Auftrag: Übersetze folgenden Text zunächst in die gegebene

Bedingte Wahrscheinlichkeit /Abhängigkeit von Ereignissen
Zunächst soll der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit anhand eines Beispiels erarbeitet
werden:
Beispiel:
In einer empirischen Untersuchung wird geprüft, ob ein Zusammenhang zwischen blonden
Haaren und blauen Augen besteht. Von 842 untersuchten Personen hatten 314 blonde
Haare. Unter den 268 Blauäugigen waren 121 Blonde.
1. Auftrag: Übersetzen Sie den Text in eine Mehrfeldertabelle:
Lösung:
B (Blond)
B (nicht Blond)
Gesamtzahl
121
193
314
147
381
528
268
574
842
A
(blauäugig)
A (nicht blauäugig)
Gesamtzahl
Rote zahlen sind aus dem Text direkt, Rest per Rechnung
Alle Zahlen entsprechen absoluten Häufigkeiten.
Die Zahl 121 gibt z. B. die absolute Häufigkeit der blonden und zugleich blauäugigen
Personen der Umfrage an.
Stuft man die Untersuchung als repräsentativ ein, so kann man Wahrscheinlichkeiten
ableiten.
Die Wahrscheinlichkeit, blond und blauäugig zu sein, ergäbe sich wie folgt: P(A  B)=
2. Auftrag: Interpretieren Sie nun alle Zahlen der Tabelle in gleicher Weise.
Lösung:
147 = Zahl der nicht blonden und blauäugigen Befragten, P(A  B) =
268 = Zahl der blauäugigen Befragten. P(A) =
147
842
268
842
193 = Zahl der nicht blauäugigen und blonden Befragten. P( A  B) =
193
842
381 = Zahl der nicht blauäugigen und nicht blonden Befragten. P( A  B )=
547 = Zahl der nicht blauäugigen Befragten. P( A ) =
314 = Zahl der blonden Befragen. P(B) =
314
842
528 = Zahl der nicht blonden Befragen. P( B ) =
842 = Gesamtzahl der Befragten.
528
842
547
842
381
842
121
.
842
Manchmal interessiert man sich für sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeiten, z. B. in
unserem Beispiel für die Wahrscheinlichkeit, dass eine blonde Person blauäugig ist, bzw. die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Person blauäugig ist, unter der Vorbedingung, dass sie blond
ist.
Diese Wahrscheinlichkeit beträgt laut Tabelle:
121
314
Man kennzeichnet eine solche Wahrscheinlichkeit wie folgt:
PB(A) =
Vorbedingung
Die Person ist blond.
121
314
Ereignis
blauäugig
3. Auftrag: Lies alle möglichen bedingten Wahrscheinlichkeiten aus der Mehrfeldertabelle ab.
Lösung:
193
314
121
PA(B) =
268
147
PA (B) =
268
147
PB (A) =
528
381
PB (A) =
528
381
PA (B) =
574
193
PA (B) =
574
PB( A ) =
= Wskt., dass eine blonde Person keine blauen Augen besitzt.
= Wskt., dass eine blauäugige Person blond ist.
= Wskt., dass eine blauäugige Person nicht blond ist.
= Wskt., dass eine nicht blonde Person blauäugig ist.
= Wskt., dass eine nicht blonde Person nicht blauäugig ist.
= Wskt., dass eine nicht blauäugige Person auch nicht blond ist.
= Wskt., dass eine nicht blauäugige Person blond ist.
4. Auftrag: Erstelle jetzt zu der Mehrfeldertabelle zwei mögliche Wahrscheinlichkeitsbäume.
Verwende dabei die obigen Bezeichnungen A und B.
Lösung:
PA(B)
P(A)
A
PA (B)
PA(B)
P (B)
P(A) A
PA(B)PA(B)
B
PA (B)
)
B
B
A
PA (B)
PA(B)
Alternativer Baum: Vertausche A und B.
B
Es ergibt sich:
Definition für die bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis B eintritt unter der
Bedingung, dass das Ereignis A schon eingetreten ist, nennt man
bedingte Wahrscheinlichkeit und bezeichnet sie mit pA(B). Kennzeichnen
die Ereignisse A und B einen Teilpfad im Wahrscheinlichkeitsbaum mit
Anfang A und Endpunkt B, so ist pA(B) die zugehörige
Teilpfadwahrscheinlichkeit.
Am Baum kann man folgende Gleichung ablesen:
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
P(B)  P(A)  PA (B)  P(A)  PA (B)
Für das Beispiel:. Wskt., blond zu sein = P(B) =
268 . 121 547
+
842 268 842
.
193 314
=
574 842
Nun sollen die Begriffe der Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen am selben
Beispiel erarbeitet werden:
Von Interesse ist häufig, ob sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch das
Eintreten eines anderen Ereignisses beeinflussen lässt.
In unserem Beispiel könnte man danach fragen, ob blonde Personen tendenziell eher
blauäugig sind als andere, ob also die Ereignisse blond und blauäugig abhängig voneinander
sind.
Man erkennt:
P(B) =
314
= 0,37
842
PA(B) =
121
= 0,45
268
Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit, blond zu sein, unter der Vorbedingung, dass man
blaue Augen hat, höher als die Wahrscheinlichkeit, blond zu sein ohne Vorbedingung.
Tendenziell haben blauäugige eher blonde Haare als Menschen mit anderer Augenfarbe, da
0,45 > 0,36 ist. Die Ereignisse blond/blauäugig sind also abhängig.
Allgemein lässt sich festhalten:
Manchmal ist pA(B) genauso groß wie p(B), also PA(B) = P(B). In diesem Fall hängt
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B nicht davon ab, ob das Ereignis A schon
eingetroffen ist. Man sagt dann: Die Ereignisse A und B sind stochastisch
unabhängig.
Gilt dagegen PA(B)  P(B), so sind die Ereignisse A, B abhängig.
Es gilt die Pfadmultiplikationsregel: P(A  B) = P(A)  PA(B)
PA(B)
P(A)
A
B
Gesamtpfad: A  B
Die Gleichung lässt sich umformen zu:
PA (B) 
P  A  B
P(A)
Mit dieser Formel sind bedingte Wahrscheinlichkeiten berechenbar.
Es gilt somit:
Zwei Ereignisse A, B sind stochastisch unabhängig, wenn eine der
drei folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist:
 PA(B) = P(B)
 PB(A) = P(A)
 P (A  B) = P(A)  P(B)
Drei Ereignisse A, B, C sind dann stochastisch unabhängig, wenn je zwei unabhängig sind
und jedes Ereignis von der Schnittmenge zweier anderer Ereignisse unabhängig ist.
Übungen:
S. 52 Nr. 29,30
S. 54 Nr. 36
S. 46 Nr. 11
S. 47 Nr. 15
S. 50 Nr. 16
S. 46 Nr. 10
S. 47 Nr. 13
S. 50 Nr. 17,18
S. 47 Nr. 14
S. 51 Nr. 23 a