Nr. 2-Beweismethodenm

Nr.2 27.04.2015
Beweisen in der Schule
Bildungsplan 2004 (Zitat:)
Begründen
Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und
anwenden
Begründungstypen und Beweismethoden der
Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden
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Nr.2 27.04.2015
Elementare Zahlentheorie
Definition für m teilt n, kurz m|n (m,n,k aus N\{0})
m|n genau dann, wenn ex. k mit m∙k = n.
Definition für gerade/ungerade Zahl
n gerade genau dann, wenn ex. k mit n = 2∙k
n ungerade genau dann, wenn ex. k mit n = 2∙k+1 (k≥0)
Begründungsbasis:
1. Rechnen in N, alle Rechenregeln
2. Eindeutige Primfaktorzerlegung
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Nr.2 27.04.2015
Der direkte Beweis
Satz: Wenn 6│n, dann 3│n.
Beweis:
6│n, also n = 6·k ; Defini=on „teilt“
also n = 2·3·k ; elementares Rechnen
also n = 3·(2·k); Rechenregeln
also n = 3·j mit j=2k
also 3│n
; Definition „teilt“
Die Umkehrung ist falsch.
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Nr.2 27.04.2015
Der direkte Beweis
Satz: Wenn p Primzahl und p│n, dann p²│n².
Beweis:
p│n, also n = p ⋅ q 2 ⋅ K ⋅ q n ; Primzahlzerlegung von n
also n² = (p ⋅ q 2 ⋅ K ⋅ q n )2 ; elemen. Rechnen
2
2
2
p
⋅
q
⋅
K
⋅
q
also n² =
2
n ; elemen. Rechnen
also p² | n²
; elemen. Rechnen
Die Umkehrung ist wahr.
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Nr.2 27.04.2015
Der direkte Beweis
Beweis: [A ᴧ (A→B)] → B ist Tautologie.
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Nr.2 27.04.2015
Der direkte Beweis
Aussagenlogische Analyse: [A ᴧ (A→B)] → B
Mehrfache Hintereinanderausführung
[A ᴧ (A→B)] → B
[B ᴧ (B→C)] → C
[C ᴧ (C→D)] → D usw.
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Nr.2 27.04.2015
Die Kontraposition
Alltagslogik
Wenn Fred am 11.11. in Stuttgart einen Mord verübt
hat, dann war er am 11.11. in Stuttgart.
Wenn Fred am 11.11. nicht in Stuttgart war, dann hat
er am 11.11. in Stuttgart keinen Mord verübt.
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Nr.2 27.04.2015
Die Kontraposition
A: Fred ist der Mörder
B: Fred war in Stuttgart
Alltagslogik
A ⇒ B ist genau dann wahr, wenn ¬B ⇒ ¬ A wahr
ist.
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Nr.2 27.04.2015
Die Kontraposition
Beweis: A ⇒ B ist äquivalent ¬B ⇒ ¬ A
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Nr.2 27.04.2015
Die Kontraposition
1. A→B und ¬B→¬ A sind logisch äquivalent
2. ¬B→¬ A heißt Kontraposi=on zu A→B
3. StaR A→B zu beweisen ist es gleichwer=g
¬B→¬ A zu beweisen.
Beachte: Umkehrung von A→B ist B→A.
Das ist nicht die Kontraposition
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Die Kontraposition
Zeige: Wenn n² gerade, dann n gerade.
Beweis mit Kontraposition. Zu zeigen:
Wenn n ungerade, dann n² ungerade.
n ungerade, also n = 2∙k+1
; Def. ungerade
also n² = 4k²+4k+1
; Algebra
also n² = 2(2k²+2k)+1 ; Algebra
also n² = 2∙j+1 mit j=2k²+2k
also n² ungerade
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Beweis durch Widerspruch
Ein historisches Beispiel: Galilei ca.1600
Galilei möchte zeigen:
Schwere und leichte Körper fallen gleich schnell
(im leeren Raum)
Er zeigt: Aus der Annahme, dass schwere und leichte
Körper verschieden schnell fallen, folgt ein
Widerspruch . Also folgert er . . . .
(zum historischen Beispiel siehe Vorlesung)
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Beweis durch Widerspruch
Aussagenlogische Form dieses Beweisschemas:
[ A→(Bᴧ¬B)] → ¬A
Bᴧ¬B ist immer falsch, Name: Kontradiktion
Beweis mit Wahrheitstafel:
Zeige [ A→(Bᴧ¬B)] → ¬A ist immer wahr;
Eine Aussage, die immer wahr ist, heißt Tautologie.
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Nr.2 27.04.2015
Beweis durch Widerspruch
Zeige A: √2 kann man nicht als Bruch a/b schreiben
(a,b aus Z)
Beweis mit Widerspruch:
Annahme:
√2 = a/b
dann
2 = a²/b²
dann 2b² = a²
Primfaktor 2 tritt auf der linken bzw. rechten Seite
in ungerader Anzahl in gerader Anzahl
Widerspruch!
Also ist die Annahme √2 = a/b falsch.
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Beweisen in der Schule
•
Den Umfang einer Definition bestimmen (ab. Kl. 5)
•
Unterscheidung: Satz – Definition (ab KL.7)
•
Unterscheidung: Satz - Umkehrung (ab Kl.7)
•
Bei einem Satz die Voraussetzung / die Folgerung
identifizieren (ab KL.7)
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Beweisen in der Schule
•
Beweis mit Gegenbeispiel (ab Klasse 5)
•
Direkte Beweise (ab Klasse 7)
•
Stellenweise: Kontraposition
Beweis mit Widerspruch
Fast nie in Klassenarbeiten, Ausnahme MathePlus
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Nr.2 27.04.2015
Beweisen in der Schule
Didaktik zum Beweisen-Lehren:
• Der Satz muss dem Sch. beweisbedürftig
erscheinen.
• Dem Sch. muss die Aussage des Satzes vor dem
Beweis einsichtig sein.
• Es muss eine klare Begründungsbasis vorliegen.
• Falls man eine Beweisidee benötigt, sollte diese
nicht vom Himmel fallen.
• Zeigt ein exemplarischer Beweis das Wesentliche?
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