Zweite Klausur: Lösungen

Wintersemester 2007/08
Zählen und Zahlbereiche
Zweite Klausur: Lösungen
Aufgabe 1
Die Addition und Multiplikation in N unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N ist ℓ + (m + n) = (ℓ + m) + n.
(M2) Für alle m, n ∈ N gilt mn = nm.
(D) Für alle ℓ, m, n ∈ N ist ℓ(m + n) = ℓm + ℓn.
(KA) Für alle m, n, p ∈ N mit m + p = n + p ist m = n.
(KM) Für alle m, n, p ∈ N mit pm = pn ist m = n.
Seien m, n ∈ N; wir schreiben m < n, wenn es ein ℓ ∈ N gibt, so dass n = m + ℓ.
Seien a, b, c, d, e ∈ N mit
ae + (be + ce) = de + ce .
Man zeige nur unter Verwendung von den Regeln (A1), (M2), (D), (KA)
und (KM), dass a < d.
Lösung
Es gilt
(A1)
de + ce = ae + (be + ce) = (ae + be) + ce
und daraus ergibt sich nach (KA), dass de = ae + be. Damit ist
(M2)
(M2)
(D)
ed = de = ae + be = ea + eb = e(a + b)
und also ist nach (KM) d = a + b. Folglich ist a < d.
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Aufgabe 2
Die Addition und die Differenz in Z unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle p, q, r ∈ Z ist (p + q) + r = p + (q + r).
(d1) Für alle p, q ∈ Z gilt p = q + (p − q).
(d2) Sind p, q, r ∈ Z mit p = q + r, so ist r = p − q.
(d3) Für alle p, q ∈ Z gilt p = (p − q) + q.
(d4) Sind p, q, r ∈ Z mit p = r + q, so ist r = p − q.
Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass Folgendes gilt:
(1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist (m − n) + (ℓ − m) = ℓ − n.
(2) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist (ℓ − m) + (m − n) = ℓ − n.
(3) Für alle a, b, c, d, e ∈ Z ist
(((a − b) + (c − a)) + (d − c)) + (b − e) = d − e .
Hier darf man nicht benutzen, dass p − q = p + −q.
Lösung
(1) Es gilt
(A1)
(d1)
(d1)
n + ((m − n) + (ℓ − m)) = (n + (m − n)) + (ℓ − m) = m + (ℓ − m) = ℓ
und folglich ist nach (d2) (m − n) + (ℓ − m) = ℓ − n.
(2) Es gilt
(A1)
(d3)
(d3)
((ℓ − m) + (m − n)) + n = (ℓ − m) + ((m − n) + n) = (ℓ − m) + m = ℓ
und folglich ist nach (d4) (ℓ − m) + (m − n) = ℓ − n.
(3) Nach (1) ist (a − b) + (c − a) = c − b und damit ist (wieder nach (1)
((a − b) + (c − a)) + (d − c) = (c − b) + (d − c) = d − b .
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Daraus ergibt sich nach (2), dass
(((a − b) + (c − a)) + (d − c)) + (b − e) = (d − b) + (b − e) = d − e .
Aufgabe 3
Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form m/n mit m, n ∈ Z und n 6= 0. Brüche m/n
und p/q heißen äquivalent, und wir schreiben dann m/n ≈ p/q, wenn mq = pn.
Die folgenden Aussagen fassen die Beziehung zwischen Brüchen und rationalen
Zahlen zusammen:
(Q1) Jedem Bruch m/n wird eine rationale Zahl zugeordnet, die mit [m/n] bezeichnet wird.
(Q2) Für Brüche m/n und p/q gilt [m/n] = [p/q] genau dann, wenn m/n ≈ p/q.
(Q3) Zu jeder rationalen Zahl r gibt es einen Bruch m/n mit r = [m/n].
(Q4) Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Q5) Für jedes n ∈ Z ist n = [n/1].
Seien m/n und p/q Brüche; das Produkt (m/n) · (p/q) von m/n und p/q wird
definiert durch
(m/n) · (p/q) = (mp)/(nq) .
Lemma 1 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt (a/b) · (c/d) ≈ (m/n) · (p/q).
Seien r und s rationale Zahlen; nach (Q3) gibt es dann Brüche m/n und p/q mit
r = [m/n] und s = [p/q]. Das Produkt rs von r und s wird definiert durch:
rs = [(m/n) · (p/q)] .
Nach Lemma 1 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Brüche mit
r = [a/b] und s = [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q, damit
ist nach Lemma 1 (a/b) · (c/d) ≈ (m/n) · (p/q) und daraus ergibt sich nach (Q2),
dass [(a/b) · (c/d)] = [(m/n) · (p/q)]. Die Definition von rs hängt also nicht davon
ab, welche Brüche man wählt, um r und s darzustellen.
