Untitled

L
BERK El
B RA
I
UNIVERSITY OF
CALIFORNIA
*****
MATH.STAT.
un
GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE
VON
O.
PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT GOTTINGEN.
ZWEITE, DURCH ZUSATZE VERMEHRTE UND MIT FUNF ANHANGEN
VERSEHENE AUFLAGE.
MIT ZAHLREICHEN IN DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN.
LEIPZIG,
DEUCK UND YERLAG YON
1903.
B. G.
TEUBNER.
4
MATH-STAT.
ALLE BECHTE, EINSCHLLBSZLICH DBS 0BEESETZUNGSKECHTS, VOEBEHALTEN.
Q/UH
~H.
.T.
Inhalt.
Grundlagen der Geometric.
Aus
der Festschrift zur Feier der EnthiUlung des
GauB -&quot;Weber - Denkmals
in Gottingen, Leipzig 1899.
Seite
1
Einleitung
Kapitel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
Die fimf Axiomgruppen.
Die Elemente der Geometric und die
2
Die Axiomgruppe
Die Axiomgruppe
4
fiinf Axiomgruppen
Axiome der Verkniipfung
II: Axiome der Anordnung
Folgerungen aus den Axiomen der Verkniipfung und der Anordnung
Die Axiompruppe III: Axiome der Kongruenz
Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz
Die Axiomgruppe IV: Axiom der Parallelen (Euklidisches Axiom) ...
Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit
I:
.
Kapitel
10.
I.
II.
5
7
10
15
16
Die &quot;Widerspmchslosigkeit nnd gegenseitige Unabhangigkeit
der Axiome.
Die Widerspruchslosigkeit der Axiome
Die Unabhangigkeit des Parallelenaxioms (Nicht-Euklidische Geometric)
Die Unabhangigkeit der Kongruenzaxiome
Die
.
2
Unabhangigkeit
der
Stetigkeitsaxiome
V
(Nicht
-
18
.
20
20
Archimedische
22
Geometrie)
Kapitel
III.
Die Lehre von den Proportioned
13.
Komplexe Zahlensysteme
24
14.
Beweis des Pascalschen Satzes
Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Satzes
Die Proportionen und die Ahnlichkeitssatze
26
35
17.
Die Gleichungen der Geraden und Ebenen
36
18.
Die Zerlegungsgleichheit und Inhaltsgleichheit von Polygonen
Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Hohe
Das InhaltsmaB von Dreiecken und Polygonen
Die Inhaltsgleichheit und das InhaltsmaB
15.
16.
Kapitel IV.
19.
20.
21.
Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
Kapitel V.
22.
23.
31
39
....
41
42
45
Der Desarguessche Satz.
Der Desarguessche Satz und der Beweis desselben in der Ebene mit Hilfe
der Kongruenzaxiome
Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene ohne
Hilfe der Kongruenzaxiome
M 775838
47
49
IV
Inhalt.
Seite
25.
Einfuhrung einer Streckenrechnung ohne Hilfe der Kongruenzaxiome auf
Grund des Desarguesschen Satzes
Das kommutative und assoziative Gesetz der Addition in der neuen
26.
Das
24.
53
55
Streckenrechnung
assoziative Gesetz der Multiplikation
und
die beiden
distributiven
56
29.
Gesetze in der neuen Streckenrechnung
Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Streckenrechnung ...
Der Inbegriff der Strecken aufgefaBt als komplexes Zahlensystem
Aufbau einer raumlichen Geometric mit Hilfe eines Desarguesschen
Zahlensystems
Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes
64
30.
27.
28.
....
Kapitel VI.
Der Pascalsche Satz.
Zwei S atze fiber die Beweisbarkeit des Pascalschen Satzes
Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Archimedischen Zahlen
33.
Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Nicht -Archimedischen
34.
Zahlensystem
Beweis der beiden Satze uber den Pascalschen Satz (Nicht -Pascalsche
35.
Beweis eines beliebigen Schnittpunktsatzes mittels des Desarguesschen
und des Pascalschen Satzes
72
Kapitel VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome
Die geometrischen Konstruktionen mittels Lineals und EichmaBes
Analytische Darstellung der Koordinaten konstruierbarer Punkte
I
IV.
....
....
38.
Die Darstellung algebraischer Zahlen und ganzer rationaler Funktionen
als Summe von Quadraten
39.
Kriterium fur die Ausfuhrbarkeit geometrischer Konstruktionen mittels
Lineals
und EichmaBes
78
I.
gerade Linie als kiirzeste Verbindung zweier Punkte,
Ann. Bd. 46
Anhang
tiber
76
79
Anhang
die
73
82
SchluBwort
tiber
69
71
Geometrie)
36.
67
68
system
37.
63
66
32.
31.
60
aus
Math.
83
II.
den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck,
aus den Proceedings of the London Math. Society Vol. 35
88
Anhang III.
Neue Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie, aus Math. Ann.
107
Bd. 57 1903
Anhang
tiber die
IV.
Grundlagen der Geometrie, aus Math. Ann. Bd. 56 1902
Anhang
121
V.
von konstanter GauBscher Kriimmung, aus den Transactions of the
Americain Math. Society Vol. 2 1901
tiber Flachen
162
Verzeichnis der Begriffsnamen.
Verzeictnis der BegriffsnameD.
Die den Begriffsnamen beigefUgten Zahlen bezeichnen diejenigen Seiten des Buches, auf denen der
Begriff erklart
Axiom der Abgeschlossenheit des Systems
der Bewegungen 125.
Archimedisches
1st.
Inhaltsgleichheit 39, 101.
InhaltsmaB des Dreiecks 43.
16, 92.
der Gruppeneigenschaft
der Bewegungen 124.
Polygons 44.
des
Systems
Jordansche Kurve 122.
der Dreu ikskongruenz 9.
der Dreieckskongruenz in engerer Fas-
sung 91.
der Nachbarschaft
Jordansches Gebiet 122.
Kongruenz von Strecken
Winkeln
92.
Dreiecken
-
- Parallelen-
15, 92.
sich schneidender
und nicht
Figuren
schnei-
dender Geraden 109.
der unendlichen Anzahl der Drehungen
7.
8.
10.
14.
Kreis 16.
wahrer
124.
Zahlen- 128.
124.
Vollstandigkeits- 16.
Nebenwinkel
Axiome der Anordnung 4, 83,
- der Kongruenz 7, 90, 108.
- der Stetigkeit
Parallelenaxiorn 15, 92.
Pascalscher Satz (Satz 21) 27.
16, 84, 92.
der Verkniipfung
2,
83, 89, 107.
6.
Polygon
Zerfallen
Bewegung
124.
Punkt
Desarguesscher Satz (Satz 33)
Drehung
10.
89, 108.
48.
2,
und Zusammensetzen
39.
123.
Rechter Winkel
10.
124.
Scheitelwinkel 10.
Ebene
2,
122, 123.
Geraden
Geraden in einer Ebene 6.
einer Ebene 7.
Seite eines Punktes auf einer
Zahlen- 122.
EichmaB
einer
74.
Elemente der linearen Geometric
ebenen Geometric 2.
raumlichen Geometrie
Ende
einer Halbgeraden 110.
Figur
14.
2.
2.
Spiegelbild 110.
Strecke 4.
Streckenprodukt
Streckenzug
Winkel
Geometrie, Nicht-Archimedische 22.
32.
6.
8.
Zahlenebene 122.
Nicht-Desarguessche 49.
Nicht-Euklidische 20.
Zahlenkreis 128.
Nicht-Pascalsche 71.
Zahlensystem, komplexes 26.
Archimedisches 26.
Nicht-Pythagoraische 102*
Gerade 2.
wahre
158.
Nicht-Archimedisches
26.
Desarguesseb.es 64.
Zerlegungsgleichheit 39, 101.
Halbdrehung
150.
Zwischen
4.
6.
So fangt denn alle menschliche Erkenntnia
mit Anachauungen an, geht von da zu Begriffen
und endigt mit Ideen.
Kant, Kritik der reinen Vernunft,
Elementarlehre 2. T. 2. Abt.
Einleitung.
Die Geometric bedarf
zu ihrem
ebenso wie die Arithmetik
Diese Grund
folgerichtigen Auf bau nur weniger und einfacher Grundsatze.
Die Aufstellung der Axiome der
satze heifien Axiome der Geometric.
Geometric und die Erforschung ihres Zusammenhanges ist eine Aufgabe,
die seit Euklid in zahlreichen vortrefflichen Abhandlungen der mathe1
Die bezeichnete Aufgabe lauft
auf die logische Analyse unserer raumlichen Anschauung hinaus.
Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, fur die Geometric
matisclien Literatur
)
sich erortert findet.
vollstandiges und moglichst einfaches System von Axiomen aufund aus denselben die wichtigsten geometrischen Satze in der
Weise abzuleiten, daB dabei die Bedeutung der verschiedenen Axiomgruppen und die Tragweite der aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden
ein
zustellen
Folgerungen moglichst klar zu Tage
tritt.
1) Man
vergleiche die zusammenfassenden und erlauternden Berichte von
G. Veronese, ,,Grundzuge der Geometric&quot;, deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894 (Anhang), und F. Klein, ,,Zur ersten Verteilung des Lobatschefsky-Preises&quot; Math. Ann.
,
Bd. 50.
Hilbert, Grundlageu der Geometric.
Kapitel
I.
Die fiinf Axiomgruppen.
l.
Die Elemente der Geometrie und die
Wir denken
Erklarung.
die
A
Dinge
B, C,
bezeichnen
.
y
.
drei
fiinf
Axiomgruppen.
verschiedene
Systeme von Dingen:
des erst en Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit
die Dinge des zweiten Systems nennen wir Gerade und
.
;
Dinge des dritten Systems nennen
die Punkte heiBen auch
/3
y,
die Elemente der linearen Geometrie, die Punkte und Geraden heiBen die
Elemente der ebenen Geometrie und die Punkte, Geraden und Ebenen heiBen
sie
mit
.
a, b, c,
.
.
;
wir Ebenen und bezeichnen
sie
die
mit
a,
;
.
.
.
;
Raumes.
die Elemente der rdumlichen Geometrie oder des
Wir denken
Punkte, Geraden, Ebenen in gewissen gegenseitigen
und
diese Beziehungen durch Worte wie ,,liegen&quot;;
bezeichnen
Beziehungen
die
,,zwischen&quot;, ,,parallel&quot;,
standige Beschreibung
Geometrie.
die genaue und volldurch
die Axiome der
Beziehungen erfolgt
,,kongruent&quot;,
dieser
,,stetig&quot;;
Die Axiome der Geometrie gliedern sich in
fiinf
Gruppen; jede
ein-
Gruppen driickt gewisse zusammengehorige Grundtatsachen
unserer Anschauung aus.
Wir benennen diese Gruppen von Axiomen in
zelne
dieser
folgender Weise:
I
1
8.
II
1
4.
III 1
6.
IV.
V
1
2.
Axiome der Verknupfung,
Axiome der Anordnung,
Axiome der Kongruenz,
Axiom der Parallelen,
Axiome der Stetigkeit.
2.
Die Axiomgrnppe
I:
Axiome der Verkniipfung.
Die Axiome dieser Gruppe stellen zwischen den oben erklarten Begriffen Punkte, Geraden und Ebenen eine Verkniipfung her und lauten
wie folgt:
Kap.
Zwei von einander
I 1.
Gerade
verschiedene Punlde A,
B
bestimmen
stets eine
werden wir auch andere Wendungen gebrauchen,
,,und durch&quot; B, a ,,verbindet&quot; A ,,und&quot;
ein Punkt 1st, der mit einem anderen Punkte
bestimmen&quot;
,,geht durch&quot; A
B. Wenn A
B. a
oder
3
2.
a.
Statt
z.
Die funf Axiomgruppen.
I.
mit&quot;
7&amp;gt;
zusammen
dungen:
Punkt&quot;
Gerade a bestimmt,
die
A
A
auf&quot;
,,liegt
; ,auf&quot;
a
u.
a,
s.
w.
A
,ist
;
gebrauchen wir auch die
so
ein
Wenn A
Punkt
von&quot;
a,
,,es
Wen
gibt den
auf der Geraden a und auBerdem
auf einer anderen Geraden b
liegt, so gebrauchen wir auch die Wendung:
,,haben den Punkt A gemein&quot; u. s. w.
Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden be
,,die Geraden&quot;
I 2.
stimmen
,,und&quot;
b
diese Gerade.
I 3.
Ebene
a
Auf
einer
Geraden gibt
es
stets
wenigstens zwei Punkte, in einer
auf einer Geraden gelegene Punkte.
Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte A, B, C
bestimmen stets eine Ebene cc.
gibt es stets wenigstens drei nicht
I 4.
Wir gebrauchen auch die Wendungen: A, B, C
A, B, C ,,sind Punkte von&quot; a u. s. w.
I 5.
Geraden
,,liegen
in&quot;
a;
Irgend drei Punkte einer Ebene} die nicht auf ein und derselben
liegen, bestimmen die Ebene a.
I 6.
Wenn
B
zwei Punkte A,
einer Geraden a
Punkt von a in der Ebene a.
in
einer
Ebene a
liegen, so liegt jeder
u.
s.
I 7.
sie
die Gerade a liegt in der
In diesem Falle sagen wir:
w.
Wenn
zwei Ebenen
cc,
einen
/3
wenigstens noch einen weiteren Punkt
Punkt
B
A
Ebene
a
gemein haben, so haben
gemein.
Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.
Die Axiome I 1 3 mogen die ebenen Axiome der Gruppe I heifien
zum Unterschied von den Axiomen I 4 8, die ich als die rdumlichen
18.
Axiome der Gruppe
Yon den
I bezeichne.
Satzen, die aus den
Axiomen
I 1
8 folgen, erwahne ich
nur diese beiden:
Satz
1.
Zwei Geraden einer Ebene haben einen oder keinen Punkt
gemein; zwei Ebenen haben keinen Punkt oder eine Gerade gemein; eine
Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben keinen oder einen
Punkt gemein.
Satz 2. Durch
sowie
auch
Punkt gibt
durch
und einen nicht auf ihr liegenden Punkt,
zwei verschiedene Geraden mit einem gemeinsamen
eine Gerade
es stets eine
und nur
eine Ebene.
1*
4
Kap.
I.
Die
fiinf
3.
Axiomgruppen.
3.
Die Axiomgruppe
Axiome der Anordnnng 1 ).
II:
Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff zwischen&quot; und ermoglichen auf Grund dieses Begriffes die Anordnung der Punkte auf einer
,;
Geraden in einer Ebene und im Raume.
;
Punkte einer Geraden stehen in gewissen Bezu
deren Beschreibung uns insbesondere das Wort
ziehungen zueinander,
Erklarung.
Die
dient.
,^wischen&quot;
~7?
A
**
C und A.
Wenn A und C
einer
Wenn A, B, C Punkte
Geraden sind, und
zwi
schen
A
II 1.
C
~
B
und
C
liegt, so liegt
B
auch zwischen
II 2.
zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt
stets
l
J3
C
J)
B,
wenigstens
der zwischen
liegt,
Punkt D,
so daft
C
A
zwischen
und
D
und
A
es
Punkt
einen
und
C
einen
wenigstens
liegt.
Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es
nur einen, der zwischen den beiden andern liegt.
