Summen von 4 und 8 Quadraten

Summen von 4 und 8 Quadraten
Arnaud Fis
Rte du comptoir 7
CH-1700 Fribourg
[email protected]
Universität Freiburg (Schweiz)
18.12.2007
1
Einleitung
In diesem Seminar interessieren wir uns für die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen
Zahl n, die man als Summe von k Quadraten ganzer Zahlen darstellen kann, wobei k eine
natürliche Zahl ist. Wir definieren:
n
o
Ak (n) := # x = (x1 , . . . , xk ) ∈ Zk ; x21 + · · · + x2k = n .
Wir untersuchen nur die Fälle k = 4 und k = 8, wo wir für positive n zeigen werden:
Satz 2.3.
X
d
A4 (n) = 8
4-d, d|n
1≤d≤n
und Satz 3.2
A8 (n) = 16
X
(−1)n−d d3
d|n
1≤d≤n
Der Fall k = 4 ist wesentlich schwieriger als der Fall k = 8. Beginnen wir also mit dem
einfachen Fall:
2
Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe von acht Quadraten
Erinnerung:
• Die Eisensteinreihe in der oberen Halbebene ist von der Form:
X
1
Gk (z) =
(cz + d)k
(c,d)6=(0,0)
mit k > 2.
• Die Thetareihe ϑ(z) definiert durch ϑ(z) :=
∞
X
exp(πin2 z) hat folgende Eigenschaf-
n=−∞
ten:
i) a) ϑ(z + 2) = ϑ(z)
r
z
1
b) ϑ − z =
ϑ(z)
i
ii) lim ϑ(z) existiert und ist 1.
y→∞
r
iii) lim
y→∞
z
i
−1
1
ϑ 1−
z
e−
πiz
4
existiert und ist 2.
1
Desweiteren können wir zeigen (Vortrag Daniel Hoehener)
X
eπiE8 [x]z mit E8 Einheitsmatrix 8 ∗ 8
ϑ8 (z) = ϑ(E8 , z) =
x∈Z8
X
=
2
2
eπix1 z · . . . · eπix8 z
x∈Z8
X
=
2
2
eπiz(x1 +...+x8 )
x∈Z8
setzen wir nun
8
X
x2i = n mit n ∈ [0, ∞)
i=1
∞
X
⇒
=
(
πinz
e
8
· # x = (x1 , . . . , x8 ) ∈ Z ;
n=0
∞
X
8
X
)
x2i
=n
i
A8 (n)eπinz
n=0
Mit Hilfe von ϑ8 ist es uns also möglich A8 (n) auszudrücken. Im Vortrag von Claire Dumas
haben wir gesehen dass wenn wir die Fourierentwicklung der Eisensteinreihe nehmen, wir einen
Ausdruck finden in dem auch die Teilerfunktion vorkommt, dies ist dieselbe Teilerfunktion die
wir auch im Satz von Jacobi für A8 (n) haben. Daher besteht unser Ziel nun darin ϑ8 nicht
als Summe einer Exponentialfunktion sondern mit Hilfe der Eisensteinreihen so zu schreiben ,
dass die charakterisierenden Eigenschaften i)-iii) der Thetareihe erfüllt sind. Sei f eine solche
Funktion, dann muss gelten:
i)
a) f (z + 2) = f (z)
b) f − z1 = z 4 f (z)
ii) lim f (z) existiert
y→∞
iii) lim z
y→∞
−4
f
1
1−
z
e−2πiz existiert
Untersuchen wir jetzt die Eisensteinreihe G4 genauer, ob diese nicht die gesuchte Funktion
ist.
i)
a) G4 (z + 2) = G4 (z) wegen der Periodizität
b) G4 − z1 = z 4 G4 (z) weil
G4
1
−
z
X
=
(c,d)6=(0,0)
= zk
−k
1
c −
+d
z
X
(−c + dz)−k
(c,d)6=(0,0)
=z
k
X
(c0 ,d0 )6=(0,0)
= z k G4 (z)
2
c0 z + d0
−k
ii) lim G4 (z) existiert und ist 2ζ(4) weil,
y→∞


Gk (z) = 2ζ(k) + 2
∞
X



c=1
∞
X
d=−∞
d6=0 falls c=0


1
 (cf. Vortrag Claire Dumas)
k
(cz + d) 


