Über eine algebraische Reihe - E

Über eine algebraische Reihe
Autor(en):
Sidler, Georg
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft Bern
Band (Jahr): - (1899)
Heft 1463-1477
PDF erstellt am:
26.10.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-319647
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Georg Sidler.
¦¦
Über eine algebraische Reihe.
(Eingereicht den 28. Juni 1899.)
Der absolute Wert der Variabein x sei ¦< 1, und n eine
ganze positive Zahl inklusive null. Unter diesen Voraussetzungen be¬
trachten wir die Funktion
§
1.
sn
(1.)
1
+ 2n
x
-f 3". x2 + 4n
x3
-f
in inf.
Wir haben
Da nun
-^-(X.Sn_l).
S„
(2.)
andererseits
S0
1
—x
1
öl
S4~
1
—;
^
(1-x)2
7~,
' °2-
T.
so erhalten
1+x7k
(1—xf
'
S3°
wir
aus (2.) successive
1+4X + X2
(1— X)4
l-f-26x-f66x2-[-26x3-|-x4
+ 11 x-fllxä-fx3 ,h'°__
(1-x)5
(l-x)u
und allgemein für ein beliebiges ganzes und positives n
Obstehendes ist grössernteils eine Übertragung einer in Band I (Jahrgang
1856) der «Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich» von
mir publizierten Arbeit «Sur une série algébrique.» Den Anstoss, auf dieselbe
zurückzukommen, gab das Interméd. des Math. Jahrgang 1899, p. 51, wo in
Nr. 1465 nach dem Beweise einer Formel gefragt wird, die als spezieller Fall
für k — 0 in der obigen Formel 9 enthalten ist. Jener frühem Arbeit hinzu¬
gefügt habe ich den Beweis des Clauseu-Staudl'schen Satzes über die Bernoullischen
Zahlen, der, wie mich s. Z. L. Schläfli darauf aufmerksam gemacht, in einfacher
Weise aus einer von mir gegebenen independenten Darstellung der genannten
Zahlen hervorgeht. Ausdrücklich bemerke ich, dass die betreffende Formel 25
wie die übrigen hier gegebenen Darstellungen der Bernoullischen Zahlen, mit
Ausnahme von 23 und 26, sich schon in der obgenaiinten, 1856 von mir publizierlen Arbeit finden.
(3.)
wo
an, o,
wo
Sn, 0
Sn
an,
1
•
X
+
—
an, 2
•
+ a„, n_t
X2
(1-x)^
x"""1
ganze positive Zahlen darstellen, und
0, sobald das ganzzahlige s sei es negativ, sei es >¦ n — 1 ist.
3n,
<in, s
4"
14
i,
an,
2
•
•
•
an,
n-i
In der That, führen wir diesen Ausdruck in (2.) ein, so sehen
wir, dass derselbe für ein beliebiges ganzes und positives n gilt. Und
für die Coeffizienten a„)S ergiebt sich die Relation
(4.)
(s-f-1) a„_i,s
a„,s
-f
Gemäss den obigen Ausdrücken
(n — s)
für St,
an-i, 5-i.
S0,
S5
ist für n
1,
2, 3, 4, 5
(5.)
au, s—i ==r
an.
n—s-
Aus (4.) aber geht hervor
s
(n — s-f-1) an—i,n—b
a„_ i,n_s—i
aU)n—s
s
(n — s-f-1) an_i, s-2
a„, »-i
an_])S_i.
Wenn also die Relation (5.) für den Index n — 1 gilt, so gilt
dieselbe auch für den Index n, und somit gilt dieselbe allgemein.
+
+
Schreiben wir die Formel (3.)
a„,o -f-
an,
i
x
-f-
an>2
x2
+ ani„-i xI1_
=d-x)n+i.2(8+i)n
X
s=ü
und setzen die Coeffizienten derselben Potenzen von x auf beiden
Seilen einander gleich, so kommt, wenn wir mit
cienten von
an, o
1
3n,
2n
1
an,2
11.
xs
in der Entwicklung von
1
n
3"
(1-f x)"
I
I
den
Coeffl¬
bezeichnen:
'-1
+A
n
/n + l
s. w.
