Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Mathematik fOr Physiker
und Ingenieure
Herausgegeben von Helmut Neunzert
Die Abbildung zeigl die Messung des Inhalls von Fassern und wurde dem Tilelblatl des
1531 in Nurnberg gedrucklen Visierbuchleins von Johann Frey enlnommen. Die Formel zur
Berechnung des Rauminhalls ist die Keplersche (FaB-) Regel (siehe Seite 111)
H. Neunzert W. G. Eschmann
A. Blickensd6rfer-Ehlers K. Schelkes
Analysis 1
Ein Lehr- und Arbeitsbuch
fur Studienanfanger
Dritte, unveranderte Auflage
Mit 172 Abbildungen
Springer
Praf. Dr. Helmut Neunzert
Dr. Winfried G. Eschmann
Fachbereich Mathematik
Universitat Kaiserslautern
Erwin-Schr6dinger-Str. 48
67663 Kaiserslautern, Deutschland
Dr. Arndt Blickensd6rfer-Ehlers
BrucknerstraBe 64
63452 Hanau, Deutschland
Dr. Klaus Schelkes
Bundesanstalt fUr Geowissenschaften und Rohstoffe
Stilleweg 2
30655 Hannover, Deutschland
Dieser Band erschien bisher in der Reihe Mathematik fUr Physiker
und Ingenieure
Mathematics Subject Classification (1991):
26-01, 30-01, 33-01, 34-01, 40-01, 42-01, 70-01, 78-01
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Analysis : ein Lehr- und Arbeitsbuch / H. Neunzert ... - Berlin
; Heideiberg ; New York; London ; Paris; Tokyo; Hong Kong
; Barcelona ; Budapest : Springer.
(Spri nger-Lehl"buch)
NE: Neunzert, Helmut
1. - 3., durchges. Aufl. - 1996
(Analysis ; 1)
ISBN 978-3-540-61012-0
ISBN 978-3-642-58287-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-58287-5
ISBN 978-3-540-61012-0
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschUtzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen
und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder derVervielfăltigung auf anderen
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980, 1993, 1996
Originally published by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York in 1996
SPIN 10895771
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săurefreiem
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur zweiten Auflage
VIII
Vorwort zur ersten Auflage
4. REELLE UND KOMPLEXE FUNKTIONEN
Einleitung
XIII
Wie arbeiten Sie mit diesem Buch?
KAPITEL
KAPITEL
X
§ 1 Definition der reellen Funktionen
1. DIE REELLEN ZAHLEN
§
und Beispiele
Mengen
§ 2 Monotone Funktionen
§ 2 Funktionen
4
Definitionen und Beispiele
4
Die Komposition von Funktionen
6
Die Umkehrfunktion
8
Bijektive Funktionen
lehre
56
58
Das Horner-Schema
58
Nullstellen von Polynomen
60
§ 6 Komplexe Funktionen
Ungleichungen
12
Intervalle
16
62
Komplexe Funktionen mit reellen
10
]R
54
§ 5 Polynome
10
Die arithmetischen Eigenschaften
von
52
§ 4 Rechnen mit reellen Funktionen
10
Die Zahlengerade
50
§ 3 Beispiele aus der Wechselstrom-
9
§ 3 Die reellen Zahlen
50
Argumenten
Zusarnmenfassung
64
65
Definition und Eigenschaften der
Wurzel
17
19
Der Betrag
Zusammenfassung
KAPITEL
22
2. VOLLSTANDIGE INDUKTION
Erklarung des Summenzeichens
26
26
§ 3 n-te Potenz und n-te Wurzel
28
Eigenschaften der n-ten Potenz
28
Die n-te Wurzel
30
Die binomische Formel
30
Zusammenfassung
34
3. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
Definition und Veranschaulichung
~
der komplexen Zahlen
Rechengesetze in
m
66
§ 2 Das Supremumsaxiom
§
67
70
Eigenschaften von Supremum und
Infimum
§ 4 Supremum und Maximum bei Funktionen
70
71
§ 5 Dual-, Dezimal- und Hexadezimalzahlen
Zusammenfassung
72
74
KAPITEL 6. FOLGEN
Einleitung
§ 2 Der Korper
DAS SUPREMUM
Einleitung
Supremum, Infimum
24
§ 2 Rekursive Definitionen
§
5.
§ 1 Schranken, Maximum, Minimum,
§ 1 Beweis durch vollstandige Induktion
KAPITEL
KAPITEL
~
als Teilmenge von
~
§ 3 Realteil, Imaginarteil, Betrag
36
Einleitung
75
36
§
75
36
§ 2 Monotonie und Beschranktheit
Definition
76
36
Beschranktheit
76
38
Monotonie
77
Monotone beschrankte Folgen
78
39
Realteil, Imaginarteil, Konjugierte
39
Der Betrag
40
§ 4 Die Polarform
44
§ 5 n-te Wurzeln einer komplexen Zahl
46
Zusammenfassung
49
§ 3 Konvergenz und Divergenz
Konvergenz
80
80
Divergenz
82
Rechenregeln fUr konvergente Folgen
82
Beispiele
84
Rekursiv definierte Folgen
86
Inhaltsverzeichnis
VI
§ 4 Komplexe Folgen
Zusarrunenfassung
KAPITEL
7.
89
§ 3 Sinus und Cosinus
92
§
Zusanunenfassung
EINFUHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG
KAPITEL
10.
142
144
146
STETIGE FUNKTIONEN
Einleitung
94
§
94
Einleitung
146
98
§ 1 Stetigkeit
149
Beispiele
§ 2 Obersurrune und Untersumme
§ 3 Die Definition des Integrals
Grenzwerte von Funktionen
102
kriterium
Grenzwerte
104
Stetige Funktionen
Integrierbarkeit monotoner Funktionen 106
§ 5 Integral als Grenzwert einer Folge
Das Riemannsche Summen-Kriterium
§ 6 Numerische Integration
151
152
Trigonometrische Funktionen und
Exponentialfunktion sind stetig
107
Stetig auf [a,b]: Drei Satze
108
§ 2 Anwendung auf spezielle Funktionen
109
154
157
161
Exponentialfunktion, Logarithmus
Die Rechteckregel
109
Die Trapezregel
110
und allgemeine Potenz
161
111
Trigonometrische Funktionen
164
Die Simpsonregel
§ 7 Eigenschaften des Integrals
Eigenschaften des Integrals bezUg-
112
lich des Integrationsintervalls
112
§ 3 Die e-6-Definition der Stetigkeit
und die Lipschitz-Stegigkeit
Eigenschaften bezUglich des Integrand en
Ungleichungen fUr Integrale
Zusarnmenfassung
114
116
KAPITEL
11.
171
Zusammenfassung
172
DIFFERENTIALRECHNUNG
117
Einleitung
119
§ 2 Definition der Differenzierbarkeit
120
§
Differenzierbare Funktionen
122
§
Rechenregeln fUr differenzierbare
Lineare Approximation
Einleitung (Zenon's Paradoxon)
Beispiele
§ 2 Konvergente Reihen
168
§ 4 Stetigkeit und Integration
KAPITEL 8; REIHEN
§
149
Einseitige und uneigentliche
§ 4 Das Riemannsche Integrabilitats-
Funktionen
174
174
177
180
184
Geometrische Reihen
122
Die "Sc hneeflockenkurve"
123
Summe, Produkt, Quotient
Rechenregeln fUr konvergente Reihen
124
Die Kettenregel
185
Notwendiges Konvergenzkriterium
125
Die Ableitung der Umkehrfunktion
188
§ 3 Konvergenzkriterien
Vergleichskriterien
126
Wurzelkriterium
127
§
Quotientenkriterium
128
128
§ 4 Absolut konvergente Reihen
130
Zusanunenfassung
133
Hahere Ableitungen
rentiationstechniken
gleichungen und Lasungen
durch Potenzreihenansatz
§ 1 Potenzreihen
136
Lokale Extrema
137
Der erste Mittelwertsatz der
139
Anwendungen des ersten Mittel-
§ 8 Der erste Mittelwertsatz
Differentialrechnung
Zusammcnfassung: Potenzreihen als
Definition der Exponentialfunktion
193
§ 7 Beispiele von Differential-
Einleitung
§ 2 Exponentialfunktion
192
Aufgaben zum EinUben der Diffe-
135
Funktionen
191
194
Lasung der Schwingungsgleichung
9. POTENZREIHEN UND SPEZIELLE FUNKTIONEN
Konvergenz von Potenzreihen
184
Differenzierbarkeit von Potenzreihen 190
126
§ 5 Die Ableitung komplexer Funktionen
Alternierende Reihen
KAPITEL
Hyperbelfunktionen
140
140
Eigenschaften der Exponentialfunktion 141
wertsatzes
194
196
196
198
200
§ 9 Die Regeln von de L'Hopital
201
Zusamrnenfassung
204
Inhaltsverzeichnis
KAPITEL
12.
VII
INTEGRALRECHNUNG-INTEGRATIONSTECHNIK
Einleitung
Konvergenzkriterien
§ 2 Unbeschrankter Integrand
207
Konvergenzkriterien
§ 1 Der Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung
§ 2 Die Stammfunktion
§ 3 Die Gammafunktion
243
210
§ 4 Die Laplace-Transformation
245
Linearitat und elementare LaplaceTrans£ormationen
211
§ 4 Integration zur Lasung einfachster
Differentialgleichungen
212
§ 5 Das unbestimmte Integral
214
§
215
Die Integration komplexer Funktionen
§ 7 Integrationsmethoden
f'
Integranden der Form f '
217
219
Eine Umformulierung der Substitu-
KAPITEL
222
Substitution bei bestimmten Integralen
§ 8 Separable Differentialgleichungen
Lasungsmethode
225
Merkregel
226
Anfangswertprobleme
227
§ 9 Integration rationaler Funktionen
1. Schritt: Polynomdivision
14.
13.
Bildfunktion
250
Kurze Ubersicht
251
252
253
Approximation
253
Taylorpolynome
255
§ 2 Restglied
256
Restglied nach Taylor
256
Anwendung: Funktionswerte berechnen
257
Restglied nach Lagrange
258
Restglied abschatzen
258
228
Anwendung: Lokale Extrema
259
2. Schritt: Polynomzerlegung
229
230
Funktionen
232
Kurze Merkregelsammlung
233
§ 3 Taylorreihen
234
UNEIGENTLICHE INTEGRALE
Einleitung
236
§ 1 Unbeschranktes Integrationsintervall
236
Integrationsintervall l-oo,oo[
249
§ 1 Approximation durch Polynome
4. Schritt: Integration rationaler
KAPITEL
248
Transformation von f(at±b)
228
3. Schritt: Partialbruchzerlegung
Zusammenfassung
Transformation von Ableitungen
TAYLORPOLYNOME UND TAYLORREIHEN
224
225
247
Zusammenfassung
216
Substitution
246
Bemerkungen zum Umkehrproblem
Verschiebung des Arguments in der
216
Partielle Integration
tionsregel
240
242
208
§ 3 Eine andere Formulierung des
Hauptsatzes
239
238
261
Definition
261
Ein Gegenbeispiel
262
Konvergenz der Taylorreihe
263
Beispiel Logarithmus
265
Beispiel Arcus-Tangens
266
Beispiel Binomische Reihe
266
Zusammenfassung
267
Losungen der Aufgaben
269
Sachverzeichnis
333
Vorwort zur zweiten Auflage
Zwolf Jahre sind seit deM ersten Erscheinen des
So schreibt schon der bekannte Physiker Heinrich
Buches veroangen, sicher mehr als 30.000 Studen-
Hertz in der Einleitung zu seinen "Prinzipien
ten der Physik und der Ingenieurwissenschaften
der !lechanik" von 1897: "Es ist die nachste und
haben versucht, mit seiner Hilfe Mathematik zu
lernen (offenbar waren auch ein paar Mathematik-
wuBten Naturerkenntnis, daB sie uns befahige,
in
gewisse~
Sinne wichtigste Aufgabe unserer be-
studenten dabei). Nur noch zwei der vier Autoren
zuktinftige Erfahrungen vorauszusehen, urn nach
sind am Geburtsort des Buches tatig und dort
dieser Voraussicht unser gegenwartiges Handein
mit der Ausbildung von Studenten beschaftigt.
einrichten zu konnen. Als Grundlage fUr die Lo-
Lohnt eine neue Auflaqe eines zwolf Jahre alten
sung jener Aufgabe der Erkenntnis benutzen wir
Buches in einer Zeit, in der die Wissenschaft
unter allen Umstanden vorangegangene Erfahrun-
schneller denn je fortschreitet? Man sagt doch,
gen, gewonnen durch zUfallige Beobachtungen odelr
daB die wissenschaftlichen Kenntnisse eines Na-
durch absichtlichen Versueh. Das Verfahren aber,
turwissenschaftlers oder Ingenieurs nach 10 Be-
dessen wir uns zur Ableitung des Zuktinftigen aus
rufsjahren zu veralten beqinnen und der Nachbesserung (z.B. durch wissenschaftliche Weiterbil-
dem Vergangenen und damit zur Erlangung der er-
dung) bedUrfen. l'liderspricht das nicht der Idee,
Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole
dieses Buch nach Korrektur vieler kleinerer Feh-
der auBeren Gegenstande,
ler im Gesamtkonzept unverandert neu herauszu-
sie von solcher Art, daB die denknotwendigen
geben? Die Antworten auf diese Frage fallen
Folgen der Bilder stets wieder die Bilder seien
nicht eindeutig aus, die Zweifel konnen nur
von den naturnotwendigen Folgen der abgebilde-
strebten Voraussicht stets bedienen, ist dieses:
und zwar roachen wir
teilweise beseitigt werden.
ten Gegenstinde."
Unsere Grundeinstellung zu der Frage, wie Mathe-
FUr "Scheinbilder" sagen wir heute eben "Madel-
matik fUr Nichtmathematiker vermittelt wird,
Ie", und der Rohstoff dieser !lodelle ist -
hat sich gegenUber der im ersten Vorwort formu-
auch dies war Hertz natUrlich klar - die Mathe-
lierten Auffassung kaurn verandert. Vielleicht
matik. Mit diesem "Rohstoffll muS man umgehen
ist uns jetzt noch klarer als damals: Die Ar-
k6nneni man muS sein Handwerk lernen, wenn man
beitsweise von Naturwissenschaftlern und Tech-
Naturwissenschaftler oder Techniker werden will.
nikern ist he ute mehr denn je bestimmt durch
Deshalb bleibt richtig, was wir vor 12 Jahren
die Aufstellung "mathematischer Modelle" und
schrieben: !lathematik lernt man durch Tun -
durch die Auswertung solcher Modelle mittels
Mathematik ist mehr als eine Sammlung von Koch-
Computer - eben durch "mathematisches Modellie-
rezepten - das Unterrichten von Nichtmathemati-
ren" und "wissenschaftliches Rechnen", wie dies
kern muB sich an den BedUrfnissen des Anwenders
moderne Schlagworte bezeichnen. NatUrlich entstehen solche Modelle nur durch Beobachtung der
orientieren, aber es sollte sieh diesen BedUrf-
Realitat, und sie mUssen an der Realitat gemes-
Fundierte Kenntnisse Uber den Rohstoff Mathema-
sen,
im Experiment Uberprtift werden. Aber man
nissen nicht vollstandig unterordnen - usw.
tik zu vermitteln, urn komplexe Modelle entwik-
versucht doch in zunehmendem MaBe, diese Real-
keln zu konnen - dies war und ist das Ziel des
experirnente durch Computersirnulationen zu er-
Buches, das es, so haffen wir,
setzen - es ist letztlich billiger, Crashtests
reichen kann. Vielleicht wUrde man heute einige
im Rechner nachzuspielen als echte Autos gegen
grundlegende Kapitel doch lieber der Schule
~,ande
fahren zu lassen, es ist sogar absolut
immer noch er-
uberlassen (wenn man Leistungskurse in Mathema-
notwendig, die Umstromung einer Raumfahre vor
tik voraussetzt - und dies sollte bei Physikern
ihrem Jungfernflug zu berechnen, da 1-1indkanalexperimente die realen Verhaltnisse nicht her-
und Ingenieuren eigentlich moglich sein -, so
wird etwa ein Drittel UberflUssig) und dafUr
stellen konnen.
etwas mehr diskrete Mathematik und algebraische
1m Prinzip ist dieses Modellieren schon immer
die Basis naturwissenschaftlichen Arbeitens.
Begriffsbildungen aufnehmen. 1m groBen und ganzen ist - und das zeigen auch verwandte BUcher
anderer Autoren, die in den letzten Jahren er-
vorwort zur zweiten Auflage
IX
schienen - die Auswahl der Inhalte noch einiger-
in unseren Vorlesungen): Folgen waren auch Re-
maBen zeitgerecht. Der Hauptvorteil unseres Bu-
kursionen oder dynamische Systeme, die man auf
ches ist ja der relativ breite Stil, der aus-
dem Rechner gut simulieren kann, man mliBte er-
fUhrliche Erklarungen zulaBt und deshalb ein
lautern, warum numerische Integration soviel
Selbststudium ermeglicht -
problemloser ist als numerische Differentiation,
jedenfalls war dies
aus dem Echo, das wir von den Studenten zurlick-
Zahlen waren auch Zahlen des Rechners, ein we-
bekarnen, deutlich
nig Differentialgeometrie ware nUtzlich fUr CAD
herauszuhoren~
Soweit also
doch Zufriedenheit und Rechtfertigung einer
(Computer Aided Design) usw.
Neuauflage.
Wir haben allerdings noch nicht erwahnt, warum
Wir schreiben das Buch nicht neu, weil uns die
dieses IImodellingll in den letzten Jahren so in
Zeit fehlt:
Mode kam. Dies liegt natUrlich an dem, was das
nieure kann nur gut und zeitgemaB sein, wenn
zweite Schlagwort,
Die Lehre der Mathematik fUr Inge-
sc ientific computing", an-
sie von der entsprechenden Forsehung im Bereich
deutet: Mit der Steigerung der Leistungsfahig-
der Technomathematik begleitet wird - da bleibt
II
keit der Rechner wurde es moglich, Madelle aus-
kaurn Freiraurn fur ein neues Buch. Deshalb haben
zuwerten, Gleichungen wenigstens naherungsweise,
wir ja auch bis heute unser Verspreehen, eine
"numerischll, zu losen, die reale, dreidimensio-
Analysis 3 vorzulegen, nicht eingehalten, aber
nale Situationen und Gerate mit sehr hoher Ge-
das Vorhaben nicht aufgegeben: Vielleicht wird
nauigkeit beschreiben. vJeil Computer in vorher
dieses Buch das erste, das zeigt, wie man mit
unvollstellbarer Weise schneller und flexibler
Mathematik modelliert und rechnet. Wir waren
wurden, aber auch weil Mathematiker, Physiker
aber auch fUr ein neues Buch nur halbherzig mo-
und Ingenieure lernten, mit diesen Computern
tiviert, weil das alte,
sehr viel besser umzugehen, spielt heute Compu-
eben einen wichtigen Teil der Mathematikausbil-
jetzt neu aufgelegte,
tersimulation eine so zentrale Rolle: Man simu-
dung noch recht gut abdeckt. Und weil es, wie
liert das Verhalten von Festkerpern und die
es uns doch recht viele Studenten bestatigen,
~nderungen
des Klimas, die Urnstromung von Raum-
fahren wie die Herstellung und das Verhalten
unserem wichtigsten Anliegen gerecht wird: den
SpaB an der Mathematik, am mathematischen Tun,
von Megachips, die Ausbreitung und Eindammung
der fur viele durch eine zu formale,
von Krankheiten und (dies noch recht unvoll-
tungsarrne ll Schulmathematik recht geschrumpft
standig) die Arbeitsweise eines Nervensysterns.
ist, ein wenig zu steigern. Was wir in anderem
"bedeu-
Urn dies tun zu konnen, urn Simulations software
Zusammenhang formuliert haben (Neunzert/Rosen-
sachgemaB nutzen oder selbst entwickeln zu ken-
berger: SchlUssel zur Mathematik), sollte auch
nen, muB man lernen, die Gleichungen mittels
in diesem Euch erfahrbar sein: "Mathematik ist
Rechner schnell und so exakt wie notig zu losen:
voll neuer Ideen, ist wie das Spiel, wie die
Man muB das Handwerk eines numerischen Matherna-
Kunst ein Bestandteil, ja vielleicht sogar ein
tikers erlernen, man muB verstehen, was effi-
besonders sensibler Reprasentant der Kultur und
ziente Algorithrnen sind und wie man sie ent-
nicht zuletzt ein unersetzliches Hilfsrnittel
wickelt. Viele, vielleicht die meisten Natur-
der Naturwissenschaften, der Technik und der
wissenschaftler, Ingenieure, Mathernatiker und
Wirtschaft. Mathematik ist l'Ierkzeug und Spiel
Informatiker in den F&E-Abteilungen der Industrie tun genau das: Algorithmen anwenden, verbessern, entwickeln, urn Computersimulationen
Wir danken den vielen Lesern, die uns geschrie-
durchftihren zu konnen. Da dies - irn Gegensatz
ben, auf Fehler oder Unklarheiten aufmerksam
zu einem haufig anzutreffenden Irrglauben - eine
gernacht, uns gelobt oder getadelt haben. Fast
echt mathematische Aufgabe ist, muE sie auch
aIle Korrekturen gehen auf solche Hinweise zu-
als solche gelehrt werden. Dazu ist die an vie-
rlick. Aber trotz dieser ist das Buch aus den
len deutschen Hochschulen zu findende 4-stUndi-
erwahnten GrUnden nicht optimal: Nobody (and
ge Vorlesung liber numerische Mathematik nicht
nothing)
is perfect!
ausreichend. Nattirlich kann andererseits eine
solche Numerik auch die Lehre der mathematischen Grundlagen nicht verdrangen. Was wir aber
doch erreichen mUEten: Gleichzeitig mit den
Grundlagen das numerische Denken, den Blick fUr
das Algorithmische zu scharfen. WUrden wir das
Buch neu schreiben, wtirden wir dies verstarkt
versuchen (wir tun dies zumindest in Ansatzen
Kaiserslautern,
im Sommer 1992
W.G. Eschmann, H. Neunzert
Vorwort zur ersten Auflage
Dieses Buch entstand aus "Studienbriefen t . , die
uns nun gelungen 1st, dieser Forderung gerecht
1m Rahmen des Projektes "Fernstudium 1m Medien-
zu werden, muB der Leser beurteilen; aIle Anre-
verbund" fUr Fernstudenten des Faches Elektro-
gungen, die wir in dieser Hinsicht von Lesern
technik entwickelt wurden. Inhaltlich sollten
der Studienbriefe - Kollegen verschiedener
durch diese Studienbriefe etwa 2 bis 3 Semester
Fachrichtungen und Studenten - erhielten, ver-
der normalen Mathematikausbildung von Studenten
suchten wir zu berUcksichtigen.
der Elektrotechnik an deutschen technischen
Hochschulen und Universitaten abgedeckt werden;
Doch nun zu der Frage, welche Rolle nach unse-
in ihrer Darstellungsform, ihrer didaktischen
rer Meinung die Mathematik in der Ausbildung
von Physikern und Ingenieuren spielt und was
Gestaltung aber sollten die Studienbriefe auf
Fernstudenten abgestellt sein - auf Studenten
praktischer Umgang mit dieser Mathematik fUr
also, die mit Ausnahme weniger Prasenzphasen
Student en dieser Fachrichtungen bedeutet.
fern von jedem Hochschulort, ohne Besuch von
Vorlesungen nur mittels solcher Texte studieren.
Die mathematische Ausbildung von Naturwissen-
Fernstudiurn in dieser Form 1st weitgehend auch
von der Ausbildung von Mathematikern. Ein Ma-
Selbststudium, deshalb sollte dieses Buch, dank
thematikstudent muB lernen, Mathematik zu schaf-
seiner Entstehungsgeschichte, dem Pradikat
"zum Selbststudium geeignet" genUgen.
beiten und Losungstheorien zu entwickeln - der
Mathematik lernt man nicht nur dadurch, daB man
Mathematik fUr seine Wissenschaft nutzbar zu
sich Definitionen und Satze einpragt, Algorith-
machen. Urn bei dem Beispiel des FahrschUlers
schaftlern und Technikern unterscheidet sich
fen, mathematische Fragestellungen herauszuarIngenieur- oder Physikstudent muB lernen, die
men oder gar Beweise auswendig lernt: Mathema-
zu bleiben: Jemand, der ein Auto nutzen will,
tik lernt man durch eigenes Tun. Wie es fUr
muB nicht lernen wie ein Auto entwickelt und
einen FahrschUler von entscheidender Bedeutung
konstruiert wird (umgekehrt ist es fur den Kon-
ist, neben dem Erlernen von Verkehrsregeln und
strukteur allerdings schon vorteilhaft zu wis-
technischen Daten eine gewisse Pahrpraxis zu
sen, wozu sein produkt spater praktisch ge-
gewinnen, so muE derjenige, der Mathematik er-
braucht wird - ein Aspekt, der in der modernen
lernen will, Praxis im Umgang mit Mathematik
Ausbildung von Mathematikern oft zu kurz kommt).
erwerben. Diese Aussage gilt, unabhangig davon,
Er muB lernen, wie er es optimal nutzt, er muB
ob man Mathematik urn ihrer selbst willen oder
Leistungsvermogen und Grenzen kennen.
als Hilfsmittel zur Lasung naturwissenschaft-
NatUrlich ist die Verflechtung von Mathematik
licher, technischer oder akonomischer Probleme
erlernen will. Was IIPraxis" allerdings bedeu-
und Physik oder Technik komplex und sicher muB
insbesondere der Physikstudent im weiteren Ver-
tet, ist abhangig von der Zielsetzung, und wir
lauf seines Studiums auch lernen, die Mathema-
werden un sere Vorstellung von der Rolle der Mathematik als Grundlage fUr Physik und Technik
tik seinen physikalischen Problemen entspre-
kurz erlautern. Aber schon aus dem bisher gesagten folgt, daB ein Mathematiktext, der zum
thematischen AnfangsgrUnde einer wissenschaft-
Selbststudium geeignet ist, das folgende Merk-
der Benutzerstandpunkt vallig.
chend zu entwickeln und zu formen. Fur die ma-
lichen Ausbildung in diesen Fachern genUgt aber
mal hat: Er regt den Leser immer wieder dazu
DaB bedeutet nach unserer Meinung jedoch
an, einzelne Gedankenschritte selbst zu voll-
wegs, daB Mathematik als Sammlung von Rechen-
keine~
ziehen, Gedanken weiterzuflihren, Verbindungen
vorschriften, sogenannten Kochrezepten zu ver-
herzustellen, Rechnungen nachzuvollziehen, die
mitteln ist.
eigenen Kenntnisse zu liberprlifen. Dazu ist un-
Wir zitieren einen bekannten Vertreter der an-
seres Erachtens weder der sogenannte "Defini-
gelsachsischen angewandten Mathematik, Sir
tion-Satz-Beweis"-Stl1 noeh ein Text 1m Sinne
James Lighthill
des "programmierten Lernens" geeignet. ab es
GeblUllieh mlLthematLlehe!L BeuhILeibungen ;teehYiMehe!L Stj-
("Un.t:VU<!wung hn Entwe!L6en und hn
Vorwort zur ersten Auflage
XI
<lteme." in W.H. Bohme (ed): Ingenieure flir die
dienfach im allgemeinen hat. Urn dies an Beispielen zu verdeutlichen: Man kann nicht
Zukunft, TH Darmstadt 1980):
gleich zu Beginn tiber Differentialgleichun-
"VoJtheJt mach.te. ich Sie jedoch daJUl.n e.UnneJtn, da/l Ma.the.ma.tik, aLI un Fack
6iiJt 1>ich, 6al>t vaUig au6 Logik
gJriinde..t. E1> il>t te-ilwwe diel> eJt UIl6 U.tig e. Zugang, deJt
Jtune. Ma.thema.tik
Inge.niewte. In
unbJtauQhb~
W~WQhke.i.t
maQh.t aLI
BaQkg~ound
6iiJt
wU<le.n wUt, da/l Ingeniewte
iMe EnUc.hudungen vM dem Hin.teJtgJtUnd elneJt Mil>Qhung
au¢ togil>QheJt Anallj1>e., e.xpeltimen.te.Ue.n Va.ten und jeneJt
~ "QueJtdenQen", dal> man oM aLI "In.:tui.tion del> Inge.nieuM" bezuQhne..t, ue66en mii,Men. Angewand.te Ma.thema.tifl
<lUQh.t Un GtuQhgeJAKQh.t heJtzu.<Ite.Ue.n, dal> niiheJt bel dem
Uegt,
deJt IngenieM
Wal>
beJtUh.t, daB Fow",hJU.tt
b~auQh.t,
~uc.h.t
well
u auil
deJt Idee
weJtden muB, indem man
In6oJtma.tionen au6gJtUnd togil>c.heJt Analljl>e. mil In6oJtma.tionen
in.teg~~,
die au6 Expeltime.n.t und Beobac.h.tu.ng ba-
Ic.h be..tone jedoc.h, daB deJt gMnd¢a.tzUc.he togil>c.he "Ge.<lQhmac.k" deJt Ma.thema.tik
aun
jede.n FaU eJthaUen btuben
und iM logil>c.heJt Cfuvtak.teJt mu./3 in deJt Inge.nie.u.Jt-
au.¢bUdung nahegebJtaQh.t weJtden. Au6 aUe, die zM EItQe.nn.tnil> deJt tagil>Qhe.n Eleme.n.te unu ma.thema.ti¢Qhe.n
AJtgumenU gefwmmen l>ind, "ann man <lic.h veJtlMl>e.n, wenn
u zurn BeMple£
d~au6
an"ammt, une, HljpotJte/.>e, zu be.weA-
ten, niQh.t nM au6 GMndtage expeltimente.Uelt Be.wwe,
M
tiation vorher nicht klar ist; man kann
einen Studenten kaum zur Beschaftigung mit
Taylorreihen motivieren, indem man zeigt,
daB die klassische Mechanik aus der speziellen Relativitatstheorie durch Abbruch
einer Taylorreihe nach dem zweiten Glied
entsteht, wenn dieser Student noch nie etwas
von spezieller Relativitatstheorie geh6rt
hat.
Bei diesern Weg zwischen Theorie und Praxis
hatten wir wertvolle Hilfe insbesondere von
Kollegen der Elektrotechnik. Vor allem gilt
hier unser Dank den Herren Professoren
W. Heinlein, J. Stepina und W. Freise vom
<li~.
muf"
gen sprechen, wenn der Begriff der Differen-
ndeltn aUQh au6 delt Gltundlag e expeltimente.UeJt Be.wwe.
Ilntelt Beltiic.k6lc.htigung deJt togil>ehe.n KOIl6e.qlle.nzen deJt
Fachbereich Elektrotechnik der Universitat
Kaiserslautern und Professor H.-G. Bausch
und Diplom-Ingenieur U. Schneider von der
TU Hannover.
2) Urn den "logischen Geschmack der Mathematik"
zu erhalten, haben wir versucht, den im modernen Sinn exakten Aufbau der Mathematik
zu erhalteni Definitionen soIl ten logisch
einwandfrei sein (wenn auch
IIZ uordnungen",
Funktionen noch
nicht "Teilmengen eines kar-
Hljpothue. Man "ann <lic.h daJtau6 vWal><len, daB <lie bu
iMen e.Jt<Iten iibwegllngen au6 die Gltundp~nzipien zMiid,-
tesischen Produktes"
gehen weltden, all6ta-tt <lic.h In aUt)wendige Belteehnungen
au6 deJt Bal>il> obeJtntiiellic.heJt GMndtagen zu MiiJtzen. VemeY/;uplteMf'-nd kann iQh niQh.t mil jene.n Extltemil>ten iibeJtull6.timmen, die angewand.tf'- Ma.thema.tik aLI une Sammillng
weder dem Verstandnis des Satzes noch dem
emp~eheJt
il>t die
Ruhe
FOJtmull teMell maeh.tell! Ebell<lo unbJtauQhbM
<I~k.te
VOIl
togil>c.he En.twiQkiung del> Themal> aLI une
TheMemen ultd Be.wwen.
W~
bltauQhell unen
KuM deJt M-t.t.te, bu dem wlc.htige A6pek.te deJt togil>Qhen
Na.tu.Jt ma.thema.ti¢c.heJt Anallj<le bubehaUen weJtden, ohne den
Smden.ten in unem MeeJt deduWvelt Einzuhe.i.ten zu eJtuiinQen".
Wir haben versucht, einen solchen IIKurs der
Mittel! zu steuern:
1) Urn die Brlicke zu den den Studenten primar
sein werden), S§tze
solI ten vollstandig formuliert sein. Beweise
allerdings werden dann weggelassen, wenn sie
Einliben bestimmter SchluEweisen oder Begriffe dienen. Wir hoffen dadurch "das Meer deduktiver Einzelheiten"
auf ein ertragliches,
aber notwendiges MaE reduziert zu haben.
Auch ftir diese Aufgabe konnten wir uns auf
zahlreiche Hilfe sttitzen: Die Studienbriefe
entstanden im Rahmen eines Teilprojektes
zum Projekt IIFernstudium im Medienverbund
der Mathematik" und grlinden inhaltlich auf
dem Basistext "Analysis" dieses Projektes.
Den Mitarbeitern dieses Projekts, insbesondere dem Projektleiter Dr. J. Scheiba
(Main~
gebtihrt unser Dank eben so wie den Mitglie-
interessierenden Wissenschaften zu schlagen,
dern der zugeh6rigen Fachkornrnissionen, ins-
haben wir uns in Stoffauswahl und Reihenfol-
besondere ihrem Vorsitzenden Prof. M. Barner
ge so weit wie moglich an den Bedtirfnissen
(Universitat Freiburg) und den Herren Pro-
dieser Wissenschaften orientiert und viele
fessoren H. Heuser (Karlsruhe), C. Mtiller
konkrete Beispiele aufgenommen. Natlirlich
(Aachen) und W. Thimm (Kaiserslautern).
sind diesem Vorhaben Schranken gesetzt:
Ganz herzlich danken wir auch Frau C. Kranz,
Einmal durch die Eigengesetzlichkeit des
Frau I. Schaumloffel und Frau R. Sttirmer,
Aufbaus der Mathematik, zum anderen durch
ohne deren Mtihe und Geduld beim Schreiben
die relativ geringen Kenntnisse, die ein
der Texte dieses Buch sicher nicht zustande-
Studienanfanger auch in seinem eigenen Stu-
gekommen ware.
vorwort zur ersten Auflaqe
XII
SchlieBlich wollen wir noch einige allgemeine
cUe Wo!<:te zu ~tail.1< plceMen. VM g'<'b:t dem K.<.nde unen
Gesichtspunkte zitieren, die sicherlich fur
l<tun.Uehen, ~ehle6en, ~pUzMncUgen VeM:ta.nd; dM mach:t
gehe..<.mn£6"uch,
einen beliebigen Lehrtext ihre Gultigkeit haben.
~
Die Forrnulierung ist ziemlich genau 200 Jahre
ill~
ab~gLaub~eh,
voLt
V~eh:tung
gegen
alt und starnrnt aus "Die Erziehung des Menschen-
Fa.auche und Luch:te.
Hn beJ:\IL~ Piidagog muJ> (zommen und dem K.<.nde dM eMC.h5p6-
geschlechts". Lessing hat naturlich an ein Buch
:te Etementail.buc.h
~
den Handen "ei5en.
ganz anderen Inhalts gedacht, trotzdem - wir
k6nnten es gewiB nicht besser ausdrticken und
bitten nur den Leser, die Bezeichnung "Kind",
die Leserschaft, die Bezeichnung "kindliches
Kaiserslautern 1m September 1980
Die Autoren
Volk" zu verzeihen.
"Hn Etementail.buch 6iVr. K'<'nd~ dM6 gM waht cU~~ od~
wtch:t.<.ge Smc.k d~ W~~eMc.ha6;t od~ KUM:t, cUe ~
jen~
vol!.:tJJig:t, mU S.til.t6c.hwuge.n
iib~gehen,
von dem
d~
Piidagog un:tUUe, da/3 ~ den Fahlg(zwen d~ Und~, 6iVr.
cUe ~ ~eWeb, noc.h Meh:t angem~Mn ~u. Ab~ ~ dM6
Mc.hD en:that:ten,
~chtech:t~cUng~
WM
den
den
Und~n
Weg zu den zMiicl<behat:tnen wtehtigen S:tiic.(zen veMpe.Me
ve.Jcte.ge. V.<.weM miiMen '<'hnen atte zugange zu den-
od~
oUen getM~en w~den; und ~'<'e nM von
Zugange abtwen od~ v~ac.hen,
~etben ~Mg6ae:ug
unemunz).gencU~~
da/3
~'<'e
deMetben
voR..U:tand).g(zeU
Feht~ d~~etben
beme.:ten, wiVtde illun cUe Un-
~pi:i;t~
Etementail.buc.M zu unem
d~
Hne AMp.<.eWng nenne .<.ch,
und une
.<.c.h,
WM
bto/3 cUe NwgieJcde Icuzen
E.<.nen
F~ge v~ntM~en ~ott:te.
Ke..<.m en:that:t,
z~c.(zgehat:tne
F'<'ng~zeig
nenne
wetc.hem
~'<'c.h
WaMheU en:twic.(zetn ta{3:t. In
~of­
WM ~ehon ~gendunen
d.<.e noc.h
w~en:tUc.hen
mac.hen. . ..
~
c.hen VMiibungen, AMp.<.eWngen, Hng~zeigen b~:teh:t d.<.e
po~mve VoLt(zommenheU un~ Etementail.bueM; Mwte cUe
oben~hn:te
UgeMc.ha6;t, da{3
z~e(zgehat:tenen
~
den Weg zu den noc.h
WaMheUen Mc.h:t
eMehw~e od~ v~­
!.>pe.Me, cUe nega:tive VoLt(zommenheU
Se.:tz:t man
hl~zu
d~!.>etben W<Vt.
sm -
noc.h cUe Hnl<tUdung und den
1) cUe Hnl<tudung d~ Meh:t waht zu iib~geheltden abU~(z;ten
WaMheUen .<.n AUe.gotie.n und fehMuehe Ultzet-
ne FiiUe, cUe
m
2) den
bald ptan und un6CLetig, bald po e.:t.{./.) ch,
sm -
dMe~
g~chehen ~zahte.:t w~de.n.
voLt Tau:to£og.<.een,
!.>.<.nn iiben, '<'ndem
und doeh dM
~chunen
W-iJeWeh
~'<'e
ab~
Mtehen, cUe den SehM6-
bald e.:tWM andeM zu !.>agen
n~che ~agen,
bald dM
~c.he
und .<.m GMnde e.:tWM andeM bedeu:ten
~c.hunen
zu
:ten (zonnen: Und.<.M hab:t ille gu:te E'<'geMcha6;ten
Etementail.bucM MWOht 6iVr.
Votl<.
Ab~ jen~
Efementail.buch ti:t
VM '<'hm en:twac.Melte K'<'nd
dabu zu
une
Und~
v~ei£en,
ti:t
nM un.{.g~ma{3en
rna» meM hlnunfe.gen,
m
nM
tang~,
m
6iVr. Un
6iVr. Un
m
~c.MdUch.
~agen
bede.u-
od~
un~
IzindUch~
gewtM~ AU~.
cUe Munung
Venit urn
cU~~
gew~en,
au6
nii:tzUehe An:t :tun zu (zonnen, mu/3
m
dMin Ue.g:t, meM hlnu~en,
u 6M~en (zann. Man mu,s d~ AMp.<.etungen und Ung~zeige zu v.<.et ~uehen uf'ld maehen, d.<.e Atte.gotieen zu ge-
nau
~!.>chii:t:tetn,
cUe Bwp.<.e.te zu ~:tandUc-h deu:ten,
Die Gedichte auf den Sei ten 132, 145 und 172
sind aus der Sammlung "Carmina Mathematica"
von Hubert Cremer (S.Auflage, 1977). Wir
danken dem Verlag 1. A. Mayer, Aachen fur die
freundliche Genehmigung zum Abdruck.
Wie arbeiten Sie mit diesem Such?
insbesondere
beim Selbststudium zu
Wahrend Ihres Studiums der Mathematik sollten
Sie eine maglichst groBe Sicherheit im Urngang
sen des Lehrtextes noch kein Verstehen oder
beach ten
mit mathematischen Methoden und Ergebnissen er-
Lernen des Stoffes ausrnacht. Sie sollten des-
langen. urn dieses Ziel auch schon fUr den in
halb Ihnen schwer verstandliche Passagen noch
Sie werden bald merken, daB das bloBe Durchle-
diesern Buch vorliegenden Stoff zu erreichen,
einmal selbstandig (eventuell ausfUhrlicher)
finden Sie irn Text viele Aufgaben. Diese sind
Schritt fUr Schritt aufschreiben. Unterstrei-
in der Randspalte durch ein A gekennzeichnet.
chen von Textstellen ist kein Ersatz fUr dieses
Halten Sie also beim Lesen und Lernen stets
Nachvollziehen. Manchrnal ist es auch hilfreich,
Bleistift und Papier bereit! Die Aufgaben sind
sich an einer schwierigen Stelle nicht festzu-
mit dem (bis zu der jeweiligen Aufgabe) ge-
beiBen, sondern erst einmal weiterzulesen. Nadr
brachten Stoff zu lasen.
dero Sie dann ein Beispiel nachvollzogen, eine
Aufgabe selbst gerechnet oder weitere Inforrna-
Am Ende des Buches (ab Seite 269) finden Sie
tionen gelesen haben, nehmen Sie sich diese
die "Losungen der Aufgaben".
Stelle noch einrnal vor. Und siehe da ...
Diese Losungen
gliedern sich fUr die meisten Aufgaben in
Solche Aha-Erlebnisse lassen gelegentlich auch
"1) Hinweise" und "2)
etwas langer auf sich warten.
Losung ll
•
Sollte Ihnen bei
einer Aufgabe nach einigen Anlaufen eine eigene Lasung nicht gelingen, so sollten Sie zu-
Wenn Sie beirn Lesen auf Begriffe oder Ergebnis-
nachst die "Hinweise" lesen und dann neue Lo-
se stoBen, die Ihnen nicht ganz klar sind,
sungsversuche unternehmen. Wenn Ihnen auch die
solI ten Sie sofort nachschlagen. Bei dieser
IIHinweise
Suche helfen Ihnen die irn Text stehenden Zitate
ll
nicht weiterhelfen,
(was durchaus
mehrfach vorkornmen kann), so ziehen Sie die
(z.B. bedeutet (4.22) ein Ergebnis aus Kapitel
komplette Lasung zu Rate und vergleichen diese
4), das Sachverzeichnis ab Seite 333 und die
mit Ihren zuvor angestellten Uberlegungen. Se-
Marginalien in den Randspalten.
hen Sie sich jedoch die Lasung auch dann an,
Kc.uu,iv gedJULdu:e. Te.xtI"MM.ge.11 enthalten keinen Lehr-
wenn Ihnen die Bearbeitung der Aufgabe gelingt.
text sondern geben Ihnen Erlauterungen, Hinwei-
Zum einen erkennen Sie vielleicht, weichen an-
se oder Beschreibungen.
deren (eventuell kUrzeren) Losungsweg es noch
Klein gedruckte Textpassagen konnen Sie beim ersten
gibt; zum anderen schleichen sich beim Erlernen
Lesen Uberschlagen.
der Mathematik sehr leicht Denkfehler ein, die
Sie beim UberprUfen entdecken konnen.
Wir wunschen Ihnen viel Erfolg!
Kapitel1. Die reellen Zahlen
§
1 MENGEN
Die Tatsache, daB 7 ein Element von P ist,
Wir werden in diesem Abschnitt eine Reihe von
schreiben wir in der Form
7 E' P
Begriffen aus der Mengenlehre zusammenstellen,
ohne dieses Teilgebiet der Mathematik zu ver-
(lies: 7
tiefen.
aus P). Dagegen ist
Im Text werden die Begriffe und zugeho-
Element von
Element (von) P, kurz: 7 (ist)
(ist)
kein Element von M
rigen Symbole jeweils als eine Art Stenographie
$M
verwendet. Fur Sie ist es deshalb wichtig, die
nicht Element
Bedeutung der Begriffe und Symbole gut zu ken-
(lies: 7 nicht Element (von) M, kurz: 7 nicht
nen.
aus M).
von
Wir unternehmen nicht den Versuch, den Begriff
Menge
zu definieren. Wir erinnern ledig-
Me~,exakt
DEFINITION,-
Eine Menge A heiBt
T~e~ge
einer
lich an eine von G. Cantor (in: Beitrage zur
Menge B (in Zeichen A<;;,B} , wenn jedes Element
Begrlindung der transfiniten Mengenlehre, 1895)
von A auch ein Element von B ist.
(1.1 )
Teilmenge
gegebene Erklarung:
Unter einer Menge
verstehen wir jede Zusam-
Die Beziehung "<;;," heiBt
Wei tere Sprechweisen fur den Sachverhal t A ~ B
nen Objekten unserer Anschauung oder unse-
sind:
res Denkens zu einem Ganzen.
A (ist)
worden sind, heiBen
BEISPIELE
Elem~nte
dieser Menge.
in diesem Sinn sind etwa:
- die Menge der Burger der Stadt Bonn am
30.9.1979
enthalten in B,
B enthalt A.
Die Objekte, die zu einer Menge zusarnrnengefaBt
Elemente
IHk£M"-O~.
menfassung von bestimmten wohlunterschiede-
Denken wir uns die Mengen A und B als Punktrnengen der Ebene gegeben {die Elemente sind die
von der jeweiligen Linie eingeschlossenen Punk-
te}, so ergibt sich fur "As B" etwa folgendes
Bild:
- die Menge aller Primzahlen
- die Menge, die aus den Zahlen 3,19,-12,34,8
."B
besteht.
Bezeichnungen
fur Mengen
Wir werden Mengen liberwiegend mit GroBbuchstaben bezeichnen und folgende Schreibweisen verwenden:
(1)
explizite Angabe der Elemente zwischen
geschweiften Klammern, etwa
M
:~
(3,19,-12,34,8)
(Das Symbol
:~
.
bedeutet: definitionsge-
Bild 1.-
A~B;
jeder Punkt aus A ist auch ein
Punkt aus B.
maB gleich. Also: Mist definitionsgegemaB gleich der Menge, die die Elemente 3,19,-12,34 und 8 enthalt.)
(2) Angabe charakteristischer Eigenschaften
aller Elemente, etwa
BEISPIELE.B
:~
des Element x E' A (narnlich x
x~4)
P :~ {xix ist Primzahl}
(1.2)
(1) 1st A :~ (2,3,4) und
{1 ,4,3,5,2 }, so gilt A<;;,B, denn: fur je~
2 oder x
~
3 oder
giltauchxE'B.
(lies: P ist definitionsgemaB gleich
(2) Betrachten Sie noch einmal die oben defi-
der Menge aller x mit der Eigenschaft:
nierten Mengen M und P. Es ist 8 EM, aber 8
x ist Primzahl).
da 8 keine Primzahl ist. Es gibt also ein Ele-
$ P,
Kapitel 1
2
ment (*)
von M, das nicht in P enthalten ist.
BEMERKUNG.-
Die reellen Zahlen
Die Eigenschaften der Menge
lR der
1 und
5
Das bedeutet: nicht j edes Element von Mist auch
reellen Zahlen werden wir in Kapi tel
ein Element von P. Deshalb ist M nicht Teilmen-
genau untersuchen. Diese Eigenschaften bilden
ge von P (in Zeichen: M $ P) •
die Grundlage flir die Entwicklung der Analysis.
Die anschauliche Vorstellung, daB zwei Mengen
gleich sind, wenn be ide genau dieselben Elemen-
EIGENSCHAFT DER INKLUSION.-
te enthalten, forrnulieren wir folgenderrnaBen:
C gilt:
A ~ B und B s;, C
(1. 3)
DEFINITION.-
=
FUr Mengen A,B und
A ~ C.
(*)
Die Mengen A und B heiBen gt~h
(in Zeichen:
A~B),
wenn
A~B
und
B~A
gilt.
Uberprlifen Sie diese Eigenschaft der Inklusion
noch einmal an den Mengen von Beispiel
(1. 4)
(1 .6)
BEMERKUNGEN.-
(1) Die Definition (1.3)
legt
fest, was Sie tun mussen, wenn Sie die Gleichheit zweier Mengen A und B nachweisen wollen:
Z.B.:
(1.5).
jede natlirliche Zahl ist rational,
jede
rationale Zahl ist reell. Also ist jede natlirliche Zahl reell.
Sie mussen die Gtiltigkeit zweier Inklusionen
nachweisen,
namlich
A~B
und BS:A. Wir werden
spater darauf zurlickkommen.
(2)
1st
A~
B, aber B$.A, also A ungleich B (in
Zeichen: A fB),
echte Teilmenge
DEFINITION.-
so sagt man auch: A ist eine
(in Zeichen: A c:: B) .
In Bild
(1.7)
die rnindestens in einer der Mengen enthalten
sind; kurz:
A U B : ~ {x Ix E A
e.c.h-te. TeM'.me.nge. von B (oder A ist echt enthalten
in B)
A und B seien Mengen. AU B (lies:
A vereinigt mit B) besteht aus allen Elementen,
A U
oder
x E B ).
(**)
B heiBt VeJtuJUgunq von A und B.
gilt nicht nur A!;;, B, sondern sogar
ACB.
1m folgenden Beispiel listen wir bestimmte Mengen von Zahlen auf, die Ihnen immer wieder begegnen werden.
(1.5)
BEISPIELE.-
(1)
IN
:~ {nln ist natlirliche Zahl)
ist die Menge der natUrlichen Zahlen. NatlirliIN
che Zahlen sind die Zahlen 1,2,3,4,5, . . . . .
IN
ist die Menge aller natlirlichen Zahlen ein-
(2)
o
INo
:~
{nln ist natlirliche Zahl oder n ~O)
Bild 2.- A
(3)
~
:~ {qlq ist die ganze Zahl)
ist die Men-
ge der ganzen Zahlen. Ganze Zahlen sind die Zahlen ... ,-4,-3,-2,-1 ,0,1,2,3,4, ...
DEFINITION.-
kurz:
der rational en Zahlen. Rationale Zahlen sind
die Zahlen E, wobei p E ~ und q E ~ sind und
.
q
1 4 23 48 3
qfO 1st, also z.B. 2'-9"11'108',.
(5)
lR
IR
:~ {xix ist reelle Zahl)
... ; 0,4271
AnB :~ {xlxEA
A n B heiBt
und
xEB)
VWtc.h6ehn.U:t von A und B.
ist die Menge
der reellen Zahlen. Reelle Zahlen sind Zahlen
16
der Art 4;-7;-8;327;17; v'2 ~ 1 ,414213562 .• ;
~ ~3,141592653589
A und B seien Mengen. A nB (lies:
A durchschnitten B) besteht aus allen Elementen,
die sowohl in A als auch in B enthalten sind;
(4) W :~ {xix ist rationale Zahl) ist die Menge
Zahlenmenge
B (schraffiert).
U
schlieBlich der Zahl Null.
~0,4271
4271
••.
(*)
Das Symbol "===* .. bedeutet: "daraus folgt" oder
"dann". Also hier: ~ A~B und BS;C folgt A~C;
oder:
~
AS:::B und B.6C, dann AS:=C.
(**) Das Wort "oder" wird in der Mathematik stets im
nichtausschlieBenden Sinne gebraucht, d.h. es
(*)
Die Formulierung nes gibt ein ... " wird in der
Mathematik inuner in der Bedeutung" es gibt mindestens ein
" verwendet. Es kann also auch mehrere Elemente dieser Art geben.
schlieBt die Bedeutung "und" ein. "x E A oder x E B"
bedeutet also: x ist nur Element von A oder nur Element von B oder Element von A und von B.
Wollen Sie "oder" im ausschliel3enden Sinn verwenden,
so empfiehlt sich der Gebrauch von "entweder oder" .
(1 .8)
Mengen
§ 1
,=
,=
Die in Bild 4 skizzierte Situation bedeutet, daB
Aufgabe 1.-
es kein x gibt, das sowohl in A als auch in B
Bilden Sie die Mengen AUB, BUA, AnB, BnA, A'B, B,A.
Sei A
{1,3,5,7j und B
(2,3,4,5,6) •
A1
liegt. Man sagt in diesem Fall: die Menge A n B
ist ieVt
disjunkt
und nennt die Mengen A und B ciWjul'lk-t
(elementfremd). FUr die Menge, die kein Element
leere
enthalt, verwendet man das Symbol
Menge
Mel'lgci. Beispiel: Die Menge der Einhorner im
(lies:ieVte
~
Frankfurter Zoo.
Zum SchluB dieses Abschnitts stellen wir noch
ein Konstruktionsprinzip fur "neuel! Mengen bereit, das "Produkt von Mengenrt. Wir beschreiben
zunachst eine Anwendung und geben anschlieBend
die allgemeine Definition.
o
Bild 3. - A n B (schraffiert)
Bild 4. - A n B = ~
BEISPIEL,-
Die Lage eines Punktes P der Ebene
laBt s1ch durch zwei reelle Zahlen beschreiben,
wenn man ein kartesisches Koordinatensystern
ei~
geftihrt hat. Das sind zwei senkrecht aufeinanderstehende Geraden (die Koordenatenachsen),
wobei die waagerechte Gerade x-Achse (auch x 1 Achse) und die dazu senkrechte y-Achse (auch x 2Achse) genannt wird.
y
Eine weitere Moglichkeit zur Bildung neuer Mengen ergibt sich aus
(1.9)
DEFINITION,-
A ohne B) besteht aus allen Elementen, die in A,
-4
aber nicht in B enthalten sind; kurz:
A \ B : = {x I x E A
Differenz
A \ B heiBt
und x
Vi66VtcI'lz VOI'l F. Lil'ld B.
..·················r P
(-3,1).
A und B seien Mengen. A \ B (lies:
*
-3
:
-2
4
-1
x
-1
B j •
-2
(*)
-3
Bild 6.-
• (1,-3)
Beschreibung eines Punktes P in der
Ebene mit kartesischem Koordinaten-
B
system.
Der Abstand Pl von P zur y-Achse heiBt erste
oder x-Koordinate von P, wobei P, negativ zu
wahlen ist, wenn P links von der y-Achse liegt.
Der Abstand P2 von P zur x-Achse heiBt zweite
Bild 5. -
A \ B (schraff1ert).
oder y-Koordinate von P, wobei P2 negat1v zu
wahlen ist, wenn P unterhalb der x-Achse liegt.
Das Zahlenpaar (Pl,P2) beschreibt den Punkt P:
(1.10)
BEISPIELE,-
(1) Es ist IN U {oj =lNo und
IN n {OJ =¢.
{x I x E JR und x 2 - 1 = O} n {x Ix E JR und
(2)
2x+2=O} =
(3)
{-1}.
JR\(O}ist die Menge aller von null verschie·
denen reellen Zahlen.
P = (Pl ,P2) •
Sie sehen sofort, daB man die beiden Koordinaten
P 1 und P2 nicht vertauschen darf, wenn der Punkt
P dadurch beschrieben werden solI. So sind z.B.
(-3,1) und (1,-3) verschiedene Punkte. Man
spricht deshalb von einem geoJr.dl'lctef'l Paar reeller
Zahlen.
BEMERKUNG,onen
FUr die definierten Mengenoperati-
Vereinigung, Durchschnitt und Differenz
gilt eine Ftille von GesetzmaBigkeiten, die wir
hier jedoch nicht aufftihren wollen.
(*)
A\B wird auch Komplement von B bezuglich A genannt.
Solche geordneten Paare lassen sich nicht nur
aus reellen Zahlen bilden und werden in diesem
(1.11 )
Kapitel'
geordnetes
Paar
Buch auch aus anderen Objekten gebildet und be-
DEFINITION.-
notigt.
pel A,x .•• xAn:~ {(a" •.. ,an)la,E A"
(1. '3)
... ,anEAn }
(lies: A, Kreuz undsaweiter Kreuz An) heiSt
Paar (a,b) mit aEA und bEB ein geOltd¥[e;teAl PCUVt
PltoduiU: delL Me>1ge¥[ A,
b,u, An.
(*) , wenn man flir solche Paare folgendermaBen
(a 2 ,b 2 ) heiBen
gL~Qh,
wenn
a,
und b,
~.a2
DEFINITION.-
Ein geordnetes 2-Tupel ist also ein geordnetes
Paar. Geordnete 3-Tupel heiSen auch geoltdne;te
T"-'-pet. Wir werden haufig den Zusatz "geordnet"
~b2
gilt. Wir schreiben dann auch (a, ,b,)
Die Menge aller geordneten Paare
weglassen.
AUFGABE 2.-
Sei A=B := {2,3,4}. Bestimmen Sie aIle Ele-
A2
mente der Menge A x B und zeichnen Sie diese Elemente als
AxB:~ {(a,b)iaEA und bEB}
Produktrnenge
Die Menge aller geardneten n-Tu-
Sind A und B beliebige Mengen, so nennt man ein
eine Gleichheit festlegt: Die Paare (a"b,) und
(, .'2)
Die reel len Zahlen
Punkte der Ebene (mit kartesischem Koordinatensystem).
(lies: A Kreuz B) heiBt PltoduiU: (mengel von A und B.
Sind n gleiche Mengen, etwa
In unserero vorangegangenen Beispiel war also
A
~
B
~
m.
Wir hat ten plausibel gemacht, daB je-
A,~ A2~
... ~ An
~
A
gegeben, so schreibt man statt A1 x ••• x An ktirzer An. Statt lRxm also m 2 (lies: R (hach) zwei)
]R2
dem Punkt der Ebene (mit Koordinatensystem) ein
geordnetes Paar reeller Zahlen entspricht. Umge-
§
kehrt ist klar, daB nach Wahl eines Koordinatensystems durch jedes geordnete Zahlenpaar ein
2
FUNKTIONEN
DEFINITIONEN UND BEISPIELE
Punkt der Ebene festgelegt wird. Wir konnen daher die Menge der Punkte der Ebene mit der Menge lR x lR der geordneten Paare reeller Zahlen
Der Begriff der Funktian wird in der gesamten
identifizieren (gleichsetzen). Das kommt berei ts
Mathematik sowie in ihren Anwendungen in ande-
in der Schreibweise P
ren Wissenschaften standig benutzt.
~
(p, ,P2) zum Ausdruck.
Sie werden sieh erinnern, daB man Punkte imRaum
durch drei reelle Zahlen (Koordinaten) beschreiben kann. Fur eine Beschreibung von Zustanden
gewisser physikalischer Systeme werden haufig
BEISPIEL.-
Aus ihrem Physikunterricht wissen
Sie sieher, daB der freie Fall eines Korpers
durch das Gesetz
,
s
auch mehr als drei reelle Zahlen notig sein. Es
ist deshalb nUtzlich, nicht nur den Begriff des
~2
gt
2
(')
beschrieben wird; hierbei sei g ;;;9,81 s:c 2 die
geordneten Paares, sondern allgemein den eines
Erdbeschleunigung, t die Zeit in Sekunden und s
geordneten Systems
der vom Zeitpunkt t
(x"
~
0 im freien Fall zurUckge-
legte Weg des Korpers (in Metern). Jedem Zeit-
..• ,x n )
von Obj ekten x" x 2 ' ••. ,x n zur VerfUgung zu haben.
Sind A 1 , ••• ,An Endlich viele Mengen, so nennt
punkt t ist also durch das Fallgesetz (') eine
bestimmte Entfernung s
~
s (t)
zugeardnet. Etwas
ungenau sagt man deshalb auch: die Fun~on
s (t) ~~ g t 2 beschreibt den freien F~
man ein System (a 1 , .•. ,a n ) mit a 1 E A 1 , ••. ,a n EAn
ein geaitdne;tu n-Tupet wenn man fUr solche Systeme
Wir werden anschlieBend eine hinreichend allge-
folgendermaBen eine Gleichheit definiert:
meine Definition des Begriffs Funktian geben,
(a" ••. ,an) und (a
a 1 = a, , .. . ,a n=
a~
1, ... ,a~)
heiBen gL~Qh, wenn
ist. (**) Wir schreiben dann auch
{a 1 , .•. an}
I
= (a, , ... , a~)
(' . '4)
freier Fall
die sowahl den AnsprUchen der Analysis als auch
denen der linearen Algebra genligt.
•
DEFINITION.- Seien A und B Mengen. EineFun~on
f von A nach B ist eine Varschrift, die jedem
(*)
mit a als erster Koordinate (Komponente) und b als
zwei ter Koordinate (Komponente).
(**)
Fur die letzte Bedingung schreiben wir auch: wenn
a i ::::a~ fur i= l, ... ,n (lies: fur i gleich 1 bis nl.
x EA genau ein Element von B, das wir f(x) nennen, zuordnet. Wir verwenden die Schreibweisen
f: A ->B
(lies: f von A nach B)
oder
(1. '5)
Funktion
§ 2
Funktionen, Definitionen und Beispiele
x.....,.
f (x)
5
Die Menge Wf :; (ylyEB, es gibt ein xEA, so
daBy;f(x)} oderkUrzer
fUr x CA
(lies: x wird zugeordnet (oder: geht Uber in)
f
Wf
von x).
Ix
: ; (f(x)
EA)
ist die Menge aller Funktionswerte von fund
Statt "Funktion" finden Sie in der mathematischen Lite-
heillt der WeJL:tebelLuch von f. Es ist also Wf £ B.
Betrachten wir nicht aIle Funktionswerte f(x),
ratur c3.uch den Begriff "Abbildung". Wir kommen spater
sondern nur solche, fUr die x aIle Elemente ei-
dar auf zuruck.
ner Teilmenge C 50 A durchlauft, so erhal ten wir
das Bild von
(1.16)
genau ein
BEMERKUNG.-
Die vorstehende Definition verwen-
C
unter der Funk tion f, das ist die
Menge
det die Formulierung "genau einll; das bedeutet:
ftC)
"hochstens ein und rnindestens einll. Also hier:
Es ist also insbesondere f (A) ; Wf .
einem Element x EA dUrfen nicht zwei oder mehr
(verschiedene) Elemente von B zugeordnet sein.
Andererseits darf auch nicht der Fall auftreten,
daB einem x E A kein Element von B zugeordnet ist
Wenn wir uns die Mengen A und B wieder als
Punk~
mengen der Ebene vorstellen, so konnen wir eine
Funktion f: A --)B dadurch veranschaulichen,
daB wir von jedem x EA einen Pfeil zu dem zuge-
ordneten Element f (x) E B zeichnen (vgl. Bild 7) .
BEISPIELE.-
:;(f(x)lxEC).
Es gibt verschiedene Maglichkeiten,
Funktionen zu definieren (anzugeben).
(1)
In Beispiel (1.14) auf Seite 4
hatten wir
festgestellt, dall dem Fallgesetz die Funktion
1
2
t >-> s (t) , s (t) :;"2 g t
zu Grunde liegt. Sehen
wir fUr den Augenblick von den physikalischen
Dimensionen ab, so wird jedern t E lR genau eine
reelle Zahl s(t)
zugeordnet (z.B. ist s(-3) ;
1'9,81' (_3)2 ;44,145). Wir haben es also mit einer Funktion s: lR -> 1R
zu tun. BerUcksichtigen
wir jedoch den physikalischen Zusammenhang, so
ist s nicht mehr fUr aIle t E lR definiert. Denn:
Nach unserer Vereinbarung beginnt der freie Fail
erst zum Zei tpunkt t ;
Zeitpunkt to
o.
Zu einem bestinunten
(to graSer bzw. spater als t ;0)
hat der fallende Karper die Erdoberflache erBild 7.-
Veranschaulichung einer Funktion
f:
A
--> B.
reicht - der freie Fall ist beendet, der zurtickgelegte Weg s(t) ninunt nicht mehr zu.
In dieser Situation ist also die Funktion
t
nur fUr t
1--> s (t) ;
1
g t2
zwischen 0 und to definiert (vgl. die
nachfolgende Aufgabe 3).
1
( 2 ) 1st A :; (3, -7 , 2 ''I) und B : ;
(1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6) ,
so kann man z.B. eine Funktion f: A --> B definieren durch
Bild 8.-
Eine Zuordnung, die keine Funktion
ist: von einem Element x E A gehen
Pfeile zu zwei verschiedenen Elernenten von B.
f (3)
:; 2,
f(-7)
Sie sehen, jedem X€ A ist durch die Definition
von f(x) genau ein Element von B zugeordnet.
Die Tatsache, daB zwei verschiedenen Elernenten
~) dasselbe Element von B
Zur besseren Verstandigung benotigen wir noch
von A (namlich -7 und
einige Bezeichnungen und Sprechweisen: Sei
(namlich 3)
f: A --> Beine Funktion von A nach B. Die Men-
oben definierten Begriff der Funktion !
zugeordnet ist, verletzt nicht den
Defini tions-
ge A heillt Ve6-{rUtiolUlbexekh von f, und man sagt:
bereich
Da als Funktionswerte nur die Zahlen 2,3 und 4
f (x)
vorkomrnen, ist der Wertebereich Wf ; (2, 3,4).
Nicht jedes Element von B korrurunt als Funktions-
ist fUr jedes x E A definiert oder f kann
auf jedes x EA angewendet
werden~
Die Elemente
von A heillen AttgumeJ1.te von f.
wert von f vor. Aber auch dies widerspricht der
Ein Element yEB, zu dem es ein xEA gibt, so
dall y; f (x) gilt, heillt RUd von
Funktionswert
Wertebereich
Funwonl.>weM von f an delL steUe x.
x untelL f oder
Definition des Begriffes Funktion nicht.
iLe6e.Yt S-ie nach eLI'lma.t Ve6-irUtion (1.15) und beV<.a.chten
S-ie Bild 7).
(1.17)
Kapitel 1
Die reellen Zahlen
Aus Definition
(1.19) ergibt sich:
6
(3) Eine recht einfache Funktion ist die f01-
BEMERKUNG,-
gende: Sei A eine Menge. Durch
Die beiden Funktionen fund g sind nicht gleich
(in Zeichen: f fg), wenn es (m1ndestens) ein
xEA gibt, so daB f(x)
x
I-;>
wird eine Funktion von A nach A definiert, die
jedern x EA als Funktionswert wieder x zuordnet.
identische
FW1ktion
Es gilt also idA (x) = x fur aIle x EA. idA heiBt
,i.d~c.he
f g(x) ist.
x
Aufgabe 4. -
x t--> f(x)
x
fu.nWoll (auf A) .
1->
g{x)
Die Funktion f u.nd g seien gegeben durch
:=
,=
t
x 2 + x -2,
t(
+
x
1
+
x EJR, una
Vs)
(x
+
1 -
Vs),
x E 1R •
Zeigen Sie, daB f = gist.
A3
Ein Karper bewege sich aus einer Ruhelage
Aufgabe 3. -
in einer Hohe von 490,5 m zur Zei t t = 0 im freien Fall
AbschlieBend behandeln wir noch zwei wichtige
zur Erde. Dann wird seine Hohe h(t) iiber der Erdober-
Verfahren zur Bildung neuer Funktionen aus gege-
flache zu "jedem" Zeitpunkt t
(groBer als 0) gegeben
durch
hit)
t
:= 490,5 -
benen Funktionen:
die Komposition von Funktionen und die Bildung
der Umkehrfunktion.
g t2 •
a) Wann erreicht der Karper die Erdoberflache
b) Welches ist ein physikalisch sinnvoller Defini tionsbereich filr die Funktion t
1-->
h (tj
Sind A und B Teilmengen reeller Zahlen, so kann
man eine Funktion f: A -->
B graphisch darstel-
len. Man zeichnet in der Ebene mit kartesischem
Koordinatensystem die Punkte (x,f(x)) fur jedes
x E A,
(vgl.
(1.12)
DIE KOMPOSITION VON FUNKTIONEN
?
auf Seite 4).
Wir beginnen mit einern Beispiel: Sie wissen, daB
sich die Hohe der jahrlich an das Finanzarnt abzufuhrenden Einkornrnensteuer nach der Hohe des
(zu versteuernden)
kornmens x, also
x
(1.18)
BEISPIEL,- Sei f: lR --> lR gegeben durch
x r-> f(x) := 2x. Dann hat f die folgende gra-
>->
f (x)
(*)
(wer in g1eicher Position
= 2x
2x
(*)
x
x
Die graphische Darstellung von Funktionen wird
noch einrnal ausfuhrlich in Kapitel 4
behande1t.
Urn mit Funktionen arbeiten zu konnen, mussen wir
festlegen, wann zwei Funktionen gleich sind.
Funktionen
f (x) •
weniger arbeitet, erhalt weniger Geld):
y
(1.19)
=
Andererseits ist (zugegebenermaBen stark vereinder Arbeitszeit t,
Gleichhei t von
E
tacht) die Hohe des Einkornrnens x eine Funktion
phische Darstellung:
/
Einkomrnens richtet. Genauer:
Die Einkornrnensteuer E ist eine Funktion des Ein-
DEFINITION.-
Seien f: A --> B und g: A --> B
zwei Funktionen von A nach B. fund g heiBen
gl!.ueh (in Zeichen: f =g), wenn
f(x) = g(x)
fur jedes x EA.
Beachten Sie: Zur "Gleichheit" zweier Funktionen gehort
auch, daB sie den gleichen Definitionsbereich haben.
Diese Funktion fist - wie sollte es anders sein auBerordentlich exakt in §32a Abs. (1) des EinkoIIllIHlsteuergsetzes 1977 vom 05.12.1977 (neu gefaBt durch
das Gesetz vom 30.11.1978) definiert. Dort heiSt es:
"(1) Die tarifliche Einkommensteuer bemiBt sich nach
dem zu versteuernden Einkornmen. Sie betragt ... jeweils in Deutsche Mark
1. fur zu versteuernde Einkommen bis 3690 Deutsche
Mark: 0;
2. fur zu versteuernde Einkommen von 3691 Deutsche
Mark bis 16 000 Deutsche Mark: O,22x - 812
3. flir zu versteuernde Einkommen von 16 001 Deutsche
Mark bis 47 999 Deutsche Mark,
{[ (10,86y - 154,42)y" 925)y + 2 200} y + 2708;
4. fur zu versteuernde Einkommen von 48 000 Deutsche
Mark bis 129 999 Deutsche Mark:
{[ (0,1 z -6,07) z + 109,95)z + 4 800}z + 15 298;
s. fur zu versteuernde Einkommen von 130000 Deutsche
Mark an, 0,56 x - 13 644.
"x" ist das abgerundete zu versteuernde Einkommen.
Il y ll
ist ein Zehntausendstel des 16 000 Deutsche Mark
ubersteigenden Teils des abgerundeten zu versteuernden Einkommens. "zit ist ein Zehntausendstel des
48 000 Deutsche Mark ubersteigenden Teils des abgerundeten zu versteuernden Einkommens. n
Glucklicherweise schreibt das Gesetz auch die Erstellung von Einkommensteuer-Tabellen vcr. Aus diesen
Tabellen lassen sich die Funktionswerte miihelos ablesen.
A4
§ 2
Funktionen, Definitionen und Beispiele
t
~>
=
x
(*)
9 (t)
(3) Beachten Sie, daB es auf die Reihenfolge
Insgesarnt ist also die zu zahlende Einkomrnensteuer auch eine Funktion der Arbeitszeit:
t
Wir haben "g(t)
=
f-> E
in f(x)
beider Funktionen ankommt. Wir geben im An-
schluB Beispiele dazu.
f (g (t) ) .
eingesetzt", bzw. wir
haben fund 9 "nacheinander angewandt".
Wir definieren nun allgemein, wie man durch Einsetzen einer Funktion in eine andere bzw. durch
die Hintereinanderschaltung zweier Funktionen
BEISPIELE.und f:
(1)
Die Funktionen g:
lR\(O} -> lR
(1. 21)
lR -> lR seien gegeben durch
x>->g(x)
:=.!..undXf->f(X)
:=2x-1.
x
ES ist Wg s;.lR und deshalb fog definiert, und
zwar gilt fUr x E' lR\ (O) :
(f
eine neue Funktion erhalt.
g) (x) = f (g (x)) = f
0
(~)
= 2
~
- 1
2 - x
x
Dagegen ist go f nicht definiert, denn es ist
(1.20)
Seien g: A ->
DEFINITlON.-
zwei Funktionen. Es gel te Wg
B und f:
C ->
BegrUndung:FUr
x >-> f(g(x))
fUr x E A
eine Funktion
~-1
ist f(x) =2
=0.0 ist
def iniert. f o g
(lies: f nach 9 oder: f Kreis g)
Kompo~iliort VOrt
f wid
0* lR\(O}. Deshalb ist Wf keine Teilmenge von
lR\ {O}
->
lR, x 1->
f (x)
:= x + 1
und g: lR ->
lR, x 1->
g(x)
:= 2x.
(2 ) Sei f:
fog:A>->D
heiBt
x=~
also ein Funktionswert von f, d.h. 0 EW f , aber
Dann wird durch
Komposi tion
Wf$lR\(O};
D
~C.
g.
lR
Aus den Definitionen von fund 9 folgt Wf GlR
und Wg ~ lR. Also sind 9 0 fund f o g definiert.
Es gilt aber:
(x)
f (g (x))
f(2x)
f) (x)
9 (f (x))
9 (x + 1) = 2 (x + 1) = 2x +2
fUr x=O:
(fog) (0) =1 +2 =
(g
f) (0) .
0
(3)
(1) Wesentlich an der Definition
ist die voraussetzulljWg!:C: der Wertebereich von
erhalt man fo 9
+ go f.
Wenn Sie das einfUhrende Beispiel zu diesem
Abschnitt noch einmal durchlesen, werden Sie
sehen, daB es dart sinnios ist, die Komposition
go f
BEMERKUNGEN.-
und
Mit der Bemerkung hinter Definition
auf Seite 6
(1.19)
Zur Komposition zweier Funktionen.
2x + 1
g)
(g 0
Sie sehen z.B.
Bild 9.-
=
(f 0
zu bilden.
(In 9 wird "Arbeitszeit einge-
setztll, und man "er halt DM". In f wird "DM eingesetztll und man "erhalt DM").
9 muS im Definitionsbereich von f Iiegen. Diese
Voraussetzung garantiert, daB f(g(x))
ein sinn-
voller Ausdruck ist: Man wendet zunachst 9 auf
x E A an und erhalt den Funktionswert 9 (x). Da
g(x)
ein Element von C ist, kann f darauf ange-
wendet
werden~
f(g(x))
von f
Man erhalt den Funktionswert
an der Stelle g(x). Nach der vor-
stehenden Definition schreibt man
f og(x) =f(g(x))
oder zur Verdeutlichung auch
(fog)(x) =f(g(x)).
(2) 1st B = C, so ist die Voraussetzung Wg !: C
stets erfUllt. Dieser Fall liegt haufig vor.
(*)
Die Festlegung der Funktion 9 erfolgt fur die meisten Berufsgruppen in den j&hrlichen Tarifverhandlungen zwischen den Arbeitgebern und Gewerkschaften.
Bei nicht vorhandener Interessenvertretung wird 9
auch beim Einstellungsgesprach definiert.
AUFGABE 5. finiert?
Fur welche Funktionen fund gist fog
Bestimmen Sie gegebenenfalls (f
0
de-
g) (x) fur x
aus dem Defini tionsbereich von fog.
a) A :-= {-4,3,l,O},
B:= {-7,O,-l,3,19,24,811}
g: A -> IF<., x 1-> g(x)
f:
x(x - 2),
B ->1R, x f-)f{x)
x+2
b) f: IN
->
IN,
n f-> fin)
:~
1°2° ••• on,
g: 1R
->
1R, x f-> g{x)
:~
-22.
(Falls Ihnen die Aufgabenstellung unklar ist, lesen Sie
zunachst auch die Hinweise 1m Losungsteil).
A5