Prüfungsschwerpunkte zur Vorlesung Analysis I∗

Prüfungsschwerpunkte zur Vorlesung Analysis I ∗
Lesende: Prof. Helga Baum (WS 06/07)
Die folgenden Fragen umfassen den Stoff der Vorlesung Analysis I ∗ vom WS 06/07 und
sollen Ihnen die Vorbereitung auf die Prüfung erleichtern. Fragen dieser Art werde ich
in der mündlichen Prüfung stellen. Sie sollten so zusammenhängend wie möglich darauf
antworten können. Bei Ihren Antworten erwarte ich folgendes:
• Zu allen definierten Begriffen sollten Sie Beispiele bzw. Gegenbeispiele kennen.
• Zu allen Aussagen sollten Sie die Beweisideen bzw. (wenn möglich) die Beweise kennen.
• Sie sollten die theoretischen Aussagen auf die Lösung von (einfachen) Standard-Aufgaben anwenden können (wie z.B. in den Übungen behandelt, in der Übungsscheinklausur bzw. in den wöchentlichen Hausaufgaben gestellt wurden).
• Sie sollten Standardfakten parat haben (z.B. den Grenzwert häufig benutzter Folgen
und Reihen, Grenzwerte spezieller Funktionen, Reihenentwicklung von exp, cos, sin,
cosh, ....
Fragen zum Vorlesungsstoff:
1. Nennen Sie die Grundeigenschaften der reellen Zahlen. Wodurch unterscheidet sich
der Körper der reellen Zahlen vom Körper der rationalen Zahlen bzw. der komplexen
Zahlen ?
2. Welche Eigenschaften der reellen Zahlen folgen aus dem Vollständigkeitsaxiom ?
3. Definieren Sie den Körper der komplexen Zahlen. Was versteht man unter der trigonometrischen Darstellung einer komplexen Zahl ? Was wissen Sie über die Nullstellen
eines Polynoms mit komplexen Koeffizienten ?
4. Definieren Sie den Begriff des metrischen Raumes. Nennen Sie Beispiele für metrische
Räume.
5. Definieren Sie das Innere, den Abschluß, den Rand, die Menge der Häufungspunkte und die Menge der isolierten Punkte einer Teilmenge eines metrischen Raumes.
Charakterisieren Sie diese Mengen auf verschiedene Weise.
6. Definieren Sie den Begriff der offenen bzw. abgeschlossen Teilmenge eines metrischen
Raumes. Welche Eigenschaften haben diese Klassen von Mengen ?
7. Definieren Sie den Begriff der konvergenten Folge in einem metrischen Raum. Nennen
Sie Eigenschaften konvergenter Folgen. Welche speziellen Eigenschaften gelten für
konvergente Folgen in den metrischen Räumen Rn bzw. Cn ?
8. Welche speziellen Konvergenzkriterien kennen Sie für Folgen reeller Zahlen? Definieren Sie die Begriffe Häufungspunkt, Limes inferior, Limes superior einer Folge reeller
Zahlen.
9. Definieren Sie die Euler-Zahl e. Wie kann man e näherungsweise berechnen? Warum
ist e irrational? Welche Darstellungen von e kennen Sie ?
10. Definieren Sie den Begriff des vollständigen metrischen Raumes. Nennen Sie Beispiele
für vollständige und für nicht-vollständige metrische Räume. Welche Eigenschaften
haben vollständige metrische Räume ?
11. Definieren Sie den Begriff der kompakten bzw. folgenkompakten Teilmenge eines
metrischen Raumes. Wie hängen diese Begriffe zusammen? Welche Eigenschaften
haben kompakte bzw. folgenkompakte Teilmengen bzw. metrische Räume ?
Wie kann man kompakte Teilmengen im metrischen Raum Rn charakterisieren ?
Wie kann man kompakte Teilmengen in einem beliebigen vollständigen metrischen
Raum charakterisieren ?
12. Definieren Sie den Begriff der zusammenhängenden bzw. der bogenzusammenhängenden Teilmenge eines metrischen Raumes. Wie hängen diese Begriffe zusammen? Was
versteht man unter den Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes ?
13. Definieren Sie den Begriff des normierten Vektorraumes. Warum ist jeder normierte
Vektorraum ein metrischer Raum? Nennen Sie Beispiele für normierte Vektorräume
endlicher bzw. unendlicher Dimension.
14. Definieren Sie den Begriff des Banachraumes. Warum ist jeder endlich-dimensionale
normierte Vektorraum ein Banachraum? Geben Sie Beispiele für unendlich-dimensionale Banachräume an.
15. Definieren Sie den Begriff des Hilbertraumes. Welche Beziehung besteht zwischen
Hilberträumen und Banachräumen? Geben Sie Beispiele für endlich-dimensionale
und unendlich-dimensionale Hilberträume an.
16. Definieren Sie den Begriff der konvergenten, der absolut-konvergenten bzw. der divergenten Reihe in einem Banachraum. Welche Konvergenzkriterien kennen Sie für
Reihen in Banachräumen ?
17. Nennen Sie Eigenschaften absolut-konvergenter Reihen (Cauchy-Produkt, Umordnungssatz).
18. Definieren Sie den Begriff der komplexen Potenzreihe. Welche Aussagen über das
Konvergenzverhalten von Potenzreihen kennen Sie? Welche Eigenschaften hat die
durch die Potenzreihe definierte Abbildung auf dem Konvergenzbereich der Potenzreihe ?
19. Definieren Sie die Exponentialfunktion, die Logarithmusfunktion und die Potenzfunktion und erläutern Sie ihre Eigenschaften.
20. Definieren Sie die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen und
erläutern Sie ihre Eigenschaften.
21. Definieren Sie die Zahl π. Wie kann man π näherungsweise berechnen? Warum ist
π eine irrationale Zahl ?
22. Definieren Sie den Begriff der stetigen, der folgenstetigen, der gleichmäßig stetigen
bzw. der Lipschitz-stetigen Abbildung zwischen metrischen Räumen. Wie hängen
diese Begriffe zusammen? Welche Beispiele/Gegenbeispiele kennen Sie ?
23. Welche speziellen Stetigkeitskriterien kennen Sie für Abbildungen mit Werten in Rn
und Cn bzw. für Abbildungen von R nach R ?
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24. Nennen Sie Eigenschaften stetiger Abbildungen. Wie verhalten sich Urbilder bzw.
Bilder offener, abgeschlossener, kompakter, zusammenhängender, bogenzusammenhängender Teilmengen bei stetigen Abbildungen ?
25. Welche speziellen Eigenschaften stetiger Abbildungen mit kompaktem Definitionsbereich kennen Sie ?
26. Was sagt der Banachsche Fixpunktsatz aus? (Beweis des Satzes).
27. Definieren Sie für eine Folge von Abbildungen die Begriffe punktweise bzw gleichmäßige Konvergenz. Wie hängen diese Begriffe zusammen? Unter welchen Bedingungen
ist die Grenzfunktion einer Folge von Abbildungen stetig ?
28. Definieren Sie den Begriff der punktweise konvergenten bzw. der gleichmäßig konvergenten Funktionenreihe. Unter welchen Bedingungen ist eine Funktionenreihe
gleichmäßig konvergent? Unter welchen Bedingungen ist die Grenzfunktion einer
Funktionenreihe stetig ?
29. Was wissen Sie über den Raum aller stetigen Abbildungen zwischen zwei metrischen
Räumen ? (Welche Metrik kann man darauf (wann?) definieren? Was sagt die Konvergenz aus ? Wann ist dieser Raum vollständig ?)
Warum ist der Raum aller stetigen Abbildungen von einem kompakten metrischen
Raum in einen Banachraum selbst ein Banachraum ?
30. Was sagen die Approximationssätze von Weierstraß bzw. von Stone-Weierstraß aus?
Welche konkreten Anwendungen kennen Sie ?
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