(6.)
(S
+ l,»-("|I)s- + ("|1).(S-l,".
..(-!)•.('"+)•'"¦
und weiter gewinnen wir die Identität 0
an, n+s,
d. h.
wo
eine
s
ganze
Zahlen 1, 2, 3
§
2.
n—l
^1
+ ^ l\J(n+s-l)n
,nfi /n + l
..(-I)-. U + 1,.
/n+A
J
j
(n+s + l)»-^
o
(7.)
positive
in inf.
s
s=0
/n +
(n+s)n
(^
inklusive null
Zahl
und
n
eine
s
der
Aus der Rekursionsgleichung (4) folgt
n—l
n—2
an,
-
15
—
=^|(s
+ l)
__
an_liS
+^(n-
-s)
a„_ii 8_i
s=l
s=0
n—2
{(s+1)
a„_iiS
s=0
+ (n—s—1) a„_i,
d. h.
n—2
n—1
^j
s=o
Aber a*, o
1, und
(8.)
an> o
n
an,s
an-i,B
.^j
s=0
n! ai,o
somit
+ anj i + a„,
2
•
+ a„, „_i
n
und da an, u+s
0, wenn s eine beliebige positive ganze Zahl inklu¬
sive null ist, so können wir diese Relation schreiben:
n+h—1
J-^l a„, s
n
s=0
wo h eine beliebige positive ganze Zahl inklusive null, d. h. wenn
für an s die Ausdrücke (6.) einsetzen:
wir
¦—"¦h(T)+(nr)-(-)"+b-(X1)!+
+ ,.|1_("|') + (»+')..(_1).-(n;^)} +
+3
1
C!V(nt1)-(-r-(0;tls)| +
16
+ (n + h-l)".jl-(n|1) j +
+ (n + h)n
Aber
zient von
1
—
n+A
'
1
+
I
/n+l
/n+A
"
l
in der Entwicklung von (1 — x)~~
xs
/n+A
/n+A
'
(— 1)" Ç
I
(1
—
I
ist der Coeffi-
/"+1\
/
also
x)n+
s
/n
und wir erhallen
n!
(9.)
(n+k)n-
('j (n+k- 1)-+ (^j
(n
+ k-2)"
n+k-i
oder auch
n!
(9.1)
0 + k)n
-(';) (nfk-l)n+Q)(n + k-2)',..(-l)"Qk",
wo k eine beliebige positive ganze Zahl inklusive null darstellt.
Zerlegen wir den Ausdruck rechter Hand in (3.) in Parlialbrüche, indem wir setzen
§ 3.
an, o
(u.)
+
an,
+ a„, „_!
x
i
x""1
(1-x) u-t-1
An, n
(l-x)atl
Schreiben wir x
An,
n
— An>n_i
h
+
+
1
An, n—1
/
(l-x)n
v
-.
\n— 1
'
^n,
1
(l-x)r
— h, so haben wir
A„, n-2
h2
+
—
1
)"_1
-
An>
+
i
ll"^1
h)2
a„, i (1 — h)
a„, 2 (1
an,n_i (1— h)n~\
a„,o
und hieraus, wenn wir die Coeffizienten derselben Potenzen von h
einander gleich setzen
A,,, n
An,
n-i
a„,
+ an, i + an,
1\
/2\
-fo
I an,
i
I
I
•
2
•
•
an) 2
•
•
+
•
•
an,
¦
,,-i
+
/n+l
I
1
a„,
„_i
—
A„,n-2
17
+ ^2) a„,
2J a„,2
s
+
¦
¦
•
•
Ja«,«.!