II 3.
stets
und
einen
Erklarung. Wir betrachten auf einer Geraden a zwei Punkte A
und 5; wir nennen das System der beiden Punkte A und B eine Strecke
und bezeichnen dieselbe mit AB oder mit BA. Die Punkte zwischen A
und B heiBen Punkte der Strecke AB oder auch innerhalb der Strecke
AB
B
heiBen Endpunkte der Strecke
gelegen; die Punkte A,
Punkte
der
Geraden
a
heiBen aufterhalb der Strecke
ubrigen
AB.
Alle
AB gelegen.
II 4.
Es
seien
A, B,
C
drei nicht in gerader Linie gelegene
und a
eine
Gerade in der Ebene
Punkte
ABC,
die
Punkte A, B, C trifft: wenn dann
Gerade a durch einen Punkt der Strecke
Jceinen der
die
AB
gehtj
so geht sie gewifi auch entweder
durch einen Punkt
der
Strecke
durch einen Punkt der Strecke
Die Axiome
II 1
BC
oder
AC.
3 enthalten nur Aus-
sagen iiber die Punkte auf einer Geraden
und mogen daher die linearen Axiome der
1)
Diese Axiome hat zuerst
M. Pasch
in
metrie, Leipzig 1882, ausfiihrlich untersucht.
haltlich von M. Pasch her.
seinen Vorlesungen iiber neuere GeoInsbesondere ruhrt das Axiom II 4 in-
Kap.
Die
I.
fiinf
Axiomgruppen.
3,
5
4.
Gruppe II heifien; das Axiom II 4 enthalt eine Aussage iiber die Elemente
der ebenen Geometric und heifie daher das ebene Axiom der Gruppe IE.
4.
Folgerungen aus den Axiomen der Verkniipfung und der Anordnung.
Aus den Axiomen I und II folgen die nachstehenden Satze:
Satz 3. Zwischen irgend zwei Punkten einer Geraden gibt
es stets
unbegrenzt viele Punkte.
Satz 4. Sind irgend vier Punkte einer Geraden gegeben, so lassen
sich dieselben stets in der Weise mit A, B, C,
bezeichnen, da8 der mit
D
~B
und C und auch zwischen A und D
bezeichnete Punkt zwischen A und D und auch
A
bezeichnete Punkt zwischen
C
und ferner der mit
zwischen B und
D
1
liegt
).
Satz 5 (Verallgemeinerung von Satz 4). Sind irgend eine endliche
Anzahl von Punkten einer Geraden gegeben, so lassen sich dieselben stets
in der Weise mit A, B, C, D, E,
bezeichnen, dafi der mit B be
zeichnete Punkt zwischen A einerseits und C D, E,
andererseits,
.
.
.
,
K
.
A
$
*
B
C
.
AuBer
dieser Bezeichnungsweise
zeichnungsweise K,
heit
.
.
.
,
E, D, C,
K
1
(
i
einerseits und D, E,
zwischen A,
und E,
C
einerseits
zwischen A, B,
,
ferner
D
K
.
K
E
C3
-
i
.
,
}
.
.
.
K
.
.
,
K
andererseits, sodann
andererseits u.
s.
w.
liegt.
nur noch die umgekehrte BeB, A, die von der namlichen Beschaffengibt
es
ist.
Jede Gerade a, welche in einer Ebene a liegt, trennt die nicht
auf ihr liegenden Punkte dieser Ebene a in zwei Gebiete, von folgender Be-
Satz
6.
schaffenheit:
em jederPunkt-4
des einen Gebietes bestimmt
B
des anmit jedeni Punkt
deren Gebietes eine Strecke
AS,
innerhalb
derer
ein
Punkt der Geraden a liegt;
dagegen bestimmen irgend
zwei Punkte A und A ein
und desselben Gebietes
Strecke
AA
,
T&amp;gt;
eine
2
welche keinen Punkt von a enthalt ).
als Axiom bezeichnete Satz ist von E. H. Moore,
1) Dieser in der ersten Auflage
Transactions of the American Mathematical Society 1902, als eine Folge der aufund der Anordnung erkannt worden.
gestellten ebenen Axiome der Verknupfung
2)
Vgl. den Beweis bei
M. Pasch
1.
c.
S. 25.
Kap.
Die
I.
fiinf
Es seien A, A 0, B vier Punkte einer Geraden o, so
und B, aber nicht zwischen A und A liegt; dann
Punkte A, A liegen in der Geraden a auf ein und der
selben Seite vom Punkte 0)
O
JB
und die Punkte A, B liegen
Erklarung.
da6
sagen wir: die
A
,
A
zwischen
-A
4.
Axiomgruppen.
schiedenen Seiten
vom Punkte
in der Geraden a auf verDie samtlichen auf ein und derselben
0.
von
gelegenen Punkte der Geraden a heiBen auch ein von
ausgehender Halbstrdhl; somit teilt jeder Punkt einer Geraden diese in
zwei Halbstrahlen.
Seite
Indem wir die Bezeichnungen des Satzes 6 benutzen,
Punkte A,
liegen in der Ebene a auf ein und derselben
Seite von der Geraden a und die Punkte A, B liegen in der Ebene a auf
verschiedenen Seiten von der Geraden a.
Erklarung.
A
sagen wir: die
KL
Ein System von Strecken AB, BC, CD,
heifit
.,
Punkte A und L miteinander verbindet; dieser
bezeichnet. Die Punkte
Streckenzug wird auch kurz mit
innerhalb der Strecken AB,BC, CD,
sowie
die Punkte A,B,C,D,
., KL,
L
heiBen
K,
insgesamt die Punkte des Streckenzug es. Fallt insbeson-
Erklarung.
.
.
ein Streckenzug, der die
ABCD
.
.
.
.
.
.
KL
,
dere der
Punkt
L
mit dem Punkt
Polygon genannt und
Strecken AB, BC, CD,
ein
Die Punkte
3, 4,
.
.
A
.
,
}
B, C, D,
.
als
.
.
mit
.
.
.
.
,
.
,
zusammen,
ABCD
Polygon
KA
heiBen
K heiBen
n Ecken heiBen
Wenn
A
die
auch
so wird der Streckenzug
.
.
.
die
K
bezeichnet.
Seiten
des
Ecken des Polygons.
bez. Dreiecke, Vierecke,
.
.
.
}
Die
Polygons.
Polygone
n-Ecke.
Ecken eines Polygons samtlich voneinander
verschieden sind und keine Ecke des Polygons in eine Seite fallt und
endlich irgend zwei Seiten eines Polygons keinen Punkt miteinander
Erklarung.
die
gemein haben, so heifit das Polygon einfach.
Mit Zuhilfenahme des Satzes 6 gelangen wir
jetzt
ohne erhebliche
Schwierigkeit zu folgenden Satzen:
Satz
7.
Ein jedes einfache Po
lygon, dessen Ecken samtlich in einer
Ebene a liegen, trennt die Punkte
dieser
Ebene
a, die
nicht
dem Strecken-
zuge des Polygons angehoren, in zwei
Gebiete, ein Inneres und ein AuBeres,
von folgender Beschaffenheit: ist A
ein Punkt
des
Inneren (innerer
Punkt) und
B
ein
Punkt des AuBe-
ren (auBerer Punkt), so hat jeder
mit
Streckenzug, der
verbindet,
A
B
Kap.
I.
Die
mindestens einen Punkt mit
fiinf
Axiomgruppen.
4,
dem Polygon gemein;
zwei Punkte des Inneren und B,
es stets Streckenziige, die
mit
A
B
A
5.
sind
7
A
dagegen A,
zwei Punkte des AuBeren, so gibt
und
mit
verbinden und keinen
B
B
Punkt mit dem Polygon gemein haben. Es gibt Gerade in a, die ganz
im AuBeren des Polygons verlaufen, dagegen keine solche Gerade, die
ganz im Inneren des Polygons verlauft.
Satz 8. Jede Ebene a trennt die iibrigen Punkte des Raumes in
zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit: jeder Punkt A des einen Gebietes
bestimmt mit jedem Punkt
B
des andern Gebietes eine Strecke
AB,
innerhalb derer ein Punkt von a liegt; dagegen bestimmen irgend zwei
Punkte von
und
eines und desselben Gebietes stets eine Strecke
A,
A
A
A
Punkt von a enthalt.
Erklarung, Indem wir die Bezeichnungen dieses Satzes 8 benutzen,
sagen wir: die Punkte A,
liegen im Raume auf ein und derselben Seite
von der Ebene a und die Punkte A, B liegen im Raume auf verscliiedenen
Seiten von der Ebene a.
Der Satz 8 bringt die wichtigsten Tatsachen betreffs der Anordnung
der Elemente im Raume zum Ausdruck; diese Tatsachen sind daher
die keinen
A
lediglich
Folgerungen aus den bisher behandelten Axiomen und
Gruppe II keines neuen raumlichen Axioms.
es
be-
durfte in der
Die Axiomgruppe III:
Axiome der Kongruenz.
Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff der Kongruenz
und damit auch den der Bewegung.
Die Strecken stehen in gewissen Beziehungen zuErklarung.
u
einander, zu deren Beschreibung uns die Worte Congruent&quot; oder ,,gleich
dienen.
III.
Wenn A,
1.
B
zwei Punkte auf einer Geraden a und ferner
derselben oder einer anderen Geraden a
ein PunJct
so
auf
ist,
stets einen
auf einer gegebenen Seite der Geraden a von
einen Punkt B finden, so daft die Strecke
der Strecke A
A
AB
oder gleich
ist,
Jede Strecke
B
A
kann man
und nur
kongruent
in Zeichen:
ist sich selbst
kongruent,
AB^AB
Wir sagen auch
d. h.
es ist stets:
und
kiirzer: eine jede Strecke
Seite einer gegebenen Geraden
kann auf einer gegebenen
von einem gegebenen Punkte
bestimmter Weise abgetragen werden.
in eindeutig
8
Kap.
III.
Wenn
2.
der Strecke
eine
wenn
Es
AB
seien
und
BC
und
oder
ist,
so ist
A I?
als
A&quot;B&quot;
auch
Con
A&quot;B&quot;,
zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte
und
C zwti Strecken auf der-
B
C
A
-B
C&quot;
cu
a
1
i
Geraden a
anderen
Strecke
I? der Strecke
A&quot;B&quot;.
B
einer
ABBAS
auch
AB =
JL
wenn dann
der
A
auch
AB
Geraden a und ferner
1
selben
soivohl
ist
AB =
3.
auf der
so
ist,
5.
Axiomgruppen.
AB
AB = AB
so ist auch
III.
fiinf
Strecke
kongruent
A&quot;B&quot;
gruent, d. h.
Die
I.
und
ebenfalls
ohne gemeinsame Punkte;
BC=B C
f
stets
AC = ACT.
Erklarung.
Es
sei
a eine beliebige Ebene und h, k seien irgend
ausgehende Halbstrahlen in a, die
zwei verschiedene von einem Punkte
verschiedenen Geraden angehoren.
Das System dieser beiden Halb
Winkel und bezeichnen denselben mit
nennen wir einen
strahlen h, k
^C (k, h). Aus den Axiomen II 1 4 kann leicht gewerden, da6 die Halbstrahlen h und &, zusammengenommen
mit dem Punkte
die iibrigen Punkte der Ebene K in zwei Gebiete
&amp;lt;;
(h } k) oder mit
schlossen
von folgender Beschaffenheit teilen: Ist A ein Punkt des einen und B
ein Punkt des anderen Gebietes, so geht jeder Streckenzug, der A mit B
oder hat mit h oder k wenigstens einen
verbindet, entweder durch
Punkt gemein; sind dagegen A,
Punkte desselben Gebietes, so gibt
A
es stets einen Streckenzug,
noch
durch
dieser
einen
beiden
Strecke,
die
Punkt
Gebiete
irgend
ist
zwei
A
A
der
verbindet und weder durch 0,
Halbstrahlen h, k hindurchlauft.
Eines
vor
dem anderen
der
Punkte
mit
dieses
ausgezeichnet, indem jede
ausgezeichneten Gebietes ver
bindet, stets ganz in demselben liegt; dieses ausgezeichnete Gebiet heifie
das Innere des Winkels (h, K) zum Unterschiede von dem anderen Ge
welches
Aufiere des Winkels (h, K) genannt werden nidge.
Die Halbstrahlen h, k heiBen Schenkel des Winkels und der Punkt
heiBt der Scheitel des Winkels.
biete,
das
Erklarung. Die Winkel stehen in gewissen Beziehungen zueinander,
zu deren Bezeichnung uns ebenfalls die Worte ,,kongruentf oder ,,gleich&quot;
dienen.
Es
Gerade a
Es
geben.
dann
ausgeht:
fiinf
9
5.
Axiomgruppen.
-^.(h,K) in einer Ebene a und eine
in einer Ebene a, sowie eine bestimmte Seite von a auf K gebedeute ~ti einen Halbstrdhl der Geraden a, der vom PunJcte
4.
III.
Die
I.
Kap.
ein
sei
in
es
gibt
Wirikel
der
einen
Ebene a
und nur einen Halb
f
strdhl k
ist
und
zugleich alle
von a
Seite
kongruent oder gleich dem Wirikel (h , k }
inneren Purikte des Winkels (h y k } auf der gegebenen
Winkel
so daft der
,
(h, k)
Zeichen:
liegen, in
(M) *&amp;lt;?,#).
Winkel
Jeder
ist sich selbst
d. h.
kongruent,
= 3: (h,k)
3: (h, k)
und
^
es ist stets
(h, k}
=
&amp;lt;
(*, h).
sagen auch kurz: ein jeder Winkel kann in einer gegebenen
einer gegebenen Seite an einen gegebenen Halbstrahl auf
Ebene
cine eindeutig bestimmte Weise abgetragen werden.
Wir
r&amp;gt;ach
Wenn
5.
III.
ein
Winkel
(n, k}
sowohl
dem Winkel
als
auch
auch der Winkel (h k )
dem
(ti,
k
)
r
dem Winkel
Winkel
(h&quot;,
(h&quot;,
k&quot;~)
kongruent,
3: (h,fy
ist,
auch
so ist
kongruent
k&quot;}
d.
Ji.
= $: (V, k
so
ist,
ist
,
wenn
}
und
$:(h,k)
=
$:(h&quot;,k&quot;}
stets
&amp;lt;&*0a*(r,r).
Es
Erklarung.
die
beiden von
mit
li
und
k.
A
sei
ein
Dreieck
AJ3C
vorgelegt;
wir bezeichnen
ausgehenden durch JB und C laufenden Halbstrahlen
(h, k) heifit dann der von den Seiten
AS
Der Winkel
BC
AC
gegeniiberliegende Winkel
eingeschlossene oder der der Seite
Inneren
samtlicbe innere Punkte
in
seinem
des Dreieckes ABC, er entbalt
und
des Dreieckes
III.
6.
ABC
Wenn
und wird mit
fur
zwd
-^BAC
Dreiecke
ABC
oder
und
A bezeichnet.
A B Cf die Kongruenzen
&amp;lt;
ABBA S, AC = A C,
gelten, so
sind auch
stets die
Kongruenzen
^ABC = ^AEC
und
-
erfullt.
Die Axiome
3 enthalten nur Aussagen fiber die Kongruenz
von Strecken;
mogen daher die linear en Axiome der Gruppe III heiBen.
Die Axiome III 4, 5 enthalten Aussagen fiber die Kongruenz von Winkeln.
