PM-WMATH-

1PM-WMATH-10
Grundlagen/Brückenkurs
Dr. René Hempel
29. September 2017
Dr. René Hempel
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Inhaltsverzeichnis
1
Logik
2
Naive Mengenlehre
3
Relationen
4
Abbildungen
5
Algebraische Strukturen
6
Zahlen
7
Spezielle reelle Funktionen
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Was Sie am Ende des Moduls können sollten
1
Sensibilisierung: Die Absolventen dieses Moduls begreifen die
Mathematik als Hilfsmittel bei Planungs- und
Entscheidungsproblemen der wirtschaftlichen Praxis.
2
Transfer: Sie besitzen die Fähigkeit, aus qualitativen Vorgaben
mathematische Modelle zu bilden und deren Lösungsfindung im
Kontext ökonomischer Fragestellungen zu begründen. Sie können das
Ergebnis interpretieren, kritisch einschätzen und mit Fachleuten
diskutieren.
3
Entscheidungsfähigkeit: Sie werden befähigt, die Kenntnisse in
anderen wirtschaftswissenschaftlichen Fächern selbständig
einzusetzen.
4
Schnittstelle: Auf der Grundlage der vermittelten Methoden können
sich die Absolventen eigenständig weitergehende mathematische
Methoden aneignen und anwenden.
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Definitionen
Eine Definition führt neue Begriffe oder Schreibweisen ein.
Das zu definierende Objekt wird durch bereits bekanntes beschrieben.
Wann immer der definierte Begriff auftaucht, kann dafür auch sein
definierender Ausdruck eingesetzt werden.
Achtung: Definitionen sind keine Propositionen1 , können also weder
wahr noch falsch sein.
Definitionen können höchsten „sinnfrei” sein, wenn das zu
definierende Objekt der leeren Menge2 entspricht.
1 Der Begriff wird umgehend eingeführt.
2 Der Begriff wird auch umgehend konkretisiert.
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Axiome
Ein Axiom ins eine feste unumstößliche Tatsache, die als wahr
hingenommen wird, ohne dass man sie beweisen könnte.
Die gesamte Mathematik beruht auf gewissen Axiomen, die von
früheren Mathematikern als „natürlich” angesehen wurden und
zumeist auf der alltäglichen Wahrnehmung basiert.
Ein Axiomensystem muss stets widerspruchsfrei sein. Es darf also
nicht mehrere Axiome enthalten, die sich widersprechen, aus denen
also stets falsche Aussagen gefolgert werden können.
Ein Axiomensystem sollte stets unabhängig sein, d.h. kein Axiom darf
bereits aus den anderen Axiomen gefolgert werden können.
Ein Axiomensystem sollte im besten Fall vollständig sein, d.h. jede
relevante Aussage, die dem Verständnis der untersuchten Mathematik
entspricht, sollte aus dem Axiomensystem gefolgert werden können.
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Satz, Beweis, Lemma, Korollar
Ein Satz ist eine wichtige Aussage, die aus einem Axiomensystem
gefolgert, also bewiesen werden kann.
Der Beweis kann dabei bereits zuvor bewiesene Aussagen verwenden.
Ein Satz liefert dabei wichtige Einsichten in die Struktur des
untersuchten (mathematischen) Sachverhaltes. Das Ende eines
Beweises wird hier mit markiert.
Mit Lemma bezeichnet man einen Satz, der einen wichtigen
Schlüsselgedanken enthält und der des öfteren nützlich sein kann.
Ein Korollar3 ist eine einfache Folgerung aus einem Satz.
Anmerkung: Einige Beweise sind recht kniffelig, insbesondere dann,
wenn man das Beweisen nicht gewohnt ist. Hier gilt es, den Beweis
erst einmal „sacken zu lassen”!
3 lat.: corollarium= Zugabe, Geschenk
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Genereller Ablauf
Die Definitionen und Folgerungen des Brückenkurses liegen Ihnen als
Folienausdruck vor und werden auch als solche präsentiert.
Die Beweise und die Mehrzahl der Beispiele werden handschriftlich
entwickelt, insbesondere um den eigentlichen Prozess des
Nachweises einsichtiger zu gestalten.
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Logik
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Definition I.1.1 (Proposition): Propositionen sind Sätze, von denen
sich sachverhaltsbezogen sagen lässt, sie seien entweder wahr (w)
oder falsch (f).
Definition I.1.2 (Junktor): Junktoren sind Worte oder Zeichen, die
Teilpropositionen so zu einer Gesamtproposition verknüpfen, dass der
Wahrheitswert der Gesamtproposition ausschließlich von den
Wahrheitswerten der beteiligten Teilproposition abhängt.
Definition I.1.3 (Negation): Eine Proposition heißt Negation einer
bestehenden Proposition A , falls die Proposition immer dann wahr ist,
wenn A falsch ist und immer dann falsch ist, falls A wahr ist. Die
Negation der Proposition A soll mit ¬A (gelesen: nicht A ) notiert
werden. Wahrheitstafel:
A ¬A
w
f
f
w
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Definition I.1.4 (Identität): Eine Proposition heißt Identität einer
bestehenden Proposition A , falls die Proposition immer dann wahr ist,
wenn A wahr ist und immer dann falsch ist, falls A falsch ist. Die
Identität der Proposition A soll mit idA (gelesen: Identität A ) notiert
werden. Wahrheitstafel:
A idA
w
w
f
f
Definition I.1.5 (Disjunktion): Eine Proposition C heißt Disjunktion
zweier bestehender Propositionen A und B , falls die Proposition C nur
dann wahr ist, wenn A wahr ist, B wahr ist oder A und B wahr sind. Die
Disjunktion der Propositionen A und B soll mit A ∨ B (gelesen: A oder
B ) notiert werden. Wahrheitstafel:
A
w
w
f
f
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B
f
w
f
w
A ∨B
w
w
f
w
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Definition I.1.6 (Kontravalenz): Eine Proposition C heißt
Kontravalenz zweier bestehender Propositionen A und B , falls die
folgende Wahrheitstafel gilt:
A
w
w
f
f
B
f
w
f
w
˙
A ∨B
w
f
f
w
Definition I.1.7 (Konjunktion): Eine Proposition C heißt Konjunktion
zweier bestehender Propositionen A und B , falls die folgende
Wahrheitstafel gilt:
A B A ∧B
w f
f
w w
w
f f
f
f w
f
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Definition I.1.8 (Implikation): Eine Proposition C heißt Implikation
zweier bestehender Propositionen A und B , falls die Proposition C nur
dann wahr ist, wenn A falsch ist oder B wahr ist. Die Implikation der
Aussagen A und B soll mit A ⇒ B notiert sein (gelesen: wenn A dann
B ). Wahrheitstafel:
A B A ⇒B
w f
f
w w
w
f f
w
f w
w
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Definition I.1.9 (Äquivalenz): Eine Proposition C heißt Äquivalenz
zweier bestehender Propositionen A und B , falls die Proposition C nur
dann wahr ist, wenn A und B wahr sind oder A und B falsch sind. Die
Äquivlanz der Propositionen A und B soll mit A ⇔ B notiert sein
(gelesen: A genau dann wenn B ). Die dazugehörige Wahrheitstafel
gestaltet sich wie folgt:
A
w
w
f
f
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B
f
w
f
w
A ⇔B
f
w
w
f
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Wir vereinbaren an dieser Stelle, dass
1
die Negation am stärksten binden soll.
2
die Disjunktion und Konjunktion gleichwertig sind, aber nicht so
stark binden wie die Negation.
3
die Implikation und Äquivalenz gleichwertig sind, aber nicht so
stark binden wie die Konjunktion respektive wie die Disjunktion.
Anmerkung 1: Die Kontravalenz wurde ob der guten Ordnung halber
erwähnt und um aufzuzeigen, dass in dieser Veranstaltung explizit
zwischen einem „oder” und einem „entweder oder” klar zu trennen ist.
Anmerkung 2: Die Identität wird für uns im Rahmen der Logik
ebenfalls keine allzu große Rolle spielen, allerdings ist das Konzept der
Identität in späteren Kapitel omnipräsent.
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Definition I.1.10 (Tautologie, Kontradiktion, Kontingenz): Eine
(zusammengesetzte) Proposition heißt
1
Tautologie, falls sie stets wahr ist.
2
Kontradiktion, falls sie stets falsch ist.
3
Kontingenz, wenn es sich weder um eine Tautologie noch um eine
Kontradiktion handelt.
Satz I.1.1 (Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten): Sei A eine
Proposition, dann ist A ∨ ¬A eine Tautologie.
Satz I.1.2 (Gesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch): Sei A eine
Proposition, dann ist A ∧ ¬A eine Kontradiktion.
Satz I.1.3: (Gesetz der doppelten Verneinung): Sei A eine
Proposition. Dann ist
A ⇔ ¬(¬A )
eine Tautologie.
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Lemma I.1.4: (Nachweis einer Äquivalenz): Seien A und B
Propositionen, dann ist die folgende Proposition eine Tautologie:
(A ⇒ B ) ∧ (B ⇒ A ) ⇔ (A ⇔ B )
Satz I.1.5 (Kommutativgesetze4 ): Seien A und B Propositionen, dann
ist jede der folgenden Aussagen eine Tautologie:
1
A ∧B ⇔ B ∧A
2
A ∨B ⇔ B ∨A
3
(A ⇔ B ) ⇔ (B ⇔ A )
Anmerkung: Die Implikation ist nicht kommutativ.
Beispiel: Wenn man ins Wasser fällt, wird man nass. Wenn man nass
ist, ist man allerdings nicht unbedingt ins Wasser gefallen.
4 lat.: commutare=vertauschen
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Satz I.1.6 (Assoziativgesetze5 ): Seien A , B und C Propositionen,
dann ist jede der folgenden Propositionen eine Tautologie:
1
A ∧ (B ∧ C ) ⇔ (A ∧ B ) ∧ C
2
A ∨ (B ∨ C ) ⇔ (A ∨ B ) ∨ C
3
(A ⇔ (B ⇔ C )) ⇔ ((A ⇔ B ) ⇔ C )
Satz I.1.7 (Distributivgesetze6 ): Seien A , B und C Propositionen.
Dann ist jede der folgenden Propositionen eine Tautologie:
