−ρ)m
• Die Funktion g kann also, gegeben x,y ′ ,
das größte i wählen, für das ϕi durch y ′
erfüllt wird und daraus eine erfüllende Belegung βi für ψi berechnen
➞ Aus βi lässt sich dann eine Lösung y für
x mit v(x,y) ≥ δ OPT- V(x) berechnen
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 15
Beweis von Satz 25.8 (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir haben also:
•
Jedes APX-Maximierungsproblem hat eine PTAS-Reduktion auf M AX -3-SAT
Bleibt zu zeigen: das gilt auch für Minimierungsprobleme
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 16
Beweis von Satz 25.8 (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir haben also:
•
•
Jedes APX-Maximierungsproblem hat eine PTAS-Reduktion auf M AX -3-SAT
Bleibt zu zeigen: das gilt auch für Minimierungsprobleme
Ansatz:
◮ Wir konstruieren zu jedem APX-Problem O = (I,S,v, min) ein APXProblem O ′ = (I,S,v ′ , max) und zeigen: O ≤ptas O ′
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 16
Beweis von Satz 25.8 (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir haben also:
•
•
Jedes APX-Maximierungsproblem hat eine PTAS-Reduktion auf M AX -3-SAT
Bleibt zu zeigen: das gilt auch für Minimierungsprobleme
Ansatz:
◮ Wir konstruieren zu jedem APX-Problem O = (I,S,v, min) ein APXProblem O ′ = (I,S,v ′ , max) und zeigen: O ≤ptas O ′
◮ Dann gilt: O ≤ptas O ′ ≤ptas M AX -3-SAT, also auch: O ≤ptas M AX -3-SAT
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 16
Beweis von Satz 25.8 (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir haben also:
•
•
Jedes APX-Maximierungsproblem hat eine PTAS-Reduktion auf M AX -3-SAT
Bleibt zu zeigen: das gilt auch für Minimierungsprobleme
Ansatz:
◮ Wir konstruieren zu jedem APX-Problem O = (I,S,v, min) ein APXProblem O ′ = (I,S,v ′ , max) und zeigen: O ≤ptas O ′
◮ Dann gilt: O ≤ptas O ′ ≤ptas M AX -3-SAT, also auch: O ≤ptas M AX -3-SAT
• Sei nun A ein Approx-Algorithmus und c ∈ N mit
vA (x) ≤ cOPT- V(x), für alle x ∈ I
• Sei y0 die von A für x berechnete Lösung
def
• Dann setzen wir v′ (x,y ′ ) =
(1 + c)v(x,y0 ) − cv(x,y ′ ) falls v(x,y ′ ) ≤ v(x,y0 )
v(x,y0 )
falls v(x,y ′ ) > v(x,y0 )
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 16
Beweis von Satz 25.8 (3/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir haben also:
•
•
•
•
•
•
Jedes APX-Maximierungsproblem hat eine PTAS-Reduktion auf M AX -3-SAT
Bleibt zu zeigen: das gilt auch für Minimierungsprobleme
Ansatz:
◮ Wir konstruieren zu jedem APX-Problem O = (I,S,v, min) ein APXProblem O ′ = (I,S,v ′ , max) und zeigen: O ≤ptas O ′
◮ Dann gilt: O ≤ptas O ′ ≤ptas M AX -3-SAT, also auch: O ≤ptas M AX -3-SAT
Sei nun A ein Approx-Algorithmus und c ∈ N mit
vA (x) ≤ cOPT- V(x), für alle x ∈ I
Sei y0 die von A für x berechnete Lösung