∞
∞
X

 X

1


2ζ(k)
+
2
⇒ lim G4 (z) = lim 


k
y→∞
y→∞
(cz + d) 
c=1
d=−∞ |
{z }
→0
iii) lim z
y→∞
−4
G4
1
1−
z
Wir haben
e−2πiz
1
1 i)b) 4
G4 1 −
= G4 −
= z G4 (z)
z
z
also
z
−4
G4
1
1−
z
e−2πiz = G4 (z)e−2πiz
Der Grenzwert für y → ∞ existiert nicht, weil G4 einen von 0 verschiedenen Grenzwert
hat(cf. ii)) und weil wir weiter haben
−2πiz −2πix 2πy −2πix 2πy e
= e
e = e| {z } e = e2πy
=1
⇒ lim e−2πiz → ∞
y→∞
Also existiert der Grenzwert für z −4 G4 1 −
1
z
e−2πiz nicht.
G4 ist nicht die gesuchte Funktion, machen wir uns also auf die Suche nach einer anderen
Funktion, wobei uns nächster Satz hilfreich ist.
Satz 2.1. Die Funktion
gk (z) := Gk
z+1
2
, k>2
genügt den Transformationsformeln
1) gk (z + 2) = gk (z)
2) gk (−1/z) = z k gk (z)
(Wir interessieren uns für den Fall k = 4)
Beweis: (Anmerkung: gk ist nicht die gleiche Funktion die wir früher schon als g2 und g3
definiert hatten)
Ad 1) gk (z + 2) = gk (z) da die Eisensteinreihen Periode 1 haben.
3
Ad 2) Wir haben
gk
1
−
z
−1/z + 1
1
1
= Gk
= Gk
−
2
2 2z
−k
X 1
1
Def.
c
=
+d
−
2 2z
(c,d)6=(0,0)
X
((c + 2d) z − c)−k
= (2z)k
(c,d)6=(0,0)
X
k
= (2z)
c0 z + d0
−k
(c0 ,d0 )6=(0,0)
c0 +d0 gerade
(c0 , d0 ) = (c+2d, −c)durchläuft alle von (0, 0) verschiedenen Paare ganzer Zahlen, welche
sich nur um eine gerade Zahl unterscheiden. Analog erhält man:
Gk
z+1
2
−k
z+1
c
+d
2
(c,d)6=(0,0)
X
= (2)k
(cz + c + 2d)−k
=
X
(c,d)6=(0,0)
= (2)
X
k
c0 z + d0
−k
(c0 ,d0 )6=(0,0)
c0 −d0 gerade
Auch hier durchläuft (c0 , d0 ) = (c, c + 2d) alle von (0, 0) verschiedenen Paare ganzer
Zahlen, welche sich nur um eine gerade Zahl unterscheiden. Indem man beide Resultat
vergleicht erhält man das gewünschte Resultat.
Schauen wir uns jetzt die Funktion g4 (z) an, ob diese Funktion vielleicht die charakteristischen Eigenschaften von ϑ8 (z) hat.
i) Die Transformationsformeln gelten wegen dem vorigen Satz
ii) lim g4 (z) = 2ζ(4) (gleiche Rechnung wie vorher)
y→∞
iii) lim z
y→∞
−4
g4
1
1−
z
e−2πiz
Wir haben
2 − 1/z
1
1
1
g4 1 −
= G4
= G4 1 −
= G4 −
= (2z)4 G4 (2z)
z
2
2z
2z
Mit dem gleichen Argument wie bei G4 kann man zeigen dass der Grenzwert nicht
existieren kann.
4
Man kann nun aber Linearkombinationen bilden
z+1
, a, b ∈ C
f (z) := aG4 (z) + bG4
2
wo wir versuchen die Konstanten a und b so einzurichten dass die Bedingung iii) erfüllt wird.
Diese Funktion wird nun auch auf ihre charakteristischen Eigenschaften untersucht, und ob
diese mit den Eigenschaften von ϑ8 übereinstimmen.
