Abschlussprüfung 2013 Mathematik 1. Serie 5(2 7 ) 2(5

Abschlussprüfung 2013
1.
Mathematik
1. Serie
a) Vereinfache soweit als möglich:
2a  7b 5a  4b
7b


2a  2b 5a  5b 10a  10b
HN :10(a  b)
5(2a  7b)  2(5a  4b)  7b 10a  35b  10a  8b  7b 20a  20b


HN
HN
HN
2
20 (a  b)
10 (a  b)
2
b) Löse die folgende Gleichung nach x auf:
3
x3
x


x 4 x2 x2
HN : (x  2)(x  2)
2
3  ( x  2)( x  3) x( x  2)

HN
HN
3  x 2  3x  2 x  6  x 2  2 x
x  3  2x
3  x
HN
 x2
x
L  3
Lösungen AP 2013 / Fachkommission Mathematik / Andreas Jenzer
Seite 1 von 7
2.
a) Für welche natürlichen Zahlen x ist der folgende Term negativ?
3x  2 2 x  3

3
5
3x  2 2 x  3

0
3
5
HN :15
5(3 x  2) 3(2 x  3)

0
HN
HN
HN
15 x  10  6 x  9  0
9 x  19  0
19
9 x  19
x
:9
19
( 2.1)
9
L  1, 2
b) In den letzten fünf Spielen musste der Torwart eines Handballteams 123 Tore einstecken. Im
ersten und im letzten Spiel je 23 Tore, im zweiten einen Drittel Tore weniger als im dritten
und im vierten 5 Tore mehr als im dritten. Wie viele Tore kassierte er im zweiten, dritten
und vierten Spiel?
1. und 5. Spiel: 23
2. Spiel:
2x
3
3. Spiel: x
4. Spiel: x+5
Gleichung:
23 
2
x  x  x  5  23  123 51
3
8
8
x  72 :
3
3
x  27
Im zweiten kassierte er 18 , im dritten 27 und im vierten Spiel 32 Tore.
Lösungen AP 2013 / Fachkommission Mathematik / Andreas Jenzer
Seite 2 von 7
3.
Das Flughafentaxi vom ungarischen Flugplatz Ferihegy (Budapest) kostet im Nahbereich von
5 km pauschal 4000 HUF (Ungarische Forint) oder 14 Euro. Ausserhalb des Nahbereichs
bezahlt man zusätzlich zur Pauschale pro Fahrkilometer 200 HUF.
a) Berechne den Fahrpreis in Euro vom Flughafen Ferihegy nach Tordas. Die Fahrstrecke
misst 52 km.
Fahrpreis pro Kilometer: (14 Euro : 4000 HUF )  200HUF  0.7 Euro
5 km
(52 – 5) km
Total:
14 Euro
47  0.7 Euro  32.90 Euro
14 Euro  32.90 Euro  46.90 Euro
b) Stelle den Fahrpreis in HUF in einem korrekt beschrifteten Preis-Weg-Diagramm dar (Preis
auf y-Achse, Weg auf x-Achse).
Lösungen AP 2013 / Fachkommission Mathematik / Andreas Jenzer
Seite 3 von 7
4.
Die folgenden Abbildungen zeigen die 2., die 3. und die 4. Figur einer Folge.
n=2
n=3
O
O
O O O
O
O
O O O
O O O O O
n=4
O
O
O O O
O O O O O
O O O O O O O
a) Skizziere die Figuren für n = 1 und n = 5.
n=1
n=5
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O O
O O O O O
O O O O O O O
b) Berechne die Anzahl Kugeln in der Figur n = 17 und gib einen Term für die Anzahl Kugeln
für ein allgemeines n an.
5.
Term:
n 2  1 (Quadratzahlen +1)
n = 17
172  1  290
Konstruiere ein Trapez ABCD (AB parallel zu CD) aus:




Seite a = AB = 8.7 cm
Diagonale e = AC = 7.1 cm
Winkel  ACB = 84° (zwischen Diagonale e und Seite b)
Winkel  ADC =  = 106°
Markiere im Innern des Trapezes diejenigen Punkte farbig, die von der Diagonalen e = AC den
gleichen Abstand haben wie von der Seite b = BC und gleichzeitig näher bei B liegen als bei
C.
Lösungen AP 2013 / Fachkommission Mathematik / Andreas Jenzer
Seite 4 von 7
KB :
1. e  AC
2. ACB an e  f
3. Kreis ( A; r  a)  f  B
4. Ortsbogen 106 über e 
5. Winkelhalbierende
zu a durch C  D
ACB
6. Mittelsenkrechte BC
6.
a) In welchem Punkt P(x/y) schneidet die Gerade g 1: y  3x  7 die Gerade g2, die durch die
Punkte A(-3/7) und B(4/7) verläuft?
y7
Gerade g2:
Schnittpunkt berechnen:
7  3 x  7
3 x ;  7
3x  14
:3
x
14
3

 14 
P / 7
 3

Lösungen AP 2013 / Fachkommission Mathematik / Andreas Jenzer
Seite 5 von 7
b) Die Gerade h1: y  2 x  2 wird an der Geraden h2: y   x gespiegelt. Wie lautet die
Gleichung der gespiegelten Gerade h 1‘?
Steigung a 
1
2
y-Achsenabschnitt: + 1
 h1 :
7.
y
1
x 1
2
Vereinfache soweit als möglich:
3x
3x

x  3 x  5  8x
x
x 4  3x3
x 5
x3
Zähler :
3x( x  5)  3x( x  3) 3x 2  15 x  3x 2  9 x
24 x


( x  3)( x  5)
( x  3( x  5)
( x  3)( x  5)
Linker Bruch:
( x  5) 24
24 x


x3
( x  3) ( x  5)
x
Rechter Bruch:
8x 

x3
x3 ( x  3)

8x
x3
24
8x
24  8 x 8 (3  x)



 8
x3 x3
x3
( x  3)
Lösungen AP 2013 / Fachkommission Mathematik / Andreas Jenzer
Seite 6 von 7
8.
a) Der abgebildete Kerzenhalter hat die Form einer Kugel mit einer zylinderförmigen
Vertiefung. Die Zeichnung daneben zeigt den Längsschnitt durch den Kugelmittelpunkt.
Berechne den Radius der Kerze auf mm genau.
a = 8.8 – 6.5 = 2.3 cm
r  6.52  (3.1  2.3)2  13.09  3.6 cm
b) Alle sechsstelligen Zahlen, die nach dem Schema xxxyyy aufgebaut sind (wie etwa 555777
oder 444111), sind teilbar durch 3 und durch 37. Überprüfe diese Behauptung an drei
Beispielen und führe dann einen allgemeinen Beweis – oder notiere jedenfalls
Überlegungen, die belegen, dass die Behauptung in allen Fällen zutrifft!
222555 : 3  74185
222555 : 37  6015
888999 : 3  296333
888999 : 37  24027
111333: 3  37111
111333: 37  3009
Allgemein:
100 '000 x  10 '000 x  1'000 x  100 y  10 y  y
x(100 '000  10 '000  1'000)  y(100  10  1)
111'000 x  111 y
3  37 1000 x  3  37 y
3  37(1000 x  y )
ist immer durch 3 und 37 teilbar.
Lösungen AP 2013 / Fachkommission Mathematik / Andreas Jenzer
Seite 7 von 7