Die Begleitmatrix einer linearen Rekursion Ist a

Aufgaben zu Komplexität von Algorithmen (SS 2010)
Aufgabe 6: Die Begleitmatrix einer linearen Rekursion
Ist a = (a1 , a2 , . . . , ak ) der Vektor der Rekursionskoeffizienten zu der
linearen Rekursion der Ordnung k
(∗) xn = a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + ak xn−l
so bezeichnet man die (k × k)-Matrix

0 0 0 ...
1 0 0 . . .

0 1 0 . . .

0 0 1 . . .

Ca =  . . . .
 .. .. .. . .

0 0 0 . . .

0 0 0 . . .
(n ≥ k),

0 ak
0 ak−1 

0 ak−2 

0 ak−3 

..
.. 
.
. 

1 0 0 a3 

0 1 0 a2 
0 0 0 . . . 0 0 1 a1
0
0
0
0
..
.
0
0
0
0
..
.
als die Begleitmatrix (engl. companion matrix ) zu der Rekursion (∗).
(a) Zeigen Sie: ist x = (xn )n≥0 eine Folge, die der Rekursion (∗) genügt,
also x ∈ Va , und bezeichnet man für jedes n ≥ 0 mit x(n) den Abschnitt
x(n) = xn xn+1 xn+2 . . . xn+k−1
der Folge x, so gilt für jedes n ≥ 0:
x(n+1) = x(n) · Ca
und somit auch (per Induktion)
x(n) = x(0) · Can = x0 x1 x2 . . . xk−1 · Can .
(b) Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom der Matrix Ca gleich
dem charakteristischen Polynom der Rekursion (∗) ist, d.h.
χCa (z) = χa (z),
also explizit geschrieben
det(z · I − Ca ) = z k − a1 z k−1 − · · · − ak .
Hinweis: det(z · I − Ca ) nach der letzten Spalte entwickeln.
(c) Für komplexe Zahlen α1 , . . . , αk wird mit V (α1 , α2 , . . . , αk ) die Vandermonde-Matrix


1 α1 α12 . . . α1k−1
1 α2 α2 . . . αk−1 
h
i
2
2 

j−1
V (α1 , α2 , . . . , αk ) = αi
= . .
.. . .
.. 
 .. ..
1≤i,j≤k
.
.
. 
1 αk αk2 . . . αkk−1
11. Mai 2010
Aufgaben zu Komplexität von Algorithmen (SS 2010)
bezeichnet.
Jetzt wird angenommen, dass das charakteristische Polynom χa (z)
k verschiedene Nullstellen λ1 , λ2 , . . . , λk hat, das sind wegen (b) die
Eigenwerte von der Begleitmatrix Ca .
Zeigen Sie (Teil (a) beachten), dass
V (λ1 , λ2 , . . . , λk ) · Ca = diag(λ1 , λ2 , . . . , λk ) · V (λ1 , λ2 , . . . , λk )
gilt, wobei die Diagonalmatrix diag(λ1 , λ2 , . . . , λk ) der Eigenwerte ist.
Anders geschrieben:
V (λ1 , λ2 , . . . , λk ) · Ca · V (λ1 , λ2 , . . . , λk )−1 = diag(λ1 , λ2 , . . . , λk )
d.h. die Vandermonde-Matrix V (λ1 , λ2 , . . . , λk ) diagonalisiert die
Begleitmatrix Ca .
Hinweis: Die k geometrischen Folgen λj = (1, λj , λ2j , . . .) (1 ≤ j ≤ k)
genügen der Rekursion (*).
11. Mai 2010