Mt Pi-zza durchs All - Mathematik nicht nur für - ferber

π
π
π
π
π
Mit Pi-zza durchs All:
Mathematik nicht nur für Außerirdische
Vortrag zum Jahr der Mathematik
Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
18. September 2008
Thomas Ferber
Forschung und Lehre
Sun Microsystems GmbH
1
Stand 13. September 2008: Wir kennen 309 Planeten außerhalb unseres
Sonnensystems.
Introduction
Photo: ESO 2008
Photo: ESO 18a-06
Photo: ESO 2007
Photo: ESA/ NASA/ UCL (G. Tinetti), Extrasolar planet HD 189733b
2
Es gibt Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.
Es gibt erdähnliche Planeten außerhalb unseres Sonnensystems!
Gibt es auch außerirdisches Leben?
Und dann auch noch intelligentes Leben?
Photo: ESO 18a-06 3
Unsere Galaxie
Die Milchstraße
100 -300 Milliarden Sterne
100.000 Lichtjahre Durchmesser
3.000 -13.000 Lichtjahre dick
Photo: ESO phot-41-99
Es gibt ca. 100 Milliarden Galaxien im
Universum
Photo: NASA
4
Anzahl der technischen, intelligenten
Zivilisationen in unserer Galaxie
Drake-Gleichung
N = R · fS · fp · ne · fl · fi · fc · L
Photo: ESO phot-41-99
5
Anzahl der technischen, intelligenten
Zivilisationen in unserer Galaxie
Drake-Gleichung
N = R · fS · fp · ne · fl · fi · fc · L
R = Sternentstehungsrate pro Jahr in unserer Galaxie ≈ 10 ... 20
fS = Anteil sonnenähnlicher Sterne ≈ 10%
Fp = Anteil Sterne mit Planeten = 0% ... 100%
Photo: ESO phot-41-99
...
6
Anzahl der technischen, intelligenten
Zivilisationen in unserer Galaxie
Drake-Gleichung
N = R x fS x fp x ne x fl x fi x fc x L
Dies ist eine Abschätzung und ergibt je nach
eingesetzten Werten Ergebnisse zwischen 1
und 4.000.000
Zivilisationen in unserer Galaxie.
Photo: ESO phot-41-99
7
Fermi Paradox
Enrico Fermi: “Where is everybody?”
8
Nehmen wir doch einfach einmal an ...
es gäbe außerirdisches Leben,
es gäbe intelligentes außerirdisches Leben.
Doch wie wollen wir miteinander kommunizieren?
Auf Deutsch, Englisch, Latein, .... Chinesisch, ....
9
Und wie ist es mit der Mathematik ...
Betreiben unsere hypothetischen intelligenten
Außerirdischen überhaupt die gleiche Mathematik wie wir?
Am Beispiel der Zahlen möchte ich zeigen, das die
Mathematik universell ist und auch in einem anderen Teil
der Galaxis “gesprochen” wird.
Photo: ESO phot-37d-98
10
Sind die Zahlen universell?
11
Natürliche Zahlen
Wir betrachten die AnZAHLEN beliebiger Objekte.
Z.B Äpfel
...
12
Natürliche Zahlen
N ={ ,
,
, . . .}
Damit haben wir die Menge der natürlichen Zahlen gefunden. Und es ist völlig gleich, ob wir als Objekte
Äpfel, Eier, pangalaktische Donnergurgler oder Sandkörner auf Gliese 581c oder Aldebaran nehmen.
N = { 1, 2, 3, 4, . . . }
13
Rechnen mit natürlichen Zahlen
+
=
+ =
...
+
=
14
Multiplikation
15
Quadratzahlen
16
Rechnen mit natürlichen Zahlen
Die Addition alleine reicht aber nicht aus, wir benötigen auch die
Subtraktion, d.h. wir geben etwas her, wir ziehen etwas ab.
