¨Ubungen zur Vorlesung Logik für Informatiker WS 2015/16

Übungen zur Vorlesung Logik für Informatiker
Gabriele Kern-Isberner
Martin Schuster Nils Vortmeier
WS 2015/16
Übungsblatt 7
7.12.2015
Abgabe bis zum 14.12.2015 um 10:10 Uhr
• (vor der Vorlesung) im HG II, HS 3, oder
• in den Briefkästen mit den Nummern 26-31 im Durchgangsflur,
der die 1. Etage der OH 12 mit dem Erdgeschoss der OH 14
verbindet.
Es gelten die Bedingungen von Blatt 1 und 2.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum?
keine Punkte
1. Alle Modelle einer prädikatenlogischen Formel haben die gleiche Grundmenge.
2. In einer prädikatenlogischen Formel kann eine Variable entweder frei oder gebunden vorkommen.
3. Betrachten Sie die Signatur {≤, Qa , Qb , Qc } für Zeichenketten über dem Alphabet {a, b, c}.
Die prädikatenlogische Formel
∀x∀y Qa (x) → ((y ≤ x) → Qa (y)) ∧ (((x ≤ y) ∧ ¬(y ≤ x)) → Qb (y))
beschreibt genau die Strings über {a, b, c}, die mit einer beliebigen Anzahl a’s beginnen, nach
welchen nur noch b’s (eine beliebige Anzahl) stehen.
Aufgabe 7.1 [Signaturen, Teilformeln, freie und gebundene Variablen]
Betrachten Sie die Formel
ϕ := ∀x P (x, f (y)) ∧ ¬∃y(Q(x) ∨ Q(y)) ∧ P (f (x), g(c, f (z)))
3 Punkte
Bestimmen Sie die Signatur von ϕ und alle in ϕ vorkommenden Terme und atomaren Formeln.
Entscheiden Sie außerdem für jedes Vorkommen einer Variablen, ob es frei oder gebunden ist und
geben Sie die freien Variablen von ϕ an.
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Aufgabe 7.2 [Start Ups]
7 Punkte
Der kleine Tim hat sich in die Geschäftswelt gewagt und eine kleine Software-Firma gegründet.
Damit er die Verwaltung seiner Firma bewältigen kann, möchte er zuerst die Struktur der Firma
geeignet modellieren.
Nach eingehender Analyse stellen wir fest, dass sich kleine Software-Firmen wie folgt durch Strukturen A über der Signatur {M, K, P, Z, f } modellieren lassen:
• Die Grundmenge A enthält die Mitarbeiter, die Kunden und die Produkte.
• Es gibt die unären Relationen M A , K A und P A , wobei
– M A die Mitarbeiter,
– K A die Kunden, und
– P A die Produkte
enthält.
• Die binäre Relation Z A beschreibt die Zuordnung von Mitarbeitern zu Kunden, d.h. sie enthält
für jeden Mitarbeiter m der den Kunden k betreut ein Paar (m, k).
• Die unäre Funktion f A ordnet jedem Kunden das von ihm gekaufte Produkt zu. Für alle
anderen Elemente a der Grundmenge ist f A die Identität, d.h. f A (a) = a.
a) Tim gibt uns zunächst folgende Daten zu den laufenden Projekten:
• Für den Kunden UDO arbeiten die Mitarbeiter Anne, Christian und Daniel am Produkt
Personal PRO.
• Für den Kunden Evil Corp. arbeiten Bert und Tim selbst am Produkt HAL10000.
• Für den Kunden ABC Industries arbeiten Christian und Frieda ebenfalls am Produkt
Personal PRO.
Geben Sie eine Struktur A = (A, M A , K A , P A , Z A , f A ) an, die diese Daten beschreibt.
(1 Punkt)
b) Der kleine Tim möchte, dass gewisse Bedingungen für seine Firma gelten. Helfen Sie Tim,
indem Sie prädikatenlogische Formeln mit Gleichheit über der Signatur {M, K, P, Z, f } für
die folgenden Bedingungen angeben:
(i) Für jeden Kunden gibt es einen Mitarbeiter, der nur diesem Kunden zugeordnet ist.
[1,5 Punkte]
(ii) Kein Mitarbeiter arbeitet an zwei Produkten.
Hinweis: Geben Sie zuerst eine Formel an die aussagt, dass ein Mitarbeiter x an einem
Produkt y arbeitet.
[1,5 Punkte]
Begründen Sie jeweils die Korrektheit Ihrer Formel.
Hinweis: In prädikatenlogischen Formeln mit Gleichheit kann neben den Relationssymbolen
aus der Signatur zusätzlich das 2-stellige Relationssymbol „=“ verwendet werden. Für = er-
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lauben wir immer nur die Interpretation {(a, a)|a ∈ A}, wobei A die Grundmenge ist. Wir
schreiben „t1 = t2 “ statt „= (t1 , t2 )“.
c) Tim lernt schnell. Seine anderen Anforderungen übersetzt er nun selbst in prädikatenlogische
Formeln:
(i) ϕi = ¬∃x(M (x) ∧ ∀y(K(y) → Z(x, y)))
(ii) ϕii = ∀x∀y((K(x) ∧ K(y)) → ∃z(M (z) ∧ Z(z, x) ∧ Z(z, y)))
[1 Punkt]
[1 Punkt]
Geben Sie zu den Formeln jeweils eine prägnante, natürlichsprachliche Formulierung an.
d) Tims Firma wächst und wächst. Einige Kunden sind sehr zufrieden und möchten mehrere
Produkte kaufen. Zu jedem Projekt, also für jeden Kauf eines Produktes durch einen Kunden,
soll es genau einen verantwortlichen Mitarbeiter geben.
Wie muss die Signatur {M, K, P, Z, f } verändert werden, damit diese Aspekte modelliert
werden können?
(1 Punkt)
Zusatzaufgabe [Natürlich!]
Gegeben sei die Struktur A = (AA , <A , +A , ×A , 0A , 1A ), wobei
2 Punkte
• AA = N = {0, 1, . . . } die Menge der natürlichen Zahlen ist,
• <A ⊆ N × N die Ordnungsrelation über N ist,
• +A : N2 → N die Additionsfunktion ist,
• ×A : N2 → N die Multiplikationsfunktion ist, und
• 0A = 0 und 1A = 1 Konstanten sind.
Geben Sie Formeln der Prädikatenlogik mit Gleichheit über der Signatur von A an, die die folgenden
Aussagen über die natürlichen Zahlen ausdrücken.
a) < ist irreflexiv, d.h. für x = y kann (x, y) nicht in < sein.
b) Jede gerade Zahl x > 2 ist die Summe zweier Primzahlen (Goldbachsche Vermutung).
c) Die Zahl x ist eine Zweierpotenz, d. h., es gibt ein k, sodass x = 2k gilt.
d) Die Bitrepräsentationen der Zahlen x und z (ohne führendende Nullen) sind gleich lang.