III \
sie
Das Axiom III 6 kniipft das Band zwischen den Begriffen der Kongruenz
enthalten Aus
von Strecken und von Winkeln. Die Axiome III
daher die
und
Geometric
ebenen
Elemente
der
fiber
die
mogen
sagen
46
ebenen
Axiome der Gruppe
III heiBen.
10
Die
I.
Kap.
ftinf
6.
Axiomgruppen.
6.
Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz.
Es
Erklarung.
Da nach Axiom
nach Axiom
III
AB
Strecken
,
D
.
.
,
.
1C,
,
L
B
A
und
auf a
AB kongruent der Strecke A B
AB kongruent AB
so ist
.
Strecke
die
AB
ist,
wir
AB;
kongruent
beiden
die
sagen:
sind untereinander kongruent.
Sind
Erklarung.
C
auch
auch
2
Strecke
die
sei
III 1
A, B,
C,
D,
.
.
L
K,
.
,
B
und A,
a
auf
,
zwei Reihen von Punkten, so daB die samtlichen
AB
AC BC
A B AC
B
und
und
C ,...,
und
entsprechenden Strecken
,
,
und
L bez. einander kongruent sind, so heiBen die beiden Reihen
K
KL
von Punkten untereinander kongruent; A und A, B und B
heiBen die entsprechenden Punkte der kongruenten Punktreihen.
,
Aus
den
gende Satze:
Satz 9.
A B
K
Axiomen
linearen
Ist
3
1
III
.
.
.
wir
schlieBen
von zwei kongruenten Punktreihen A, B,
.
,
L
leicht
.
.
,
L
und
K,
fol-
L
und
B zwischen A einerseits und
C
B
L
zwischen
einerseits und D,
C, D,
K, L
andererseits,
K,
A,
L
auf
die
u.
w.
so
sind
die
Punkte
A
B
K
andererseits,
liegt,
gleiche Weise geordnet, d. h. B liegt zwischen A einerseits und C,
D
K L andererseits, C zwischen A B einerseits und D
,
,
.
.
.
.
.
.
,
,
L
die erste so geordnet,
daB
.
.
,
s.
,
,
.
.
.
.
,
.
,
,
f
.
.
1C,
.
.
,
,
L
,
andererseits u.
Erklarung.
s.
Es
Da nach Axiom III 4
aus Axiom III 5, daB
.
,
,
.
}
w.
sei
der
&amp;lt;^C
beiden Winkel (h, k) und
Winkel
Winkel
(h
,
(ti,
(h,
k~)
(h, k)
kongruent
kongruent
^
dem Winkel
&amp;lt;(&,&)
wir
k
)
kongruent
&
)
sind untereinander kongruent.
(h, k} ist;
(Ji,
ft
).
ist, so folgt
sagen:
die
Erklarung. Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel
gemein haben und deren nicht gemeinsame Schenkel eine gerade Linie
Zwei Winkel mit gemeinsamem Scheitel,
bilden, heiBen Nebenwinkel.
deren Schenkel je eine Gerade bilden, heiBen Scheitelwirikel. Ein Winkel,
welcher einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heiBt ein rechter Winkel.
Zwei Dreiecke
und
C heiBen einander kongruent, wenn
AB
ABC
samtliche Kongruenzen
ABBAS
^A = ^:A
erfiillt
AC -AC,
=
,
,
&amp;lt;#
&amp;lt;#,
BC^B C
,
^c = ^a
sind.
Satz
10
zwei Dreiecke
(Erster Kongruenzsatz fur Dreiecke).
und
die Kongruenzen
ABC
ABC
AB=A B, AC- AC
,
^:A
= ^A
gelten, so sind die beiden Dreiecke einander kongruent.
f
Wenn
fiir
Kap.
Nach Axiom
Beweis.
erfiillt
und
fiinf
es bedarf somit
Kongruenzen
^C =
und
&amp;lt;
11
6.
Axiomgruppen.
III 6 sind die
=
&amp;lt;
B
Die
I.
&amp;lt;^C&quot;
BC
nur des Nachweises, daB die Seiten
einander kongruent sind. Nehmen wir nun im Gegenteil
C , und bestimmen auf
etwa
nicht kongruent
C
B
BC
ware
Punkt D
und A B
so daB
,
D
BC = B D
iiberein;
und
III 6
BAD
&amp;lt;
es
den
die beiden Dreiecke
ABC
Nach Axiom
einander kongruent.
mithin auch die beiden Winkel
gruent ausfallen;
stimmen
wird, so
an,
C
und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel
sind mithin insbesondere die beiden Winkel
in zwei Seiten
nach Axiom
^BAC
B
und
^B A C
dies ist nicht moglich,
^B AD
und
da nach
Axiom
III 5 miiBten
einander kon
4 ein jeder
III
Winkel an einen gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in
einer Ebene nur auf eine Weise abgetragen werden kann. Damit ist der
Beweis fur Satz 10 vollstandig erbracht.
Ebenso leicht beweisen wir die weitere Tatsache:
Satz 11 (Zweiter Kongruenzsatz fur Dreiecke). Wenn in zwei
Dreiecken je eine Seite und die beiden anliegenden Winkel kongruent
ausfallen, so sind die Dreiecke stets kongruent.
Wir
nunmehr im
sind
stande,
die folgenden wichtigen Tatsachen zu
beweisen:
Satz 12.
Wenn
so
kongruent sind,
einander Twngruent.
zwei
sind
Winkel
^ ABC
und
auch ihre Nebenwirikel
A
Beweis.
Wir wahlen
die
Punkte
einander
&amp;lt;^
C
BD
1
L
A C D
,
und
-c
J)
&amp;lt;^C
^A B C
CBD
,
auf den durch
B
=-!&amp;gt;
gehenden
Schenkel derart, daB
D B = DB
ABC und A B C
A B = AB, C B =
wird.
In
den
beiden
Dreiecken
CB,
sind
dann
die
-I*
^~
fU~
?
12
Kap.
AB
Die
I.
ftinf
6.
Axiomgruppen.
CB bez. den Seiten A B und C B kongruent und, da
von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel nach Voraussetzung kongruent sein sollen, so folgt nach Satz 10 die Kongruenz jener
Seiten
und
die
iiberdies
es gelten die
d. h.
Dreiecke,
AC = A C
Da
CAD
und
AD
und C
III 3
d. h.
,
CD~C D
und hieraus
nach Axiom
III 6 die
BAG
die
^B A C
und
es gelten die
und
AD
Strecken
die
.
AD
und
einander
Kongruenz der Drei-
Kongruenzen
&amp;lt;
BCD
Betrachtung der Dreiecke
mittels
folgt
&amp;lt;
wiederum aus Satz 10
so folgt
kongruent sind,
Kongruenzen
Axiom
andererseits nach
ecke
f
Kongruenz der Winkel
&amp;lt;^
Eine unmittelbare Folgerung aus Satz 12
CBD
ist
und
BCD
CB D
und
&amp;lt;;
.
Kon
der Satz von der
gruenz der Scheitelwinkel.
Winkel (h, ft) in der Ebene a dem Winkel (ti, k )
Ebene K kongruent und ferner sei I ein Halbstrahl der Ebene a,
der vom Scheitel des Winkels (h, &) ausgeht und im Inneren dieses Winkels
verlauft: dann gibt es stets ein en Halbstrahl I in der Ebene a, der vom
Es
Satz 13.
sei
der
in der
V
o
Scheitel des
Winkels
verlauft, so
daB
(ti,
&
)
ausgeht^und im Inneren dieses Winkels
^(^0 = ^(^0
und
(ti t
k
)
k
)
r
&(k,t)=z3:(V,l
)
wird.
Wir bezeichnen
Beweis.
bez. mit
die
Winkel
(h, k}
und
(ti,
und bestimmen dann auf den Schenkeln Ji,k,ti,k
0,
Punkte A, B, A,
B
sind.
Wegen
und
OB~0 B
Kongruenz der Dreiecke
der
die
daB die Kongruenzen
derart,
OA=0 A
erfiillt
Scheitel der
OAB
und O
AB
wird
AB = AB
AB =
in C;
Gerade AB schneide
&amp;lt;
&amp;lt;
,
Die
AB
I
den Punkt
Halbstrahl
I
.
C
,
so
AB ^ OB A = ^ ffB A
.
,
bestimmen wir dann auf der Strecke
A C = AC wird,
aus AC = A C und
daB
In der Tat,
O
so ist
OC
AB=A B
der gesuchte
kann
mittels
Kap.
Axiom
Die
I.
fiinf
BC = B C
OAC und
3 leicht die Kongruenz
melir erweisen sich die Dreiecke
III
OBC
Dreiecke
und O
B
13
6.
Axiomgruppen.
geschlossen werden; nunC , sowie ferner die
O
A
C
untereinander kongruent; hieraus ergeben sich
die Behauptungen des Satzes 13.
Auf ahnliche Art gelangen wir zu folgender Tatsache:
Satz 14. Es seien einerseits h,k,l und andererseits ti,k ,l je drei
von einem Punkte ausgehende und je in einer Ebene gelegene Halbstrahlen: wenn dann die Kongruenzen
^(M) = ^0 ,0
sind, so ist stets
erfiillt
Auf Grund
den EuTdid
unter die
Axiome
gestellt hat:
BAD
Der Winkel
sei der Winkel
gruent; es sind dann
Wir
rechte Winkel.
ware
(#,
meiner Meinung nach mit Unrecht
der
rechte
BAD,
&amp;lt;=
sei
seinem Nebenwinkel
CAD,
&amp;lt;
CAD
seinem Nebenwinkel
BAD
^ B AD
C
&amp;lt;
,
Winkels
der
&amp;lt;
oder des Winkels
nach Satz 12,
kongruent
ist,
dem Winkel
^C.
CAD
einen von
ist,
A
CAD
AB
fallt;
CAD&quot;
so
es
so lehrt
Winkel
BAD
Axiom IV
kongruent sein
5,
und
AD
und
dem Winkel
AD
ferner ^C
BAD&quot;
CAD&quot;
einander kon
daB auch der Winkel
Da
muB.
C
B
BAD
BAD&quot;
kongruent
konnen wir nach Satz 13 innerhalb des Winkels
ausgehenden Halbstrahl
AD
&quot;
an,
des
etwa die erstere
treffe
AD
die
C
1
an}[den Halbstrahl
entweder in das Innere
der Kongruenz der Winkel
daB auch der Winkel C
und da
gruent sein sollen,
samtlich
AD
AD&quot;
Wegen
Moglichkeit zu.
folgt
B
und tragen dann
entstehende Schenkel
BAD
AD
kon
D
BAD,
daB
kongruent
AD
AD
A
so
C
nehmen im Gegensatz zu unserer Behauptung an,
Winkel B
nicht kongruent dem rechten
D
D&quot;
Winkel
-
Alle rechten Winkel sind einander Congruent.
und desgleichen
es
=
der Satze 12 und 13 gelingt der Nachweis des folgenden
Satzes,
Beweis.
(M)
aucn
einfachen
Satz 15.
d
finden, so daB
&amp;lt;
BAD&quot;
CAD
kon-
14
Kap.
gruent
-^
Nun war
Axiom
CAD
BAD&quot;
auch
5
fiinf
und zugleich
^
aber
III
&quot;
Die
I.
^
DAD&quot;
kongruent
&amp;lt;^C
kongruent
CAD&quot;
6.
Axiomgruppen.
CAD
kongruent
Wink el an
Seite
einer
Weise abgetragen werden
hiermit
nicht
ist
einen gegebenen
Ebene nur auf eine
der
ist
das
sein;
ein jeder
kann;
wird.
&quot;
moglich, well nach Axiom III 4
Halbstrahl nach einer gegebenen
in
&quot;
und somit miiBte nach
CAD&quot;
&amp;lt;
DAD
&amp;lt;
Beweis
Satz
fiir
15
erbracht.
Wir konnen
Winkel&quot;
jetzt die
Bezeichnungen
Weise
in bekannter
,,spiteer
und
Winkel&quot;
,,stumpfer
einfiihren.
A und
B im
ABC folgt unmittelbar durch Anwendung des
ABC und Dreieck BAG. Mit Hilfe dieses
Der Satz von der Kongruenz der Basiswinkel ^C
&amp;lt;^
gleichschenkligen Dreieck
Axioms III 6 auf Dreieck
und unter Hinzuziehung des Satzes 14 beweisen wir dann leicht
bekannter Weise die folgende Tatsache:
Satz 16 (Dritter Kongruenzsatz fiir Dreiecke). Wenn in
Satzes
in
zwei Dreiecken die drei Seiten entsprechend kongruent ausfallen, so sind
die Dreiecke kongruent.
Irgend eine endliche Anzahl von Punkten
Erklarung.
alle
Figur; liegen
heifit
Punkte der Figur in einer Ebene, so heiBt
eine
sie eine
ebene Figur.
Zwei Figuren heifien kongru&nt, wenn ihre Punkte sich paarweise
einander so zuordnen lassen, daB die auf diese Weise einander zugeordneten Strecken und Winkel samtlich einander kongruent sind.
man
Kongruente Figuren haben, wie
aus den Satzen 12 und 9
er-
Drei Punkte einer Geraden liegen auch
kennt, folgende Eigenschaften:
in jeder kongruenten Figur auf einer Geraden. Die Anordnung der Punkte
in entsprechenden
Bezug auf entsprechende Gerade ist in kon
namliche; das gleiche gilt von der Reihenfolge ent-
Ebenen
gruenten Figuren die
in
sprechender Punkte in entsprechenden Geraden.
Der allgemeinste Kongruenzsatz
wie folgt aus:
die
fiir
Ebene und
den
fiir
Raum
driickt sich
Satz 17.
Wenn
(A, B, C,
.
.
.)
kongruente
(A, B C
.)
der Ebene der ersten bedeutet,
und
,
,
.
.
P einen Punkt in
Ebene der zweiten Figur stets ein Punkt P finden
f
derart, daB (A, B, C,
F) und (A, B C ,. ., P } wieder kongruente
Figuren sind. Enthalt die Figur (A, B, C,
.)
wenigstens drei nicht auf
einer Geraden liegende Punkte, so ist die Konstruktion von P nur auf
eine Weise moglich.
Satz 18.
Wenn (A, B, C, .) und (A B C , .) kongruente
sind
P einen beliebigen Punkt bedeutet, so laBt sich
und
Figuren
stets ein Punkt P
finden, so daB die Figuren (A, B, C,
P) und
ebene Figuren sind und
so
laBt
sich
in
der
.
.
.
.
,
,
.
.
.
.
.
,
.
,
.
.
.
,
Kap.
B
Die
I.
fiinf
15
7.
Axiomgruppen.
P
C ,. .., ) kongruent sind. Enthalt die Figur
,
(A
mindestens vier nicht in einer Ebene liegende Punkte, so
nur auf eine Weise moglich.
struktion von
,
(A,B,C,..
ist
die
.)
Kon-
P
Der Satz 18 spricht das wichtige Resultat aus, daB die samtlichen
raumlichen Tatsachen der Kongruenz und mithin der Bewegung im
Raume
unter Hinzuziehung der Axiomgruppen I und II
Folgelinearen
aus
den
sechs
oben
und
ebenen
Axiomen
rungen
aufgestellten
der Kongruenz sind.
7.
