1 Die Methode der vollständigen Induktion

Klasse 7
1
Die Methode der vollständigen Induktion
Eine Aussage ist für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 gültig, wenn sie für n = n0 gültig ist
und wenn aus der Richtigkeit der Aussage für eine natürliche Zahl n = k die Richtigkeit für
n = k + 1 folgt.
1.1
Aufgaben
1. Man beweise, dass die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gleich
n(n+1)
2
ist.
2. Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt: 9|[n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ].
3. Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen n und alle rationalen Zahlen q 6= 1 gilt:
q 0 + q 1 + q 2 + ... + q (n−1) =
qn − 1
q−1
4. Man berechne die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
5. Man beweise, dass n verschiedene Geraden, die in einer Ebene durch einen gemeinsamen
Punkt gehen, die Ebene in 2n Teile zerlegen.
6. Jede Straße in Onewayland ist eine Einbahnstraße. Je zwei Städte sind durch genau
eine direkte Straße verbunden. Man zeige, dass es in Onewayland immer eine Stadt gibt,
welche von jeder anderen Stadt in Onewayland entweder direkt oder über höchstens eine
andere Stadt erreicht werden kann.
7. Man zeige, dass n in einer Ebene liegende Geraden diese Ebene in Bereiche zerlegen,
die man so weiß und schwarz färben kann, dass alle benachbarten Bereiche, also alle
Bereiche, die längs einer Strecke aneinandergrenzen, verschieden gefärbt sind.
8. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n der Ausdruck An = 11(n+2) + 12(2n+1)
durch 133 teilbar ist.
1.2
Literatur
Engel, Arthur (1998). problem-solving strategies. New York: Springer.
Lehmann, Eberhard (1970). übungen für junge mathematiker. teil 1: zahlentheorie. Leipzig: Teubner.
Sominski, I.S. (1982). die methode der vollständigen induktion. 13. Auflage. Berlin:
Deutscher Verlag der Wissenschaften.
Thiele, Rüdiger (1988). mathematische beweise. 5., bearbeitete Auflage. Leipzig: Teubner.
Mathecamp 2008 - Ilmenau
Klasse 7
2
Der indirekte Beweis
Beim indirekten Beweis geht man vom logischen Gegenteil der Behauptung aus und schlussfolgert daraus den Widerspruch, dass eine bereits als wahr erkannte Aussage ebenfalls falsch
sei (reductio ad absurdum).
2.1
Aufgaben
1. Man zeige, dass es keine nattürliche Zahl gibt, deren Quadrat 8 ist.
2. Man zeige, dass die Summe
s = (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + ... + (n + 1000)
für eine beliebige natürliche Zahl n keine Primzahl sein kann.
3. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen a, b gilt: Wenn
auch
a
b
a−b
a+b
unkürzbar ist, dann ist
unkürzbar.
4. Seien x, y ∈ Q mit x2 > y 2 > 0. Man zeige, dass dann gilt:
x2
y2
>
1 + x2
1 + y2
5. Man zeige, dass
√
2 keine rationale Zahl ist.
6. Seien a, b, c ∈ N. Man zeige, dass aus a2 + b2 = c2 folgt, dass das Produkt abc ein
Vielfaches von 5 ist.
7. Man zeige, dass es keine kleinste positive rationale Zahl gibt.
8. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen a, b gilt:
a b
+ ≥2
b a
9. Man zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
2.2
Literatur
Thiel, Rüdiger (1988). mathematische beweise. 5., bearbeitete Auflage. Leipzig: Teubner.
Mathecamp 2008 - Ilmenau