def
Dann setzen wir v ′ (x,y ′ ) =
(1 + c)v(x,y0 ) − cv(x,y ′ ) falls v(x,y ′ ) ≤ v(x,y0 )
v(x,y0 )
falls v(x,y ′ ) > v(x,y0 )
OPT- V O ′ (x)
′
≤ c2
O ∈ APX, da ′
v (x,y0 )
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 16
Beweis von Satz 25.8 (4/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Die Reduktion (f,g,α) sei definiert durch:
def
◮ f (x) = x
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 17
Beweis von Satz 25.8 (4/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Die Reduktion (f,g,α) sei definiert durch:
def
◮ f (x) = x y ′ falls v(x,y ′ ) ≤ v(x,y0 )
def
′
◮ g(x,y ,ǫ) =
y0 falls v(x,y ′ ) > v(x,y0 )
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 17
Beweis von Satz 25.8 (4/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Die Reduktion (f,g,α) sei definiert durch:
def
◮ f (x) = x y ′ falls v(x,y ′ ) ≤ v(x,y0 )
def
′
◮ g(x,y ,ǫ) =
y0 falls v(x,y ′ ) > v(x,y0 )
def
1
))
◮ α(ǫ) = min( cǫ ,c(1 − 1+ǫ
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 17
Beweis von Satz 25.8 (5/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir zeigen noch, dass (f,g,α) eine PTAS-Reduktion ist:
OPT- V O ′ (x)
◮ Wenn ′
≤ 1 + α(ǫ)
′
v (x,y )
v(x,g(x,y ′ ,ǫ))
◮ dann
≤1+ǫ
OPT- V O (x)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 18
Beweis von Satz 25.8 (5/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir zeigen noch, dass (f,g,α) eine PTAS-Reduktion ist:
OPT- V O ′ (x)
◮ Wenn ′
≤ 1 + α(ǫ)
′
v (x,y )
v(x,g(x,y ′ ,ǫ))
◮ dann
≤1+ǫ
OPT- V O (x)
• 1. Fall: v(x,y ′ ) > v(x,y0 )
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 18
Beweis von Satz 25.8 (5/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir zeigen noch, dass (f,g,α) eine PTAS-Reduktion ist:
OPT- V O ′ (x)
◮ Wenn ′
≤ 1 + α(ǫ)
′
v (x,y )
v(x,g(x,y ′ ,ǫ))
◮ dann
≤1+ǫ
OPT- V O (x)
• 1. Fall: v(x,y ′ ) > v(x,y0 )
◮ Wir zeigen die Kontraposition
v(x,g(x,y ′ ,ǫ))
◮ Gelte also
>1+ǫ
OPT- V O (x)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 18
Beweis von Satz 25.8 (5/6)
Beweisskizze (Forts.)
• Wir zeigen noch, dass (f,g,α) eine PTAS-Reduktion ist:
OPT- V O ′ (x)
◮ Wenn ′
≤ 1 + α(ǫ)
′
v (x,y )
v(x,g(x,y ′ ,ǫ))
◮ dann
≤1+ǫ
OPT- V O (x)
• 1. Fall: v(x,y ′ ) > v(x,y0 )
◮ Wir zeigen die Kontraposition
v(x,g(x,y ′ ,ǫ))
◮ Gelte also
>1+ǫ
OPT- V O (x)
➨
(1 + c)v(x,y0 ) − cOPT- VO (x)
OPT- V O ′ (x)
=
′
′
v (x,y )
v(x,y0 )
OPT- V O (x)
=1+c−c
v(x,g(x,y ′ ,ǫ))
1
)
> 1 + c(1 − 1+ǫ
≥ 1 + α(ǫ)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 18
Beweis von Satz 25.8 (6/6)
Beweisskizze (Forts.)
• 2. Fall: v(x,y ′ ) ≤ v(x,y0 )
OPT- V O ′ (x)
≤ 1 + α(ǫ)
• Sei ′
′
v (x,y )
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 19
Beweis von Satz 25.8 (6/6)
Beweisskizze (Forts.)