Axiom der
Die Axiomgruppe IV:
Aus den bisherigen Axiomen
Parallelen.
folgt in bekannter
Satz, daB der AuBenwinkel eines Dreieckes
beiden inneren Winkel.
stets
Weise der Euklidiscbe
gro Ber
ist,
als jeder
der
die
Es sei nun a eine beliebige Ebene, a eine beliebige Gerade in a und
Punkt in a und auBerhalb a. Ziehen wir dann in a eine Gerade c,
durch A geht und a schneidet, und sodann in a eine Gerade b durch
A,
so daB die
A
ein
schneidet,
daB
in
die
einer
stets eine
so
Gerade
folgt
Geraden a,
Ebene
cc
die
c
leicht
Geraden a, b unter gleichen Gegenwinkeln
dem erwahnten Satze vom AuBenwinkel,
aus
Punkt miteinander gemein haben, d. h.
Punkt A aufier einer Geraden a
welche jene Gerade a nicht schneidet.
keinen
b
laBt sicb durch einen
Gerade ziehen,
Das Parallelenaxiom
lautet nun:
IY (Euklidisches Axiom).
ein
Punkt
aufierhalb a:
dann
Ebene a nur eine Gerade
selbe heifit die Parallele
Es
gibt es
b, die
durch
sei
a
eine beliebige
in der durch a
A
lauft
und a
und
Gerade und
A
A
bestimmten
nicht schneidet; die-
zu a durch A.
Das Parallelenaxiom IV
gleichbedeutend mit der folgenden Forderung:
Wenn zwei Geraden a, b in einer Ebene eine dritte Gerade c derselben Ebene nicht treffen, so treffen sie sich auch einander nicht.
ist
A
A
In der Tat, hatten a, b einen Punkt
gemein, so wiirden durch
Ebene die beiden Geraden a, b moglich sein, die c nicht
treffen; dieser Umstand widersprache dem Parallelenaxiom IV. Ebenso leicht
in
derselben
folgt
umgekehrt das Parallelenaxiom IV aus der genannten Forderung.
Das Parallelenaxiom IV ist ein ebenes Axiom.
Die Einfiihrung des Parallelenaxiom s vereinfacht die Grundlagen
und erleichtert den Aufbau der Geometrie in erheblichem MaBe.
Nehmen
wir namlich zu den Kongruenzaxiomen das Parallelenaxiom
hinzu, so gelangen wir leicht zu den bekannten Tatsachen:
Satz 19. Wenn zwei Parallelen von einer dritten Geraden geschnitten werden, so sind die Gegenwinkel
und Wechselwinkel kongruent,
Kap.
1(3
und umgekehrt:
Die
I.
fiinf
Axiomgruppen.
7,
8.
Kongruenz der Gegen- und Wechselwinkel hat zur
die
Folge, daB die Geraden parallel sind.
Satz
Die
20.
Rechte aus
heifit
machen zusammen zwei
Dreiecks
eines
).
M
Wenn
Erklarung.
so
Winkel
1
Gesamtheit
die
Punkt
ein beliebiger
aller
in einer
Punkte A, fur welche
einander kongruent sind, ein Kreis;
M
die
Ebene a
Strecken
ist,
MA
heiBt der Mittelpunkt des Kreises.
Auf Grand dieser Erklarung folgen mit Hilfe der Axiomgruppen III
IV leicht die bekannten Satze fiber den Kreis, insbesondere die Moglichkeit der Konstruktion
Geraden
gelegene
iiber
Peripheriewinkel
eines Kreises
Punkte
der
sowie
durch irgend drei nicht in einer
Satz
der
fiber
und
Sebne
namlichen
die
Kongruenz
Satz von
aller
der
den
Winkeln im Kreisviereck.
8.
Axiome der
Die Axiomgruppe V:
V
A
1
Stetigkeit.
(Axiom des Messens oder Archimedisches Axiom).
Es
Punkt auf einer Geraden zwischen den beliebig gev
gebenen Punkten A und B; man konstruiere dann die Punkte A%, A3 A, ...,
so daft A^ zwischen A und A^, ferner A2 zwischen Al und As ferner A s
sei
ein beliebiger
,
,
zwischen
A
z
und
A
u. s.
w. liegt
und
uberdies die Strecken
,
Az
A,
A3
A
3
A.,
einander gleich sind: dann gibt es in der Reihe der Punkte A^,
stets einen solchen Punkt
und n liegt.
zwischen
n) daft
B
A
V
2
(Axiom der Vollstandigkeit).
raden, Ebenen)
der
A
A A.
3,
.
.
A
Die Elemente (Punkte, Ge
Geometric bilden ein System von Dingen,
welches
bei
genannten Axiome keiner Erweiterung melir
d.
h.:
zu
dem
fahig ist,
System der Punkte, Geraden, Ebenen ist
es nicht moglich, ein anderes System von Dingen hinzuzufiigen,
so daB in dem durch Zusammensetzung entstehenden System
samtliche aufgefiihrten Axiome I IV, V 1 erfullt sind.
Aufrechterhaltung
sdmtlicher
Das Archimedische Axiom
1)
V
1 ist ein lineares
Axiom.
Betreffs der Frage, inwieweit dieser Satz umgekehrt das Parallelenaxiom zu
man die Bemerkungen am SchluB von Kap. II 12.
ersetzen vennag, vergleiche
Kap.
Hinsichtlich des
Bemerkungen
Rede
Die funf Axiomgruppen.
I.
Axioms
der Vollstandigkeit
17
8.
V2
fiige ich hier
folgende
hinzu.
Die Aufrechterhaltung samtlicher Axiome, von der in diesem Axiom die
man so zu verstehen, daB nach der Erweiterung samtliche
ist, hat
friiheren
Axiome in der friiheren Weise
man
sofern
die
gultig bleiben sollen,
d.
h.
vorhandenen Beziehungen der Elemente, namlich die vor-
handene Anordnung und Kongruenz der Strecken und Winkel nirgends
stort, also z. B. ein Punkt, der vor der Erweiterung zwischen zwei Punkten
auch nach der Erweiterung tut, Strecken und Winkel, die
vorher einander kongruent sind, dies auch nach der Erweiterung bleiben.
liegt,
dies
Die Erfiillbarkeit des Vollstandigkeitsaxioms ist wesentlich
durch die Voranstellung des Archimedischen Axioms bedingt;
einem System von Pnnkten, Geraden
IV erfullen, stets noch auf mannigfache Weise solche Elemente hinzugefiigt werden konnen, daB in dem
in der Tat lafit sich zeigen, daB zu
und Ebenen, welche die Axiome I
durch Zusammensetzung entstehenden Systeme die Axiome
samtlich gultig sind;
d. h.
IV
I
ebenfalls
das Vollstandigkeitsaxiom wiirde einen Widerman den Axiomen I IV nicht noch das Archi-
spruch einschlieBen, wenn
medische Axiom hinzufiigt.
Das Vollstandigkeitsaxiom ist nicht eine Folge des Archi
medischen Axioms. In der Tat reicht das Archimedische Axiom allein
IV unsere Geometric als idennicht aus, urn mit Benutzung der Axiome I
tisch mit der gewohnlichen analytischen ,,Cartesischen&quot; Geometrie nachzu9 und
weisen (vgl.
Dagegen gelingt es unter Hinzunahme des
12).
obwohl dieses
Vollstandigkeitsaxioms
iiber den Begriff der Konvergenz enthalt
Axiom unmittelbar
,
keine Aussage
die Existenz der
einem Dede-
kindschen Schnitte entsprechenden Grenze und den Bolzanoschen Satz vom
Vorhandensein der Verdi chtungsstellen nachzuweisen, womit dann unsere
Geometrie sich als identisch mit der Cartesischen Geometric erweist.
Durch
die vorstehende Betrachtungsweise ist die
Forderung der Stetig-
keit in zwei wesentlich verschiedene Bestandteile zerlegt worden, namlich
Archimedische Axiom, dem zugleich die Rolle zukommt,
die Forderung der Stetigkeit vorzubereiten, und in das Voll
standigkeitsaxiom, das den SchluBstein des ganzen Axiomen1
systems bildet ).
in das
In den nachfolgenden Untersuchungen stiitzen wir uns wesentlich nur
auf das Archimedische Axiom und setzen im allgemeinen das Vollstandig
keitsaxiom nicht voraus.
17 sowie rneinen Vor1) Man vergleiche auch die Bemerkungen am SchluB von
trag iiber den Zahlbegriff Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1900.
Bei der Untersuchung dea Satzes von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich:
Hilbert, Grundlagea der Geometrie.
2
18
Kap.II.
Die Widerspruchslosigkeit und Unabhangigkeit der Axiome.
Kapitel
Die Widerspruchslosigkeit
9.
II.
und gegenseitige Unabhangigkeit
der Axiome.
9.
Die Widerspruclislosigkeit der Axiome.
Die Axiome der fiinf in Kapitel I aufgestellten Axiomgruppen stehen
raiteinander nicht in Widerspruch, d. h. es ist nicht moglich, durch logische
Schliisse aus denselben eine Tatsache abzuleiten, welche einem der auf
Um
Axiome widerspricht.
dies einzusehen, geniigt es, eine Geometrie anzugeben, in der samtliche Axiome der ffinf Gruppen erfiillt sind.
Man betrachte zunachst den Bereich ii aller derjenigen algebraischen
Zahlen, welche hervorgehen, indem man von der Zahl 1 ausgeht und
gestellten
von Malen
eine endliche Anzahl
die vier
Subtraktion, Multiplikation, Division
und
Rechnungsoperationen: Addition,
die fiinfte Operation
]/l -f
eo
2
anwendet, wobei a jedesmal eine Zahl bedeuten kann, die vermoge jener
Operationen bereits entstanden ist.
fiinf
Wir denken uns
ein
Paar von Zahlen
(x, y)
des
Bereicb.es 5i als
einen Punkt und die Verhaltnisse von irgend drei Zahlen (u
u, v nicht beide Null sind, als eine Gerade; ferner
falls
stehen der Gleichung
ux
ausdriicken, daB der
sind,
des
wie
man
leicht sieht,
vy
v
:
w) aus
SI,
das Be-
+w=
auf der Geraden (u
die Axiome I 1
3 und IV
(x, y)
:
v
:
w)
liegt;
erfiillt.
damit
Die Zahlen
indem wir berucksichtigen, dafi
ihrer GroBe nach anordnen lassen, konnen wir leicht solche
Bereiches
i
dieselben sich
fiir
Festsetzungen
Axiome
Punkt
-f
:
moge
sind
samtlich
unsere
Punkte
reell;
und
Geraden
treffen,
daB
auch
die
II der
Anordnung samtlich gultig sind. In der Tat, sind (#1; y^),
X y*)) ( x
(
irgend welche Punkte auf einer Geraden, so moge
dies ihre Reihenfolge auf der Geraden sein, wenn die Zahlen xlf x%, X3 ,
2&amp;gt;
s&amp;gt;
2/s)&amp;gt;
.
.
.
entweder bestandig abnehmen oder
um
ferner
die
des
Axioms II 4 zu erfiillen, haben
wachsen;
Forderung
wir nur notig festzusetzen, daB alle Punkte (x, y), fiir die ux + vy -f w
kleiner oder groBer als
ausfallt, auf der einen bez. auf der anderen
oder y1} y2 , y3
.
.
.
in dieser Reihenfolge
schenkligen Dreieck bin ich auf ein weiteres Stetigkeitsaxiom gefiihrt worden, das
Axiom der Nachbarschaft genannt habe; man sehe meine im Anhang ab-
ich
gedruckte Abhandlung
,,tJber
den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich-
schenkligen Dreieck&quot;. Proceedings of the London Mathematical Society
Vgl. S. 92 und S. 107.
XXXV
1903.
Kap.
Die Widerspruchslosigkeit und Unabhangigkeit der Axiome.
II.
der Geraden (u
Seite
:
v
:
w] gelegen
sein
Man
sollen.
19
9.
iiberzeugt
sich
leicht, daB diese Festsetzung sich mit der vorigen Festsetzung in Ubereinstimmung befindet, derzufolge ja die Reihenfolge der Punkte auf einer
Geraden bereits bestimmt
ist.
Das Abtragen von Strecken und Winkeln erfolgt nach den bekannten
Eine Transformation von der
Methoden der analytischen Geometrie.
Gestalt
x == x p d ,
vermittelt
ferner der
Punkt
&amp;lt;;
die
Wird
Parallelverschiebung von Strecken und Winkeln.
mit
mit
der
Punkt
und
ein
0,
(1,
0)
beliebiger
(0, 0)
E
Punkt
C
(a, &)
mit
COE, wenn
der Punkt (x,
bezeichnet, so entsteht durch
der feste Drehpunkt
/
ist,
/y
_._,.,.
m
f--^==aj +
Da
T~~
i
V+
y
&quot;
~&quot;T*
&
die Zahl
wiederum dem Bereiche
so gelten bei unseren
9)
SI angehort,
Festsetzungen
auch die Kongruenzaxiome III und
offenbar ist auch das Archimedische
V
1
Vollstandigkeit
fay)
Das Axiom der
erfiillt.
V
2
ist
nicht
erfiillt.
Q/oo
Jeder Widerspruch in den Folgerungen aus unseren geometrischen Axiomen I
nach auch in der Arithmetik des Bereiches
Wahlen wir
Bereich
(x, y)
yy
*
Axiom
den Winkel
beliebigen Punkte
b
/y
*//
q&amp;gt;
ist.
um
wobei
),
JU
zu setzen
Drehung
dem
aus
SI
IV, V 1 miiBte
erkennbar sein 1 ).
dem-
der obigen Entwicklung statt des Bereiches SI den
Zahlen, so erhalten wir eine Geometrie, in der
in
aller reellen
samtliche Axiome
I
V
giiltig sind;
diese Geometrie ist die gewohnliche
Cartesische Geometrie.
Jeder Widerspruch in den Folgerungen aus den Axiomen I V miiBte
in der Arithmetik des Systems der reellen Zahlen erkennbar sein.
demnach
1) Betreffs
vergleiche
der Frage nach der Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome
Vortrage fiber den Zahlbegriff: Berichte der deutschen Mathe-
man meine
intermatiker-Vereinigung, 1900, sowie Mathematische Probleme, gehalten auf dem
nationalen MathematikerkongreB 1900, GottingerNachr. 1900, insbesondere Problem No. 2.
2*
20
Die Widerspruchslosigkeit und Unabhangigkeit der Axiome.
II.
Kap.
Die
entsprechende Betrachtungsweise
bietet keine Schwierigkeit.
Wie man
fur
raumliche
die
10, 11.
Geometrie
viele Geometrien, die den
nur
IV,
eine, namlich die Cartesische
dagegen
in
das
der
auch
Geometrie,
Vollstandigkeitsaxiom V 2 giiltig ist.
zugleich
Axiomen
erkennt,
V
I
unendlich
es
gibt
1 geniigen,
10.
Die Unabhangigkeit des Parallelenaxioms (Nicht-Euklidische Geometrie).
Nachdem wir
die Widerspruchslosigkeit
Axiome erkannt haben,
der
von Interesse, zu untersuchen, ob sie samtlich voneinander unab
hangig sind. In der Tat zeigt sich, daB keine wesentlichen Bestandteile
ist es
Axiomgruppen durch logische Schliisse aus den jedesmal
voranstehenden Axiomgruppen abgeleitet werden konnen.
Was zunachst die einzelnen Axiome der Gruppen I, II und III beda6 die Axiome ein
trifft, so ist der Nachweis dafiir leicht zu fiihren,
und derselben Gruppe je unter sich unabhangig sind.