i) f (z + 2) = f (z) und f − z1 = z 4 f (z) gelten weil die Transformationsformeln für die
Eisensteinreihen gelten die diese Linearkombination bilden.
ii) lim f (z) = 2(a + b)ζ(4) (analoge Rechnung wie vorher)
y→∞
iii) lim z −4 f (z)e−2πiz
y→∞
Bestimmen wir a und b so, dass der Grenzwert existiert. Wir haben:
!
1 − z1 + 1
1
1
f 1−
= aG4 1 −
+ bG4
z
z
2
1
1
+ bG4 1 −
= aG4 −
z
2z
= az 4 G4 (z) + b(2z)4 G4 (2z)
⇒ z −4 f
1−
1
z
e−2πiz = e−2πiz (aG4 (z) + b16G4 (2z))
Man kann nun G4 (z) als eine Potenzreihe in q = e2πiz schreiben(cf Vortrag Benoît
Pointet). Dann erhalten wir
G4 (z) = a0 + a1 q + a2 q 2 + · · · .
Daraus folgt
z
−4
f
1
1−
z
e−2πiz = q −1 [a0 (a + 16b) + höhere Potenzen von q]
Nehmen wir noch die Bedingung a + 16b = 0, dann erhalten wir eine Potenzreihenentwicklung
1
z −4 f (1 − )e−2πiz = c0 + c1 q + · · · .
z
da der Faktor q −1 von höheren Potenzen absorbiert wird.
Weiter haben wir y → ∞ ⇔ q → 0, weil
→−∞
q = e2πiz
z}|{
⇒ lim q = lim e2πiz → 0
y→∞
Also existiert der gewünschte Grenzwert.
5
y→∞
Zusammenfassend haben wir nun
a = −16b ⇒ f (z) = const · ϑ8 (z) (cf. Vortrag Claire Dumas, Theorem 3.2)
Wir wollen noch erreichen dass die Konstante gleich 1 ist, deshalb betrachten wir nochmals
den Limes für y → ∞. Wegen lim ϑ(z) = 1 haben wir lim f (z) = 1
y→∞
y→∞
Also ist 2(a + b)ζ(4) = 1. Zusammen mit der Bedingung a + 16b = 0 finden wir die Werte
a=
16
1
und b = −
30ζ(4)
30ζ(4)
8
Also haben wir nun gefunden dass f (z) = aG4 (z) + bG4 ( z+1
2 ) = ϑ (z).
4
Desweiteren wissen wir ζ(4) = π90 . Unser Resultat lautet nun
Satz 2.2.
3
ϑ (z) = 4
π
8
16G4 (z) − G4
z+1
2
Satz 2.3. (C.G.J. Jacobi, 1829) Für n ∈ N gilt
X
A8 (n) = 16
(−1)n−d d3
d|n
Beweis: Indem wir im vorigen Satz ϑ8 (z) durch
∞
X
A8 (n)eπinz = 1 +
n=0
∞
X
A8 (n)eπinz
n=1
und die Eisensteinreihen durch ihre Fourrierentwicklung
∞
2(2πi)k X
σk−1 (n)q n
Gk (z) = 2ζ(k) +
(k − 1)!
n=1
mit
σα (n) =
X
dα
d|n
ersetzen erhalten wir
∞
X
3
1+
A8 (n)eπinz = 4
π
n=1
=
=
3
π4
∞
32π 4 X
16 2ζ(4) +
σ3 (n)e2πinz
6
∞
z+1
32π 4 X
− 2ζ(4) +
σ3 (n)e2πin 2
6
n=1
n=1
!
∞
∞
π 4 256π 4 X
π 4 16π 4 X
2πinz
n πinz
σ3 (n)e
−2 −
σ3 (n)(−1 )e
32 +
90
3
90
3
n=1
32
+ 256
30
= 1 + 162
!
∞
X
n=1
σ3 (n)e2πinz −
n=1
∞
X
2
− 16
30
σ3 (n)e2πinz − 16
n=1
∞
X
∞
X
σ3 (n)(−1n )eπinz
n=1
σ3 (n)(−1n )eπinz
n=1
Nun müssen wir noch die Koeffizienten der Serien miteinander identifizieren, und dabei 2 Fälle
unterscheiden:
6
!!
• (n ungerade)
A8 (n) = −16σ3 (n)(−1)n = 16
X
(−1)n+1 d3 = 16
d|n
d|n
• (n gerade)
n
A8 (n) = 162 σ3
− 16σ3 (n)
2 n
= 16 16σ3
− σ3 (n)
2