• 2. Fall: v(x,y ′ ) ≤ v(x,y0 )
OPT- V O ′ (x)
≤ 1 + α(ǫ)
• Sei ′
′
v (x,y )
➨
′ (x,y ′ )
(1
+
c)v(x,y
)
−
v
0
v(x,y ′ ) =
c
OPT- VO ′ (x)
(1 + c)v(x,y0 ) − 1+α(ǫ)
≤
c
(1 + c)v(x,y0 ) − (1 − α(ǫ))OPT- VO′ (x)
≤
c
cOPT- VO (x) + α(ǫ)OPT- VO′ (x)
≤
c
≤ OPT- VO (x) + α(ǫ)cOPT- VO (x)
≤ OPT- VO (x) + ǫOPT- VO (x) = (1 + ǫ)OPT- V(x)
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 19
Weitere Grenzen der Approximierbarkeit
• Generalannahme: P 6= NP
M AX -SAT: 1,2987-approximierbar und APXvollständig
M AX -k SAT: (mit genau k Literalen je Klausel)
1/(1−2−k )-approximierbar fürk ≥ 3,
aber nicht 1/(1−2−k ) − ǫ -approximierbar
1,0741-approximierbar,
aber nicht 1,0476-approximierbar
M IN-V ERTEX C OVER:
log n
2 − log
-approximierbar,
2 log n
aber nicht (7/6 − ǫ)-approximierbar
M AX -2SAT:
M AX -C LIQUE:
◮ O(n/ log2 n)-approximierbar,
aber nicht n1/2−ε -approximierbar
◮ sogar nicht n1−ε -approximierbar,
falls NP 6= ZPP
M IN -TSP: NPO-vollständig
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 20
The Big Picture
NPO
M AX -WSAT
exp APX
M IN -TSP∗
polyAPX
M AX -IS
log APX
M IN -S ET C OVER∗
APX
M AX -3-SAT
PTAS
M AX -P LANAR IS∗
FPTAS
• „∗“: (unter anderen Reduktionen)
• Es gilt: falls P 6= NP sind alle Inklusionen echt!
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 21
Quellen
• NP = PCP(log ,1) und Nicht-Approximierbarkeit
Lehrbücher:
• Arora, Barak: Kapitel 11, 22
• Wegener: Kapitel 12
• Kozen: Kapitel 18, 19
Vorlesungsfolien:
• Sauerhoff: Komplexitätstheorie,
WiSe 2005/06
Originalarbeiten:
• NP = PCP(log , log):
◮ Sanjeev Arora and Shmuel
◮
Safra. Probabilistic checking
of proofs: A new characterization of np. J. ACM,
45(1):70–122, 1998
Konferenzversion: Sanjeev
Arora and Shmuel Safra. Probabilistic checking of proofs;
a new characterization of np.
In FOCS, pages 2–13, 1992
Kompl.-Theorie / Schwentick / SoSe 15
von M AX -3-SAT:
◮ Sanjeev Arora, Carsten Lund, Rajeev Motwani, Madhu Sudan, and Mario Szegedy. Proof
verification and the hardness of approximation
problems. J. ACM, 45(3):501–555, 1998
◮ Konferenzversion: Sanjeev Arora, Carsten Lund,
Rajeev Motwani, Madhu Sudan, and Mario Szegedy. Proof verification and hardness of approximation problems. In FOCS, pages 14–23, 1992
• 3 Bits und optimale Nicht-Approximierbarkeit von
M AX -3-SAT:
◮ Johan Håstad. Some optimal inapproximability
results. J. ACM, 48(4):798–859, 2001
◮ Konferenzversion: Johan Håstad. Some optimal
inapproximability results. In STOC, pages 1–10,
1997
• Die APX-Vollständigkeit von M AX -3-SAT basiert
auf [Arora et al. 98] und:
◮ Christos H. Papadimitriou and Mihalis Yannakakis. Optimization, approximation, and complexity
classes. J. Comput. Syst. Sci., 43(3):425–440,
1991
G: 25. PCP-Satz und Approximation
. ✁✄
Folie 22