Die Axiome der Gruppen I und II liegen bei unserer Darstellung
den iibrigen Axiomen zu Grunde, so daB es sicb nur noch darum handelt,
fiir jede der
Gruppen III, IV und V die Unabhangigkeit von den iibrigen
der genannten
nachzuweisen.
Das Parallelenaxiom IV
dies zeigt
die
man
in
ist
von den
bekannter Weise
am
iibrigen
Axiomen unabhangig;
einfachsten, wie folgt.
Punkte, Geraden und Ebenen der gewohnlichen in
Man wahle
9 konstruierten
(Cartesischen) Geometrie, soweit sie innerhalb einer festen Kugel verlaufen, fur sich allein als Elemente einer raumlichen Geometrie und vermittle
die
Kongruenzen
dieser
Geometrie
durch
solche
lineare
Trans-
formationen der gewohnlichen Geometrie, welche die feste Kugel in sich
iiberfiihren.
Bei geeigneten Festsetzungen erkennt man, daB in dieser
}
,Nichb-Euklidischen&quot;
Axiom IV
metrie in
Geometrie samtliche
Axiome
aufier
dem Euklidischen
giiltig sind, und da die Moglichkeit der gewohnlichen Geo
9 nachgewiesen worden ist, so folgt nunmehr auch die Mog
lichkeit der Nicht-Euklidischen Geometrie.
11.
Die Unabhangigkeit der Kongruenzaxiome.
Wir werden
Unabhangigkeit der Kongruenzaxiome erkennen, indem
wir den Nachweis fiihren, daB das Axiom III 6 oder, was auf das namliche
hinauslauft,
der
die
erste
Kongruenzsatz fiir Dreiecke,
den iibrigen Axiomen I,
logische Schliisse nicht aus
abgeleitet werden kann.
d.
i.
Satz 10
II, III 1
durc^
5, IV,
V
Die Widerspruchslosigkeit und Unabhangigkeit der Axiome.
II.
Kap.
Wir wahlen
auch
21
11.
Punkte, Geraden, Ebenen der gewohnlichen Geometrie
Elemente der neuen raumlichen Geometric und definieren das
als
die
Abtragen der Winkel ebenfalls wie in der gewohnlichen Geometric, etwa
9 auseinandergesetzt worden ist; dagegen definieren
in der Weise, wie in
auf andere Art. Die zwei Punkte A.1 A*a
Strecken
wir das Abtragen
der
O
die Koordinaten x l} y1}
in
der
Geometrie
bez.
gewohnlichen
mogen
.
/
X
2&amp;gt;
i/27
haben; dann bezeichnen wir den positiven Wert von
2
-X +^+ (y, -VJM Oi ~ *
der Strecke A A und nun sollen zwei beliebige Strecken A A
2
j/fX
2
1
t/ 2 )
2
2)
als die Lange
i
2
1
2
und AI A^ einander kongruent heifien, wenn sie im eben festgesetzten
Sinne gleiche Langen habenEs leuchtet unmittelbar ein, daB in der so hergestellten raumlichen
Geometrie die Axiome I, II, III 1 2, 4 5, IV, V giiltig sind.
,
.
Um
zu zeigen, daB auch das Axiom III 3
eine beliebige Gerade a und auf ihr drei Punkte
A
zwischen
die
l
und
A
3
liegt.
z
ii;v, v
jw,,
(&amp;lt;
^),
t
A1} A A entsprechen, so
bez.
A A, A A und
2)
i)
l
s
\~
n
= vt -f
v
fy v
gewisse Konstante und
(&amp;lt;
2)
ft-*) ye* +
ist
die
t
einen Parameter
die Parameterwerte, die
Langen der
die
fiir
den Punkten
drei Strecken
die Ausdriicke:
3
und mithin
,
,
finden wir
3
2
A
,
f
_
===
tJU
gegeben, worin A, A ,
Sind t1} t2
wahlen wir
ist,
so daB A z
l
A%,
3
Die Punkte x y, z der Geraden a seien durch
Gleichungen
bedeutet.
erfiillt
A
Summe
der
1
/o
+
**
+
*
Langen der Strecken A^A 2 und A S A3
dieser Umstand bedingt die Giiltig-
gleich der Lange der Strecke A^A^;
keit des Axioms III 3.
Das Axiom
ecke
lich
ist
z.
6 oder vielmehr der
Kongruenzsatz fiir DreiBetrachten wir namin unserer Geometrie nicht immer erfiillt.
B. in der
III
Ebene
z
=
die vier
mit den Koordinaten x
4
B
= 0,
a?=l,
a?-0,
erste
Punkte
y-i,
so sind in den beiden (rechtwinkligen) Dreidie Winkel bei C und
ecken
und
OAC
OBC
2(0.7)
y = 0,
y = 0,
Vz
0(o,o)
A
(1,0)
22
Kap.
II.
Die Widerspruehslosigkeit nnd Unabhangigkeit
Axiome.
tier
OC
da die Seite
anliegenden Seiten entsprechend kongruent,
Dreiecken gemeinsam ist und die Strecken
die
AC
und
11, 12.
besitzen.
Dagegen haben die dritten Seiten
Lange
und sind daher nicht einander kongruent.
Lange 1, bez.
Es ist aucb nicht schwer, in dieser Geometrie zwei Dreiecke zu
-5-
beiden
BC die gleiche
OA und OB die
&quot;J/2
fiir
welche das Axiom
III
6 selbst nicht
erfiillt
finden,
ist.
12.
Die Unabhangigkeit der Stetigkeitsaxiome
V
(Nicht-Archimedische Geometrie).
Urn die Unabhangigkeit des Archimedischen Axioms V 1 zu beweisen,
miissen wir eine Geometrie herstellen, in der samtliche Axiome mit Aus-
nahme der Axiome V, diese letzteren aber nicht erfiillt sind 1).
Zu dem Zwecke konstruieren wir den Bereich Sl(f) aller
derjenigen
algebraischen Funktionen von t, welche aus t durch die fiinf Rechnungsoperationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und durch
2
dabei soil w irgend eine Funkdie Operation
hervorgehen
|
tion bedeuten,
&quot;J/l
+
;
|
die
vermoge jener
Die Menge der Elemente von l()
Operationen bereits entstanden ist.
9
ebenso wie von SI in
eine
fiinf
ist
Die fiinf Operationen sind samtlich eindeutig und reell ausder Bereich Q(f) enthalt daher nur eindeutige und reelle Funk
abzahlbare.
fiihrbar;
tionen von
Es
t.
irgend eine Funktion des Bereiches
sei c
eine algebraische Funktion
endliche Anzahl von
tion c
fiir
von
Werten
t
&(); da die Funktion c
kann
sie
ist,
jedenfalls nur fiir eine
verschwinden und es wird daher die Funk
so
t
geniigend grofie positive Werte von
oder stets negativ ausfallen.
Wir sehen jetzt die Funktionen
komplexer Zahlen an;
offenbar
sind
des
in
t
entweder
Bereiches Sl(f)
dem
so
stets
als
definierten
positiv
eine Art
komplexen
Zahlensystem die gewohnlichen Rechnungsregeln samtlich giiltig. Ferner
moge, wenn a, & irgend zwei verschiedene Zahlen dieses komplexen Zahlensy stems sind, die Zahl a groBer oder kleiner als
oder a
a
&, heifien, je nachdem die Differenz c
&,
=
&amp;lt;
in
b als
Zeichen: a
&amp;gt;
Funktion von
&
t
fur geniigend groBe positive Werte von t stets positiv oder stets negativ
Bei dieser Festsetzung ist fiir die Zahlen unseres komplexeii
ausfallt.
Zahlensy stems
jenigen
kennt,
bei
fiir
eine
reellen
unsere
Anordnung
ihrer
Zahlen analog
ist;
komplexen Zahlen
GroBe
auch
nach
moglich, die der
gelten, wie man^eicht er-
die Satze,
wonach Ungleichungen
1) G. Veronese hat in seinem tiefsinnigen Werke: Grundzuge der Geometric,
deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894, ebenfalls den Versuch gemacht, eine Geometrie
aufznbauen, die von dem Archimedischen Axiom unabhangig ist.
II.
Kap.
Die Widerspruchslosigkeit und Unabhangigkeit der Axiome.
bleiben,
richtig
wenn man auf beiden
oder beide Seiten mit der gleichen Zahl
Seiten
die
12.
23
Zahl addiert
gleiche
nmltipliziert.
&amp;gt;
Bedeutet n eine beliebige positive ganze rationale Zahl, so gilt fur
die beiden Zahlen n und t des Bereiches
l(f) gewiB die Ungleichung
n
t, da die Differenz n
t, als Funktion von t betrachtet, fiir geniigend
&amp;lt;
groBe positive Werte von t offenbar stets negativ ausfallt. Wir sprechen
diese Tatsache in folgender Weise aus: Die beiden Zahlen 1 und t des
Bereiches &(), die beide
sind, besitzen die Eigenschaft, dafi ein be&amp;gt;
der ersteren stets kleiner als die letztere Zahl bleibt.
liebiges Vielfaches
Wir bauen nun
aus den komplexen Zahlen des Bereiches
&,() eine
9 unter Zugrunde-
Geometric genau auf dieselbe Art auf, wie dies in
von algebraischen Zahlen
legung des Bereiches
&
geschehen
ist:
wir
denken uns ein System von drei Zahlen (x,gt f) des Bereiches &() als
einen Punkt und die Verhaltnisse von irgend vier Zahlen (u v w r] aus
&(f), falls M, v w nicht samtlich Null sind, als eine Ebene; ferner moge
:
:
:
}
das Bestehen der Gleichung
ux
ausdriicken, da6 der
die
Gerade
u:v:w
sei
die
Punkt
-f
vy
+
(x, y, z)
Gesamtheit
wz
-f r
in der
aller
in
=
Ebene
(u
:
zwei Ebenen
v
:
w
:
r)
liegt,
und
mit verschiedenen
Treffen wir sodann die entsprechenden FestAnordnung der Elemente und liber das Abtragen von
gelegenen Punkte.
iiber die
setzungen
Strecken und Winkeln, wie in
9, so entsteht eine ,,Nicht-Archimedische&quot;
Geometric, in welcher, wie die zuvor erorterten Eigenschaften des komplexen
Zahlensy stems &() zeigen, samtliche Axiome mit Ausnahme der Stetigkeitsaxiome erfiillt sind. In der Tat konnen wir die Strecke 1 auf der
Strecke
t
Strecke
t
beliebig oft hintereinander abtragen, ohne daB der Endpunkt der
iiberschritten wird; dies widerspricht der Forderung des Archi-
medischen Axioms.
DaB auch das Vollstandigkeitsaxiom V 2 von alien voranstehenden
9 aufgestellte
Axiomen I IV, V 1 unabhangig ist, zeigt die erste in
Axiom
erfiillt
ist.
Geometrie, da in dieser das Archimedische
Auch die Nicht - Archimedischen und zugleich Nicht -Euklidischen
Geometrien sind von prinzipieller Bedeutung und
insbesondere erschien
mir die Frage nach der Winkelsumme im Dreiecke und nach der Abhangigkeit dieser Satze vom Archimedischen Axiom von hohem Interesse.
Die Untersuchung, die
M. De/m 1 )
Gegenstand unternommen hat,
Frage.
Grunde.
1)
auf meine Anregung hin iiber diesen
fiihrte zu einer vollen Aufklarung dieser
Den Untersuchungen von M. Dehn liegen die Axiome I III zu
damit auch die
Nur zum Schlusse der Dehnschen Arbeit -
Die Legendreschen Satze
Bd. 53. 1900.
iiber
die
Winkelsumme im
Dreieck.
Math. Ann.
24
Kap.
III.
Die Lehre von den Proportionen.
13.
Riemannsche
(elliptische) Geometrie in den Bereich der Untersuchung
sind die Axiome II der Auordnung allgemeiner, als in der
hineinfallt
gegenwartigen Abhandlung, namlich etwa wie folgt zu fassen:
Vier Punkte A, J5, C,
einer Geraden zerfallen stets in zwei Paare
D
A,
C und
D
B, D,
A, C durch B,
getrennt sind und umgekehrt.
auf einer Geraden konnen immer in der Weise mit A, B,
so daB
Fiinf Punkte
D
E
B
und durch } E, ferner
bezeichnet werden, daB A, C durch B,
C, D,
und durch C,
u. s. f. getrennt sind.
durch B,
daB A,
Die hauptsachlichsten von M. Dehn auf Grund der Axiome I III,
also ohne Benutzung der Stetigkeit, bewiesenen Satze sind folgende:
D
E
E
Wenn in irgend eincm Dreieck die Summe der Winkel grofier
bezuglich gleich oder kleiner als zwei Rechte ist, so 1st sie es
in jedem Dreieck 1 ).
Aus der Annahme unendlich vieler Parallelen zu einer Ge
raden durch einen Punkt folgt, wenn man das Archimedische
Axiom ausschlieBt, nicJit, daB die Winkelsumme im Dreieck
kleiner als zwei Rechte ist. Es gibt vielmehr sowohl eine Geo
metrie (die Nicht-Legendresche Geometrie), in der man durch
einen Punkt zu einer Geraden unendlich viele Parallelen ziehen
kann und in der trotzdem die Satze der Riemannschen (elliptischen) Geometrie gultig sind. Andererseits gibt es eine Geo
metrie (die Semi-Euklidische Geometrie), in welcher es unend
lich viele Parallelen durch einen Punkt zu einer Geraden gibt
und in der dennoch die Satze der Euklidischen Geometrie gelten.
Aus der Annahme, daB es keine Parallelen gibt, folgt stets,
daB die Winkelsumme im Dreieck grofier als zwei Rechte ist.
Ich bemerke endlich, daB, wenn man das Archimedische Axiom
hinzunimmt, das Parallelenaxiom durch die Forderung ersetzt werden
kann, es solle die Winkelsumme im Dreieck gleich zwei Rechten sein.
Kapitel
III.
Die Lehre von den Proportionen.
13.
Komplexe Zahlensysteme
Am
2
).
wir
Kapitels
Anfang
einige kurze Auseinanderiiber
vorauss
komplexe Zahlensysteme
setzungen
chicken, die uns spater
wollen
dieses
insbesondere zur Erleichterung der Darstellung niitzlich sein werden.
1)
2)
Einen Beweis fur diesen Satz hat spater auch F. Schur erbracht, Math. Ann. Bd. 55.
Vgl. meinen Vortrag: tJber den Zahlbegriff, Jahresbericht der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung, Bd.
8.
1900.
Kap. HI. Die Lehre von den Proportionen.
25
13.
Die reellen Zahlen bilden in ihrer Gesamtheit ein System von Dingen
mit folgenden Eigenschaften:
Satze der Verkniipfung (1
Aus der Zahl a und der Zahl
1.
bestimmte Zahl
6):
b entsteht durch
Addition&quot;
eine
c, in Zeichen
a
=c
-f b
oder
=a+
c
b
.
2. Wenn a und 6 gegebene Zahlen sind, so existiert stets eine und
nur eine Zahl x und auch eine und nur eine Zahl y, so daB
a
-f
=b
a;
bez.
y
a ==b
-\-
wird.
Es
3.
gibt eine bestimmte Zahl
a zugleich
+ =
a
und
a
heiBe
sie
a
-\-
,
so daB
fiir
jedes
=a
ist.
Aus der Zahl a und der Zahl
4.
Art durch
ab = c
c =
oder
al&amp;gt;
c,
in Zeichen
.
