Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
Einige Worte vorab
v
Analysis
1
1 Worum geht es in der Analysis?
3
2 Ein
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
wenig Vorbereitung
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Vorrat an Buchstaben . . . . . . . . . . . . . .
Vom richtigen Umgang mit der Aussagenlogik . . .
Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Ein kleiner Zoo wichtiger Mengen . . . . . .
2.5.2 Wie aus bekannten Mengen neue entstehen
2.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
6
9
10
12
13
16
17
3 Reelle und komplexe Zahlen
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Rechnen mit Ungleichungen . . .
3.3 Summen und Produkte . . . . . . . . . .
3.3.1 Fakultät und Binomialkoeffizient
3.4 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . .
3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
21
22
23
25
27
29
31
32
4 Abbildungen und Funktionen
4.1 Motivation und Definitionen . . . . . .
4.2 Einige Eigenschaften von Abbildungen
4.3 Komposition von Abbildungen . . . .
4.4 Darstellung von Funktionen . . . . . .
4.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
37
38
42
44
45
.
.
.
.
.
x
Inhaltsverzeichnis
4.6
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Wichtige Funktionen im Überblick
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Polynome und rationale Funktionen . .
5.2.1 Polynome . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Rationale Funktionen . . . . . .
5.3 Sinus, Kosinus und Tangens . . . . . . .
5.3.1 Einige Additionstheoreme . . . .
5.4 Exponentialfunktion und Logarithmus .
5.4.1 Potenz- und Logarithmusgesetze
5.5 Weitere wichtige Funktionen . . . . . . .
5.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
51
51
51
52
55
57
58
59
60
63
63
6 Folgen
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Konvergenz und Divergenz . . . . . . . . . . .
6.4 Rechenregeln für Folgen . . . . . . . . . . . .
6.5 Das Monotoniekriterium . . . . . . . . . . . .
6.6 Was noch über Folgen gewusst werden sollte .
6.7 Das Häufungspunktprinzip und mehr . . . . .
6.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
69
69
70
73
75
75
76
77
78
7 Reihen
7.1 Motivation . . . . . . . . .
7.2 Grundlegendes zu Reihen .
7.3 Eigenschaften von Reihen .
7.4 Konvergenzkriterien . . . .
7.4.1 Majorantenkriterium
7.4.2 Wurzelkriterium . .
7.4.3 Quotientenkriterium
7.4.4 Leibniz-Kriterium .
7.5 Aufgaben . . . . . . . . . .
7.6 Lösungen . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
84
86
86
88
89
89
90
91
91
8 Stetigkeit
8.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Grundlagen zur Stetigkeit . . . . . . . . . . . .
8.3 Zusammensetzung stetiger Funktionen . . . . .
8.4 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Supremum, Infimum, Maximum und Minimum
8.6 Maximum und Minimum für stetige Funktionen
8.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
95
95
96
99
100
101
102
103
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xi
Inhaltsverzeichnis
8.8
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
9 Differenziation
9.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Grundlagen zur Differenziation . . . . . . . . . .
9.3 Rechenregeln für Ableitungen . . . . . . . . . . .
9.4 Der Mittelwertsatz und Folgerungen daraus . . .
9.5 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Ausflug: Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion
9.6.1 Schwingung eines Pendels . . . . . . . . .
9.6.2 Eigenschaften von Sinus und Kosinus . . .
9.6.3 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . .
9.7 Die Regel von l’Hospital . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
107
107
108
110
113
115
116
116
117
118
118
120
121
10 Potenzreihen
10.1 Motivation . . .
10.2 Grundlegendes zu
10.3 Aufgaben . . . .
10.4 Lösungen . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
127
127
127
130
131
11 Taylorpolynome, Taylorreihen und Extremwerte
11.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Taylorpolynom und Taylorreihe . . . . . . . . . . .
11.2.1 Das Taylorpolynom . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Die Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Lokale Extrema differenzierbarer Funktionen . . .
11.3.1 Zur Berechnung lokaler Extrema . . . . . .
11.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
135
. 135
. 136
. 136
. 138
. 142
. 144
. 144
. 147
. 147
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
151
151
152
155
157
157
159
160
162
164
164
168
169
. . . . . . . .
Potenzreihen
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12 Integration
12.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Grundlagen zur Integration . . . . . . . . . . .
12.3 Der Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Wichtige Regeln zur Integration . . . . . . . . .
12.4.1 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . .
12.4.3 Integration rationaler Funktionen . . . .
12.5 Das uneigentliche Integral . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Integration unbeschränkter Funktionen
12.5.2 Unbeschränkte Integrationsgrenzen . . .
12.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xii
Inhaltsverzeichnis
13 Ausblick: Fourierreihen
177
13.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
13.2 Grundlagen zu Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
13.3 Komplexe Darstellung der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . 181
Lineare Algebra
185
14 Worum geht es in der Linearen Algebra?
187
15 Vektorräume, lineare Unabhängigkeit
15.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Der Vektorraum der reellen Zahlen . . . . . . .
15.4 Der Vektorraum reellwertiger Funktionen auf R
15.5 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
191
191
192
194
195
196
201
202
16 Lineare Abbildungen und Matrizen
16.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Grundlagen zu linearen Abbildungen . .
16.3 Kern und Bild . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Grundlegendes zu Matrizen . . . . . . .
16.5 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . .
16.5.1 Multiplikation von Matrizen . . .
16.5.2 Vektorraumstruktur für Matrizen
16.6 Besondere Matrizen . . . . . . . . . . .
16.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.8 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
207
. 207
. 207
. 209
. 211
. 213
. 213
. 215
. 216
. 219
. 220
17 Lineare Gleichungssysteme
17.1 Motivation und elementare Anwendungen
17.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . .
17.3.1 Abweichungen vom Idealfall . . . .
17.4 Die Struktur der Lösungsmenge . . . . . .
17.5 Zum Invertieren von Matrizen . . . . . . .
17.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
225
225
227
228
230
231
234
235
235
18 Determinanten
18.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Definition und Berechnung . . . . . . . .
18.2.1 Berechnung für (2 × 2)-Matrizen
18.2.2 Berechnung für (3 × 3)-Matrizen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
241
241
242
244
244
.
.
.
.
xiii
Inhaltsverzeichnis
18.2.3 Dreiecksmatrizen . . . . . . . . . . . . . .
18.3 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . .
18.3.1 Determinante als Volumenform . . . . . .
18.3.2 Determinante und Orientierung . . . . . .
18.3.3 Determinante und lineare Unabhängigkeit
18.4 Rechenregeln für die Determinante . . . . . . . .
18.5 Das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
244
245
245
246
247
248
249
250
251
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
257
257
257
260
262
265
266
267
269
20 Basiswechsel und darstellende Matrizen
20.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Koordinatenabbildungen und Koordinatenvektoren
20.2.1 Das Geschehen im Diagramm . . . . . . . .
20.3 Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen .
20.4 Matrixtransformation bei einem Basiswechsel . . .
20.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
273
273
274
275
276
278
280
281
21 Eigenwerte und Eigenvektoren
21.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Berechnung der Eigenwerte . . . . .
21.4 Berechnung der Eigenvektoren . . .
21.5 Vielfachheiten . . . . . . . . . . . . .
21.6 Hauptvektoren . . . . . . . . . . . .
21.7 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . .
21.7.1 Diagonalisierung am Beispiel
21.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . .
21.9 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . .
287
287
287
290
291
291
293
295
298
299
300
19 Norm und Skalarprodukt
19.1 Motivation . . . . . . . . . . . . .
19.2 Die Norm . . . . . . . . . . . . . .
19.3 Das Skalarprodukt . . . . . . . . .
19.4 Orthonormalisierung nach Schmidt
19.4.1 Das Verfahren . . . . . . .
19.5 Orthogonale Matrizen . . . . . . .
19.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . .
19.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22 Differenzialgleichungen
22.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Umschreiben in ein System am Beispiel . .
22.4 Einige Fragestellungen und erste Antworten
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
307
. 307
. 308
. 309
. 311
xiv
Inhaltsverzeichnis
22.5 Lösen durch Integration . . . . . . . . . . . . . .
22.6 Standardlösungsansatz I . . . . . . . . . . . . . .
22.7 Standardlösungsansatz II . . . . . . . . . . . . .
22.8 Finden einer partikulären Lösung . . . . . . . . .
22.9 Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . .
22.10Wronski-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.11Beispiel für nicht-lineare Differenzialgleichungen .
22.12Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.13Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klausuraufgaben
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 312
. 313
. 315
. 316
. 318
. 319
. 321
. 322
. 323
329
23 Analysis
331
23.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
23.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
24 Lineare Algebra
343
24.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
24.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Vom Umgang mit Prüfungen
353
Literatur und Schlussbemerkungen
359
Index
361
http://www.springer.com/978-3-8274-2504-1