Lineare Algebra • SS 2016 26.08.2016 Aufgabe 1 a) De nieren Sie

Lineare Algebra • SS 2016
Klausur
26.08.2016
Prof. Dr. Stefan Ruzika • Dr. Mark Steinhauer
Aufgabe 1
a) Definieren Sie den Begriff Norm eines R-Vektorraumes V.
b) Beweisen Sie: Die Menge U := (x, y, z) ∈ R3 | 2x = z ist ein Untervektorraum des R3 .
Aufgabe 2
Gegeben sei die reelle 4 × 4 - Matrix


−1 2
5
0
2
0 −2 4 

A := 
 1 −3 −7 −1 .
3
1 −1 7
a) Bestimmen Sie die Dimension der Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0
mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.
b) Geben Sie den Rang von A an.
c) Ist die durch die Matrix A definierte lineare Abbildung A injektiv; ist sie surjektiv?
Aufgabe 3
Seien v, w zwei verschiedene Punkte des R2 und L ⊂ R2 die Gerade durch v und w. Sei


1 v1 v2
A := 1 w1 w2  .
1 x1 x2
a) Berechnen Sie die Determinante det(A) mit Hilfe der Regel von Sarrus.
b) Beweisen Sie, dass gilt:
L = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : det(A) = 0} .
Aufgabe 4
a) Sei A =
0 −3
. Rechnen Sie nach, dass Ax orthogonal zu x ∈ R2 ist.
3 0
b) Eine Matrix A ∈ M(n × n; R) heißt schiefsymmetrisch, wenn AT = −A gilt. Beweisen Sie, dass für
eine beliebige schiefsymmetrische Matrix A stets Ax orthogonal zu x ∈ Rn ist.
Hinweis: Beachten Sie, dass folgende Rechenregel gilt: hBx, yi = hx, BT yi für alle x, y ∈ Rn und für alle
B ∈ M(n × n; R). Benutzen Sie diese Regel mit B = A und y = x.
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Aufgabe 5
a) Bestimmen Sie für die Matrix
5 3
A=
3 −3
ihre Eigenwerte λ1 , λ2 ∈ R und die zugehörigen Eigenvektoren v1 , v2 ∈ R2 .
b) Normieren Sie die Eigenvektoren v1 , v2 auf Länge 1. Nennen Sie diese „neuen“ Vektoren w1 , w2 .
Berechnen Sie die Matrix D = W T · A · W, wobei W = [w1 w2 ] die Matrix ist, die aus den
Spaltenvektoren w1 , w2 besteht. Berechnen Sie die Inverse von W.
Entscheiden Sie, welche der Aussagen in den folgenden zwei Aufgaben wahr bzw. falsch sind. Begründen
Sie die richtigen Aussagen kurz und geben Sie bei den falschen jeweils ein Gegenbeispiel an! Punkte
gibt es nur für die Kombination aus richtiger Antwort und passender Begründung bzw. Gegenbeispiel.
Die Aufgaben sind auf Ihrem Abgabebogen zu bearbeiten, Antworten auf dem Klausurzettel werden
nicht gewertet!
Aufgabe 6
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
a) Es gibt unendlich viele verschiedene reelle 2 × 2 Matrizen, die invertierbar sind.
richtig falsch b) Ist f : R3 → R2 eine lineare Abbildung, so ist dim ker f ≥ 1.
richtig falsch c) Für alle A ∈ M(2 × 2; R) mit AT = −A gilt: det(A) = a212 .
richtig falsch d) Für A ∈ M(3 × 2; R) gilt Zeilenrang(A) > Spaltenrang(A).
richtig falsch e) Es gibt einen endlich dimensionalen Vektorraum V, der endlich viele Elemente hat.
richtig falsch Aufgabe 7
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
a) Seien u, v ∈ R2 . Dann ist B = (u, v) ein Erzeugendensystem von R2 .
richtig falsch b) Für f : R2 → R2 , f((x, y)) = (0, x), ist f2 die Nullabbildung von R2 .
richtig falsch c) Für x, y ∈ R2 gilt: ||x + y|| = ||x − y|| ⇔ x = y.
richtig falsch d) Wenn A ∈ GL(2; R), dann ist A2 ∈ GL(2; R).
i
−1
e) B =
,
ist Basis von C2 .
1
i
richtig falsch richtig falsch Lineare Algebra
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