Wenn
5.
so existiert
Zahl
noch auf eine andere
entsteht
&
bestimmte Zahl
,,Multiplikation&quot; eine
a und 6 beliebig gegebene Zahlen sind und a nicht
ist,
stets eine und nur eine Zahl x und auch eine und nur eine
so daB
?/,
ax
=
bez.
b
ya
=b
sie
heiBe
wird.
Es
6.
gibt eine bestimmte Zahl
a zugleich
a
=
1
und
a
1
a
=
1
,
so daB
fiir
jedes
a
ist
Regeln der Rechnung
Wenn
a, b, c
(7
12):
beliebige Zahlen sind, so
gelten stets folgende Rech-
nungsgesetze:
7.
a
-f (&
8.
a
+
9.
a (be)
+
&
11.
+ c)
(a + &)c
12.
a&
10.
a(b
c)
- (a + &) + c
=& + a
= (ab)c
= ab + ac
= ac be
= &a.
-{-
Satze der Anordnung (13
13.
Wenn
a, b
16):
irgend zwei verschiedene Zahlen sind, so
bestimmte von ihnen (etwa a) groBer
heiBt dann die kleinere, in Zeichen:
a
&amp;gt;
b
und
als
(&amp;gt;)
b
&amp;lt;
a
.
die
andere;
ist stets
die
eine
letztere
26
Kap.
Wenn
Wenn
14.
15.
Wenn
und
a
&amp;gt;
b
a
&amp;gt;
b
a
16.
Die Lehre von den Proportionen.
III.
a
&amp;gt;
ist,
-f c
c,
&amp;gt;
so ist auch a
6
c
-f-
und
c
und
ac&amp;gt;bc
(Archimedischer
Satz.)
&amp;gt;
c
auch
so ist
ist,
&amp;gt;
a
c -f
c.
+
b
.
stets
ca&amp;gt;c6.
Satze von der Stetigkeit (17
17.
&amp;gt;
so ist auch stets
&amp;gt;
und
b
b
14.
13,
18):
Wenn
und
a&amp;gt;0
&&amp;gt;0
zwei belie-
bige Zahlen sind, so ist es stets moglich, a zu sich selbst so oft zu addieren, daB die entstehende Summe die Eigenschaft hat
a
-f
a
+
-f- a&amp;gt;b.
(Satz von der Vollstandigkeit.)
18.
Es
ist
nicht moglich,
dem
System der Zahlen ein anderes System von Dingen hinzuzufiigen, so daB
auch in dem durch Zusammensetzung entstehenden Systeme die Satze 1 17
samtlich erfiillt sind; oder kurz: die Zahlen bilden ein System von Dingen,
welches bei Aufrechterhaltung samtlicher aufgefiihrten Satze keiner Er-
weiterung mehr fahig
ist.
Ein System von Dingen, das nur
ein en Teil der Eigenschaften 1
18
Complexes Zdhlensystem. Ein komplexes Zahlensystem
ein Archimedisches oder ein Nicht-Archimedisches
jenachdem dasheiBe
besitzt,
heiBe
ein
,
Forderung 17 genugt oder nicht.
Von den aufgestellten Eigenschaften
selbe der
1
18 sind einige Folgen der
ubrigen. Es entsteht die Aufgabe, die logische Abhangigkeit dieser Eigen
schaften zu untersuchen 1 ).
Wir werden im Kapitel VI
32 und
33
zwei bestimmte Fragen der angedeuteten Art wegen ihrer geometrischen
Bedeutung beantworten und wollen hier nur darauf hinweisen, daB jeden-
Forderung 17 keine logische Folge der voranstehenden Eigen
schaften ist, da ja beispielsweise das in
12 betrachtete komplexe Zahlen
falls
die
&()
system
rung 17
samtliche Eigenschaften 1
16
besitzt,
aber nicht die Forde
erfiillt.
Im
ubrigen gelten betreifs der Satze von der Stetigkeit (17
18) die
8
die
wie
sie
in
iiber
entsprechenden Bemerkungen,
geometrischen
Axiome
der Stetigkeit gemacht worden sind.
14.
Beweis des Pascalschen Satzes.
die
In diesem und dem folgenden Kapitel legen wir unserer Untersuchung
ebenen Axiome samtlicher Gruppen mit Ausnahme der Stetigkeits1)
Vgl. meinen bereits citierten Vortrag iiber den Zahlbegriff.
Kap.
Die Lehre von den Proportionen.
III.
Axiome
27
14.
II
IV zu Grunde. In dem gegenwir
Euklids
Lehre von den Proportionen
wartigen
gedenken
mittels der genannten Axiome, d. h. in der Ebene und unabhangig
axiome,
d. h.
die
3 und
I 1
Kapitel III
vom ArcJiimedischen Axiom
zu begriinden.
Zu dem Zwecke beweisen wir zunachst
derer
bekannten Pascalschen
des
Fall
und
ist
Kegelschnitten
bezeichnen will.
ich
die
eine Tatsache, die ein beson-
Satzes
kiinftig kurz
aus
als
der
Lehre von
den
den Pascalschen Satz
Dieser Satz
lautet :
Satz 21
Es
Satz).
B
A,
C
,
(Pascalscher
*)
seien
je
C
A, B,
drei Purikte
~bez.
auf
zwei sich scJineidenden Geraden,
vom
die
Schnittpunkte der
raden verschieden sind;
CB
parallel
parallel
parallel
AC
AB
,
ist
Ge
dann
BC
und
CA!
so ist
auch
BA
.
Um
den Beweis fur diesen Satz zu erbringen, fiihren wir zunachst
In einem rechtwinkligen Dreiecke ist
folgende Bezeichnungsweise ein.
offenbar die Kathete a durch die Hypotenuse c und den von a und c
eingeschlossenen Basiswinkel
wir setzen kurz
a
so
daB das Symbol ac
bedeutet, sobald
a
eindeutig
bestimmt:
ac,
stets
eine bestimmte
Strecke
eine beliebig gegebene Strecke
c
und
a ein beliebig gegebener spitzer Winkel ist.
Nunmehr mb ge c eine beliebige Strecke und
liebige spitze
Kfic
stets
/3
mogen zwei
Winkel bedeuten; wir behaupten, daB allemal
kongruenz
besteht
a,
be-
die Strecken-
= (iac
und somit
die
Symbole
a,
/3
miteinander vertauschbar sind.
Um diese Behauptung zu beweisen,
die Strecke c = AB und
an
diese
Strecke in A zu beiden
tragen
nehmen wir
Seiten die
fallen wir
1)
Winkel a bez. /3 an. Dann
von B aus auf die anderen
F. Schur hat einen interessanten Beweis des Pascalschen Satzes auf Grund
I
HI in den Math. Ann. Bd. 51 veroffentlicht.
der ebenen und raumlichen Axiome
28
Kap.
Die Lehre von den Proportionen.
III.
BC
Schenkel dieser Winkel die Lote
fallen schlieBlich
Da
Winkel
die
A
von
&amp;lt;^
Punkte A, B, C,
Winkel &amp;lt;fiACD und
vier
aus das Lot
ACB
D
ABD
&amp;lt;
&amp;lt;^
folglich sind
gruent,
&amp;lt;=)C
BD,
C
verbinden
AE auf CD.
ADB Rechte
mit
so
sind,
D
und
liegen die
auf einem Kreise und demnach sind die beiden
AD einander kongruent.
CAE und andererseits
und
und
und
14.
Nun
-^
Peripheriewinkel auf derselben Sehne
zusammen mit dem
als
ist einerseits
ABD
auch die Winkel
^ACD
^ BAD je
zusammen mit
&amp;lt;^
CAE
und
BAD
&amp;lt;
ein Rechter
einander kon
es ist
d. h.
und daher
Wir gewinnen nun
unmittelbar die Streckenkongruenzen
ccf}c==a(AD)==AE
und hieraus
folgt die Richtigkeit der vorhin behaupteten Kongruenz.
Wir kehren nun
zur Figur des Pascalschen Satzes zuriick und be-
zeichnen den Schnittpunkt der beiden Geraden mit
OA, OB, OC,
a, b,
c,
a
,
&
,
c
und
die Strecken
OA OB OC CB BC AC CA, BA, AB
,
,
I,
I*,
,
,
,
,
Sodann fallen wir von
m, m*, n, n*.
I,
1
C /
raden
Lote auf
das Lot
m*, n]
schliefie
mit
bez.
,
auf
I
mit den beiden Ge
OA,
OA die
Winkel A , A
m
ein
spitzen
und
die
n mogen
mit den Geraden OA und
0.4 die spitzen Winkel [i ,[i
Lote auf
b
CL
bez. v
t
bez.
v bilden. Driicken
wir nun diese
in der vorhin
drei
Lote
angegebenen
Weise mit Hilfe der Hypotenusen und Basiswinkel in den betreffenden rechtwinkligen Dreiecken
auf doppelte Weise aus, so erhalten wir folgende drei Streckenkongruenzen
(1)
(2)
/o\
\d)
=A c,
A6
jia
r
Vtti
=p
=V
c,
r-i
.
Da nach Voraussetzung I parallel I* und m parallel m* sein soil, so stimmen die von
auf I* bez. m zu fallenden Lote mit den Loten auf I bez.
m* tiberein und wir erhalten somit
Kap. IIL Die Lehre von den Proportionen.
(4)
(5)
Ac
^A 6,
fic
=|u/a.
29
14.
Wenn
wir auf die Kongruenz (3) links und rechts das Symbol A ji
anwenden und bedenken, da8 nach dem vorhin Bewiesenen die in Rede
stehenden Symbole miteinander vertauschbar sind, so finden wir
vX pa
=v
l).
[iA.
In dieser Kongruenz beriicksichtigen wir links
rechts (4); dann wird
v ft A c
vA c
,11
die
Kongruenz
(2)
und
=
oder
Hierin beriicksichtigen wir links die Kongruenz (1) und rechts (5); dann
wird
v^i
A&
oder
Ap/v&
sofort
Kongruenz
= A^t
v a.
unserer Symbole
der Bedeutung
Wegen
= t/Aji/a
ft
v&
=
vb
~v
1
(i
schlieBen
wir
aus
der
letzten
v a
und hieraus
(6)
auf n gefallte Lot ins
Fassen wir nun das von
auf dasselbe Lote von
die
n*
A
a.
und
B
aus,
so
zeigt
die
Auge und
Kongruenz
fallen
(6),
daB
FuBpunkte der letzteren beiden Lote zusammenfallen, d. h. die Grerade
steht zu dem Lote auf n senkrecht und ist mithin zu n parallel.
AB
Damit
der Beweis
ist
Wir benutzen im
den Pascalschen Satz erbracht.
fiir
folgenden zur Begriindung der Geometric lediglich
dem die Strecken-
denjenigen speziellen Fall des Pascalschen Satzes, in
kongruenz
und
OC= OA
folglich
In
gilt.
auch
OA= 00
diesem
speziellen
Fall
namlich folgendermafien (Figur
der
Beweis besonders einfach,
30):
OA von aus die Strecke OB
Verbindungsgerade BD parallel zu CA und AC
Wir
die
S.
gelingt
tragen auf
Kongruenz der Dreiecke
ab, so daB
der
Wegen
OAD wird
=
^OC B ^OAD
OC B
CB
und
BC
und
nach Voraussetzung einander parallel
-
(2f)
D
wird.
.
(If)
Da
bis
sind, so ist
30
Kap.
III.
Die Lehre von den Proportionen.
14.
aus (If) und (2f) folgern wir
dann aber
vom
nach der Lehre
ist
ACD B
Kreise
ein
Kreisviereck und mithin gilt
nach einem bekannten Satze
von den Winkeln im Kreis
viereck die Kongruenz
\
B
C
I
~~
/
Andererseits
ist
Kongruenz
OD C und
der
(4f)
*
/
/&quot;&quot;&quot;
OB A
OD C
&amp;lt;
der
wegen
Dreiecke
auch
&amp;lt;;
OBA;
aus (3f) und (4f ) folgern wir
OBA
und
diese
Kongruenz
lehrt,
daB
AB
und
BA
einander
parallel
sind,
wie es der Pascalsche Satz verlangt.
Wenn irgend eine Gerade, ein Punkt auBerhalb derselben und irgend
Winkel gegeben ist, so kann man offenbar durch Abtragen dieses
Winkels und Ziehen einer Parallelen eine Gerade finden, die durch den
gegebenen Punkt geht und die gegebene Gerade unter dem gegebenen
Winkel schneidet. Im Hinblick auf diesen Umstand diirfen wir endlich zum
ein
Beweise des allgemeineren
Pascalschen Satzes auch das
D
einfache
SchluBfolgende
verfahren anwenden, das ich
einer Mitteilung von anderer
\
Seite verdanke.
Man
ziehe durch
B
eine
OA
im Punkte
Gerade, die
unter dem Winkel
V
OCA
trifft,
so daB die
(1*)
-$:OCA =
gilt;
dann
ist
Kongruenz
^OD B
f
nach einem be
kannten Satze aus der Lehre
vom
Kreise
CBD
A
ein Kreisviereck
und mithin
gilt
nach dem Satze
von der Kongruenz der Peripheriewinkel auf der namlichen Seite
Kongruenz
(2*)
^OBA^^OD
C.
die
Kap.
CA
Da
AC
und
Die Lehre von den Proportioned
III.
nach Voraussetzung einander
31
14, 15.
parallel sind, so ist
aus (1*) und (3*) folgern wir die Kongruenz
$:OD B = 3:OAC
dann aber
auch
ist
BAD
\
ein Kreisviereck
die
und mithin
gilt
nach dem
Kongruenz
= ^OC B.
CB parallel BC
&amp;lt;OAD
(4*)
Da
C
Winkeln im Kreisviereck
Satze von den
-
ferner nach Voraussetzung
^
&quot;
/
7^*
/&quot;-
ist,
so
haben wir auch
&quot;*^
)
aus (4*) und (5*) folgern wir die Kongruenz
diese endlich lehrt,
da6
CAD B
ein Kreisviereck ist,
auch die Kongruenz
$:0 AB
(6*)
Aus
und
(2*)
diese
gilt
= $:OD C.
(6*) folgt
OBA = $: OAB
&amp;lt;
und
und mithin
Kongruenz
lehrt,
BA
daB
AB
und
einander parallel sind, wie
es der Pascalsche Satz verlangt.
Fallt
D
Abanderung
mit einem der Punkte
A,
B
,
C zusammen,
so
wird eine
dieses SchluBverfahrens notwendig, die leicht ersichtlich ist 1 ).
15.
Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Satzes.
im vorigen Paragraph bewiesene Pascalsche Satz setzt uns
Stand, in die Geometric eine Rechnung mit Strecken einzufiihren, in der die Rechnungsregeln fur reelle Zahlen samtlich unverandert
Der
den
in
gultig sind.
Statt des
und des Zeichens = bedienen wir uns
in der Streckenrechnung des Wortes ,,gleich&quot; und des Zeichens =.
Wenn A, B, C drei Punkte einer Geraden sind und B zwischen A
und C liegt, so bezeichnen wir c = A C
u
Wortes
,,kongruent&quot;
^
als
a
die
= AB
Summe
und
b
der
= BC
beiden
Strecken
und setzen
c
1)
Interesse verdient auch die
punkt der
.
&amp;lt;
=a+
C=
CL + b
&amp;gt;
b.