2
/n—A
An,
I
1
I
an, n—l
oder mit Rücksicht auf die Relation (5)
An,
i
An,
2
a„,
o
/n-A
a„,
o
+ a„, i
a„,
o
+
/n-A
(10.) < A„, 3
I
2
/n—2\
I
+
i
an,
1
+(n—2/ ^1
An-n==(n—1/ 3n'°
' '
an> 2
"*
\1
)an-n-2 + an.n-1
oder allgemein
(10.')
n,
8
—
"V/n—k—1\
^
Mn,
k=0\ s-k—1
Auch die Coeffizienten An, s sind somit ganze positive Zahlen.
Schreiben wir aber mit Beachtung, dass an,8_i
a„,n-s ist:
die Gleichung (u).
an,
i
n-i +
an>
A„,
An, „_1 (1
„
-
u_2
und vergleichen
+
t
x
•
•
•
¦
an,
i.
•
x
n—2
+
i
a„,
•
0
x
n—1
+ A„, „_2 (1-X)2
(- l)""1 A„,
die Coeffizienten der nämlichen Potenzen
X)
(l-X)""1,
von x mit
einander, so erhallen wir umgekehrt
an, o
An,
i
a„,
1
A„,
2
a„,
2
An,
3
--
/n-A
I
I
1
/n-2\
I
I
(11.)
n-1
An,
n
Bern. Mitteil. 1899.
—
-,
A„,
1
An,
2
+
An, n—l
+
/n+A
g
J
A„,
An,
n—2
i
¦ • ¦
No. 1465.
_
18
—
oder
s
.,.=2c-Wn~8+k+1)
k
k=(»
\
cu.«)
A„,S_,M
Substituieren wir in (10.') für die a„, k ihre Ausdrücke aus (6.),
so erhallen wir
n + A /n — A
/n 2X
A"'s — 1 '
'
' \s--2
1
V
0
/n+l\
/\s-l
(\
¦<-r--c+;)cr)i+
+-irr)a)-cr)a
+(s-.r..{("r)CTH)-(nr)("Di+
oder
s
s—k
V?
N2
An,s-2jk"
>(-l)r
'
/n+A/n —k —r
/n+l\/n-s+k-i
V,
Vr
^|(»-M
-^j(-l) ^ J( k_r
k=(l
1V.
r—U
x
y
x
Der Coeffizienl von (s — k)" isl hier gleich (— 1)
x)n+1
(1 +xr(n~" '"", als"
von xk im Produkte (l
Coefficient
+
(-lJ -Q.d.h.:
n-1-A
/n-s+k\
»,)(
oder
k
/n+A /n-s+k—A
Hi
/n-s\/n+l\
k
/n-|-l\ /n-s+k
n/n+AM Jl
/n-s+A /n+l\
/n— s\
/n—s+2\
2
k-2
k
/n+l
/s
19
—
k
s+k\ /n+l\
UT1 \
n — s-T-R- \ /
/»
/s
k;
Wir bekommen somit
s —1
CK-k)",
(12.)
k=0
oder auch
S
(12.')
d.
h.:
An,
A-.
n,
1
A„,a
(12.")
1
s
-
(—
I/
'
2
-l)k'(::)¦
k=l
•!
2n-Qln
An,B-3"-Q2u + (2)l"
A„,„^n"-^j(n-l)n + ^j(n-2)"..
n-i
und infolge der Relation (9)
—
n
in (u) linker Hand der Nenner um zwei Grade höher als
der Zähler ist, also rechts ein Term
haben
n
ist
An, n
Da
/
wir
",0 nicht auftreten kann, so
1—x
zu setzen
(13.)
An,0
0.
Wenn ferner im Ausdruck (10') von An, s der zweite Index s
grösser als n wird, so werden rechter Hand sämtliche Terrae null.
Somit haben wir
(14.)
0
A„ill+k+1
'n+k+1 \
0
(n+k-r-lf
/n+k+A
- Y
)(a+k)n +
+ri+>-+k-»-"'<-'>M*('t;r)''-.
wenn k irgend eine positive ganze Zahl inklusive null darstellt. —
20
—
—
Oder
Dl
(—1)'
^i
r=l
(14-')
m
r"
j
>
0, wenn m
'
^
n.
