Funktionalanalysis Übungsblatt 10

Funktionalanalysis
Übungsblatt 10
Dr. Sébastien Breteaux, Prof. Dr. Volker Bach
Institut für Analysis und Algebra
Ausgabe am 17.12.2012,
Abgabe am 07.01.2013 vor der Vorlesung
Aufgabe 10.1 Ein hinreichendes Kriterium für Verschwinden in
stetig und so, dass für alle x > 0,
∞. Sei f : R+
0 → R
lim f (nx) = 0 ,
n→∞
wobei n ∈ N. Wir wollen zeigen, dass limx→∞ f (x) = 0.
Sei, für ε > 0 und n ∈ N,
n
o
Aε,n := x ≥ 0 ∀p ∈ N, p ≥ n, |f (px)| ≤ ε .
1. Zeige, dass Aε,n abgeschlossen in R+
0 ist.
2. Sei ε > 0 beliebig, aber fest. Zeige, dass ein nε ∈ N existiert, sodass
A◦ε,nε 6= ∅ .
Hinweis : Man könnte Bemerkung 9.0 auf Übungsblatt 9 verwenden.
3. Seien 0 < a < b so dass (a, b) ⊆ A◦ε,nε . Zeige, dass ein γ > 0 existiert, sodass
∞
[
(pa, pb) ⊇ (γ, ∞) .
p=nε
4. Folgere, dass limx→∞ f (x) = 0.
Aufgabe 10.2 Eine Anwendung des Prinzips der uniformen Beschränktheit
bekannt, dass der C-Vektorraum
Es sei schon
∞
X
n
o
`1 (N) := (xn )n∈N ∈ CN |xn | < ∞
n=1
mit der Norm
k(xn )n∈N k1 :=
∞
X
|xn |
n=1
ein Banachraum ist.
Sei nunP(an )n∈N ∈ CN eine Folge von komplexen Zahlen, sodass für alle Folge (xn )n∈N ∈ `1 (N)
die Reihe ∞
n=1 an xn konvergent ist. Wir wollen zeigen, dass die Folge (an )n∈N beschränkt ist.
Seien, für k ∈ N die Abbildungen Tk durch
Tk :
`1 (N) → C
k
X
(xn )n∈N 7→ Tk (xn )n∈N :=
an xn
n=1
deniert.
1
1. Zeige, dass für alle k ∈ N, Tk eine lineare und stetige Abbildung ist.
2. Zeige, dass für jede beliebige, aber feste Folge (xn )n∈N ∈ `1 (N)
sup |Tk (xn )n∈N | < ∞ .
k∈N
3. Zeige, dass
sup kTk kB(`1 (N);C) < ∞ .
k∈N
4. Zeige, dass eine Konstante K ∈ (0, ∞) existiert, sodass für alle (xn )n∈N ∈ `1 (N)
∞
∞
X
X
xn an ≤ K
|xn |
n=1
n=1
gilt.
5. Folgere, dass die Folge (an )n∈N beschränkt ist.
2