X
X
d3 
= 16 16
d3 −
d|n
2d|n


= 16 2
X
(2d)3 −
{z
4
4:
– Teiler gerade: 2d3 − d3 = d3
– Teiler ungerade: hier nehmen wir nur −d3
X
⇒ A8 (n) = 16
(−1)n−d d3
7
X
d3 
d|n
2d|n
|
d|n
X
}
(−1)n−d d3
3
Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe von vier Quadraten
Erinnerung:
• Die Eisensteinreihe G2 ist definiert als

X
G2 (z) =

c
X
(cz + d)−2
d6=0, falls c=0
•
ϑ4 (z) =
∞
X



A4 (n)eπinz
n=0
(Beweis geht analog zu dem Beweis von ϑ8 )
Wie vorher sehen wir dass A4 (n) mit Hilfe von ϑ4 ausgedrückt werden kann, und wieder wissen
wir vom Vortrag von Claire Dumas dass bei der Fourierentwicklung der Eisensteinreihe die
Teilerfunktion vorkommt. Wir wollen also in diesem Abschnitt ϑ4 mit Hilfe der Eisensteinreihen so schreiben dass die charakteristischen Eigenschaften von ϑ4 erfüllt sind.
Sei f eine solche Funktion, dann muss gelten
i)
a) f (z + 2) = f (z)
r 4
z
1
b) f − z =
f (z) = −z 2 f (z)
i
ii) lim f (z) existiert
y→∞
iii) lim −z
y→∞
−2
f
1
1−
z
e−πiz existiert
Man könnte wieder versuchen eine Linearkombination der Form f (z) := aG4 z+1
+ bG4 (z)
2
zu bilden,
man
würde
aber
nur
eine
Funktion
mit
folgendem
Transformationsverhalten
finden:
f − z1 = z 2 f (z).
Ein anderer Ansatz führt uns aber weiter, nehmen wir f
z f (z) = aG2
+ bG2 (2z)
2
und richten die Konstanten so ein dass die Eigenschaften gelten. Untersuchen wir diese Funktion genauer
i)
a) f (z + 2) = f (z), weil G2 (z + 1) = G2 (z)
b) Wir wissen vom Vortrag von Claire Dumas dass G2 − z1 = z 2 G2 (z) − 2πiz. Also
haben wir
1
1
1
f −
= aG2 −
+ bG2 −
z
2z
z/2
z 2
z = a(2z)2 G2 (2z) − 4πiaz + b
G2
− πibz
2
2
8
Nehmen wir noch die Bedingung b = −4a, dann erhalten wir
z b
1
2
= z 4aG2 (2z) + G2
f −
z
4
2
z = −z 2 aG2
+ bG2 (2z)
2
= −z 2 f (z)
Wir haben jetzt gefunden dass man b mit Hilfe von a ausdrücken kann, also
z f (z) = a G2
− 4G2 (2z)
2
ii) lim f (z) = a (2ζ(2) − 8ζ(2)) weil lim G2 (z) = 2ζ(2) (analoge Rechnung wie vorher)
y→∞
y→∞
1
Somit haben wir auch gleich die Konstante a bestimmt, a = − 6ζ(2)
weil
!
!
lim f (z) = 1 ⇒ a (2ζ(2) − 8ζ(2)) = 1
y→∞
1 −πiz
e
iii) lim −z f 1 −
y→∞
z
Wir müssen also noch f 1 − z1 untersuchen und insbesondere
1) G2 1−1/z
2
2) G2 2 1 − z1
1 −1
die Determinante
Ad 1) Ist etwas trickreich. Zunächst beachte man dass Matrix
2 −1
1 hat, und somit liegt auch (z − 1)(2z − 1)−1 in der oberen Halbebene.
! z − 1 i)b)
2z − 1 2
−1
2z − 1
2z − 1
G2
=
= G2
G2 −
+ 2πi
2z−1
2z − 1