Zufolge der Relation (2) haben wir
n
^^ (-1)
2i
s
-A", s
(1—X)
•
-s—1
s=l
n—1
- 2
"dY
(— *)"
'
s=l
An-!, ».
Schreiben wir rechts den ersten variabeln Faklor x
so wird die rechte Seite
n=l
-£2_â (-1)dx
•
X
(1
- xfS_1
1
—
(1 — x),
'•¦
-1 -(1-x)
j(l-x)
A„_i,.
s=l
oder wenn wir in der ersten Summe s — 1 an die Stelle von
0 und An_i,u= 0 ist:
setzen, so haben wir, da An-i,o
"
d
s
n
2(—i)" '
dx
|
An-l,S-l
s=l
+
S
(1-X)
An_i,,
n
-2 c-
s(A„_i,s_i +A„„1,S) (1—x)
-1)'
-s—1
=1
Wir erhalten
(15.)
An,
Wir behaupten aber,
s! c„, s,
wir An, s
S
s
(A„_i,s
An,
«
die Relation
+ An-1, s-l).
durch s! teilbar, ln der Thal, setzen
so giebt (15)
es sei An,
Cn,
Aber c„, 0
für die Coeffizienten
also
0 und cn,
Cii_i,s
S
s
i —
lich ganze Zahlen sein, w.
1
a
+"
Cn_i,
S-—X-
und somit werden die Grössen c„,
s
sämt¬
z. z.
Wir haben daher
de.)
s«-
(;)(s-ir+(;)(S-2T.
0 (mod s
0
wenn
wenn
s
s
(-ir. (^)
<n
> n.
in
-
21
—
Wenn wir in der Identität
+
n
1
2
+3
x
+
x-
in inf. =—'-—!
x3.+
4
+
:
(1
—x)n+1
die rechte Seite nach Potenzen von x entwickeln, und die Coefflcienten
derselben Potenzen auf beiden Seiten einander gleich setzen, so er¬
hallen wir
(17.)
(s
+ l)"
\b)--.o + (n^.11)»-.i+(nsl2a)«".» ¦¦¦+(;) ¦•-..Wenn
I
i
s—n+l/
\
4
s
an '
>
n, so
n-i
bricht die rechte Seite in (17) nach dem Gliede
ab.
Verfahren wir auf dieselbe Weise mit der Identität
1
+ 2nx + 3nx2+ 4nx'! +
An,
1
l)
-<¦ 1-,n+1
\ (i-x)2
so
-
__
in inf.
An,
2
(l-x)3 i_
kommt
(-1)
(18.)
n+l
An,
(i-xr "
.(8 + 1)
3
An,
|-_1^n+1_„
J
l
n
(i^xyi+1
n
- ei>- - et2) v.+ft3) v. •+(-nr)*....
¦
Mittelst der Relationen (10) oder (11) gehen die rechten Seiten
in (17) und (18) auch direkt in einander über.
§
Die Ausdrücke (17) und (18) führen auf mehrfache
4.
dependente Darstellungen der Bernoullischen Zahlen.
aus
in-
In der That
(17) folgt
2s-|v,.|(2) + (»t+("tT+(nÜ7/-71)|
und aus (18)
2.--2(-^.A,.((;)+f+')+('+s].. + (^7'
In diesen Summen ist der Coefficient von an, r gleich demjenigen
r
von \k
x
im Produkte
A-x)~V (l-x)"11-1,
also
(jjijz[)
— 22 —
I
~A
1
und der Coefficient von (—1)"
jenigen von xk_l im Produkte (1—x)~
r.
A„,,. ist gleich dem¬
(1—x)~r_1, also
{.
J_
J
Wir gewinnen somit die beiden Resultate
+
1"
(19.)
2"
+
3n
•
•
+
k"
-a!5>..« + ("+!7>...+("^2)v,.+(nk|!)»,,,.-,
und
(20.)
ln
+
2n
+
3n
•
+
•
k"
("„+S)A--("+n"')A-"+("tÌ7V Anderseits hat man, wenn Bi, B2, B3,
Zahlen darstellen,
+
ln
(21.)
