¨Ubungsblatt 1 – Theoretische Informatik I

Tobias Friedrich, Anton Krohmer
Wintersemester 15/16
Übungsblatt 1 – Theoretische Informatik I
Abgabe 19.10.2015 vor der Vorlesung, im Vorlesungsraum
Es gibt wöchentlich ein Übungsblatt bestehend aus Vorbereitung, Übungsaufgaben
und Knobelaufgaben.
Vorbereitung: Die Vorbereitung wird in der kommenden Woche in der Vorlesung vorausgesetzt und darauf aufgebaut. Um der Vorlesung folgen zu können, ist es
erforderlich, alle Vorbereitungen im Vorfeld zu bearbeiten. Zu Beginn jeder Vorlesung
können Fragen zu der Vorbereitung gestellt werden.
Übungsaufgaben: Die Übungsaufgaben stellen herkömmliche Aufgaben dar und
festigen gelerntes Wissen. Zur Klausurzulassung sind 50% der erreichbaren Punkte der ersten Vorlesungshälfte und 50% der zweiten Vorlesungshälfte zu erreichen.
Überschüssige Punkte können nicht in die zweite Vorlesungshälfte übertragen werden.
Knobelaufgaben: Die Knobelaufgaben stellen besonders kniffelige Herausforderungen dar. Meistens muss man um mehrere Ecken denken und das ganze vorhandene
Wissen anwenden. Korrekt gelöste Knobelaufgaben bringen Bonuspunkte für die jeweils kommende Klausur. Es gibt pro Woche einen Pool von höchstens 10 Punkte
für alle Studierenden. Sollten mehr als 10 die Aufgaben lösen, werden die Punkte
gleichmäßig unter ihnen aufgeteilt. (Lösen zB. 80 Leute die Aufgabe, bekommt jeder
1
Punkte.)
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Generell gilt: Schreiben Sie auf Ihre Abgabe Ihren Namen, und zu welcher
Übungsgruppe Sie gehen. Alle Antworten müssen nachvollziehbar sein. Begründen
Sie daher Ihre Ergebnisse und schreiben Sie strukturierte Beweise.
Vorbereitung. Machen Sie sich mit der While-Sprache vertraut. Arbeiten Sie
dazu alle 3 Seiten der Unit unter https://hpi.de/friedrich/teaching/units/
while-language.html durch.
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Theoretische Informatik I
Tobias Friedrich, Anton Krohmer
Aufgabe 1. (4 Punkte) Geben Sie While-Programme für die folgenden zwei Funktionen an. Sie dürfen (und sollen!) bekannten syntaktischen Zucker benutzen.
(x, y) →
7
x DIV y;
(x, y) →
7
x MOD y.
(1)
(2)
Hierbei sind DIV und MOD die Division und der Modulo-Operator so dass für alle
x, y gilt
(x DIV y) · y + (x MOD y) = x.
Zum Beispiel gilt 15 DIV 7 = 2 und 15 MOD 7 = 1.
Aufgabe 2. (6 Punkte) In dieser Aufgabe wollen wir uns eine Paarbildungsfunktion
herleiten. Effektiv kann man damit zwei beliebige Zahlen n1 , n2 ∈ N in nur einer
While-Variable xi speichern. Wir wollen also While-berechenbare Funktionen pair,
first und second schreiben, sodass für alle Zahlen n1 , n2 ∈ N gilt
first(pair(n1 , n2 )) = n1
und
second(pair(n1 , n2 )) = n2 .
(a) (1 Punkt) Überlegen Sie sich zwei Prozeduren (in Pseudocode, nicht in While)
cod und doc mit den folgenden Eigenschaften. Die Prozedor cod nimmt 2 Strings
und gibt einen String zurück. Die Prozedur doc nimmt einen String und gibt
zwei Strings zurück. Schreiben Sie die Prozeduren so, dass für alle Strings s1 , s2
gilt
doc(cod(s1 , s2 )) = (s1 , s2 ).
(b) (2 Punkte) Geben Sie eine injektive Funktion f : N2 → N an, und beweisen Sie
die Injektivität. Argumentieren Sie, wieso Ihre Funktion While-berechenbar
ist. Sie erhalten 1 Punkt für eine formale, mathematische Beschreibung von f .
(c) (2 Punkte) Geben Sie die Umkehrfunktion f −1 : N → N2 an. Argumentieren
Sie, wieso Ihre Funktion While-berechenbar ist. Sie erhalten 1 Punkt für eine
formale, mathematische Beschreibung von f −1 . (2 Punkte)
(d) (1 Punkt) Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen gleich mächtig ist
zur Menge der natürlichen Zahlen, also dass |Q| = |N|. Zur Erinnerung: Für 2
Mengen A, B gilt |A| ≤ |B|, falls es eine injektive Funktion g : A → B gibt.
(e) (1 Bonuspunkt) Geben Sie eine bijektive Funktion f : N2 → N und zeigen Sie
deren Bijektivität.
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Theoretische Informatik I
Tobias Friedrich, Anton Krohmer
Aufgabe 3. (6 Punkte) Ein Stack ist eine Datenstruktur, in welcher Objekte gespeichert werden können. In unserem Fall sind diese Objekte natürliche Zahlen n ∈ N.
Auf einem Stack können drei Operationen ausgeführt werden: push(x, S) legt ein Element x “auf” den Stack S. pop(S) nimmt ein Element von dem Stack S herunter und
gibt es zurück. isempty(S) prüft, ob der Stack S leer ist und gibt dementsprechend
entweder 1 oder 0 zurück.
In dieser Aufgabe wollen wir einen Stack in While implementieren. Sie dürfen
(und sollen!) bekannten syntaktischen Zucker benutzen.
(a) (1 Punkt) Beschreiben Sie, wie man einen Stack von natürlichen Zahlen
n1 , . . . , ni ∈ N in einer einzigen natürlichen Zahl n speichern kann. Gehen Sie
dabei darauf ein, wie ein leerer Stack dargestellt wird.
(b) (2 Punkte) Implementieren Sie die push(x, S) Operation in While.
(c) (2 Punkte) Implementieren Sie die pop(S) Operation in While.
(d) (1 Punkt) Implementieren Sie die isempty(S) Operation in While.
Knobelaufgabe. (1 Klausurpunkt) Sei S eine beliebige Menge. Wir definieren 2S :=
{T | T ⊆ S}. Zeigen Sie, dass |2S | |S|.
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