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die Aussage
(M1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist (ℓm)n = ℓ(mn)
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über die Multiplikation von ganzen Zahlen zusammen mit der Information aus
dem Vorspann benutzen.
Man zeige: Für alle r, s, t ∈ Q gilt
(rs)t = r(st) .
Lösung
Seien r, s, t ∈ Q; nach (Q3) gibt es Brüche k/ℓ, m/n und p/q mit r = [k/ℓ],
s = [m/n] und s = [p/q]. Nach der Definition von der Multiplikation in Q ist
rs = [(k/ℓ) · (m/n)] und da rs = [(k/ℓ) · (m/n)] und t = [p/q] ist
(rs)t = [((k/ℓ) · (m/n)) · (p/q)] .
Genauso ist st = [(m/n) · (p/q)] und
r(st) = [(k/ℓ) · ((m/n) · (p/q))] .
Ferner ist nach der Definition von der Multiplikation von Brüchen
((k/ℓ) · (m/n)) · (p/q) = ((km)/(ℓn)) · (p/q) = ((km)p)/((ℓn)q)
und
(k/ℓ) · ((m/n) · (p/q)) = (k/ℓ) · ((mp)/(nq)) = (k(mp))/(ℓ(nq)) .
Nun ist nach (M1) (km)p = k(mp) und (ℓn)q = ℓ(nq) und damit ist
((km)p)(ℓ(nq)) = (k(mp))((ℓn)q) .
Dies zeigt, dass ((km)p)/((ℓn)q) ≈ (k(mp))/(ℓ(nq)) und folglich ist
((k/ℓ) · (m/n)) · (p/q) ≈ (k/ℓ) · ((m/n) · (p/q)) .
Daraus ergibt sich nach (Q2), dass
(rs)t = [((k/ℓ) · (m/n)) · (p/q)] = [(k/ℓ) · ((m/n) · (p/q))] = r(st) .
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Aufgabe 4
In dieser Aufgabe darf man lediglich Folgendes über die natürlichen Zahlen verwenden:
(P0) Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält die Zahl 1 und zu jedem
n ∈ N gibt es einen Nachfolger s(n).
(P1) Für alle n ∈ N ist 1 6= s(n). (Die Eins ist kein Nachfolger.)
(P2) Für alle m, n ∈ N mit m 6= n ist s(m) 6= s(n). (Verschiedene Zahlen haben
verschiedene Nachfolger.)
(P3) Es gilt das Prinzip der vollständigen Induktion:
Für jedes n ∈ N sei P(n) eine Aussage. Nehme an:
(⋄) Es gilt P(1).
(⋆) Ist n ein Element von N, für das P(n) gilt, so gilt auch P(s(n)).
Dann gilt P(n) für jedes n ∈ N.
Natürliche Zahlen kann man addieren; die Summe von m und n wird mit m + n
bezeichnet. Die Addition unterliegt den folgenden Regeln:
(a0) Für alle m ∈ N gilt m + 1 = s(m).
(a1) Für alle m, n ∈ N gilt m + s(n) = s(m + n).
Man zeige: Es gilt (1 + m) + n = 1 + (m + n) für alle m, n ∈ N.
Hinweis: (1) Für jedes n ∈ N betrachte man die Aussage P(n): Für alle m ∈ N
gilt (1 + m) + n = 1 + (m + n).
(2) Man zeige zunächst: Für alle m, n ∈ N gilt 1 + (m + s(n)) = s(1 + (m + n)).
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Lösung
Für jedes n ∈ N sei P(n) die Aussage: Es gilt (1 + m) + n = 1 + (m + n) für jedes
m ∈ N.
(⋄) Für alle m ∈ N gilt
(a0)
(a1)
(a0)
1 + (m + 1) = 1 + s(m) = s(1 + m) = (1 + m) + 1 ,
d.h. 1 + (m + 1) = 1 + (m + 1) für alle m ∈ N, und damit gilt P(1).
(⋆) Sei n ein Element von N, für das P(n) gilt; also ist (1 + m) + n = 1 + (m + n)
für alle m ∈ N. Dann gilt
(a1)
(P(n))
(1 + m) + s(n) = s((1 + m) + n) = s(1 + (m + n))
(a1)
(a1)
= 1 + s(m + n) = 1 + (m + s(n))
für jedes m ∈ N, und dies zeigt, dass P(s(n)) gilt.
Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt nun P(n) für alle n ∈ N. Es
gilt also (1 + m) + n = 1 + (m + n) für alle m ∈ N für jedes n ∈ N, und damit
gilt (1 + m) + n = 1 + (m + n) für alle m, n ∈ N.