z
−
1
z
−
1
z−1
− z−1
−2
Weil
−
2z − 1
1
= −2 −
z−1
z−1
folgt
G2
z−1
2z − 1
=
2z − 1
z−1
2
2z − 1
z−1
2
G2
1
−
z−1
+ 2πi
2z − 1
z−1
2z − 1
(z − 1)2 G2 (z − 1) − 2πi(z − 1) + 2πi
z−1
2
(2z − 1)
2z − 1
= (2z − 1)2 G2 (z − 1) − 2πi
+ 2πi
z−1
z−1
= (2z − 1)2 G2 (z) − 2πi(4z − 2)
=
Nun muss man noch z durch z/2 + 1/2 ersetzen
−1/z + 1
z 1
2
G2
= z G2
+
− 4πiz
2
2 2
9
Ad 2) G2 2 −
2
z
= G2 − z2 =
z 2
G2
2
z
2
− πiz
Zusammenfassend haben wir nun
z z 1
1
z 2
2
= a z G2
− 4πiz − 4
f 1−
+
G2
− πiz
z
2 2
2
2
z z 1
1
−2
2
2
−2
= −z a z G2
− 4πiz − z G2
⇒ −z f 1 −
+
+ 4πiz
z
2 2
2
z z 1
1
⇒ z −2 f 1 −
= a G2
− G2
+
z
2 2
2
Wir wissen dass man G2 (z) als Potenzreihe in e2πiz schreiben kann, deshalb kann man
G2 (z/2 + 1/2) und G2 (z/2) als Potenzreihen in h := eπiz schreiben. Beide haben denselben 0-Koeffizienten (2ζ(2)).
1
z −2 f (1 − ) = a1 h + a2 h2 + · · ·
z
In unserem Fall interessieren uns die Entwicklungskoeffizienten a1 , a2 , . . . nicht weiter.
Beachtet man nun weiterhin dass y → ∞ ⇔ h → 0, dann folgt
1
z −2 f (1 − ) |{z}
h−1 → a1 , für y → ∞
z
=e−πiz
Somit ist die Existenz des Grenzwertes bewiesen.
Also haben wir endgültig
f (z) =
Desweiteren wissen wir ζ(2) =
z 1 4G2 (2z) − G2
= ϑ4 (z)
6ζ(2)
2
π2
6 ,
also folgt
Satz 3.1.
ϑ4 (z) =
4G2 (2z) − G2 (z/2)
π2
Hieraus können wir uns interessante zahlentheoretische Konsequenzen ziehen
Satz 3.2. (C.G.J. Jacobi, 24.4.1828) Für n ∈ N gilt
X
A4 (n) = # x ∈ Z4 ; x21 + x22 + x23 + x24 = n = 8
d
4-d, d|n
1≤d≤n
Beweis: Ersetzen wir nun ϑ4 (z) durch
∞
X
πinz
A4 (n)e
=1+
n=0
∞
X
n=1
10
A4 (n)eπinz
und die Eisensteinreihen durch ihre Fourrierentwicklung, dann erhalten wir
!
!!
∞
∞
∞
X
X
X
1
σ1 (n)e4πinz − 2ζ(2) − 8π 2
σ1 (n)eπinz
1+
A4 (n)eπinz = 4 4 2ζ(2) − 8π 2
π
n=1
n=1
n=1
!
∞
∞
2
2
X
X
1
π
π
= 4 8 − 32π 2
σ1 (n)e4πinz − 2 + 8π 2
σ1 (n)eπinz
π
6
6
n=1
= 1 − 32
∞
X
n=1
σ1 (n)e4πinz + 8
n=1
∞
X
σ1 (n)eπinz
n=1
Wir müssen noch die Koeffizienten der Serien identifizieren, auch hier unterscheiden wir zwei
Fälle:
• (4 | n)
n
A4 (n) = −32σ1
+ 8σ1 (n)
X4
X
= −32
d+8
d
4d|n
= −8
X
d|n
4d + 8
4d|n
X
d
d|n
Wenn 4 | d erhalten wir: −8d + 8d = 0
Und für 4 - d haben wir 8d
• (4 - n)
A4 (n) = 8σ1 (n)
X
=8
d
d|n
Folgerung 3.3. (J.L. Lagrange, 1770) Jede natürliche Zahl ist als Summe von vier Quadraten
ganzer Zahlen darstellbar.
4
Bibliographie
E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1, Springer Verlag, 1995. Seiten 396-403
11