1
A ∧ (B ∨ C ) ⇔ (A ∧ B ) ∨ (A ∧ C )
2
A ∨ (B ∧ C ) ⇔ (A ∨ B ) ∧ (A ∨ C )
5 lat.: associare= verknüpfen, vernetzen
6 lat.: distribuere=verteilen
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Satz I.1.8 (Gesetze von De Morgan7 ): Seien A und B Propositionen.
Dann ist jede der folgenden Propositionen eine Tautologie:
1
¬(A ∧ B ) ⇔ (¬A ∨ ¬B )
2
¬(A ∨ B ) ⇔ (¬A ∧ ¬B )
Satz I.1.9 (Prinzip der Kontraposition): Seien A und B Propositionen.
Dann ist die folgende Proposition eine Tautologie
(A ⇒ B ) ⇔ (¬B ⇒ ¬A )
Lemma I.1.10: Seien A und B Propositionen, dann ist die folgende
Proposition eine Tautologie
(A ⇒ B ) ⇔ (B ∨ ¬A )
7 Augustus De Morgan (* 27. Juni 1806 in Madurai, Indien; † 18. März 1871 in London)
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Mit Hilfe der Gesetze von DeMorgan schließen wir direkt
I.1.10
I.1.8
¬(A ⇒ B ) ⇔ ¬(B ∨ ¬A ) ⇔ ¬B ∧ A
und somit ist aufgrund der Zweiwertigkeit A ⇒ B genau dann war,
wenn ¬B ∧ A falsch ist.
,→ „Rezept” zur Abarbeitung eines Beweise durch Widerspruch. Sei dazu
die Proposition A die Annahme und die Proposition B die Behauptung.
1
Beim indirekten Beweis nimmt man die Verneinung der
Behauptung an und kennzeichnet sie als neue Annahme.
2
Die neue Annahme führt man zu einem Widerspruch (mit der
Voraussetzung), d.h. man zeigt, dass die neue Annahme und
Voraussetzung nicht gleichzeitig gelten können.
3
Beim Erreichen des Widerspruchs weiß man: Die neue Annahme
war falsch.
4
Es gilt die Verneinung der neuen Annahme, also die ursprüngliche
Behauptung.
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Naive Mengenlehre
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Die Proposition das etwas, nennen wir es x, zu einer Menge M gehört
notieren wir über8
(x ist in der Menge M enthalten) :⇔ (x ∈ M )
bzw. das x nicht in einer Menge M enthalten ist
(x ist nicht in der Menge M enthalten) :⇔ (x < M )
Mengenbildungungsprinzipien:
1
Deskription: {a, b , c, d , ...}
2
Komprehension: {x ∈ M | Proposition über x ist wahr.}
Anmerkung: Das Symbol | wird „derart dass” gelesen.
8 :⇔ heißt per Definition äquivalent
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Definition I.2.1 (Mengengleicheit): Zwei Mengen A und B sind gleich,
falls sie gleiche Elemente besitzen.
A = B :⇔ [(x ∈ A ) ⇔ (x ∈ B )]
Definition I.2.2 (Teilmenge): Eine Menge A wird Teilmenge respektive
Untermenge von B genannt, falls alle Elemente aus A auch in B zu
finden sind.
A ⊆ B :⇔ [(x ∈ A ) ⇒ (x ∈ B )]
Anmerkung: A ⊂ B wird echte Teilmengenbeziehung genannt. Die
Gleichheit der beteiligten Mengen ist dabei ausgeschlossen.
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Korollar I.2.1: Zwei Mengen A und B sind gleich, falls sie Teilmengen
voneinander sind, formal
A = B :⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A )
Definition I.2.3 (Leere Menge): Mengen, die keine Elemente
beinhaltet, nennt man leere Menge.
Lemma I.2.2 (Eindeutigkeit der leeren Menge): Die leere Menge ist
eindeutig bestimmt.
,→ Wir taufen die leere Menge mit dem Symbol ∅.
Anmerkung: Mit einer ähnlichen Begründung wie im Beweis des
Lemmas I.2.2 zeigt man: Die leere Menge ∅, ist wegen
(x ∈ ∅) ⇒ (x ∈ M ) für beliebige Mengen M Teilmenge einer jeden
Menge.
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Definition I.2.4 (Potenzmenge): Sei M eine vorgelegte Menge, dann
heißt das Mengensystem aller Teilmengen von M
P (M ) := {A |A ⊆ M }
Potenzmenge von M .
Anmerkung: Die Potenzmenge ist ob P (∅) = {∅} niemals leer.
Definition I.2.5 (Mengenoperationen): Seien M , N und Ω vorgelegte
nichtleere Mengen mit M , N ⊆ Ω, dann heißen die Mengen
1
M ∩ N :⇔ {x ∈ Ω | x ∈ M ∧ x ∈ N }
2
M ∪ N :⇔ {x ∈ Ω | x ∈ M ∨ x ∈ N }
3
M \ N :⇔ {x ∈ Ω | x ∈ M ∧ x < N }
M M N :⇔ {x ∈ Ω | x ∈ M \ N ∨ x ∈ N \ M }
Durchschnitt, Vereinigung, Mengendifferenz respektive
symmetrische Differenz der Mengen M und N .
4
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Graphische Illustration (Venn-Diagramm)
M ∩N
M
M ∪N
N
M
M \N
M
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N
M MN
N
M
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N
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Anmerkung 1: Die Mengendifferenz M \ N wird auch relatives
Komplement von N in M genannt. Die Mengendifferenz M̄ := Ω \ M
heißt dagegen nur Komplement.
Anmerkung 2: Aus Definition I.2.5 folgt, dass man ebenfalls
M \ N = M ∩ N̄
und M M N = (M \ N ) ∪ (N \ M ) = M ∩ N
notieren kann.
Anmerkung 3: Es kann vorkommen, dass Mengen M und N keine
gemeinsamen Elemente besitzen. In diesem Fall gilt M ∩ N = ∅ und
die Mengen M und N werden disjunkt oder punktfremd genannt.
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Satz I.2.3 (Kommutativgesetze): Seien M , N ⊆ Ω Mengen, dann
gelten die folgenden Kommutativgesetze:
1
M ∩N = N ∩M
2
M ∪N = N ∪M
3
M MN =N MM
Anmerkung: Die Mengendifferenz ist nicht kommutativ.
Satz I.2.4 (Assoziativgesetze): Seien M , N , O ⊆ Ω Mengen, dann
gelten die folgenden Assoziativgesetze:
1
M ∩ (N ∩ O ) = (M ∩ N ) ∩ O
2
M ∪ (N ∪ O ) = (M ∪ N ) ∪ O
3
M M (N M O ) = (M M N ) M O
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Satz I.2.5 (Distributivgesetze): Seien M , N , O ⊆ Ω Mengen, dann
gelten die folgenden Distributivgesetze
1
M ∩ (N ∪ O ) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ O )
2
M ∪ (N ∩ O ) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ O )
Satz I.2.6 (Gesetze von DeMorgan): Seien M , N ⊆ Ω Mengen, dann
gilt:
1
A ∩ B = Ā ∪ B̄
2
A ∪ B = Ā ∩ B̄
Satz I.2.7 (Monotonie): Seien M , N , O ⊆ Ω nichtleere Mengen, dann
gilt:
1
M ⊆ N ⇒ M ∩O ⊆ N ∩O
2
M ⊆ N ⇒ M ∪O ⊆ N ∪O
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Satz I.2.8: Seien M , N ⊆ Ω nichtleere Mengen, dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent zueinander:
1
M ⊆N
2
M ∩N = M
3
M ∪N = N
Definition I.2.6 (Quantoren): Sei Ai mit i ∈ I und I Indexmenge eine
Familie von Propositionen, dann sind
^
_
Ai bzw.
Ai
i ∈I
i ∈I
nur wahr wenn alle Ai war sind bzw. mindestens ein Ai war ist. Wir
notieren für den Wahrheitsfall
^
_
Ai :⇔ ∀i ∈ I : Ai bzw.
Ai :⇔ ∃i ∈ I : Ai
i ∈I
i ∈I
und bezeichnen ∀ als Allquantor bzw. ∃ als Existenzquantor.
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Der Ausdruck ∀i ∈ I : Ai wird wie folgt gelesen:
Für alle i ∈ I ist die Proposition Ai wahr.
Der Ausdruck ∃i ∈ I : Ai wird wie folgt gelesen:
Es existiert mindestens ein i ∈ I für das die Proposition Ai wahr ist.
Satz I.2.9 (DeMorgan für Propositionsfamilien): Sei Ai mit i ∈ I und I
Indexmenge eine Familie von Propositionen, dann gilt:
1
¬∀i ∈ I : Ai ⇔ ∃i ∈ I : ¬Ai
2
¬∃i ∈ I : Ai ⇔ ∀i ∈ I : ¬Ai
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Definition I.2.7 (Mengenoperationen auf Mengenfamilien): Seien Ω
eine Menge und die Indexmenge I , ∅ vorgelegt. Des Weiteren sollen
für i ∈ I Mengen Ai existieren, welche allesamt Ai ⊆ Ω erfüllen, dann
ist mit
[
1
Ai := {x ∈ Ω | ∃i ∈ I : x ∈ Ai }
i ∈I
2
\
Ai := {x ∈ Ω | ∀i ∈ I : x ∈ Ai }
i ∈I
die Vereinigung respektive der Durchschnitt über das Mengensystem
{Ai }i ∈I gegeben.
Anmerkung: Es ist hier zu betonen, dass die oben angeführte
Definition I.2.7 eben nicht Ai , Aj für alle i , j ∈ I mit i , j fordert.
Ebenso wird nicht verlangt, das Ai , ∅ zu gelten hat.
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Satz I.2.10 (DeMorgan für Mengenfamilien): Sei {Ai }i ∈I eine
vorgelegte Familie von Teilmengen bezüglich einer Menge Ω mit
Indexmenge I , ∅, dann gilt
[
\
1
Āi
Ai =
2
i ∈I
i ∈I
\
[
Ai =
i ∈I
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Āi
i ∈I
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Relationen
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Definition I.3.1 (Paar): Seien A und B vorgelegte nichtleere Mengen
und seien x ∈ A und y ∈ B . Dann heißt die (Paar-) Menge
(x, y) := {{x}, {x, y}}
Kuratowski-Paar oder einfach nur Paar.
Satz I.3.1 (Ordnungseigenschaft des Paares): Seien A und B
vorgelegte nichtleere Mengen und seien x1 , x2 ∈ A und y1 , y2 ∈ B . Des
Weiteren seien (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) geordnete Paare, dann gilt:
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 )
genau dann wenn
(x1 = x2 ) ∧ (y1 = y2 )
,→ Ob des Satzes I.3.1 spricht man auch von geordneten Paare respektive
Tupeln.
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Definition I.3.2 (Kartesisches Produkt): Seien A und B vorgelegte
Mengen mit x ∈ A und y ∈ B . Die Menge
A × B := {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B }
heißt kartesisches Produkt von A und B .
,→ Das kartesische Produkt besteht somit aus allen geordneten Paaren,
bzw. Tupeln, der vorgelegten Mengen A und B .
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Kartesisches Produkt, Visualisierung
B
1
A
2
z
(z, 1) (z, 2)
y
(y, 1) (y, 2)
x
(x, 1) (x, 2)
A ×B
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Satz I.3.2 (Distributiv- und Assoziativgesetze): Seien {Ai }i ∈I und
{Bj }j ∈J vorgelegte Familien von nichtleeren Teilmengen bezüglich
einer Menge Ω mit nichtleeren Indexmengen I und J , dann gelten die
folgenden Gesetze


