Mathematische Rechenmethoden II - staff.uni

Mathematische Rechenmethoden II
Blatt 6 - Abgabe: Mi. 22.06.2016 14 Uhr
SoSe 2016
F. Schmid
Abgabe der Lösungen im roten Kasten Nr. 34 im Erdgeschoss des Physik-Gebäudes (Staudingerweg 7).
Präsenzübungen (P), Hausaufgaben (H)
1. Aufgabe (P, Punkte: 1+1): Satz von Stokes
Verifizieren Sie den Satz von Stokes
~ ×W
~ (x, y, z) · dA
~=
∇
G
R
H
~ (x, y, z) = −y, yz 2 , y 2 z
W
∂G
~ (x, y, z) · d~r für das Vektorfeld:
W
T
Integrieren sie über die Fläche G mit G = {(x, y, z)|z 2 = 1 − x2 − y 2 , 0 ≤ z ≤ 1}.
Hinweis: Machen Sie sich als erstes klar, welche Fläche durch G beschrieben wird. Ein guter Ansatz
ist immer Extremwerte einzusetzen (hier: z = 0 und z = 1). Wenn Sie die Fläche kennen ist es
einfach, die Fläche und den Rand der Fläche zu parametrisieren. Die dazu benötigten krummlinigen
Koordinatensysteme haben Sie bereits häufig gesehen.
2. Aufgabe (H, Punkte: 1+2+2+1): Möbiusband
Gegeben sei ein Möbiusband F der Breite L mit Radius R > L. Die Breite L gibt dabei die Breite des
verwendeten Streifens an. Der Radius R beschreibt den maximalen Radius, wenn man das Band auf
die x-y-Ebene projiziert (rechts außen in der rechten Abbildung).
Die Oberfläche des Möbiusbands kann parametrisiert werden durch:

 

x(u, α)
(R − u sin(α/2)) cos(α)
L
L
~r(u, α) = y(u, α) =  (R − u sin(α/2)) sin(α)  ,
− ≤u≤ ,
2
2
z(u, α)
u cos(α/2)
1
0 ≤ α < 2π
Die Randkurve C = ∂F des Bandes wird wie folgt parametrisiert:
~rC (t) = ~r(L/2, t),
0 ≤ t < 4π
Betrachten Sie das Vektorfeld:
V~ (x, y, z) =
T
−y
x
,
,0
x2 + y 2 x2 + y 2
~ × V~ . Schließen Sie hieraus auf den Wert des Oberflächenintegrals:
a) Berechnen Sie ∇
Z ~
~
~
∇ × V · dA.
F
b) Zeigen Sie:
∂
∂α
~r (u, α) · V~ (x (u, α) , y (u, α) , z(u, α)) = 1, ∀u ∈ R.
c) Berechnen Sie das Kurvenintegral von V~ über die Randkurve C:
Z
V~ · d~r
C
mit Hilfe von Teilaufgabe b).
d) Vergleichen Sie das Ergebnis aus a) mit dem aus Teilaufgabe c) und interpretieren Sie den Unterschied.
3. Aufgabe (H, Punkte: 1): Magnetische Monopole
~ ·B
~ = 0, dass innerhalb der
Zeigen Sie mithilfe des Satz von Gauß und der Maxwell-Gleichung ∇
elektromagnetischen Theorie keine magnetischen Monopole existieren können.
Hinweis: Orientieren Sie sich an Aufgabe 1 von Blatt 5.
Bemerkung: Umgekehrt gilt damit auch: Die Beobachtung eines magnetischen Monopols würde die
allgemeine Gültigkeit der Maxwell-Gleichungen widerlegen!
4. Aufgabe (H, Punkte: 2): Elektrisches Feld einer Punktladung
Berechnen Sie das elektrische Feld einer Punktladung. Die Ladungsdichte einer Punktladung ist definiert
durch ρ(~r) = qδ(~r).
Hinweis/Bemerkung: Die Intention dieser Aufgabe ist, dass die einzelnen Schritte von der Maxwell~ ·E
~ = 1 ρ(~r) bis zur Lösung des elektrischen Feldes klar nachvollziehbar sind. Sie können
Gleichung ∇
0
gerne Wissen aus vorangegangen Aufgaben verwenden, allerdings sollten Sie die dort gemachten Schritte
nochmal explizit ausführen.
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