-
=
=
17
Rechnen mit natürlichen Zahlen
-
= ?
Jetzt haben wir ein Problem. Die Menge der natürlichen
Zahlen reicht nicht aus.
18
Die Null
Wir führen ein neues Zahlenelement ein,
die Null, und erweitern die Menge der
natürlichen Zahlen um die Zahl Null.
N0 = N + { 0 }
-
=0
19
Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen
Doch was ist mit Subtraktionsaufgaben des folgenden Typs, bei dem wir mehr abziehen als wir
haben?
-
=?
Wir führen weitere neue Zahlenelemente ein, die negativen Zahlen, und erweitern
die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null mit den negativen Zahlen
und nennen diese neue Menge die Menge der ganzen Zahlen.
Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
20
Die ganzen Zahlen
Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Mit den ganzen Zahlen können wir nun nach Herzenslust rechnen. Ob Addition
oder Subtraktion, jede Zahlenkombination ist möglich. Eine beliebige ganze Zahl
mit einer beliebigen ganzen Zahl addiert oder subtrahiert ergibt wieder eine ganze
Zahl.
Damit könnten wir jetzt aufhören, wenn nicht ....
21
Die rationalen Zahlen
:
=
22
Die rationalen Zahlen
¼
½
¾
Q = { m/n | m, n ε Z, n≠0 }
23
Von den natürlichen zu den rationalen
Zahlen
1/2
5/3
17/4
Z
Q
N0
N
1, 2, 3, 4, ...
0
-3/2
m/n
-1, -2, -3, ...
24
Primzahlen
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei
natürlichen Zahlen als Teiler,nämlich der Zahl 1 und sich selbst.
25
Das “Wurzel von zwei”-Problem
√2
1
1
√2 = p/q?
26
Die irrationalen Zahlen
√2 = 1,41...
Irrational, weil nicht rational darstellbar. D. h. nicht als
Bruch darstellbar.
π = 3,141592653589793...
27
Indirekter Beweis
Annahme des Gegenteils:
√2 =
p
q
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen
28
Indirekter Beweis
Annahme des Gegenteils:
√2 =
p
q
2=
p2
q2
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen
2q =
2
p2
29
Indirekter Beweis
Annahme des Gegenteils:
√2 =
2=
p
q
p2
q2
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen
2q=
2
p2
p2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl
30
Indirekter Beweis
Annahme des Gegenteils:
√2 =
2=
p
q
p2
q2
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen
2q=
2
p2
p2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl
p = 2a (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)
31
Indirekter Beweis
Annahme des Gegenteils:
√2 =
2=
p
q
p2
q2
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen
2q=
2
p2
p2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl
p = 2a (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)
2q2 = (2a)2
q2 = 2a2
32
Indirekter Beweis
q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl
33
Indirekter Beweis
q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl
q = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)
34
Indirekter Beweis
q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl
q = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)
Damit sind sowohl p als auch q gerade Zahlen und damit
durch zwei teilbar. Dies steht im Widerspruch zur
Annahme der Teilerfremdheit.
35
Indirekter Beweis
q2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl
q = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)
Damit sind sowohl p als auch q gerade Zahlen und damit
durch zwei teilbar. Dies steht im Widerspruch zur
Annahme der Teilerfremdheit.
√2 ist nicht als rationale Zahl darstellbar
36
Die reellen Zahlen
Das heißt, dass wir die Menge der Brüche (rationalen Zahlen) Q um alle
irrationalen Zahlen (nicht als Brüche darstellbar) erweitern müssen.
Wir gelangen zur Menge der reellen Zahlen
R = Q + { irrationale Zahlen }
37
Die Zahlen sind universell.
Die Mathematik ist universell.
Photo: ESO phot-37d-98
Foto: ESO eso9846a
38
Und was bringt uns das?
Foto: ESO eso9846a
39
Und was bringt uns das?