 
\
\  \ 
 A  ∩  B  =
1
Ai ∩ Bj (Assoziativgesetz)

i
j
 

i ∈I
2
i ∈I
3
j ∈J


 
\  \ 
 A  ∪  B  =

i
j
 

i ∈I
4
j ∈J


 
[  [ 
 A  ∪  B  =

i
j
 

j ∈J


 
[  [ 
 A  ∩  B  =

j
i
 

i ∈I
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j ∈J
(i ,j )∈I ×J
[
Ai ∪ Bj (Assoziativgesetz)
(i ,j )∈I ×J
\
Ai ∪ Bj (Distributivgesetz)
(i ,j )∈I ×J
[
Ai ∩ Bj (Distributivgesetz)
(i ,j )∈I ×J
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Satz I.3.3: Seien A und B vorgelegte Mengen, dann gilt:
A ×B = ∅ ⇔ A = ∅∨B = ∅
Satz I.3.4 (Distributivgesetze): Seien A , B , C ⊆ Ω wieder vorgelegte
nichtleere Mengen. Des Weiteren sei ∗ durch je eine der
Mengenoperationen ∩, ∪, \ gegeben, dann gilt:
(A ∗ B ) × C = (A × C ) ∗ (B × C )
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und A × (B ∗ C ) = (A × B ) ∗ (A × C )
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Definition I.3.3 (Relation, Vorbereich, Nachbereich): Seien A , B ⊆ Ω
vorgelegte nichtleere Mengen und
R ⊆ A × B,
dann heißt die Teilmenge R zweistellige Relation zwischen den
Elementen von A und B . Gilt A = B , so heißt die Teilmenge R
zweistellige (homogene) Relation auf A . Die Menge A wird Vorbereich
und die Menge B wird Nachbereich der Relation genannt.
Anmerkung: Anstatt (x, y) ∈ R notiert man auch xRy, um zu
signalisieren, dass x ∈ A in Relation mit y ∈ B steht. Diese Notation
wird auch Infixnotation genant.
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Abstrakte Beispiele:
1
R = ∅ (leere Relation) und R = A × B bzw. R = A × A =: A 2
(Allrelation).
2
idA := {(x, x) | x ∈ A } ⊆ A × A heißt identische Relation bzw.
Diagonale.
3
Sei R ⊆ A × B eine Relation, dann wird
R −1 := {(y, x) ∈ B × A | xRy} Umkehrrelation genannt, welche
auch immer definiert ist.
4
Seien A , B , C nichtleere Mengen mit x ∈ A , y ∈ B und z ∈ C . Des
Weiteren sei R ⊆ A × B und S ⊆ B × C Relationen zwischen A und
B respektive B und C , dann heißt
S ◦ R := {(x, z) ∈ A × C | ∃y ∈ B : xRy ∧ yRz}
Relationskomposition.
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Definition I.3.4 (Relationseigenschaften): Sei A eine vorgelegte
Menge und R eine zweistellige Relation auf A , genau dann heißt die
Relation R
1
reflexiv, wenn (x, x) ∈ R für alle x ∈ A gilt.
2
transitiv, wenn (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R für alle
x, y, z ∈ A gilt.
3
symmetrisch, wenn (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R für alle x, y ∈ A gilt.
4
antisymmetrisch, wenn (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y für alle
x, y ∈ A gilt9 .
5
total, wenn für alle x, y ∈ A auch : (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R gilt.
9 Kontraposition: x , y ⇒ ¬[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ] für alle x, y ∈ A
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Definition I.3.5 (Äquivalenzrelation): Sei A eine vorgelegte Menge
und ∼ eine Relation auf A , dann heißt ∼ Äquivalenzrelation auf A falls
die Relation ∼
1
reflexiv
2
symmetrisch und
3
transitiv
ist.
Anmerkung: In Zukunft werden wir statt (x, y) ∈∼ eher x ∼ y für jede
Äquivalenzrelation ∼ setzen.
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Definition I.3.6 (Halbordnung, Vollordnung): Sei A eine vorgelegte
nichtleere Menge und ≤ eine Relation auf A , dann heißt ≤
Halbordnung auf A , falls ≤
1
reflexiv
2
transitiv und
antisymmetrisch
ist. Ist ≤ zudem total, wird ≤ Vollordnung bzw. lineare Ordnung bzw.
totale Ordnung genannt.
3
Anmerkung: In Zukunft werden wir anstatt (x, y) ∈≤ vereinfacht x ≤ y
für jede Halb- bzw. Vollordnung ≤ setzen und das Tupel (A , ≤)
geordnete Menge nennen.
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Vereinbarungen: Wir legen weiterhin für die Elemente einer
geordneten Menge (A , ≤) fest:
x ≥ y :⇔ y ≤ x
x < y :⇔ (x ≤ y) ∧ (x , y)
x > y :⇔ y < x
Satz I.3.5: (Trichotomie): Sei (A , ≤) eine total geordnete Menge, dann
gilt genau eine der Beziehungen:
x < y,
x = y,
x >y
für je zwei Elemente x, y aus (A , ≤).
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Definition I.3.7 (Beschränktheit, obere Schranke, untere
Schranke): Sei (Ω, ≤) eine geordnete Menge und ∅ , A ⊆ Ω. Die
Menge A heißt
1
bezüglich ≤ nach oben beschränkt genau dann, wenn
mindestens ein so ∈ Ω existiert mit der Eigenschaft x ≤ so für alle
x ∈ A . Dabei wird so obere Schranke genannt.
2
bezüglich ≤ nach unten beschränkt genau dann, wenn
mindestens ein su ∈ Ω existiert mit der Eigenschaft x ≥ su für alle
x ∈ A . Dabei wird su untere Schranke genannt.
3
bezüglich ≤ beschränkt genau dann, wenn A bezüglich ≤ nach
oben und unten beschränkt ist.
Anmerkung: Man beachte, dass weder so noch su zu A gehören
müssen.
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Definition I.3.8 (Maximum, Minimum): Sei (Ω, ≤) eine vollständig
geordnete Menge und ∅ , A ⊆ Ω.
1
Ein Element a := min(A ) heißt Minimum von A falls a ∈ A und a
eine untere Schranke ist.
2
Ein Element b := max(A ) heißt Maximum von A falls b ∈ A und b
eine obere Schranke ist.
Satz I.3.6 (Eindeutigkeit von Maximum und Minimum): Sei (Ω, ≤)
eine geordnete Menge. Sollte A ⊆ Ω ein Maximum bzw. ein Minimum
besitzen, so sind diese eindeutig bestimmt.
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Definition I.3.9 (Supremum, Infimum): Sei (Ω, ≤) eine geordnete
Menge und ∅ , A ⊆ Ω. Dann heißen
1
sup(A ) := min{x ∈ Ω|x ist obere Schranke von A }
inf(A ) := max{x ∈ Ω|x ist untere Schranke von A }
Supremum bzw. Infimum von A .
2
Anmerkung 1: sup(A ) wird auch kleinste obere Schranke genannt,
inf(A ) dagegen größte untere Schranke.
Anmerkung 2: Ähnlich wie bei su und so gilt auch bei inf(A ) und
sup(A ), dass diese nicht zwingend zu A gehören müssen.
Anmerkung 3: Wie beim Maximum und Minimum sind Supremum und
Infimum eindeutig bestimmt, falls sup(A ) bzw. inf(A ) existieren (Der
Nachweis ist mutatis mutandis10 zu Satz I.3.6 zu führen).
10 Unter Abänderung des zu Ändernden.
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Abbildungen
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Definition I.4.1 (Abbildungsrelation): Seien D und W Mengen. Dann
heißt f ⊂ D × W Abbildungsrelation auf D × W , falls die Eigenschaften
1
Für alle x ∈ D gibt es ein y ∈ W mit (x, y) ∈ f
Wenn (x, y) ∈ f und (x, z) ∈ f so gilt y = z
erfüllt sind. Dabei heißt D Definitionsbereich und W Wertebereich der
Abbildung f .
2
Wir werden hier statt der unüblichen Schreibweise
f ⊆ D ×W
(x, y) ∈ f
die übliche Notation
f: D
x
→ W
7→ f (x)
verwenden.
Eine Abbildungsrelation f ordnet jedem Element x ∈ D genau ein
Element y ∈ W zu.
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Der Ausdruck f (x) wird Bildpunkt von x unter f genannt (Ist Ihnen
auch als Funktionswert bekannt).
Ebenso werden wir auch im Folgenden von einer Abbildung von D
nach W , anstatt von einer Abbildungsrelation sprechen.
Im Folgenden werden wir die Menge aller Abbildungen f von einer
Menge D nach einer Menge W mit Abb(D , W ) := {f |f : D → W }
notieren. Für D = W werden wir einer sparsameren Notation halber
Abb(D ) setzten.
Der Definitionsbereich von f wird auch manchmal mit dom(f ) (engl.:
domain), der Wertbereich mit tar(f ) (engl.: target) mit bezeichnet.
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Beispiel, Visualisierung: Seien dazu D := {1, 2, 3, 4} und
W := {a, b , c, d }. Die unten visualisierte Relation ist eine Abbildung.
D
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f
W
4
d
3
c
2
b
1
a
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Gegenbeispiel 1, Visualisierung: Seien dazu D := {1, 2, 3, 4} und