Verwendung, die der Satz vom gemeinsamen Schnitt-
Hohen
eines Dreieckes zur Begrxindung des Pascalschen Satzes bez. der Profindet; man vergleiche hieruber F. Schur, Math. Ann. Bd. 57 und
portionenlehre
J. Mollerup, Studier over den plane geometries aksiomer, Kopenhagen 1903.
32
Kap.
III.
Die Lehre von den Proportionen.
Die Strecken a und b heiBen kleiner
a
und
c
und
heiBt groBer als a
Aus den
linearen
fur
eben
die
&amp;gt;
c
a,
a
+
Addition
kommutative
(b
+
c)
c,
&.
&amp;gt;
=
(a
3 entnehmen wir
III 1
Kongruenzaxiomen
definierte
Gesetz
sowie das
&amp;lt;
Zeichen:
Zeichen:
b, in
c
daB
b
c,
&amp;lt;
als c, in
15.
der
Strecken
+
+
6)
das
leicht,
assoziative
c
Gesetz
a
+&=&+
a
giiltig ist.
Urn das Produkt einer Strecke a in eine Strecke
definieren,
bedienen wir uns
b geometrisch
zu
Wir wahlen
zu-
folgender Konstruktion.
nachst eine beliebige Strecke, die fiir die ganze Betrachtung die namliche
Nunmehr tragen wir auf dem
bleibt, und bezeichnen dieselbe mit 1.
einen Schenkel eines rechten Winkels
vom
ferner
die
Strecke
vom
Scheitel
aus
Scheitel
und
ebenfalls
1
sodann tragen wir
auf dem anderen Schenkel die Strecke a
die
Strecke b
Wir verbinden
ab.
_
Strecken
der
*
Gerade
durch
auf
den
Endpunkt
der
dem anderen Schenkel
diese
Strecke c das
zeichnen
sie
Strecke
ab;
b
1
und ziehen zu
eine
Parallele;
eine Strecke c abschneiden:
Produkt der Strecke a in die
mit
c
die
und a
Endpunkte
durch
eine
dieser Geraden
dieselbe
moge
dann nennen wir
Strecke b
und be
= ab.
Wir wollen
vor allem beweisen, daB fiir die eben definierte Multiplikation der Strecken das kommutative Gesetz
ab
ba
Zu dem Zwecke konstruieren wir zuerst auf die oben festWeise
die Strecke ab. Ferner tragen wir auf dem ersten Schenkel
gesetzte
des rechten Winkels die Strecke a und auf dem anderen Schenkel die
giiltig ist.
Strecke b ab, verbinden den Endpunkt der Strecke 1 mit dem Endpunkt
von b auf dem anderen Schenkel durch eine Gerade und ziehen zu dieser
Geraden durch den Endpunkt von a auf dem ersten Schenkel eine Pa
rallele: dieselbe schneidet auf dem anderen Schenkel die Strecke ba ab;
III.
Kap.
Die Lehre von den Proportionen.
33
15.
Tat fallt diese Strecke ba, wie untensteliende Figur
zeigt, wegen
der Parallelitat der punktierten Hilfslinien nach dem Pascalschen Satze
(Satz 21) mit der vorhin konstruierten Strecke ab zusammen. Auch um-
in der
gekehrt
wie
folgt,
man
sofort sieht, aus der Giiltigkeit des
kommutativen
Gesetzes in unserer Streckenrechnung der Pascalsche Satz.
fiir unsere
Multiplikation der Strecken das assoziative Gesetz
Um
a (be)
=
(aV)c
zu beweisen, tragen wir auf dem einen Schenkel des rechten Winkels vom
Sckeitel
aus die Strecken 1 und b und auf dem anderen Schenkel
ebenfalls
von
aus die Strecken a und c ab.
Sodann konstruieren wir
e-cb
ae-cd
cu
1
ab
=
cd,
= ab
und e = cb und tragen diese Strecken d und e auf
ersteren Schenkel von
aus ab.
Konstruieren wir sodann ae und
so ist wiederum auf Grund des Pascalschen Satzes aus vorstehender
die Strecken
dem
ba
d
Figur ersichtlich,
d.
h. es ist
und hieraus
daB
ae
folgt
die
=
Endpunkte
j
cd
j
oder
dieser
/ IA
a(cb)
Strecken zusammenfallen,
/ T\
= c(ab)
mit Zuhilfenahme des kommutativen Gesetzes auch
Man vergleiche hierzu auch die Methoden zur Begriindung der Proportionendie neuerdings von A. Kneser, Arckiv fur Math, und
Phys., E. Ill, Bd. 2, und
1)
lehre,
J.
Mollerup, Math. Ann., Bd. 56 sowie Studier over den plane geometries aksiomer,
1903, angegeben worden sind und bei denen die Proportionengleichung
Kopenhagen
vorangestellt wird. F. Schur, Zur Proportionenlehre, Math. Ann. Bd. 57 bemerkt, daB
bereits Kupffer (Sitzungsber. der
Naturforscherges. zu Dorpat 1893) das kommutative
Gesetz der Multiplikation richtig bewiesen hat. Jedoch ist
Kupffers weitere Begrun-
dung der Proportionenlehre
als
unzureichend anzusehen.
Hilbert, Grundlagen der Geometrie.
3
Kap. HI. Die Lehre von den Proportionen.
34
Wie man
15.
haben wir im vorstehenden beim Nachweise sowohl
sieht,
des kommutativen wie des
assoziativen Gesetzes der Multiplikation ledig-
lich denjenigen speziellen Fall des Pascalschen Satzes benutzt, dessen Be-
weis auf
S.
Anwendung
Durch
30 ( 14) in besonders einfacher Weise durch einmalige
des Kreisvierecksatzes gelang.
eine geringe Umordnung des obigen SchluBverfahrens erhalt
29
man
folgende ebenfalls sehr kurze Begriindung der Multiplikationsgesetze
der Streckenrechnung.
Auf dem einen Schenkel eines rechten Winkels trage man Tom
aus
Scheitel
Strecken a
die
dem anderen Schenkel
= OA
und
die Einheitsstrecke 1
I = OS
= OC ab.
und auBerdem auf
Der durch A, B, C
gelegte Kreis schneide den letzteren
Schenkel noch im Punkte D.
Der
Punkt D wird leicht in elementarer
Weise gewonnen, indem man vom
Mittelpunkt des Kreises das Lot auf
C fallt und an diesem den Punkt C
spiegelt.
Die Strecke
OD
heifie das
Produkt der beiden Strecken a und
es gilt
&;
dann offenbar das kommuta-
tive Gesetz der Multiplikation
ab
OCA
S.
und
Wegen
OBD
stimmt diese Definition
32 angegebenen
iiberein.
nunmehr nach
S.
der Winkel
Gleichheit
Produktes mit
der
auf
Die Gleichung
ab
beweist
der
des
= ba.
= ba
33 oben den speziellen Fall
schen Satzes und aus diesem wiederum folgt nach
Gesetz der Multiplikation
a(bc)
(ab)c.
S.
(S.
29) des Pascal
33 das assoziative
=
Endlich
in unserer
gilt
auch
Streckenrechnung
das
distributive Gesetz
a
(b
-\-
c)
ab
-f-
ac.
Urn
dasselbe zu beweisen,
konstruieren wir die Strecken
ab, ac und a (b -f- c) und
ziehen dann durch den End-
b
a
(b
-f-
c]
c
f
ab
+
be
b+c
punkt der Strecke
c (s.
neben-
stehende Figur) eine Parallele
Kap. El.
zu
Die Lehre von den Proportionen.
dem anderen Schenkel
des rechten Winkels.
35
15, 16.
Die Kongruenz der beiden
rechtwinkligen in der Figur schraffierten Dreiecke und die
des Satzes von der Gleichheit der Gegenseiten im
Anwendung
Parallelogramm
dann den gewiinschten Nachweis.
Sind & und c zwei beliebige Strecken, so gibt
sodaB
c
= ab
Quotient von
wird;
diese
Strecke
a wird
mit
liefert
es stets eine Strecke a,
j-
bezeichnet
und der
durch 6 genannt.
c
16.
Die Proportionen und die Ahnlichkeitssatze.
Mit Hilfe der eben dargelegten Streckenrechnung lafit sich Euklids
Lehre von den Proportionen einwandsfrei und ohne Archimedisclies Axiom
in folgender
Weise begriinden.
Sind a,
Erklarung.
1),
V
a,
Proportion
a
:
&
vier
irgend
Strecken,
so
soil
die
=a V
:
nichts anderes bedeuten als die
Streckengleichung
Erklarung. Zwei Dreiecke
Winkel in ihnen kongruent sind.
Satz 22. Wenn a, b und a
heifien
,
?/
ahnlich,
wenn entsprechende
entsprechende Seiten in zwei ahn-
lichen Dreiecken sind, so gilt die Proportion
Wir
Beweis.
betrachten zunachst den besonderen Fall, wo die von
in beiden Dreiecken Rechte sind,
und a ?/ eingeschlossenen Winkel
und denken uns die beiden Dreiecke in
a, b
,
eingetragen.
Scheitel aus
Strecke
1
Endpunkt
zu
den
Wir
auf
ab
sodann
tragen
einem
und
Schenkel
ziehen
durch
die
den
dieser Strecke 1 die Parallele
beiden
schneide auf
Hypotenusen;
dieselbe
dem anderen Schenkel
die
Strecke e ab; dann ist nach unserer
Definition des Streckenproduktes
b
ea,
?/=
ein
vom
b
*
und denselben rechten Winkel
36
Kap.
Die Lehre von den Proportionen.
III.
16, 17.
mithin haben wir
al
d.
= ba
f
h.
a
Nunmehr kehren wir
zu
:
b
=a
V.
:
dem allgemeinen
struieren
CL.
in
&
der
den
drei
Existenz
dessen
der
jedem
Dreiecke
lichen
bez.
Falle zuriick.
Wir
beiden
konahn-
Schnittpunkt
S
Winkelhalbierenden,
aus dem Satze vom
gleichschenkligen Dreiecke leicht abzuleiten ist; und fallen von diesen die drei
Lote r bez. r
auf die Dreiecksseiten;
die auf diesen entstehenden Abschnitte
bezeichnen wir mit
bez.
Der vorhin bewiesene
Proportionen
:
r
spezielle
Fall unseres Satzes liefert dann die
=
b
:
r
=
b
:
aus diesen schlieBen wir mittels des distributiven Gesetzes
a
und
:
r
=
a
:
b
/,
:
=&
r
:
/
folglich mit Riicksicbt auf das kommutative Gesetz der Multiplikation
a
:
b
a
:
V.
Aus dem eben bewiesenen Satze 22 entnehmen wir
leicht
den Fun-
damentalsatz in der Lehre von den Proportionen, der wie folgt lautet:
Satz 23. Schneidcn zivei Parallde auf den Schenkeln eines beliebigen
Winkels die Strecken a, b ~bez. a, b ab, so gilt die Proportion
a :b
Umgekehrt,
a, a und
b, b
wenn
je
a :b
f
.
vier Streckeu a, b, a, b
auf einem
SchenJcel
diese Proportion erfullen
eines beliebigen
und
WinJcels abgetragen
werden, so sind die Verbindungsgeradcn der Endpurikte von a, b
a, V einander parallel.
bez.
von
Die Grleichungen der Geraden und Ebenen.
Zu dem bisherigen System von Strecken fiigen wir noch ein zweites
ebensolches System von Strecken hinzu; die Strecken des neuen Systems
denken wir uns durch ein Merkzeichen kenntlich gemacht und nennen
dann
sie
teten
Die Lehre von den Proportionen.
III.
Kap.
Strecken.
,,positiven&quot;
noch
die
ein ;
so
13 zusammengestellt worden
in
Tatsachen
hervor:
folgende spezielle
1
a
a.
Es ist stets a 1
reelle
die
Zahlen,
ab
a
= 0,
und
&
&amp;gt;
so ist entweder a
c
Wir nehmen nun
sind.
Wir heben
=
=
Wenn
Wenn
bisher betrach-
durch einen einzigen
gelten bei gehorigen Festsetzungen
Streckenrechnung samtliche Eechnungsregeln fiir
erweiterten
dieser
wir
Fiihren
Punkt bestimmte Strecke
in
zum Unterschiede von den
Strecken
}) negative&quot;
37
17.
&amp;gt;
=
oder 6
0, so folgt stets
in einer
ac
&amp;gt;
=
0.
&c.
Ebene a durch einen Punkt
zwei zu-
rechtwinkliges Achsenkreuz an
aus auf den beiden
und tragen dann die beliebigen Strecken x, y von
der
anderen Seite bin,
oder
nach
zwar
naeh
der
einen
und
Geraden ab,
senkrechte
einander
Gerade
als
festes
naclidem die abzutragende Strecke x bez. y positiv oder negativ ist;
sodann errichten wir die Lote in den Endpunkten der Strecken x, y und
bestimmen den Schnittpunkt P dieser Lote: die Strecken x, y heiBen die
je
Koordinaten des Punktes P; jeder Punkt der Ebene a ist durch seine
sein konnen,
Koordinaten x, y, die positive oder negative Strecken oder
eindeutig bestimmt.
und durch
Es sei I irgend eine Gerade in der Ebene a, die durch
einen Punkt
C
mit den
Koordinaten a, 6 gehe.
Sind dann x, y die Ko
ordinaten
eines
irgend
Punktes von
so finden
I,
wir leicht aus Satz 22
a
:
1)
=
x
:
y
oder
bx
die
als
Geraden
zu
I
ay
X
=
Gleichung
1.
Ist
I
der
eine
parallele Gerade, die
z-Achse die Strecke c abschneidet, so gelangen wir zu der
der Geraden I die
Gleichung der Geraden I indem wir in der Gleichung
c ersetzen; die gewiinschte Gleichung
Strecke x durch die Strecke x
auf der
,
lautet also
bx
Aus
von dem
ay
6c
= 0.
diesen Entwicklungen schlieBen wir leicht auf eine Weise, die
daB jede Gerade in einer
Archimedischen Axiom
ist,
Ebene durch
unabhangig
den Koordinaten x, y dargestellt
eine lineare Gleichung in
38
Kap.
Die Lehre von den Proportioned
III.
wird und umgekehrt jede
wobei
Koeffizienten
die
kommende Strecken
solclie lineare
17.
Gleichung eine Gerade darstellt,
betreffenden Geometrie vor-
der
derselben
in
Resultate
beweist
sind.
Die entsprechenden
raumlichen Geometric.
Der weitere Aufbau
Methoden geschehen,
der
man
die
man
ebenso
in
der
Geometrie kann von nun an nach
den
in
leicht
der analytischen Geometrie gemeinhin
anwendet.
bisner in diesem Kapitel III das Archimedische Axiom
benutzt; setzen wir jetzt die Giiltigkeit desselben voraus, so
Wir haben
nirgends
konnen wir den Punkten einer beliebigen Geraden im Raume
zuordnen und zwar auf folgende Art.
Wir wahlen
reelle
Zahlen
auf der Geraden zwei beliebige Punkte aus und ordnen
und 1 zu; sodann halbieren wir die durch sie be-
diesen die Zahlen
stimmte Strecke 01 und bezeichnen den entstehenden Mittelpunkt mit
Strecke 0^ mit \ u. s. w.; nach w-maliger
-|-,
ferner den Mittelpunkt der
dem
Ausfiihrung dieses Verfahrens gelangen wir zu einem Punkte,
Zahl
2
n
zuzuordnen
ist.