LINCOS: Design of a Language for Cosmic Intercourse
Hans Freudenthal
Wikimedia Commons: Hans_Freudenthal.jpg, Urheber: Konrad Jacobs, Erlangen; Quelle: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
40
LINCOS: Design of a Language for Cosmic Intercourse
Lincos
XOX
XX O XX
XXX O XXX
X OO XX
X OO XXX
XX OO XXX
XX OOO X
XXX OOO XX
Bedeutung
1=1
2=2
3=3
1<2
1<3
2<3
2>1
3>2
41
Bilder sagen mehr als tausend Worte
11110000011100011111110........11011110001
14.111 Bits
14.111 = 137 x 103
137
1
0
3
103
13
7
42
Versuch 1
Versuch 2
Versuch 3
43
7.109.411 = 3.079 x 2.309
44
Photo: NASA, J. Bell (Cornell U.) and M.
Wolff (SSI)
Photo: EUMETSAT/DLR
45
Zahlensysteme - Additionssysteme
1, 2, 3, 4, 5
1, 2, 3, 4, 5
1, 2, 3, 4, 5
1, 10, 100, 1.000, ...
46
Additionssysteme – römische Zahlen
I =1
V= 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M =1.000
V = 5.000
X = 10.000
C = 100.000
M = 1.000.000
M = 1.000.000.000
.....
47
Additionssysteme – römische Zahlen
MMMMMMMMMMCCCXXVM = ?
48
Sol
systemi pusilli
Additionssysteme – römische Zahlen
MMMMMMMMMMCCCXXVM =
10 x 1.000.000 = 10.000.000
+ 3 x 100.000 =
300.000
+ 2 x 10.000 =
20.000
+1x
5.000 =
5.000
+1x
1.000 =
1.000
10.326.000
49
Zahlensysteme - Stellenwertsystem
Dezimalsystem
Wikimedia Commons, Arabic_numerals-de.svg
853 = 8·100 + 5·10 + 3·1
50
Zahlensysteme - Stellenwertsystem
Dualsystem: Basis = 2
Ternärsystem: Basis = 3
Quinärsystem: Basis = 5
Hexalsystem: Basis = 6
Oktalsystem: Basis = 8
Dezimalsystem: Basis = 10
Duodezimalsystem: Basis = 12
Hexadezimalsystem: Basis = 16
Sexagesimalsystem: Basis = 60
51
π-zza π-kant
52
Die π-zza-Salami-Methode
53
π = 3,141592653589793...
Umfang = π * Durchmesser
π=
Umfang
Durchmesser
22 Salamischeiben
7 Salamischeiben
= 3,1428.....
Man nehme eine Pizza und eine Salami von geeigneter Größe (7 x Durchmesser der Salami =
Durchmesser der Pizza). Von der Salami schneidet man 29 Stücke ab. Das Verhältnis Umfang
zu Durchmesser ergibt mit der π-zza-Salami-Methode schon ein sehr gutes Ergebnis. Die
beiden ersten Nachkommastellen sind richtig.
54
Pizzeria Italia
chiuso
55
π mit der Stäbchen-Methode
56
Wir brauchen:
Zwei Essstäbchen der Länge a.
Eine Fläche mit parallelen Linien mit Abstand b.
57
Wahrscheinlichkeit(Linie wird geschnitten) =
Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unserer
Versuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm
280mm
58
Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unserer
Versuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm
280mm
59
π mit der Stäbchen-Methode – Der Film
60
Wenn genau die Hälfte der Stäbchen die Linie berührt
2
1
220 mm
280 mm
= 2 x 2 x 220/280
= 4 x 0,7857...
= 3,14..
61
Wenn alle Stäbchen die Linie berühren
2
2
220 mm
280 mm
= 2 x 1 x 220/280
= 2 x 0,7857...
= 1,57..
62
Wenn kein Stäbchen die Linie berührt
2
0
220 mm
280 mm
63
64