W := {a, b , c, d }. Die unten visualisierte Relation ist keine Abbildung.
D
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f
W
4
d
3
c
2
b
1
a
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Gegenbeispiel 2, Visualisierung: Seien dazu D := {1, 2, 3, 4} und
W := {a, b , c, d }. Die unten visualisierte Relation ist auch keine
Abbildung.
D
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f
W
4
d
3
c
2
b
1
a
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Abstrakte Beispiele:
1
Sei f : ∅ → W , dann heißt f leere Abbildung.
2
Sei idD : D → D , x 7→ x, dann heißt idD Identität von D .
3
Seien D , W nicht-leere Mengen und α ∈ W fest, dann heißt
f : D → W , x 7→ α konstante Abbildung.
4
Die bereits eingeführten Operationen auf Mengen können wir
auch als Abbildung identifizieren. Dazu halten wir beispielhaft
fest, dass für die Vereinigung zweier Mengen A , B ⊆ Ω gerade
∪ : P (Ω) × P (Ω) → P (Ω)
(A , B ) 7→ ∪(A , B ) := A ∪ B
und für den Schnitt zweier Mengen A , B ⊆ Ω gerade
∩ : P (Ω) × P (Ω) → P (Ω)
(A , B ) 7→ ∩(A , B ) := A ∩ B
gilt.
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Definition I.4.2 (Gleichheit von Abbildungen): Seien X , Y und U , V
vorgelegte Mengen und f : X → Y und g : U → V Abbildungen, dann
heißen f und g gleich, falls die Bedingungen
1
X = U (gleiche Definitionsbereiche)
2
Y = V (gleiche Wertebereiche)
f (x) = g(x) für alle x ∈ X (gleiche Funktionsvorschrift)
erfüllt sind.
3
Definition I.4.3 (Bild von A unter f ): Seien D und W vorgelegte
Mengen, A ⊆ D und f : D → W eine Abbildung von D nach W . Die
Menge
imA (f ) := {f (x) ∈ W |x ∈ D } ⊆ W
wird dann das Bild11 von A unter f genannt.
Sollte A = D gelten, so spricht man anstatt vom Bild von D unter f
einfach nur vom Bild von f . Wir wählen dann die Notation
imX (f ) := im(f )
11 engl.: image
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Visualisierung: Seien dazu D := {1, 2, 3, 4, 5, 6} und
W := {a, b , c, d , e, f }.
D
6
5
4
3
2
1
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f
W
f
e
d
c
b
a
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im{5} f = {e}
im{1,2} f = im{1,2,3} f = {a, b }
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Definition I.4.4 (Urbild einer Abbildung): Seien D und W vorgelegte
Mengen, B ⊆ W und f : D → W eine Abbildung von D nach W . Die
Menge
pimB (f ) := {x ∈ D |f (x) ∈ B } ⊆ W
heißt dann das Urbild12 von B unter f .
Achtung: Das Urbild von B ⊆ W unter f kann auch leer sein.
Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn mindestens ein y ∈ W
existiert, das von einem beliebigen x ∈ D aus nicht über f erreicht
werden kann. Offensichtlich ist dann pim{y} (f ) = ∅.
12 engl.: pre image
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Visualisierung: Sei dazu D := {1, 2, 3, 4, 5, 6} und
W := {a, b , c, d , e, f }.
D
pim{c,d } (f ) = ∅ ∪ pim{d } (f ) = {6}
pim{b } (f ) = {2, 3, 4}
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6
5
4
3
2
1
f
W
f
e
d
c
b
a
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Definition I.4.5 (Komposition): Seien X , Y und Z vorgelegte
nichtleere Mengen und f : X → Y sowie g : Y → Z Abbildungen, dann
heißt
g ◦f : X →
Z
x 7→ g(f (x))
Komposition von g und f (gesprochen: g Ring f ). Man sagt auch „f
gefolgt von g”
Anmerkung: Man führt bei g ◦ f also erst f und dann g aus (da
gewöhnen Sie sich dran).
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Visualisierung: Sei dazu X := {1, 2, 3, 4}, Y := {a, b , c, d } und
Z := {α, β, 1, δ}
X
f
g
Y
Z
4
d
δ
3
c
χ
2
b
β
1
a
α
X
g ◦f
Z
Zum Beispiel: (g ◦ f )(1) = g(f (1)) = g(a) = β
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Anmerkung: Die Komposition ◦ ist i.A. nicht kommutativ, da die
Komposition für vorgelegtes g ◦ f nicht zwingend für f ◦ g definiert zu
sein braucht.
Ein konkretes Gegenbeispiel für eine beidseitig definierte
Komposition:
Seien X := {♠, ♥} und f : X → X sowie g : X → X mit der punktweisen
Verknüpfung13
♠ 7→ f (♠) := ♠ bzw. ♠ 7→ g(♠) := ♥
♥ 7→ f (♥) := ♠ bzw. ♥ 7→ g(♥) := ♥
vorgelegt, dann gilt
(f ◦ g)(♠) := f (g(♠)) = ♠ sowie (g ◦ f )(♠) := g(f (♠)) = ♥
13 Es handelt sich hier um zwei konstante Abbildungen.
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Satz I.4.1 (Assoziativität): Seien X , Y , U und V vorgelegte nichtleere
Mengen und f : X → Y , g : Y → U sowie h : U → V Abbildungen,
dann gilt
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
Die Komposition ist also assoziativ.
Definition I.4.6 (Injektiv, surjektiv, bijektiv, idempotent): Seien D
und W vorgelegte nichtleere Mengen und f : D → W eine Abbildung
von D nach W. Dann heißt f
1
injektiv, falls f (x) = f (y) ⇒ x = y für alle x, y ∈ D .
2
surjektiv, falls im(f ) = tar(f ) = Y , bzw. es existiert für jedes
y ∈ W mindestens ein x ∈ D mit f (x) = y.
3
bijektiv, falls f surjektiv und injektiv ist.
4
idempotent, falls D = W und f ◦ f = f für alle x ∈ D .
Anmerkung: Die Definition I.4.6.1 kann auch in „f ist injektiv, falls aus
x , y stets f (x) , f (y) für x, y ∈ D folgt” umgeschrieben werden
(Warum?).
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Injektiv aber nicht surjektiv, Visualisierung: Sei dazu D := {1, 2, 3, 4}
und W := {a, b , c, d , e}.
D
f
W
e
4
d
3
c
2
b
a
1
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Surjektiv aber nicht injektiv, Visualisierung: Sei dazu
D := {1, 2, 3, 4} und W := {a, b , c}.
D
f
W
4
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3
c
2
b
1
a
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Weder surjektiv noch injektiv, Visualisierung
D
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f
W
4
d
3
c
2
b
1
a
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Surjektiv und injektiv also bijektiv, Visualisierung: Sei dazu
D := {1, 2, 3, 4} und W := {a, b , c, d }.
D
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f
W
4
d
3
c
2
b
1
a
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Definition I.4.7 (Invertierbare Abbildung): Seien D und W
vorgelegte nichtleere Mengen und f : D → W eine Abbildung. Existiert
dann mindestens eine Abbildung g : W → D mit
g ◦ f = idD
und f ◦ g = idW
so heißt f invertierbar und g wird eine inverse Abbildung genannt.
Satz I.4.2 (Charakterisierung invertierbarer Abbildungen): Seien D
und W vorgelegte nichtleere Mengen und f : D → W eine Abbildung.
Die Abbildung f ist genau dann invertierbar, wenn f bijektiv ist.
Satz I.4.3 (Eindeutigkeit inverser Abbildungen): Seien D und W
vorgelegte nichtleere Mengen und f : D → W eine Abbildung. Ist
g : W → D invers zu f , so ist g eindeutig bestimmt und wird mit f −1
notiert.
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Lemma I.4.4: Seien U , V und W vorgelegte nichtleere Mengen sowie
f : U → V und g : V → W Abbildungen, dann gilt:
1
Ist g ◦ f injektiv, so ist f injektiv.
2
Ist g ◦ f surjektiv, so ist g surjektiv.
Satz I.4.5 (Invertierbare Umkehrfunktion): Seien D und W
nichtleere Mengen und f : D → W eine invertierbare Abbildung. Dann
ist auch f −1 invertierbar.
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Algebraische Strukturen
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Definition I.5.1 (Innere Verknüpfung): Sei A eine nichtleere
vorgelegte Menge und x, y ∈ A , dann heißt
~ : A ×A → A
(x, y) 7→ ~(x, y) := x ~ y
innere (binäre) Verknüpfung auf A .
Anmerkung: Die Ihnen aus der Schule bekannte Addition bzw.
Multiplikation auf den naiven reellen Zahlen sind nichts weiter, als
sehr spezielle innere zweistellige Verknüpfungen auf jener Menge.
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Innere Verknüpfung: Visualiserung: Sei dazu A := {x, y, z} vorgelegt
A
x
z
y
