¨Ubungsblatt 1

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2015
Übungsblatt 1
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 2.11.-6.11.
Aufgabe 1
Wer ist der Mörder?
(6 Punkte)
Ein Detektiv hat folgende Fakten am Tatort ermittelt.
1. Jones hat gelogen oder Smith ist der Mörder.
2. Wenn Jones in der letzten Nacht Smith getroffen hat, dann ist Smith der Mörder oder der
Mord ist nach Mitternacht passiert.
3. Wenn Smith kein Mörder ist, dann hat Jones ihn in der letzten Nacht getroffen oder der
Mord ist nach Mitternacht passiert.
4. Wenn der Mord nach Mitternacht passiert ist, dann hat Jones die Wahrheit gesprochen.
Kann er mit Sicherheit darauf schließen, dass Smith der Mörder ist?
Aufgabe 2
Dame oder Tiger
(6 Punkte)
Dame oder Tiger ist ein logisches Rätsel des US-amerikanischen Mathematikers und Logikers
Raymond Smullyan. Es handelt von Räumen sowie Damen und Tigern, die in diesen Räumen zu
finden sind. Im Rätsel darf ein Gefangener des Königs von Indrabad einmal zwischen zwei Türen
wählen und seiner Wahl zufolge entweder eine Dame gewinnen (!) oder von einem wilden Tiger
zerfleischt werden. Er weiß folgendes: In den beiden Räumen (Raum I und Raum II) befindet
sich jeweils entweder genau eine Dame oder genau ein Tiger. Insbesondere ist es auch möglich,
dass sich in beiden Räumen Damen oder in beiden Räumen Tiger aufhalten. Humanerweise
besteht insofern keine Pflicht, eine Tür zu wählen, und wenn der Gefangene geschlossen hat, dass
ihn hinter beiden Türen ein Tiger erwartet, dann ist es sinnvoll, auf die Wahl zu verzichten. Als
weitere Hinweise stehen dem Gefangenen nur Schilder, die an den Türen hängen, zur Verfügung,
deren Wahrheitsgehalt allerdings zunächst unklar ist, sowie (glaubwurdige) Aussagen des Königs
uber den Wahrheitsgehalt der Schilder.
Wir betrachten hier zwei Varianten des Rätsels wie folgt:
Fall 1: Die Schilder an den entsprechenden Türen:
Raum I
In diesem Raum ist eine Dame, oder in
dem anderen Raum ist ein Tiger.
König:
Beide Aussagen sind wahr.
Raum II
In diesem Raum ist eine Dame.
GLoIn, WS 2015
Fall 2: Die Schilder an den entsprechenden Türen:
Raum I
In beiden Räumen zusammen befinden
sich insgesamt zwei Damen.
Raum II
In beiden Räumen zusammen befindet
sich mindestens ein Tiger.
König: Die Aussage auf dem Schild vor Raum I ist wahr, wenn sich eine Dame in Raum I
befindet, sie ist falsch, wenn ein Tiger in Raum I ist. Die Aussage auf dem Schild vor Raum II
ist falsch, wenn sich eine Dame in Raum II befindet, sie ist wahr, wenn ein Tiger in Raum II ist.
Gibt es für den Gefangenen eine Gewinnstrategie in diesen zwei Szenarios? Begründen Sie Ihre
Antwort.
Aufgabe 3
Popeye der Seemann
(Präsenzaufgabe)
Popeye hat 5 Dosen Spinat. Er weiß aber, dass genau
zwei davon von seinem Gegner Bluto ausgetauscht
worden sind. Er weiß auch, dass eine von den falschen
Dosen genau 1 g leichter und eine genau 1 g schwerer
ist als die richtigen. Kann Popeye mit einer Schalenwaage die echten Spinatdosen von den gefälschten trennen und auch genau sagen, welche leichter
und welche schwerer ist? Er hat allerdings nur genug
Kraft für drei Wägungen.
Aufgabe 4
Induktion
(Präsenzaufgabe)
Beweisen Sie folgende Behauptung durch Induktion
über n ∈ N: Sei x eine reelle Zahl, so dass x + 1/x
eine ganze Zahl ist. Dann ist xn + 1/xn auch eine ganze Zahl.
Aufgabe 5
Teilen der Eins
(8 Punkte)
1. Zeigen Sie, dass es für jedes natürliche k > 1 zwei natürliche Zahlen k1 und k2 gibt, sodass
k1 > k2 > k und 1/k = 1/k1 + 1/k2 . Hinweis: Dabei ist keine Induktion notwendig.
2. Beweisen Sie mithilfe des vorherigen Aufgabenteils, dass man für jedes n > 2 die Zahl 1
als eine Summe von genau n unterschiedlichen Brüchen der Form 1/k repräsentieren
kann, z.B. für n = 3, 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6.
Hinweis: Der Beweis läuft per Induktion über n. Achten Sie dabei auf den richtigen
Induktionsanfang!
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GLoIn, WS 2015
Aufgabe 6
Verstärkung im Induktionsbeweis (Präsenzaufgabe)
Beweisen Sie, dass
1
1
1
+ 2 + . . . + 2 < 2.
2
1
2
n
für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1.
Hinweis: Man erfinde eine geeignete Funktion f über den positiven reellen Zahlen, so dass
1
1
1
+ 2 + . . . + 2 ≤ 2 − f (n).
2
1
2
n
Aufgabe 7
Fehlerhafte Induktion
(Präsenzaufgabe)
Was ist bei den folgenden Induktionsbeweisen falsch gelaufen?
Jeder Bus kann beliebig viele Studierende fassen.
Wir beweisen per Induktion über n, dass n Studierende in den Bus passen.
Induktionsanfang n = 1: Der Bus ist natürlich gross genug, um eine Person zu fassen.
Induktionsschritt n − 1 → n: Wenn schon n − 1 Studierende im Bus sind, dann weiß jeder, dass
immer noch ein Studierender hineinpasst.
Alle Schafe einer Herde haben die gleiche Farbe.
Beweis per Induktion über die Größe n der Herde:
Induktionsanfang n = 1: klar.
Induktionsschritt n − 1 → n: Wir betrachten eine Herde von n Schafen. Wenn wir ein Schaf
herausnehmen, bleibt eine Herde von n − 1 Schafen, die nach Induktionsvoraussetzung alle
die gleiche Farbe haben, übrig. Jetzt fügen wir das herausgenommene Schaf wieder hinzu und
nehmen ein anderes Schaf heraus; auch hier haben die übriggebliebenen n − 1 Schafe nach
Induktionsvoraussetzung alle die gleiche Farbe. Also haben alle n Schafe der Herde die gleiche
Farbe.
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