+
2n
k11+1
3n
-
¦
•
die Bernoullischen
.]_ kn
1
+ Tk +
ii+r
/iA Bi „_i
/n\ B2 „-3 + /n\ B3 „_.5
+ UJYk
-U)T-k U;ir•k
5±?
(—1)
+
/
2
n
\
b
—^
\n—1/
'
-•(—1)
/
n
••
k, wenn n gerade
11
l3"~~
\
_ +.
n-1
\n-2/
k2, wenn
11
ungerade.
Entwickeln wir also die Ausdrücke rechter Hand in den Gleich¬
ungen (19) und (20) nach Potenzen von k, so ist, vorausgesetzt, dass
n grösser als 1 ist, der Coefficient von k, je nachdem n gerade oder
n+2
ungerade isl, entweder — (—1)
2
Bn/2, oder
0.
Betrachten wir zuerst die Gleichung (19)
n—1
k
V
__J
S
n
\
V /n+k-i
li
=^i_J
3n,
r.
23
—
—
In der Faktoriellen
n
fk—r\
(k+n- r)(k+n-r—1)
/^ "
n+1
•
(k+t) k (k—1)
•
-
•
(k— r)
A" + l)!
wird der Coefficient von k sein
Cn-n(n-r-l) 2
(n + l)!
•
(—[)'¦
__(-Dr
•
¦
1
•
12
¦ ¦
r
(n-r)lr!
l
(n+1)!
1
/n
n+1
r
In Gleichung (19) isl also der gesuchte Coefficient
n—1
1
—,—
n+1
(22.)'
•
^fl
^y,
a
(—l)r —~--i
aJ
und wir erhallen
/n\
(r
/n\ - --'/n\
/n\ + -^
a"'°
\1/
0/
•
(-I)"1"1
•
\2/
•
-?-— '
/
n
\n—1
n+2
2
—
—
1)
(n+l)
¦
Bni
mit (—1)
,23)
da
n-i
a„,n_s
erhalten wir auch, wenn wir (22)
so
a„,a_i,
multiplizieren:
a"'°.'
n\
1/
•
0
wenn n ungerade und 7> 1.
0
Oder
>
wenn n gerade und
-
^1
-""•- .(_in_1 Jîiil--'
n
/n\ + / n\
\2)
\3
|= (—l)"'2
-
;
•
(n
+ 1) ßuL)
wir in (22)
wonn n gerade und
>
svenn n ungerade und
0
Ersetzen
-
a„,
(3+1) a,i_i, s+ (n—s) an_i,8_i,
s
gemäss
so
kömmt
der Relation
(4)
0
>
1.
durch
24
n—i,o
-^=±+/.,\
(24.)
-
a„_i,i
-^+1+
/n\
/
(-1)
\
i
S)
a„._i, „_o
i
\3/
2)
2
.,11-'
an—1,2
+ -^=^
/n\
n+2
(—1)
—
n
\n—1
(n+1) B„p
0
wenn n gerade und
> 0,
wenn n ungerade und
>¦
1.
Die Formeln (22) und (23) stellen die Bernoullisclien Zahlen
durch die an, s mit geraden Indices n, die Formel (24) durch die an, s
mit ungeraden Indices n dar. Die Coefficienlen an, 8 sind durch die
Formeln (6) und durch die Rekursionsgleichung (4) gegeben.
Betrachten wir endlich die Gleichung (20)
k
n
(—1;
2sn=2
s=l
r
'
\
r=l
k+r\
r+1/
/
k
(k+r)
(k+r-1)i (k+1)
j—>__ ist
j_<^—\
_
(r+1)!
1
r!