z
A
y
z
(y, z)
y ~z
x
x
A ×A
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y
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~
A
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Definition I.5.2 (Einheit, Inverses): Seien A als nicht leere Menge und
~ : A × A → A als eine innere Verknüpfung auf A vorgelegt.
1
Ein Element e ∈ A heißt neutral, bzw. Einheit bezüglich ~, wenn
e ~ x = x ~ e = x für alle x ∈ X gilt.
2
Sei e ∈ A eine Einheit bezüglich ~ und x ∈ A . Ein Element x 0 ∈ A
heißt invers zu x ∈ A , falls x ~ x 0 = x 0 ~ x = e gilt.
Anmerkung 1: Neutrale und inverse Elemente müssen nicht
notwendigerweise existieren.
Anmerkung 2: Durch scharfes Hinsehen erkennt man, dass die
Einheit, sofern sie denn existiert, immer invers zu sich selbst ist.
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Definition I.5.3 (Assoziativität, Kommutativität): Seien A als nicht
leere Menge und ~ : A × A → A als eine innere Verknüpfung auf A
vorgelegt.
1
~ heißt assoziativ, wenn für x, y, z ∈ A stets
x ~ (y ~ z) = (x ~ y) ~ z
gilt.
2
~ heißt kommutativ, wenn für x, y ∈ A stets
x ~y = y ~x
gilt.
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Satz I.5.1 (Eindeutigkeit der Einheit und des Inversen): Seien A als
nicht leere Menge und ~ : A × A → A als eine assoziative innere
Verknüpfung auf A vorgelegt. Des Weiteren seinen e1 und e2 zwei
Einheiten bezüglich ~ und x 0 sowie x 00 zwei Inverse zu x ∈ A , dann gilt:
1
e1 = e2
2
x 0 = x 00
Definition I.5.4 (Gruppoid, Trägermenge): Sei A , ∅ eine vorgelegte
Menge und ~ eine Verknüpfung auf A , dann heißt das Tupel (A , ~)
Gruppoid und A wird Trägermenge des Gruppoiden genannt.
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Definition I.5.5 (Gruppe): Sei (G , ~) ein vorgelegter Gruppoid mit
Trägermenge G . Sind die Eigenschaften
1
~ ist assoziativ
2
e ∈ G ; die Einheit ist also in G enthalten
x ∈ G ⇒ x 0 ∈ G ; jedes Element in G ist bezüglich ~ invertierbar
erfüllt, dann wird das Tupel (G , ~) als Gruppe bezeichnet.
3
Anmerkung: Sollte ~ zudem kommutativ sein, so wird (G , ~)
kommutative Gruppe bzw. abelsche14 Gruppe genannt.
Satz I.5.2: Seien (G , ~) eine vorgelegte Gruppe und x, y ∈ G beliebig
aber fest, dann gilt
(x ~ y)0 = y 0 ~ x 0
14 Nils Henrik Abel: ∗ 05.08.1802 (Finnöy, Norwegen), † 06.04.1829 (Froland, Norwegen)
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Satz I.5.3 (Das Inverse des Inversen): Seien (G , ~) eine vorgelegte
Gruppe und sei x 00 ∈ G das Inverse zu x 0 ∈ G bezüglich ~, dann gilt
x 00 = x.
Satz I.5.4 (Eine Gleichung in einer Unbekannten): Sei (G , ~) eine
Gruppe und seien x, y ∈ G . Dann existiert je genau ein α ∈ G bzw.
genau ein β ∈ G mit
x ~α = y
bzw. β ~ x = y
Satz I.5.6 (Verkürzungsregel): Sei (G , ~) eine Gruppe und seien
x, y, z ∈ G . Dann folgt aus
z ~x = z ~y
bzw. x ~ z = y ~ z
jeweils x = y
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Körperaxiome: Sei K eine nichtleere Menge. Seien des Weiteren
+ : K × K → K und · : K × K → K zwei Verknüpfungen auf K, die wir
Addition respektive Multiplikation nennen wollen. Sollten die
Eigenschaften
1
(K, +) ist eine additiv geschriebene abelsche Gruppe mit der
Einheit 0.
2
(K \ {0}, ·) ist eine multiplikativ geschriebene abelsche Gruppe
mit der Einheit 1.
3
Es gilt das Distributivgesetz
x · (y + z) = x · y + x · z
für alle x, y, z ∈ K
4
0,1
erfüllt sein, so wird das Tripel (K, +, ·) Körper genannt (Wir
vereinbaren an dieser Stelle, dass · stärker als + bindet).
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Korollare
1
Die Einheiten 0 ∈ K und 1 ∈ K sind eindeutig bestimmt (Satz I.5.1).
2
Ebenfalls sind die inversen Elemente zu x ∈ K bezüglich + und ·, hier
mit −x ∈ K und x −1 ∈ K notiert, eindeutig bestimmt (Satz I.5.1).
3
Die inversen Elemente zu −x ∈ K und x −1 ∈ K also −(−x) ∈ K und
−1
x −1 ∈ K sind durch x ∈ K eindeutig bestimmt (Satz I.5.3).
Insbesondere gilt für 0 ∈ K sofort −0 = 0.
4
Es gilt (Satz I.5.2 und Kommutativität der Addition bzw. Multiplikation)
−(x + y) = −x + (−y)
5
und (x · y)−1 = x −1 · y −1
Die Gleichungen in einer unbekannten α ∈ K
x +α = y
bzw.
x ·α = y
besitzen je genau eine Lösung α = y + (−x) := y − x bzw.
y
α = y · x −1 := (Satz I.5.4 und Kommutativität der Addition bzw.
x
Multiplikation).
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79 / 123
Satz I.5.7: Sei (K, +, ·) ein vorgelegter Körper. Für alle x, y, z ∈ K gilt
(x + y)z = xz + yz
Satz I.5.8: Sei (K, +, ·) ein vorgelegter Körper. Für alle x ∈ K gilt
x · 0 = 0.
Satz I.5.9 (Nullteilerfreiheit): Sei (K, +, ·) ein vorgelegter Körper. Für
x, y ∈ K gilt xy = 0 genau dann, wenn x = 0 oder y = 0.
Satz I.5.10: Sei (K, +, ·) ein vorgelegter Körper. Dann gilt für alle x ∈ K
gerade −x = (−1)x.
Satz I.5.11: Sei (K, +, ·) ein vorgelegter Körper, dann gilt für alle
x, y ∈ K gerade (−x)(−y) = xy.
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80 / 123
Satz I.5.12: Sei (K, +, ·) ein vorgelegter Körper, dann gilt für alle
x, y ∈ K gerade (−x)y = −(xy).
Satz I.5.13 (Vertauschbarkeit der Invertierungen): Sei (K, +, ·) ein
vorgelegter Körper, dann gilt für alle x ∈ K \ {0} gerade
(−x)−1 = −(x −1 ).
Satz I.5.14 (Rechnen mit „Brüchen”): Sei (K, +, ·) ein vorgelegter
Körper und a, b , c, d ∈ K mit b , 0 und d , 0, dann folgen
ad
a
1
= ,
bd
b
c
a
2
= genau dann, wenn ad = bc,
b
d
a c
ad + bc
3
+ =
,
b d
bd
a c
ac
4
· =
,
b d
bd
a
b = ad , falls c , 0.
5
c
bc
d
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81 / 123
Anordnungsaxiome: In einem Körper K sind gewisse Elemente als
positiv ausgezeichnet (Notation x > 0), so dass folgende Axiome
gelten:
1
Für jedes x ∈ K gilt genau eine der drei Beziehungen x > 0, x = 0
bzw. −x > 0.
2
Wenn x > 0 und y > 0, dann x + y > 0.
Wenn x > 0 und y > 0, dann xy > 0.
Ein Körper mit diesen Eigenschaften wird auch angeordneter Körper
genannt.
3
• In 1 erkennen wir die bekannte Trichotomie.
• Die Axiome 2 und 3 können wir als Abgeschlossenheit gegenüber der
Addition respektive der Multiplikation verstehen (Summe und
Produkte positiver Elemente sollen wieder positiv sein).
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Wir vereinbaren wieder, dass
1
x > y :⇔ x − y > 0
2
x < y :⇔ y > x
3
x ≥ y :⇔ (x > y) ∨ (x = y)
4
x ≤ y :⇔ (x < y) ∨ (x = y)
gelten soll.
Die Menge dieser positiven Elemente wird als Positivbereich von K
bezeichnet. Diesen können wir mit
K ⊇ P := {x ∈ K|x > 0}
notieren, da x ∈ P gleichwertig mit x − 0 ∈ P und somit per obiger
Festsetzung (1) x > 0 gilt.
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Satz I.5.15 (0 < P ): Es gilt 0 < P und damit ist 0 < 0 eine falsche
Aussage.
Satz I.5.16 (Monotonie der Addition): Für x, y, u, v ∈ K folgt aus x < y
und u < v gerade x + u < y + v.
Satz I.5.17: Für x, y, z ∈ K folgt aus x < y und z > 0 gerade xz < yz
Anmerkung: Wir erhalten aus Satz I.5.17 für 0 < x < y und 0 < u < v
gerade, dass xu < yv folgt. Dies ergibt sich aus
(x < y) ∧ (0 < u) ⇒ xu < yu
sowie aus
(u < v) ∧ (0 < y) ⇒ uy < vy
ob der Transitivität der Ordnung und der Kommutativität der
Multiplikation also xu < vy = yv.
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Satz I.5.18 (Translations-Invarianz): Für x, y, z ∈ K folgt aus x < y
gerade x + z < y + z.
Satz I.5.19 (Spiegelung): Für x, y ∈ K folgt aus x < y gerade −y < −x.
Satz I.5.20: Für x, y, z ∈ K mit z < 0 folgt aus x < y gerade xz > yz.
Satz I.5.21: Für x ∈ K \ {0} folgt xx =: x 2 > 0. Insbesondere gilt 1>0.
Satz I.5.22: Für x ∈ K mit x > 0 folgt x −1 > 0. Ebenso folgt für x < 0
auch x −1 < 0.
Satz I.5.23: Seien x, y ∈ K. Aus 0 < x < y folgt x −1 > y −1 .
