Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Gliederung 1. Motivation
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Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Gliederung 1. 2. 3. 4. 5. 6. Motivation / Grundlagen Sortier- und Selektionsverfahren Paradigmen des Algorithmenentwurfs Ausgewählte Datenstrukturen Algorithmische Geometrie Umgang mit algorithmisch schwierigen Problemen • • 1/2, Folie 1 © 2012 Prof. Steffen Lange Laufzeit von Algorithmen / Programmen Binärbäume - HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Begriffe ... der Begriff Binärbaum sollte klar sein ... Bäume, in denen jeder Knoten keinen oder zwei Söhne hat ... Knoten mit zwei Söhnen nennt man innere Knoten ... alle anderen Knoten nennt man Blätter 1/2, Folie 2 © 2012 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Interessierende Kennzahlen eines Binärbaums • • • • die Anzahl der Knoten im Binärbaum die Anzahl der inneren Knoten im Binärbaum die Anzahl der Blätter im Binärbaum die Tiefe des Binärbaums (d.h. die Anzahl der inneren Knoten auf einem maximalen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt) ... und die Zusammenhänge zwischen diesen Kennzahlen 1/2, Folie 3 © 2012 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Anzahl der Knoten, inneren Knoten und Blätter ... dieser Binärbaum hat 7 Knoten ... davon sind 3 innere Knoten und 4 Blätter 1/2, Folie 4 © 2012 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Allgemeiner Zusammenhang Jeder Binärbaum B hat n innere Knoten und n+1 Blätter. ... das beweist man am besten induktiv B: B1 B2 1/2, Folie 5 © 2012 Prof. Steffen Lange - • für diesen Binärbaum B ist alles klar • der Teilbaum B1 habe n1 innere Knoten und n1+1 Blätter und der Teilbaum B2 habe n2 innere Knoten und n2+1 Blätter • also hat der Binärbaum B dann (n1+n2+1) innere Knoten und (n1+n2+2) Blätter HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Anzahl der Knoten / Blätter und maximale Pfadlänge ... dieser Binärbaum hat 7 Knoten und 4 Blätter ... dieser Binärbaum hat die Tiefe 2 bzw. die maximale Pfadlänge 2 1/2, Folie 6 © 2012 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Allgemeiner Zusammenhang Jeder Binärbaum B mit mindestens 2k Blättern hat eine Tiefe größer gleich k. ... das beweist man wieder induktiv B: B1 B2 1/2, Folie 7 © 2012 Prof. Steffen Lange - • für diesen Binärbaum ist alles klar • wenn der Binärbaum B mindestens 2k+1 Blätter hat, so hat einer der beiden Teilbäume B1 und B2 mindestens 2k (= 2k+1 /2) Blätter • also hat dieser Teilbäume einen Pfad, der mindestens k innere Knoten enthält und damit gibt es im Binärbaum B einen Pfad mit k+1 inneren Knoten HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Eine hilfreiche Beobachtung (Beispiel) ... dieser Binärbaum hat nur Pfade der Länge 2 ... dieser Binärbaum hat 4 Blätter 1/2, Folie 8 © 2012 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Eine hilfreiche Beobachtung Jeder Binärbaum B, in dem alle Pfade die Länge k haben, hat 2k Blätter. ... das beweist man auch induktiv B: B1 Blattebene 1/2, Folie 9 © 2012 Prof. Steffen Lange - • für diesen Baum ist alles klar • der Binärbaum B1 hat nur Pfade der Länge k und damit 2k Blätter • im Binärbaum B wird jedes Blatt von B1 durch einen inneren Knoten mit zwei Söhnen ersetzt und damit muss B genau 2k+1 Blätter haben HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Ein wichtiger Zusammenhang Jeder Binärbaum B mit n Blättern hat eine Tiefe größer gleich log(n). 1/2, Folie 10 • falls n = 2k gilt, ist alles klar (es gilt log(n) = k) • sonst sei k so gewählt, dass 2k < n < 2k+1 gilt (also ist log(n) = k+1) • Annahme: im Binärbaum B gibt es keinen Pfad der Länge k+1 • dann kann es in B nur Pfade geben, die maximal k inneren Knoten haben, und deshalb hat B maximal 2k Blätter © 2012 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Binärbäume Eine einfache Folgerung Jeder Binärbaum B mit n Knoten hat eine Tiefe größer gleich log(n)-1. ... überlegen Sie sich selbst, wie man das beweist 1/2, Folie 11 © 2012 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik
