Wellenleiter, Dispersion - Arbeitsgruppe Prof. Dr. Ludger Santen

Universität des Saarlandes
Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät (NT)
Fachrichtung Physik
Prof. Dr. L. Santen
Dr. C. Arita
R. Jose (Mail: [email protected])
Web: http://santen.physik.uni-saarland.de/
Saarbrücken, den 01.02.2017
Blatt 13 zur Theoretischen Physik II, WS2016/2017
(Abgabe bis 08.02.2017, 12.00 Uhr)
Aufgabe 1 Elektromagnetische Wellen in Leitern [10 + 10 = 20 Punkte]
a)
i) Nutzen Sie die Maxwell-Gleichungen in Materie und das Ohmsche Gesetz J = σE um die Dif∂
∂2
∂
∂2
2
ferentialgleichungen ∇2 E = µ ∂t
2 E + µσ ∂t E und ∇ B = µ ∂t2 B + µσ ∂t B herzuleiten. Es gelte
dabei ρ = 0.
ii) Die beiden Gleichungen lassen ebene Wellen als Lösungen zu: E = Eei(kz−ωt) und B = Bei(kz−ωt) .
Finden Sie den passenden Ausdruck für k. (Es gibt zwei Möglichkeiten für k - verwenden Sie die
Version die Re k > 0 erfüllt. )
Berechnen Sie auÿerdem |k|.
iii) Gehen Sie von der einfachen Form für das E-Feld aus: E = E0 ei(kz−ωt) ex . Berechnen Sie das
zugehörige Magnetfeld B.
iv) Die Felder lassen sich alternativ schreiben wie:
E = |E0 |eiδE e−kI z ei(kR z−ωt) ex , B = |B0 |eiδE +iφ e−kI z ei(kR z−ωt) ey , mit kR = Re k , kI = Im k und
δE = arg E0 . Drücken Sie φ in Termen von k aus.
v) Geben Sie den Ausdruck für {ReE, ReB} und {ImE, ImB}. Diese Sets beschreiben echte elektromagnetische Felder. Begründen Sie diese Aussage.
b) Wir wollen nun auf den Skin-Eekt eingehen. Gehen Sie von einer Skin-Tiefe d = 1/Re k aus.
2
i) Zeigen Sie, dass für einen schwachen Leiter (σ ω) d ≈
σ
r
gilt. Berechnen Sie d für pures
µ
Wasser.
λ
ii) Zeigen Sie, dass für einen guten Leiter (σ ω), d ≈
gilt. Schätzen Sie d für typische Metalle
2π
und sichtbares Licht ab (σ ≈ 107 (Ωm)−1 , ≈ 0 , µ ≈ µ0 , ω ≈ 1015 /s).
iii) Suchen Sie nach den Konstanten σ, und µ eines Materials ihrer Wahl und verwenden Sie auÿerdem
eine beliebige Wellenlänge und berechnen Sie d für diese Werte.
Aufgabe 2 Dispersion [10 + 10 = 20 Punkte]
a) In dieser Aufgabe lässt sich der Einuss von Brechungsindizes auf Wellenlängen phänomenologisch
untersuchen. Wir bezeichnen die Masse mit m und die Ladung des Elektrons mit q , auÿerdem gelte
µ = µ0 . In einem einfachen Modell wirkt auf das Elektron eine dämpfende Kraft −mγ0 ẋ und eine
Federkraft −mω02 x. Auÿerdem wirkt ein äuÿeres elektrisches Feld E = E0 cos(ωt).
Hinweis: Die Antworten können Summenterme
X
j
enthalten.
i) Die Elektronenbewegung wird durch die Gleichung mẍ + mγ0 ẋ + mω02 x = qE0 e−iωt beschrieben,
wobei das Feld in einer komplexen Darstellung E = E0 e−iωt geschrieben ist. Bestimmen Sie den
Koezienten C(ω, ω0 , γ0 ) indem Sie den Ansatz der Form x(t) = CE0 e−iωt für den steady state
(stationärer Zustand oder eine spezielle Lösung der DGL) verwenden.
ii) Angenommen es gibt fj Elektronen mit Frequenz ωj und Dämpfungskoezient γj in jedem Molekül. Es gebe weiterhin N
P Elektronen pro Einheitsvolumen, dann ist die (komplexe) Polarisation
gegeben durch P = qN j fj C(ω, ωj , γj )E . Folglich schreibt sich die komplexe Dielektrizitätskonstante als
= (1 + χe )0 = 0 + qN
X
fj C(ω, ωj , γj ),
j
und die Wellenzahl k der ebenen Welle E0 ei(kz−ωt)√= E0 e−Imk z ei(Rek z−ωt) als k =
rechnen Sie Re k und Im k mit Hilfe der Näherung 1 + χe ' 1 + 12 χe .
√
µ0 ω . Be-
iii) Für den Brechungsindex gilt n = ωc Re k, wobei Re k in ii) berechnet wurde. Gehen Sie davon aus,
dass γj klein genug ist um vernachlässigt zu werden (setzte γj = 0). Entwickeln Sie n in Termen
von λ−1 bis zur Ordnung λ−2 in der Art n = a0 + a1 λ−1 + a2 λ−2 , für den Fall 2πc
λ = ω ωj .
b) Ein in der Abbildung dargestelltes Prisma in Form eines gleichseitige Dreiecks bende sich in Vakuum
oder Luft (Brechungsindex n = 1).
i) Ein monochromatischer Lichtstrahl der Wellenlänge λ tree mit Einfallswinkel 60◦ auf das Prisma.
Finden Sie den Transmissionswinkel θ und die Entfernung ` zwischen dem rechten Eckpunkt und
dem Austrittspunk.
Hinweis: Die Antwort kann von inversen geometrischen Funktionen abhängen (z.B. arcsin).
ii) Es falle nun weiÿes Licht auf das Prisma. Falls n von λ abhängt wird der Strahl aufgefächert. Das
Prisma sei aus Quarz mit einem Brechungsindex n = 1.4580 + 0.00354/λ2 und habe eine Seitenlänge von 10 cm. Berechnen Sie θ und ` für die rote (λ ≈ 400 nm) und die violette Komponente
(λ ≈ 700 nm).