Satz I.5.24: Sei K wieder ein Körper und x, y ∈ K \ {0}. Falls für das
additiv Inverse der Einheit der Multiplikation (also −1)
−1 = x 2 + y 2
gilt, so existiert in K kein Positivbereich.
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Anmerkung: Mit einer ähnlichen Argumentation wie in Satz I.5.24
erkennt man, dass ein Körper K keinen Positivbereich besitzt, falls für
x ∈ K \ {0} auch −1 = x 2 folgt.
Bis jetzt sind die naiven rationalen Zahlen und die naiven reellen
Zahlen für Sie anhand der gewonnenen Ergebnisse nicht
unterscheidbar.
Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte
Menge M ⊆ K besitzt ein Supremum in K. Der angeordnete Körper
(K+, ·, P ) wird sodann vollständig genannt.
Es folgt: Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge reeller
Zahlen besitzt ein Infimum.
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In der Tat unterscheidet nur die Vollständigkeit die reellen von den
rationalen Zahlen.
Beispiel: Betrachten wir die Menge
M := {x ∈ Qn | x 2 < 2}
Nun die Frage: Gilt sup(M ) ∈ Qn ?
1
M ist nach oben beschränkt (z.B. durch 2).
2
Gehen wir nun davon aus, dass sup(M ) ∈ Qn . Dies ist die
gleichbedeutend mit: Es existiert ein y ∈ Qn mit y 2 = 2
Satz I.5.25: Es gibt kein y ∈ Qn mit y 2 = 2.
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Zahlen
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Man kann mit etwas Aufwand zeigen, dass es „im wesentlichen” nur
einen angeordneten vollständigen Körper gibt.
Im wesentlichen bedeutet hier, dass es zwar recht viele solcher Körper
geben kann, aber je zwei Körper K und L durch eine bijektive
Abbildungen f : K → L mit den Eigenschaften:
1
f (0K ) = 0L und f (1K ) = 1L
2
f (a +K b ) = f (a) +L f (b ) für alle a; b ∈ K
f (a ·K b ) = f (a) ·L f (b ) für alle a; b ∈ K
verbunden sind. Man spricht hier auch von Isomorphie und nennt
eine Abbildung mit den oben angeführten Eigenschaften einen
(Körper)Isomorphismus.
3
Definition I.6.1 (Reelle Zahlen): Den bis auf Isomorphie eindeutig
bestimmten angeordneten vollständigen Körper nennen wir Körper
der reellen Zahlen und notieren diesen mit R.
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Definition I.6.2 (Induktive Menge): Sei ∅ , M ⊆ R vorgelegt. Sollte M
die Eigenschaften
1
1∈M
x ∈ M ⇒ x +1 ∈ M
aufweisen, so wird die Menge M induktiv genannt.
2
Die Eigenschaft 2 kann insbesondere als (nicht enden wollender)
Zählvorgang gedeutet werden.
Zur Widerspruchsfreiheit: M = R ist sicherlich induktiv. Ebenso ist
der reelle Positivbereich P := {x ∈ R|x > 0} ein induktive Menge.
1
Die Mengen M1 := {1} und M2 :=
+ k k ∈ Nn sind sicherlich
2
nicht induktiv (Wissen Sie warum?).
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Satz und Definition I.6.3: (Die natürlichen Zahlen): Sei M das
Mengensystem aller induktiven Teilmengen Mi aus R mit i ∈ I , dann
soll mit
\
N :=
Mi
i ∈I
die natürlichen Zahlen (als kleinste induktive Menge) definiert sein.
Genau betrachtet enthält N die Elemente 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1 usw.
Wir vereinbaren nun, dass
1+1 := 2,
(1+1)+1 = 1+2 =: 3,
((1+1)+1)+1 = 1+3 := 4 ..
Die eingeführte Addition und Multiplikation auf R lässt sich nun auf N
einschränken.
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Anmerkung 1: In unserem Ansatz gehört die 0 ∈ R eben nicht zu N, da
P als induktive Menge identifiziert wurde und N als minimal-induktive
Menge per Definition festgesetzt ist.
Anmerkung 2: Mit N0 := N ∪ {0R } setzen wir die erweiterten
natürlichen Zahlen.
Wir definieren die ganzen Zahlen hier (schlampig) über die Menge
Z := {(n − m)|n, m ∈ N }
und die rationalen Zahlen (schlampig) über
m m ∈ Z ∧ n ∈ N
Q :=
n Man kann zeigen, dass alle üblichen Gesetzmäßigkeiten in Z und Q
gelten.
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Es gilt die Mengenbeziehung
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R(⊂ C)
Satz I.6.1: N ist nicht nach oben beschränkt.
Satz I.6.2 (Archimedizität): Seien x ∈ R und n ∈ N, dann gibt es ein n
mit x < n für alle x ∈ R.
Satz I.6.3: Sei x ∈ R
1
Falls 0 < x, so existiert (mindestens) ein n ∈ N derart, dass
2
Falls 0 ≤ x <
3
1
< x.
n
1
für alle n ∈ N, so folgt x = 0.
n
Falls 0 ≤ x < für alle ∈ R mit > 0, so folgt x = 0.
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Definition I.6.4 (Fakultät, Binomialkoeffizienten): Seien n, k ∈ N0
mit 0 ≤ k ≤ n. Für jedes n ∈ N setzen wir 1! := 1 und
(n + 1)! := (n + 1)n!. Des Weiteren wird
n
n!
:=
k !(n − k )!
k
(gelesen n über k ) Binomialkoeffizient genannt.
Anmerkung: Der Binomialkoeffizient gibt an, wieviel k -elementige
Teilmengen einer n-elementigen Menge M existieren.
Numerisches Beispiel: Sei dazu n = 10 und k = 4, dann folgt
10
10!
10!
10 · 9 · 8 · 7
=
=
= 210
:=
4!(10 − 4)! 4!6!
4!
4
In einer 10-elementigen Menge, gibt es also 210 Teilmengen, die 4
Elemente aufweisen.
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Satz I.6.4 (Rechenregeln für Binomialkoeffizienten): Seien
n, k ∈ N0 , dann gilt:
n
n
1
=
=1
0
n
n
n
2
=
k
n −k
n
n −1
3
k
=n
k
k −1
n
n
n +1
4
+
=
k
k +1
k +1
n
n
n +1
5
+
=
k −1
k
k
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Satz I.6.5 (Vollständige Induktion): Sei A ⊆ N mit
1
1∈A
n ∈ A ⇒ n +1 ∈ A
dann gilt für die induktive Teilmenge A sofort A = N.
2
Satz I.6.6 Sei N die Menge der natürlichen Zahlen, dann gilt
1
Für jedes n ∈ N ist auch n + 1 ∈ N.
2
Summen und Produkte natürlicher Zahlen sind wieder natürliche
Zahlen.
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Induktive Definitionen
1
2
Potenz: Wir definieren induktiv: für jedes n ∈ N und x ∈ R gilt x 1 := x
und x n +1 := x n x (Achtung: 00 ist noch nicht definiert, da 0 < N).
Dabei nennen wir x ∈ R die Basis und n + 1 ∈ N den Exponenten.
Erweiterte Setzungen in Z: Wir setzen x 0 := 1 für 0 ∈ Z und alle
x ∈ R also insbesondere auch 00 := 1 (zweckmäßig).
Summe: Wir definieren induktiv: für jedes n ∈ N und xi ∈ R für alle
i = 1, ..., n gilt
1
X
xi := x1
xi :=
n
X
xi + xn +1
i =1
i =1
i =1
3
n
+1
X
Dabei nennen wir i den Laufindex. Die 1 in i = 1 wird Starwert
genannt während n ∈ N als Endwert bezeichnet wird.
Produkt: Wir definieren induktiv: für jedes n ∈ N und xi ∈ R für alle
i = 1, ..., n gilt
1
Y
i =1
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xi := x1
n
+1
Y
xi :=
i =1
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n
Y
xi · xn +1
i =1
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Anmerkungen zu Summen und Produkte: Natürlich müssen
Summen nicht bei i = 1 starten, es kann durchaus sein, dass der
Startwert durch i = k ∈ N gegeben ist. Wir definieren dies induktiv
über
k
k
X
Y
xi := xk und
xi := xk
i =k
i =k
sowie
n
+1
X
xi :=
i =k
n
X
xi + xn +1
und
i =k
n
+1
Y
i =k
xi :=
n
Y
xi · xn +1
i =k
Für den Fall, dass n < k erhalten wir die leere Summe bzw. das leere
Produkt. Wir setzen
n
X
i =k
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xi := 0
und
n
Y
xi := 1 für n < k
i =k
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Doppelsummen: Seien dazu i = 1, ..., n und j = 1, ..., m sowie xij ∈ R,
dann heißt
m
n X
X
xij :=
i =1 j =1
m
X
j =1
x1j +
m
X
j =1
x2j + · · · +
m
X
xnj
j =1
Doppelsumme.
Beispiel: Wir betrachten xij ∈ R und i = 1, 2 sowie j = 1, 2, 3. Es folgt
2 X
3
X
xij :=
i =1 j =1
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3
X
j =1
x1j +
3
X
x2j = (x11 + x12 + x13 ) + (x21 + x22 + x23 )
j =1
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Man sieht schnell per Induktion ein, dass das allg. Kommutativrespektive Distributivgesetz
 n  m 
n
m
m X
n X
m
n X
X
X
X  X  X
xij und 
xi  
xij =
xj  =
xi xj


i =1 j =1
j =1 i =1
i =1
j =1
i =1 j =1
gilt.
Die Fakultät können wir auch über das Produktzeichen darstellen
n! =
n
Y
i
i =1
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Weitere Regeln für Summen und Produkte: Seien xi , xij , α, β ∈ R mit
i = 1, ..., n und j = 1, ..., m. Dann gilt:
n
X
(α + βxi ) =
i =1
n
X
α+
i =1
n
X
βxi = nα + β
i =1
n
X
xi
i =1
sowie
n X
m
X
(α + βxij ) =
i =1 j =1
und
α+
i =1 j =1
n
Y
i =1
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n X
m
X
(βxi ) =
n X
m
X
βxij = nmα + β
i =1 j =1
n X
m
X
xij
i =1 j =1
n
n
n
Y
Y
Y
β
xi = β n
xi
i =1
i =1
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i =1
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Satz I.6.7 (Potenzgesetze): Seien x, y ∈ R und n, m ∈ N, dann gilt
1
x n x m = x n +m für alle n, m ∈ N.
m
2
x n = x nm für alle n, m ∈ N.
3
x n y n = (xy)n für alle n ∈ N.
Definition I.6.5 (Ganzzahlige Exponenten): Sei x ∈ R \ {0} und n ∈ Z,
dann setzen wir
1
x −n := (x n )−1 =: n
x
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Anmerkung: Das Körperelement x −n fungiert per Definition als
multiplikativ inverses Element zu x n . Es gilt also:
x n · x −n = 1
und wir erhalten unmittelbar 1
1 n
1
Es gilt (x n )−1 =: n =
alle x ∈ R und n ∈ Z.
x
x
xn
2
Es gilt m = x n−m für alle x ∈ R und n, m ∈ Z.
x
n
xn
x
3
für alle x, y ∈ R und n ∈ Z.
Es gilt n =
y
y
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Satz I.6.8 (Induktionsklassiker): Sei i ∈ N dann gilt:
n
X
n(n + 1)
1
i=
2
i =1
2
n
X
i2 =
i =1
3
n
X
i =1
n(n + 1)(2n + 1)
6
n(n + 1)
i =
2
!2
3
für alle n ∈ N.
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104 / 123
Satz I.6.9 (Binomischer Lehrsatz): Seien a, b ∈ R und n ∈ N0 dann
gilt für alle n ∈ N0
n
(a + b ) =
n X
n
k =0
k
a k b n−k
Korollar I.6.10: Seien k , n ∈ N mit k ≤ n. Die Summe der Anzahl aller
k -elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge M ist 2n .
Satz I.6.11 (Ungleichung von Bernoulli): Für alle x ∈ R mit x ≥ −1
und alle n ∈ N gilt
(1 + x)n ≥ 1 + nx
Lemma I.6.12: Sei x ∈ R mit 0 < x < 1. Dann ist x n < x für alle n ∈ N
mit n ≥ 2
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Lemma I.6.13: Seien x, y ∈ R mit x , y, so gilt
n
X
x i y n−i =
i =0
x n +1 − y n +1
x −y
Korollar I.6.14 (Geometrische Summenformel): Für n ∈ N und q ∈ R
mit q , 1 gilt
n
X
q n +1 − 1
qt =
q −1
t =0
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Hauptmotivation zur Entwicklung von R war die allgemeine
Nichtlösbarkeit von Gleichungen der Art x 2 = a in Q. Wir bekommen
sogar mehr!
Satz I.6.15 (n-te Wurzel): Sei a ∈ R mit a > 0 und n ∈ N mit n ≥ 2,
dann gibt es genau eine reelle Zahl y > 0 mit y n = a.
Anmerkung 1: Wir notieren die eindeutige Lösung der Gleichung
√
1
y n = a mit n a := a n und nennen diese die n-te Wurzel aus a.
√
√
1
Für 2 a := a 2 setzen wir wie üblich a.
√
√
m
Für ( n a)m folgt mit der obigen Festsetzung ( n a)m = a n .
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107 / 123
Ob der Rechenregeln für Potenzen folgt:
p
p
1
√
k
m
n
n m k
n
x y = xm yk n = x n y n = xm yk
und
√
n m
m
x
x
n
= p
k
n
y
yk
Anmerkung 2: Ob des Satzes I.5.21 ist das Quadrat einer Zahl immer
positiv. Dies kann mittels Satz I.6.7 und vollständiger Induktion auf alle
geraden n ∈ N ausgeweitet werden.
,→ Ist also a ∈ R mit a < 0 und n ∈ N gerade, so existiert die Wurzel aus a
nicht (im reellen).
,→ Die Lösung der Gleichung x n = −a für ungerades n ∈ N werden wir
√
mit − n a festhalten.
Anmerkung 3: Ist n ∈ N gerade, so besitzt die Gleichung x n = a in R
(also nicht nur in den positiven reellen Zahlen) noch eine weitere
√
Lösung − n a, da
√
√
√
(− n a)n = ((−1) · n a)n = (−1)n ( n a)n = a
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r
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108 / 123
Definition I.6.6 (Erweitertes reelles Zahlensystem): Das erweiterte
reelle Zahlensystem R̄ := {−∞} ∪ R ∪ {∞} besteht aus allen reellen
Zahlen und zwei unterschiedlichen Elementen ∞ sowie −∞, die selbst
keine reellen Zahlen sind. Diese Elemente werden unendlich entfernte
Punkte bezüglich R̄ genannt. Es soll
−∞ < ∞
und
−∞ < x < ∞
für alle x ∈ R gelten. Des Weiteren gilt
1
sup M := ∞ falls M ⊆ R nicht nach oben beschränkt ist.
2
inf M := −∞ falls M ⊆ R nicht nach unten beschränkt ist.
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109 / 123
Wir vereinbaren hier noch die folgenden erweiterten Rechenregeln für
R̄:
1
∞ · ∞ := (−∞) · (−∞) := ∞
2
∞ · x := x · ∞ := (−∞) · (−x) := (−x) · (−∞) := ∞ für x ∈ R>0 .
3
∞ · (−∞) := (−∞) · ∞ := (−x) · ∞ := ∞ · (−x) := (−∞) · x :=
x · (−∞) := −∞ für x ∈ R>0 .
0 · (±∞) := (±∞) · 0 := 0.
4
5
x + ∞ := ∞ + x := ∞ + ∞ := ∞ für x ∈ R.
6
x + (−∞) := (−∞) + x := (−∞) + (−∞) := −∞ für x ∈ R.
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110 / 123
Es folgen jetzt ein paar Permanenzeigenschaften des Supremums,
welche uns zukünftige Nachweise erleichtern sollen.
Permanenzeigenschaften werden wir in Zukunft häufiger antreffen.
Grob gesagt, garantieren uns diese Permanzeigenschaften, dass eine
vorgelegte Eigenschaft einer Menge sich unter den „üblichen”
Rechenoperationen weitervererbt.
Satz 1.6.16 (Permanenzeigenschaften des Supremums): Seien
M , N ⊆ R beschränkte Mengen sowie α ≥ 0, dann gilt
1
sup{αM } = α sup M mit αM := {αx ∈ R | x ∈ M ∧ α ∈ R≥0 }
2
sup{M + N } = sup M + sup N mit
M + N := {x + y ∈ R | x ∈ M ∧ y ∈ N }
3
sup{M · N } = sup M · sup N mit M · N := {x · y ∈ R | x ∈ M ∧ y ∈ N }
wobei M , N ⊆ R≥0
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111 / 123
Spezielle reelle Funktionen
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112 / 123
Definition I.7.1 (Rechnen mit Funktionen): Seien D ⊆ R und W ⊆ R
nichtleer und g, f ∈ Abb(D , W ). Des Weiteren sei α ∈ R. Wir setzen
fest:
1
Funktionssumme f + g := f (x) + g(x) für alle x ∈ D ⊆ R.
2
Skalarmultiplikation αf := αf (x) für alle x ∈ D ⊆ R.
3
Funktionsprodukt f · g := f (x) · g(x) für alle x ∈ D ⊆ R.
4
Funktionsbruch
alle x ∈ D .
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f
f (x)
:=
für alle x ∈ D ⊆ R und g(x) , 0 für
g
g(x)
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113 / 123
Definition I.7.2 (Intervalle): Seien a, b ∈ R dann heißt
1
[a, b ] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b } abgeschlossenes Intervall.
2
[a, b [:= {x ∈ R | a ≤ x < b } links halboffenes Intervall.
3
]a, b ] := {x ∈ R | a < x ≤ b } rechts halboffenes Intervall.
4
]a, b [:= {x ∈ R | a < x < b } offenes Intervall.
Spezielle Intervalle:
1
R≤0 := {x ∈ R | x ≤ 0} nichtpositive reelle Zahlen.
2
R<0 := {x ∈ R | x < 0} negative reelle Zahlen.
3
R≥0 := {x ∈ R | x ≥ 0} nichtnegative reelle Zahlen.
4
R>0 := {x ∈ R | x > 0} positive reelle Zahlen.
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114 / 123
Sei A ⊆ R, dann heißt
1A : A
→ {0, 1}



