Ubungsblatt 1

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Stochastik
Übungsblatt 1
Aufgabe 1. Sei A eine σ-Algebra. Zeigen Sie, dass für Ereignisse A1 , A2 , · · · ∈ A gilt:
(a) ∩∞
j=1 Aj ∈ A
(b) A1 \ A2 ∈ A
Aufgabe 2. Sei Ω = {0, 1}N (Menge aller Folgen der Zahlen 0 und 1) und A eine
σ-Algebra über Ω, die die Mengen Aj = {ω = (ω1 , ω2 , . . . ) ∈ Ω | ωj = 1}, j ∈ N, enthält.
Beweisen Sie
∞
n
o
X
ω = (ω1 , ω2 , . . . ) ∈ Ω |
ωj < ∞ ∈ A.
j=1
Aufgabe 3. (Ai )i∈I sei eine Familie von σ-Algebren über Ω. Zeigen Sie, dass
\
A=
Ai = {A ⊂ Ω | ∀i ∈ I : A ∈ Ai }
i∈I
ebenfalls eine σ-Algebra ist.
Aufgabe 4. Sei Ω eine Menge, F eine σ-Algebra über Ω und C ∈ F. Zeige, dass
FC = {C ∩ A : A ∈ F} eine σ-Algebra über C ist.
Aufgabe 5. Sei Ω = R, A = {A ⊂ Ω | A offen oder abgeschlossen}. Ist A eine σAlgebra?
Aufgabe 6. Sei (Ω, A, P) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B und C
paarweise disjunkte Ereignisse mit P(A) = 0.4, P(B) = 0.25 und P(C) = 0.35. Bestimmen
Sie die durch {A, B, C} erzeugte σ-Algebra, d. h. die kleinste σ-Algebra, die A, B und C
enthält. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse dieser σ-Algebra.
Aufgabe 7. Sei Ω = {ω = (ω1 , ω2 , . . . ) | ωi P
∈ {−1, +1}}. Wir definieren Abbildungen
Sn : Ω → R, n ∈ N, durch Sn (ω) = (1/n) ni=1 ωi . Was bedeuten die den folgenden
Mengen zugeordneten Ereignisse anschaulich?
(a) Sn−1 [−1/2, 1/2]
(b)
\
Sn−1 [−1/2, 1/2]
n∈N
n≥2
(c)
\[ \
ε∈Q
ε>0
n m≥n
−1
Sm
([−ε, ε])