'
Wir erhalten
—
r_j_i
Tr++jT
v
An,
/<>- \
(»o«)
In der Faktoriellen
An'r'
'
\
der P1|
Faktor von k gleich
v
A„,
A„,
2
somit aus (21)
.n+1
3
An, n
3- + ^---(-1}
1
-g
(—1)
'2
wir hier
M=T
Bn/, wenn n gerade und
>
gemäss (15) An,
s
—
(An-i, s
s
0,
>
1.
+ An_i, s-i),
so
wenn n ungerade und
0
Setzen
•
kommt
/nn \
(26-}
An_i
+
TT3-- "3TT T75^
An—1
1
An—1,2
a
i
••
An—1, n—1
(-1},n nvn+ï)^
•
2
In+2
(—1)
0
Bn
2,
wenn n gerade und
>
wenn n ungerade und
0,
>
1.
In (25) sind die Bernoullischen Zahlen durch die An, 5 mit ge¬
raden Indices n, in (26) durch die A„, s mit ungeraden Indices n dar¬
gestellt. Die Coeffizienten A„, s sind durch die Formeln (12) und
durch die Rekursionsgleichung (15) gegeben.
Wir hallen in (25) die
§ 5. Der Clausen-Staudt'sehe Satz.
ntc Bernoullische Zahl Bn dargestellt durch
-
25
—
2n
(-ir.
wo An,s
Bn
-2
>2 (—!)'
(— l)8
Aan.s
f-1)*1
s+1
()i*nundAn,s
^ '
•
r=l
0 (mod
s!).
Untersuchen wir jetzt A2„,s auf die Teilbarkeit durch
a) Wenn
wo
a
s+1.
s+i in zwei ungleiche Faktoren zerlegbar, s + 1
7> b >• 1, so sind sowohl
a
s+1,
kleiner als
als b
Dann ist also
findet sich jeder dieser Faktoren in s!
b,
a
und daher
,n's eine
s+1
ganze Zahl.
b) Wenn s
dass wiederum
+
=-p2,
1
—-~s+1
wo p eine
—
1
-^+
s+1
+ (—l)"n
8
>
3 '
f
+ -—¦
4
s!
3!
s+1
-,4
ist zwar —r—-
2, so
—
daher—~~s+1
0, und
Wenn aber p
wir,
so behaupten
eine ganze Zahl.
Denn wenn zunächst p
aber dann ist
Primzahl,
2, so betrachten
Nun ist 3
3
—
—=->
2
+ 32n(mod4)
eine ganze Zahl, w. z. z.
s!
1.2.3...(p2—1)-
s+1
p*
wir ——-
+
>
Im Pro¬
Wenn nun p
(p — 1) (p
1) > 2 p.
2, so ist p2 — 1
dukte s treten daher sowohl p als 2 p als Faktoren auf, und daher
Aa
s!
auch
Zahl wie z. z.
somit
ist —r— Ranz
eine ganze
und
°
°
—~s+1
s+1
c) Sei nun
s
+ 1 =-p,
Wenn zunächst
s+1
das betreffende Glied
wo p eine
2, so ist im Ausdruck von
Ä2n'1
\
U
Sei endlich s
druck von (—1)"
¦
+ 1—p,
Primzahl.
(—l)n
¦
wo p eine ungerade Primzahl.
Im Aus¬
'
s
s+1
+1
S
Bern. Mitteil. 1899.
Bn
Ct
B„ ist der betreffende Term
A3„,s
•
_^
——i
r=l
^
li"+1
'
l'"-r
S+1
2n
No. 1466.
— 26 —
Von den hier auftretenden Grössen r ist keine durch die Primzahl
s
Wir haben jetzt die Fälle zu unterscheiden, wo
p teilbar.
2 n durch s teilbar und wo 2 n nicht durch s teilbar.
+l
Betrachten wir erst den Fall, wo 2 n nicht durch s teilbar. Es
sei denn
a
(mod s), wo 0 <; a <; s, also 2 n — k s
k (p—l)-[ a, wo k eine ganze Zahl, oder
2n
+ ii
'
r k([i-n
r
+
2iiEa
T
Da
nun r durch
Satze rp~
nicht teilbar, so ist nach dein Ferinat'schen
p
I (mod p), und daher
r"n
ra (mod p).
