1. Übung zur Vorlesung „Mathematik I (EI)“ (WS 2010/11

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Boris Vexler
Dr. Dominik Meidner
1. Übung zur Vorlesung „Mathematik I (EI)“ (WS 2010/11)
Zentralübung (21.10.10):
Aufgabe Z 1.1:
Gegeben seien die folgenden Teilmengen der Menge der reellen Zahlen R:
A := { x ∈ R | 5 > x > −2 } ,
B := { x ∈ R | 1 > x } ,
C := { x ∈ R | −1 < x ≤ 1 }
Bestimmen Sie die Mengen
a) A ∩ C
b) B \ A
c) (R \ C) ∪ B
und skizzieren Sie diese auf der Zahlengeraden.
Aufgabe Z 1.2: Es seien A = { a, b, c, d } und B = { M | M ⊂ A }. Entscheiden und begründen
Sie, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind:
a) a ∈ B
d) A ∈ B
g) ∅ ∈ B
b) { b } ∈ B
e) A ⊂ B
h) ∅ ⊂ B
c) { a } ∈ A
f) { a } ⊂ A
i) { ∅ } ⊂ B
Aufgabe Z 1.3:
Beweisen Sie folgende Aussagen mittels vollständiger Induktion:
a) an = 5n − 1 ist für alle n ∈ N durch 4 teilbar.
b) n Elemente können auf 1 · 2 · · · · · n = n! verschiedene Arten angeordnet werden.
c) Die Summe über die ersten n ungeraden Zahlen liefert für alle n ∈ N den Wert n2 .
d) Die Bernoullische Ungleichung (1 + x)n ≥ 1 + nx gilt für alle reellen Zahlen x ≥ −1 und
alle n ∈ N.
Aufgabe Z 1.4: Gegeben seien rationale Zahl p, q und irrationale Zahlen r, s. Beweisen oder
widerlegen Sie folgende Aussagen:
a) x := p + q ist eine rationale Zahl.
b) y := r + s ist eine irrationale Zahl.
c) z := p + r ist eine irrationale Zahl.
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Tutorübungen (25.10.10 – 29.10.10):
Aufgabe T 1.1:
Gegeben seien die folgenden Teilmengen der Menge der reellen Zahlen R:
A := { x ∈ R | −3 < x < 4 } ,
B := { x ∈ R | 2 ≤ x } ,
C := { x ∈ R | −1 ≤ x < 1 }
Bestimmen Sie die Mengen
a) A ∪ B
c) (R ∩ B) ∪ A
b) C ∪ (R \ B)
d) ((A ∪ B) ∩ C) \ A
und skizzieren Sie diese auf der Zahlengeraden.
Aufgabe T 1.2:
Beweisen Sie folgende Aussagen mittels vollständiger Induktion:
a) Für jedes n ∈ N ist die Zahl 42n+1 + 3n+2 durch 13 teilbar.
b)
n
P
(i2 − 1) = 16 (2n3 + 3n2 − 5n).
i=1
c)
n
P
k · k! = (n + 1)! − 1.
k=1
d) Ist x0 = a, x1 = b und xn = −3xn−1 − 2xn−2 für n ≥ 2, so gilt
xn = (2a + b)(−1)n − (a + b)(−2)n
Aufgabe T 1.3:
für n ∈ N0 .
Für n ∈ N behaupten wir folgende Aussage:
„Wenn sich unter n Tieren ein Elefant befindet, dann sind alle Tiere Elefanten.“
Wir führen einen Beweis dieser (offensichtlich falschen) Aussage durch vollständige Induktion:
• Induktionsanfang: Wenn in einer Menge von n = 1 Tieren eines ein Elefant ist, dann sind
alle Tiere Elefanten.
• Induktionsschritt von n auf n+1: Es sei unter n+1 Tieren ein Elefant. Wir stellen die Tiere in
einer Reihe auf und betrachten jeweils die ersten und die letzten n Tiere. Ohne Beschränkung
der Allgemeinheit sei der Elefant unter den ersten n Tieren. Nach Induktionsvoraussetzung
sind dann die ersten n Tiere sämtlich Elefanten. Dann befindet sich aber auch unter den
letzten n Tieren ein Elefant. Wieder folgt nach Induktionsvoraussetzung, dass auch die
letzten n Tiere sämtlich Elefanten sind. Somit sind alle n + 1 Tiere Elefanten.
Wo liegt der Fehler im Beweis?
Aufgabe T 1.4: Gibt es eine positive rationale Zahl x =
Begründen Sie Ihre Antwort.
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p
q
∈ Q (p, q ∈ N), so dass 10x = 7 ist?