Quantenmechanik I

Prof. Dr. G. M. Pastor
Dr. Waldemar Töws
Gunnar Stegmann
Sergej Riemer
Tobias Müller
Quantenmechanik I
WS 2016/17
Universität Kassel
Quantenmechanik I
Übungsblatt 7
Abgabe spätestens am Donnerstag, den 8. Dez. 2016 am Anfang der Vorlesung.
1)
Betrachten Sie ein eindimensionales System mit einem attraktiven Delta-Potential.
Der zugehörige Hamiltonoperator lautet
15 Punkte
Ĥ = −
~2 d2
− αδ(x),
2m dx2
α>0
i) Betrachten Sie zuerst die gebundenen Zustände. Lösen Sie die Schrödingergleichung für E < 0 unter den Randbedingungen, dass ψ(x) stetig und quadratintegrabel ist. Passen Sie die Unstetigkeit von dψ/dx bei x = 0 an der integrierbaren Divergenz des Potentials an. Geben Sie die Energie des Grundzustandes
an.
ii) Wie viele Eigenfunktionen gibt es für E < 0. Ist das Ergebnis plausibel?
iii) Bestimmen Sie die Lösungen der Schrödingergleichung für E > 0 (Streuzustände).
Berechnen Sie den Reflektions-, sowie den Transmissionskoeffizienten.
iv) Wie würden sich die Energien von ungeraden Streuzuständen d.h. ψ(−x) =
−ψ(x) als Funktion von α verhalten?
v) Betrachten Sie nun den Fall einer repulsiven Deltafunktion-Barriere mit α < 0.
Was für Konsequenzen hat das für die Streuzustände? Finden Sie eine Lösung
der Schrödingergleichung für eine von links einlaufende Welle (E > 0). Zeigen
Sie, dass T = 1 ∀ E > 0 gilt.
2)
i) Lösen Sie die Bewegungsgleichung
10 Punkte
i~
∂ Û (t, t0 )
= Ĥ(t) Û (t, t0 )
∂t
für den Zeitentwicklungsoperator Û (t, t0 ) für ein abgeschlossenes, konservatives
System, d.h. ∂∂tĤ = 0. Benutzen Sie dabei die Bedingung Û (t0 , t0 ) = 1.
ii) Zeigen Sie explizit für Ihre Lösung aus Aufgabenteil i) die folgenden fünf Eigenschaften:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Û (t, t0 ) ist linear,
Û (t, t0 ) ist unitär,
Û (t0 , t0 ) = 1,
Û (t3 , t2 ) Û (t2 , t1 ) = Û (t3 , t1 )
Û (t0 , t) Û (t, t0 ) = Û (t0 , t0 )
iii) Betrachten Sie nun ein nicht notwendigerweise abgeschlossenes System, wobei
der Hamiltonoperator Ĥ(t) auch zeitabhängig sein darf. Zeigen Sie für diesen
allgemeinen Fall die Integralgleichung:
Z
i t 0
Û (t, t0 ) = 1 −
dt Ĥ(t0 ) Û (t0 , t0 ).
~ t0
3)
Kommutatoralgebra:
5 Punkte
i) Betrachten Sie ein k-dimensionales System mit dem Ortsoperator x̂ = (x̂1 , . . . , x̂k )
und dem Impulsoperator p̂ = (p̂1 , . . . , p̂k ). Beweisen Sie für die Funktionen
F (x̂1 , . . . , x̂k ) und G(p̂1 , . . . , p̂k ) die Beziehungen
[p̂i , F ] = −i~
∂F
∂ x̂i
und [x̂i , G] = i~
∂G
.
∂ p̂i
(1)
ii) Bestimmen Sie mit Hilfe von Gleichung (1) den Kommutator [x̂, T̂ ] für ein
p̂2
eindimensionales System, wobei x̂ der Ortsoperator und T̂ =
der Operator
2m
der kinetischen Energie mit dem Impulsoperator p̂ ist.
4)
Wir betrachten ein einfaches zweiatomiges Molekül mit einem Elektron (z.B. H+
2 ).
Dieses System modellieren wir mit Hilfe eines Zwei-Niveau-Systems mit den or-
12 Punkte
1
2
A
B
thonormierten Basiszuständen
1
|1i :=
0
0
und |2i :=
,
1
wobei hi|ji = δij . In der Ortsdarstellung haben die Basiszustände die Form ΨA (x) =
hx|1i und ΨB (x) = hx|2i. In dieser Basis hat der Hamiltonoperator Ĥ die Form
Ĥ = ε(|1ih1| + |2ih2|) + γ(|1ih2| + |2ih1|).
mit ε, γ ∈ R.
h1|Ĥ|1i h1|Ĥ|2i
i) Geben Sie den Hamiltonoperator in Matrixform Ĥ =
an.
h2|Ĥ|1i h2|Ĥ|2i
ii) Bestimmen Sie die normierten stationären Zustände |+i und |−i und die zugehörigen Eigenwerte des betrachteten Systems.
iii) Zeigen Sie, dass die Norm eines beliebigen Zustandes |Ψ(t)i für alle Zeiten t
erhalten bleibt.
iv) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Energie hΨ(t)|Ĥ|Ψ(t)i bezüglich eines
beliebigen normierten Zustandes |Ψi für alle Zeiten t erhalten bleibt.
v) Nehmen nun Sie an, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand
|Φ(t = 0)i = |1i befindet. Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten n1 und
n2 dafür, dass sich das Teilchen bei einer Messung zum Zeitpunkt t > 0 im
Zustand |1i beziehungsweise im Zustand |2i befindet? Machen bitte eine Skizze
von n1 (t) und n2 (t).