Somit modulo p
2
r=l
(") "•"" s2 <->'+' '(r")"-
<-1)'+1 '
r=l
Aber, da hier s >• a, so ist gemäss der Relation (14') der Ausdruck
rechter Hand identisch — ü. Also ist nun
s
^
r=l
(—l)1'1
•
•
i'"'" durch p
s
teilbar und somit ist jetzt
1
|
¦^211,
ri i I
---. ' - eine ganze Zahl.
S
Gehl aber
s
—
p
in 2
1
r1"'
eine ganze Zahl, so haben wir r"n
Also modulo p
s
+-
1
oder ist 2 n
n auf,
-
1
k
s,
wo k
(mod p).
ist jetzt
s
N(-1)"K
r=l
•
r)
•
~2(
r'-"1
„H
-1)"'
'
S
•
¦
r,-l
d. h. im Ausdruck von
—
l)'1
A-'",
11
—
-(' -!>*= L
lln ist der betreffende Term
1
1
—
l
¦
p
P
1
r/
- ganze Zahl.
1
Alles zusammengefassl erhalten wir also
(-1)"
•
Bn
=.(-1 +
2
p
Î + GanZe ZaW'
27
wo die Summe rechter Hand sich auf alle diejenigen ungeraden Primzahlen p bezieht, für welche p — 1 ein Teiler von 2n ist. Oder da
auch
2 eine Primzahl,
und 2
— 1 stets ein Teiler von 2n ist,
so
können wir schreiben
+ (- -1)"
Ganze Zahl
B„
(27.)
+T
+T
alle diejenigen Primzahlen darstellen, für welche « —1,
X— 1 Teiler von 2 n sind. Dies isl der Clausen-Staudt'scite¬
X
wo a.
ß-i,
Satz.
Z.
B.:
Teiler
1, 2
Primzahlen
2, 3
*=i-
V
Teiler
Primzahlen.
'
2
3
1, 2, 4
2, 3, 5
*-i~
Teiler
Primzahlen.
1
+
+ + .i + T >
1, 2, 3, 6
7
2, 3,
H.-Ì-. +
Teiler
Primzahlen.
1, 2,
«
-,
4, 8
2, 3, 5
-=-.l - >+(t+-;
lo
Teiler
Primzahlen.
b5
12
-<4
1, 2, 5, 10
11
2, 3,
;v
1
6b
Teiler
-(t+J- + .T>
1, 2, 3, 4, 6, 12
2, 3,
5, 7, 13
Primzahlen
6~
i>
691
2730
-'+(t + T '+
+1
+
TS
28
Teiler
Primzahl en
14
1, 2, 7, 14
2, 3
7
2
137
16
I
Teiler
j
Primzahlen
3
8, 16
17
2, 3, 5,
3617
510
6•
+ (-r
Teiler
1, 2, 3, 6,
Primzahlen
2, 3,
B9
20
V 2
1, 2, 4,
B8
18
_(J-+±
r
43867
798
Teiler
Primzahlen
56
+
W
+ T,->
9, 18
19
7,
2
~
'
3
^
7
1, 2, 4, 5, 10, 20
11
2, 3, 5,
19
i
B,„=^l_628 + + ~ +T T+
5
3
22
Teiler
1, 2, 11, 22
Primzahlen
2, 3.
Teiler
Primzahlen
Bl2=
1
r
1
*"
3
\
23/
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
13
2, 3,
5, 7,
236 364 091
2730
-
00
^nn
86 579
(-+^ +^ -
+V
2
3
+r
u. s. w.