1
x 7→ 1A (x) = 

0
falls x ∈ A
falls x < A
Indikatorfunktion der Menge A .
Sei a ∈ R, dann heißt
κa := a · 1R : R → R
x 7→ κa (x) := a1R (x) = a
konstante Funktion.
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115 / 123
Die Funktion
idR : R → R
x 7→ idR (x) = x
wird wieder als Identität bzw. identische Funktion bezeichnet.
Seien Ai ⊆ R mit Ai ∩ Aj = ∅ und i , j = 1, ..., n sowie ai ∈ R, dann heißt
τ := κai · 1Ai :
n
[
Ai
→ R
i =1
x
7→ τ(x) := ai 1Ai (x)
Treppenfunktion.
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116 / 123
Seien a, b ∈ R, dann heißt
f := κa + κb · idR : R → R
x 7→ f (x) := κa (x) + κb (x) · idR (x) := a + bx
affin lineare Funktion mit Steigung b und Achsenabschnitt a.
Sei n ∈ N. Die Funktion
f := idnR : R → R
x 7→ f (x) := idnR (x) = x n
wird Potenzfunktion genannt.
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117 / 123
Sei n ∈ N. Die Funktion
f := id−n
R : R \ {0} → R
x
7→ f (x) := id−n
R (x) =
1
xn
wird Kehrwertfunktion zu idnR genannt.
Sei n ∈ N und m ∈ Z. Die Funktion
m
f := idRn : D
x
→ R
m
m
7→ f (x) := idRn (x) = x n =
√
n m
x
wird allgemeine Wurzelfunktion genannt. Man beachte, dass in der
Menge der allgemeinen Wurzelfunktionen auch die Potenzfunktionen
sowie die Kehrwertfunktionen enthalten sind (Bsp: m = 4 und n = 2).
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Seien ai ∈ R mit i = 0, ..., n und n ∈ N, dann heißt
pn : R → R
x
7→ pn (x) := a0 +
n
X
ai x i
i =1
Polynomfunktion bzw. ganzrationale Funktion des Grades n ∈ N mit
Koeffizienten ai ∈ R.
Seien ai , bj ∈ R mit i = 0, ..., n, j = 0, ..., m und m, n ∈ N, dann heißt
qn,m : D
→ R
a0 +
x
n
X
ai x i
i =1
7→ qn,m (x) :=
b0 +
m
X
bj x j
j =1
gebrochenrationale Funktion.
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Definition I.7.3 (Betragsfunktion): Sei x ∈ R dann heißt | · | : R → R
mit




 x falls x ∈ R≥0
|x| := 


 −x falls x ∈ R
<0
Betragsfunktion bzw. Absolutbetrag von x ∈ R.
Satz I.7.1 (Betragseigenschaften) Seien x, y, z ∈ R, dann gilt:
1
|x| ≥ 0, Nichtnegativität
2
|x| = 0 ⇔ x = 0, positive Definitheit
3
|xy| = |x||y|, absolute Homogenität
4
x ≤ |x| und −x ≤ |x|
5
|x + y| ≤ |x| + |y|, Subadditivität, erste Dreiecksungleichung
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Anmerkung: Setzt man in Satz I.7.1.3 x = −1, so erhält man
| − y| = |(−1)y| = | − 1||y| = 1|y| = |y|
woraus die Symmetrie der Betragsfunktion folgt.
Satz I.7.2 (Umgekehrte Dreiecksungleichung): Seien x, y ∈ R, dann
gilt:
||x| − |y|| ≤ |x − y|
Anmerkung 1: Die umgekehrte Dreiecksungleichung kann äquivalent
über
||x| − |y|| ≤ |x + y|
dargestellt werden.
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Anmerkung 2: Mittels der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt
auch
||x| − |y|| = ||x| − | − y||
≤ |x + (−y)|
≤ |x| + | − y|
= |x| + |y|
insgesamt also ||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|.
Insbesondere mit der Dreiecksungleichung also |x ± y| ≤ |x| + |y|.
Satz I.7.3: Sei x ∈ R und > 0, dann sind die folgenden Aussagen
äquivalent
1
|x| < 2
x < und −x < 3
− < x < Dr. René Hempel
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Anmerkung: Man beweist die Aussagen Satz I.7.3 analog mit ≤ anstatt
<. Man beachte auch, dass dann in 1. ob des Satzes I.6.3 gerade x = 0
folgt.
Korollar I.7.4: Sei x, a ∈ R und > 0, dann gilt
|x − a| < ⇔ a − < x < a + Satz I.7.5: Allgemeine Dreiecksungleichung: Seien xi ∈ R mit
i = 1, ..., n, dann gilt
n
n
X
X
xi ≤
|xi |
i =1
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i =1
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