L. Frerick / M. Müller WS 2015/16 6.1.2016 9. Übung zur

L. Frerick / M. Müller
WS 2015/16
6.1.2016
9. Übung zur Einführung in die Mathematik
Abgabe der Hausübungen: bis Mittwoch, 13.1.16, 15:45 Uhr in Kasten E 12.
Versehen Sie bitte Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer!
Tutorium
T9: Untersuchen Sie die Folgen (xn )n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte:
n
n
1
1
:=
:=
, (ii)
xn
1−
,
(i)
xn
1− 2
n
n
n
n
k
k
X 2015
X 2016
, (iv) xn :=
.
(iii) xn :=
2015
2016
k=0
k=0
T10: Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(i)
∞
X
n
n (z − 2) , (ii)
n=0
∞
n
X
(−1) 2n
z , (iii)
2n
n=0
∞
X
3
n/2
z − i3
n
.
n=0
Hausübungen
H30: (4 Punkte)
Geben Sie eine Folge reeller Zahlen (an )n∈N an, für die
lim sup
p
n
|an | < 1 und
n→∞
an+1 =1
lim sup an n→∞
gilt. Zeigen Sie auch, dass Ihr
P∞Beispiel die Eigenschaften erfüllt. Nach dem Wurzelkriterium folgt
die absolute Konvergenz von n=1 an , während das Quotientenkriterium keine Aussage liefert. Dieses
Beispiel zeigt also, dass das Quotientenkriterium echt schwächer als das Wurzelkriterium ist.
H31: (6 Punkte)
Es sei (zn )n∈N eine Folge komplexer Zahlen. Es existiere ein N ∈ N, so dass zn 6= 0 für alle n ≥ N .
Zeigen Sie, dass
p
|zn+1 |
lim inf
≤ lim inf n |zn |.
n→∞
n→∞
|zn |
|
Folgern Sie mit Ihrem Wissen aus der Vorlesung: Wenn |z|zn+1
konvergiert, dann konvergiert auch
|
n
n∈N
p
n
|zn |
, und die Grenzwerte stimmen überein.
n∈N
H32: (8 Punkte)
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
∞
∞ X
X
2n
2n
n
2
(i)
2n − n z , (ii)
(z − 1) ,
n
n=1
n=0
∞
∞
X
X
z 3n
n! n
(iii)
,
(iv)
z .
n
n!
8
n=0
n=0
H33: (4 Punkte)
ν
√
Es sei aν := bν := (−1) / 1+ν für ν ∈ N0 . Untersuchen Sie die Reihen
Cauchyprodukt, das durch
∞ X
n
X
aν bn−ν
n=0 ν=0
gegeben ist, auf Konvergenz.
P∞
ν=0
aν ,
P∞
ν=0 bν
und deren