11
23
^«L-.™- +
24
-
5
-+
7
^
1
13
Dieser Satz ward zuerst von Thomas Clausen in den «Astro¬
nomischen Nachrichten», Bd. VII, Nr. 406 (1840, Juli 23) ohne Be¬
weis mitgeteilt, und von Georg Karl Christian v. Slaudt im «Crelle'schen
Journal.. Bd. XXI, p. 372 und f. (1840, Aug. 16.) bewiesen. Um den
Beweis für die Bernoullische Zahl der nt(" Ordnung zu leisten, muss
Slaudt voraussetzen, dass der Satz für alle niedrigeren Ordnungen
-
29 —
Herr Louis Saalschutz in seinen «Vorlesungen
über die Bernoullischen Zahlen, Berlin 1893», p. 132 und f. repro¬
duziert im wesentlichen den Staudl'schen Beweis. Eine direkte Her¬
leitung, die mit der obigen Analogie hat, aber einen andern Ausgangs¬
punkt nimmt, giebt Herr K. Schering: «Zur Theorie der Bernoullischen
Zahlen.. Malhemat. Annalen. Bd. 52 (1899), p. 171 und f.
schon bewiesen sei.
(Siehe Tabellen Rückseite.)
Werte von
0
8
o
co
2
1
(s
s
+1)
3
1
an
-i,.
4
+ (n--s)
5
a
6
i
2
1
3
1
4
1
4
1
11
11
5
1
26
66
26
1
6
1
57
302
302
57
1
7
1
120
1191
416
1191
120
1
8
1
247
4
15 619
15 619
293
247
9
1
502
14 608
88 234
156 190
88 234
14 608
10
1
013
47 840
310 354
455 192
1
I
1
293
1
|
I
i
11
an
2
|
|
455 192
1
310 354
4
j
1
i
1
i
u. s. w.
Die Summe jeder horizontalen Zeile ist
n!
Werte von An
s
n
s
cn
s, wo cn>, =¦-
s
"
n—1,
^n—l.s—1*
s
1
—
l
1
2
1
o
1
4
1
5
7
3!1
3!6
4!1
1
15
3
25
4!
6
1
31
3!
90
4! 65
7
1
63
3
301
4
8
1
127
31966
9
1
255
3
10
1
511
3 9330
11
1
1023
3
12
1
2047
3
3025
28501
86526
10
511
5115
6!1
350
J5U40
6! 21
711
4
1701
511050
J61266
7! 28
811
4!
7770
516951
612646
71462
8136
911
4134105 5142525
6122827
1715880
81750
9
45
101
4 1145750 51246730
61179487
9
1155
101
4
7163987
611501 5 1379400 6 1323652 7 627396
11.
s. w.
8111880
81159027
'
9 122275
101
Die Grössen c8+k, s, wo s die Werte 1, 2, 3, 4, 5
bilden eine arithmetische Reihe der Ordnung 2 k, wo
(2 k—1) ist.
Z. B.
in inf. durchläuft,
die konstante Differen
1.3.5...
C9+1
s=123
234
l
3
S=1234
1
12
s=i234
c8+38
'
14
I
T^
C8+4
,¦=
e. s. w.
ï
1
l
1
1
1
7
8
9
462
750
1155
28
25
3
3
3
6
5
145
117
92
22
3
405
288
196
70
5
55
10
9
6
19
3
10
266
126
51
16
8
7
1
75
8
7
3
3
9
5880
2646
11880
22275
10395
17
1638
2766
4395
6655
896
440
61
185
742
1629
1128
30
2260
456
255
124
631
501
386
776
286
201
131
130
145
115
100
85
70
15
15
15
15
15
260
75
3~
1050
350
90
15
1
9
45
5
140
35
13
3
|
8
36
1
65
22
10
7
28
l
40
18
6
21
6
1
25
7
6
g
5
15
5
1
1
cs+2
4
10
6
700
6000
3234
1596
9
63987
75
359502
22827
159027
1701
301
393350
41160
200475
95040
15876
5250
270 1400
30
192775
53880
33
105435
25284
3850 10626
240 1130
28596
140701
51555
14658
87340
6776
2720
890
53361
13938
22959
35785
7882
4056
1830
12826
9021
17576
6056
3826
2226
3805
2965
4750
2230
1600
735
840
945
630
105
105
105
2
31
4
5
6951
6
7
8