¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Nadine Losert
28. April 2016
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die Theoretische Informatik
Blatt 2
Aufgabe 1 (4 Punkte)
a) Begründen Sie, dass für jede Menge A ⊂ N genau einer der folgenden vier Fälle auftritt:
(i) A und Ā sind beide entscheidbar.
(ii) A ist aufzählbar, aber nicht entscheidbar und Ā ist nicht aufzählbar.
(iii) A ist nicht aufzählbar und Ā ist aufzählbar, aber nicht entscheidbar.
(iv) A und Ā sind beide nicht aufzählbar.
b) Begründen Sie, dass für jede berechenbare bijektive Funktion f : N → N auch die Umkehrfunktion f −1 von f berechenbar ist.
Hinweis: Geben Sie ein Berechnungsvefahren für f −1 an, das das Berechungsverfahren für
f nutzt.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort, d.h. geben Sie eine Beweisskizze bzw. ein
Gegenbeispiel an.
• Die Konkatenation ist assoziativ, d.h. es gilt stets (xy)z = x(yz).
• Die Konkatenation ist kommutativ, d.h. es gilt stets xy = yx.
• Die Konkatenation ist mit der längen-lexikographischen Ordnung < verträglich.
D.h. es gilt stets : x1 ≤ x2 & y1 ≤ y2 ⇒ x1 y1 ≤ x2 y2 .
• Es gilt: (02 100 12 (00)3 )R < 02 (001)3 < 0010 0
bzgl. der längen-lexikographischen Ordnung <. Hierbei bezeichne wR das Spiegelwort
von w.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Ein Paar (n, n+2) von natürlichen Zahlen heißt Primzahlzwilling, falls sowohl n als auch n+2
Primzahlen sind (zum Beispiel ist (3, 5) ein Primzahlzwilling). Die Frage, ob es unendlich
viele Primzahlzwillinge gibt, ist ein bislang ungelöstes mathematisches Problem.
Sei f : N → N die Funktion, die definiert ist durch
(
1, falls es mindestens n Primzahlzwillinge gibt
f (n) =
0, sonst.
Ist f berechenbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Seien Σ und T Alphabete. Zeigen Sie:
(a) Ist h : Σ∗ → T ∗ ein Homomorphimus, so ist h berechenbar. Ist h sogar bijektiv, so ist
auch h−1 ein Homomorphimus.
(b) Betrachten Sie die in der Vorlesung vorgestellte Binärkodierung bink : Σk → Σ2 eines
k-ären Alphabets Σk = {a0 , . . . , ak−1 } für k ≥ 3. Warum ist die partielle Umkehrfunktion
bin−1
k kein Homomorphismus und auch nicht zu einem Homomorphismus erweiterbar?
Abgabe: Bis Freitag, den 6. Mai 2016 in den Briefkästen im Foyer im 1. OG des Mathematikon (INF 205, vor dem Dekanat). Leerung 11 Uhr!
Blatt 3 erscheint am Mittwoch, den 4. Mai 2016 im Internet auf der Seite der Vorlesung:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ss16/theoinf ss16.html