Nun
tragen wir die Strecke
2
n
die
an den Punkt
sowohl nach der Seite des Punktes 1 als auch nach der anderen Seite
bin etwa m mal hintereinander ab und erteilen den so entstehenden Punkten
die
bezw.
Zahlenwerte
2&quot;
2
n
.
Aus dem Archimedischen Axiom kann
werden, daB auf Grund dieser Zuordnung sich jedem
beliebigen Punkte der Geraden in eindeutig bestimmter Weise eine reelle
Zahl zuordnen liiBt und zwar so, daB dieser Zuordnung folgende Eigen-
leicht geschlossen
~-*t-
schaft
zukommt: wenn A, B, C irgend
Punkte der Geraden und
drei
A
zugehorigen reellen Zahlen sind und JB zwischen
a, /?, y
diese Zahlen stets entweder die Ungleichung a
liegt, so erfiillen
die
oder a
&amp;gt;
/3
&amp;gt;
jede Zahl,
Punkt der
C
&amp;lt;
/3
&amp;lt;
y
y.
Aus den Entwicklungen im Kap.
die
bez.
und
dem
II
9 leuchtet ein,
algebraischen Zahlkorper
&
daB dort
fiir
angehort, notwendig ein
muB, dem
sie zugeordnet ist.
Ob auch
Geraden existieren
ein Punkt entspricht, hangt davon ab, ob in der
Zahl
reellen
anderen
jeder
vorgelegten Geometrie das Vollstandigkeitsaxiom V 2 gilt oder nicht gilt.
Dagegen ist es, auch wenn man nur die Giiltigkeit des Archimedischen
Axioms annimmt, stets moglich, das System von Punkten, Geraden und
Ebenen so durch ,,irrationale&quot; Elemente zu erweitern, daB auf jeder
Geraden der entstehenden Geometrie jedem System von drei reellen
Zahlen ohne Ausnahme ein Punkt zugeordnet ist. Durch gehorige Festsetzung kann zugleich erreicht werden, daB in der erweiterten Geometrie
Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
Kap. IV.
samtliche Axiome
I
irrationalen Elemente)
V
Diese
sind.
giiltig
erweiterte
Geometrie
1st
39
18.
(durch Hinzufiigung der
keine andere als die ge-
wohnliche analytische Cartesische Geometrie des Raumes, in welcher auch
1
das Vollstandigkeitsaxiom V 2 gilt ).
Kapitel
IV.
Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ehene.
18.
Die Zerlegungsgleicnlieit und Inhaltsgleichheit von Polygonen,
IV dielegen den Untersuchungen des gegenwartigen Kapitels
und
die
lineareii
selben Axiome wie im Kapitel III zu Grande, namlich
ebenen Axiome samtlicher Gruppen mit Ausnahme der Stetigkeitsaxiome,
Wir
d.
h.
Axiome I
Die im Kapitel
die
selbst eingefiihrte
13
und
IV.
II
Lehre von den Proportionen und die daStreckenrechnung setzt uns in den Stand, die Euklidische
III erorterte
Lehre von den Flacheninhalten mittels
der Ebene
der
d.
genannten Axiome,
und unaWidngig von den Stetiykeitsaxiomen
h.
zu
in
be-
griinden.
Kapitel III die Lehre von den
Pascalschen Satze (Satz 21) beruht
Da nach den Entwicklungen im
Proportionen wesentlich auf dem
so gilt dies auch ftir die Lehre von den Flacheninhalten; diese Begriinerscheint mir als eine der
dung der Lehre von den Flacheninhalten
Satzes in der ElementarPascalschen
des
merkwiirdigsten Anwendungen
geometrie.
P
durch
zwei Punkte eines Polygons
der ganz im Innern des Polygons verlauft, so
irgend einen Streckenzug,
und 27 deren innere Punkte alle im
entstehen zwei neue Polygone
t
Verbindet
Erklarung:
man
P
P
Innern von
und
P
2
P
liegen; wir
setzen
P
sagen:
P
zerfallt
in
P
x
und
P
2
,
oder
P
x
zusammen.
wenn sie in
Erklarung. Zwei Polygone heifien zerlegungsgleicli,
die paareine endliche Anzahl von Dreiecken zerlegt werden konnen,
weise einander kongruent sind.
oder von gleicliem
Erklarung. Zwei Polygone heifien inhaltsgleich
zu denselben zerlegungsgleiche Polygone
Inhalte, wenn es moglich ist,
1)
Vgl. die
Bemerkungen am SchluB von
8.
Kap. IV. Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
40
so
hinzuzufiigen,
18.
daB die beiden zusammengesetzten Polygone
einander
zerlegungsgleich sind.
Aus den
durch Zusammenfiigung
letzteren Erklarungen folgt sofort:
zerlegungsgleicher Polygone entstehen wieder
zerlegungsgleiche Polyund wenn man zerlegungsgleiche Polygone von zerlegungsgleichen
Polygonen wegnimmt, so sind die iibrigbleibenden Polygone inhaltsgleich.
gone,
Ferner gelten folgende Satze:
Satz 24. Sind zwei Polygone
P
lygon
3
zerlegungsgleich,
so
P
1
sind
und
P
aucli
sie
mit einem
2
dritten
untereinander
zerlegungs
Sind zwei Polygone mit einem dritten inhaltsgleich,
untereinander inhaltsgleich.
Beweis.
P
2
eine
Nach Voraussetzung
Zerlegung
in
laBt
Dreiecke
sich
angeben,
sowohl
fiir
sind sie
so
gleich.
fiir
Po
P
l}
als
so daB einer jeden
auch
dieser
P
beiden
in kongruente
Zerlegungen je eine Zerlegung des Polygons
3
Dreiecke entspricht. Indem wir diese Zerlegungen von P3 gleichzeitig in
Betracht ziehen, wird im allgemeinen jedes Dreieck der einen Zerlegung
durch Strecken, welche der anderen Zerlegung angehoren, in Polygone
Wir fiigen nun noch so viele Strecken hinzu, daB jedes dieser
zerlegt.
und bringen dann die zwei
entsprechenden Zerlegungen in Dreiecke in Px und in P2 an; dann zerfallen offenbar diese beiden Polygone P1 und P2 in gleich viele paarweise einander kongruente Dreiecke und sind somit nach der Erklarung
Polygone selbst wieder in Dreiecke
zerfallt,
einander zerlegungsgleich.
Der Beweis der zweiten Aussage des Satzes 24 ergibt sich nunmehr
ohne Schwierigkeit.
Wir
linie
erklaren in der iiblichen
und Hohc
Weise
eines Paralleloyrammes,
die Begriffe:
Recliieck,
Grund-
Grundlinie und Hohe ernes Dreiecks.
Kap. IV.
Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
41
19.
19.
Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Hohe.
Die bekannte in den untenstehenden Figuren
EuMids liefert den Satz:
Satz 25.
illustrierte
SchluBweise
Zwei Parallelogramme mit gleicher Grundlinie und Hohe
sind einander inhaltssleich.
Ferner
gilt die
Satz 26.
gramm
bekannte Tatsache:
Ein jedes Dreieck
mit gleicher
ABC ist
einem gewissen Parallelo-
stets
und halber
Grundlinie
Hohe
zerlegungsgleich.
Beweis.
Halbiert
man AC in D und
und verlangert dann
um sich
selbst bis F, so sind die Dreiecke DEC
und FBE einander kongruent und folglich
sind Dreieck ABC und Parallelogramm ^.jPFZ)
BC
in
E
DE
einander inhaltsgleich.
Aus Satz 25 und Satz 26 folgt mit Hinzuziehung von Satz 24 unmittelbar:
Satz 27.
/
A
/
\
/
\/
Zwei Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Hohe sind
einander inhaltsgleich.
Bekanntlich zeigt man leicht, daB zwei Dreiecke mit gleicher Grund
linie
und Hohe auch
daB dieser Nachweis
lich ist;
in
der
Wir bemerken jedoch,
zerlegungsgleich sind.
oline Benutzung des Archimediscken Axioms niclit mogstets
Tat lassen
sich
in
unserer Nicht-Archimedischen Geo
metric (vgl. Kap. II
12) ohne Schwierigkeit zwei solche Dreiecke andie
Grundlinie
und Hohe besitzen und folglich dem Satze 27
geben,
gleiche
entsprechend inhaltsgleich, aber die dennoch nicht zerlegungsgleich
ABC
ABD
Als Beispiel mogen zwei Dreiecke
mit der geund
meinsamen Grundlinie
1 und der gleichen Hohe 1 dienen, wenn
die Spitze C des ersteren Dreiecks senkrecht fiber
und im zweiten
sind.
AB =
A
F
Dreiecke der FuBpunkt
der von der Spitze
ist
t wird.
daB
;
legen
AF =
Wir erwahnen noch den leicht
Satz 28. Zu einem beliebigen
D
gefallten
Hohe
so
ge-
zu beweisenden Satz:
Dreiecke und mithin auch zu einem
Kap. IV. Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
42
19, 20
beliebigen Polygon kann stets ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert
werden, das eine Kathete 1 besitzt und das mit dem Dreiecke bez. Po
ist.
lygon inhaltsgleich
Auch
die
fibrigen
aus
Satze
der
elementaren
Geometric
fiber
die
Inhaltsgleichheit von Polygonen, insbesondere der Pythagoraische Lehrsatz sind leichte Folgerungen der eben aufgestellten Satze. Wir begegnen
aber dennoch bei der weiteren Durchffihrung der Theorie der Flacheninhalte einer wesentlichen
Schwierigkeit.
Insbesondere lassen es unsere
bisherigen Betrachtungen dahingestellt, ob nicht etwa alle Polygone stets
einander inhaltsgleich sind. In diesem Falle waren die samtlichen vorhin
und ohne Bedeutung. Hiermit hiingt die
inhaltsgleiche Rechtecke mit einer gemeinauch notwendig in der anderen Seite ubereinstimmen,
aufgestellten Satze nichtssagend
Frage zusammen, ob zwei
schaftlichen
d.
h.,
Seite
ob ein Rechteck durch eine Seite und den Flacheninhalt eindeutig
bestimmt
ist.
Wie
maBen
man
nahere Uberlegung zeigt ; bedarf
die
der aufgeworfenen Fragen der
Umkehrung
zur
des Satzes 27,
Beantwortung
die
folgender-
lautet:
Satz 29.
so haben sie
Wenn
zwei inhaltsgleiche Dreiecke gleiche Grundlinie haben,
auch gleiche Hohe.
Dieser fundamentale Satz 29 findet sich im ersten
Buch der Elemente
39 ster Satz; beim Beweise desselben beruft sich jedoch
Euldid auf den allgemeinen GroBensatz: ^Kal to o Aov tov fisgovg ^elt,6v
des EuJdid
als
welches
auf die Einfuhrung eines neuen geometrischen Axioms fiber Flacheninhalte hinauslauft.
ein Verfahren,
t^riv&quot;
Es gelingt nun den Satz 29 und damit die Lehre von den Flachen
auf dem hier von uns in Aussicht genommenen Wege, d. h.
mit
Hilfe der ebenen Axiome ohne Benutzung des Archimedischen
lediglich
Axioms zu begrfinden. Um dies einzusehen, haben wir den Begriff des
;
inhalten
InhaltsmaBes notig.
20.
Das InhaltsmaB von Dreiecken und Polygonen.
Erklarung:
a,
b,
aus
c
der
die
h.
wir in
beiden Hohen h a
Ahnlichkeit
Proportion
d.
Wenn
der
einem Dreieck
= AD
Dreiecke
}
hb
BCE
= BE
und
ABC
mit den Seiten
konstruieren, so folgt
nach Satz 22 die
ACD
Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
Kap. IV.
mithin
jedem Dreiecke das Produkt aus einer Grundlinie und der
in
ist
43
20.
zu ihr gehorigen Hohe davon unabhangig, welche Seite des Dreiecks
als Grundlinie wahlt.
Das halbe Produkt aus
und Hohe
Grundlinie
eine
also
fur
sie
Strecke;
eines
Dreieck
das
Dreiecks
A
ist
charakteristische
heiBe das Inhaltsmaft des Drei
A
und werde mit J (A} bezeichnet.
Erklarung. Eine Strecke, welche eine
Ecke eines Dreiecks mit einem Punkte der
ecks
man
A
Seite
heiBt
verbindet,
gegeniiberliegenden
Transversale des Dreiecks; dieselbe zerlegt das Dreieck in zwei
Dreiecke
mit gemeinsamer Hohe, deren Grundlinien in dieselbe Gerade fallen; eine
solche Zerlegung heiBe eine transversale Zerlegung des Dreiecks.
Satz 30.
Wenn
A
durch beliebige Gerade irgendwie in
eine gewisse endliche Anzahl von Dreiecken Ak zerlegt wird, so ist stets
das InhaltsmaB des Dreiecks A gleich der Summe der InhaltsmaBe der
samtlichen Dreiecke
A
k
.
Aus dem
Beweis.
nung
ein Dreieck
daB
unmittelbar,
Summe der
folgt
gleich der
solcher Dreiecke
transversale
die
ist,
Gesetze
distributiven
Zerlegung
in
InhaltsmaB
das
InhaltsmaBe
Streckenrech-
unserer
eines
beliebigen
Dreiecks
zweier
durch irgendwelche
aus jenem Dreieck
Die wiederholte
hervorgehen.
dieser Tatsache zeigt, daB das
Anwendung
InhaltsmaB
beliebigen Dreiecks auch gleich der
Summe der InhaltsmaBe der samtlichen Drei
eines
ecke
die
ist,
nacheinander
aus
dem
beliebig
vorgelegten
viele
Dreiecke
transversale
wenn
entstehen,
Zerlegungen
man
ausfiihrt.
Urn nun den entsprechenden Nachweis fur
die beliebige Zerlegung des Dreiecks
A
Ecke A
A
in Drei
zu erbringen, ziehen wir von der einen
k
durch jeden Teilpunkt
des Dreieckes
d.
h.
durch
der Zerlegung,
jeden Eckpunkt der
ecke
A
A
Dreiecke k eine Transversale; durch diese Transin gewisse Drei
versalen zerfallt das Dreieck
A
ecke
A
.
t
Jedes dieser Dreiecke
A
t
zerfallt
durch
gegebenen Zerlegung in
und
Vierecke.
Wenn wir in
Dreiecke
gewisse
den Vierecken noch je eine Diagonale konin gewisse Dreiecke
struieren, so zerfallt jedes Dreieck
die
Teilstrecken
der
A
nun
t
in Dreiecke
zeigen, daB die Zerlegung
A
ts
A
ts
.
Wir
wollen
sowohl fur die Dreiecke
A
t
44
als
Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
Kap. IV.
d
auch fur die Dreiecke
anderes als eine Kette von transver-
nichts
k
20.
salen Zerlegungen bedeutet.
In der Tat, zuniichst ist klar,
daB jede Zerlegung eines Dreiecks in
Reihe von transversalen Zerlegungen bewirkt werden kann, wenn bei der Zerlegung im Inneren des Dreiecks
Teildreiecke
durch eine
stets
keine Teilpunkte liegen und iiberdies wenigstens eine Seite des Dreiecks
von Teilpunkten
Nun
frei bleibt.
Dreiecke
ist fiir die
ersichtlich, daB
fiir
die
dem Punkte
frei
ist.
Aber auch
A
fiir
4
jedes
unsere Behauptung aus
dem Umstancle
d
auf transversale
ist die Zerlegung in
ts
Betrachten wir namlich ein Dreieck zlk so
,
A
A
wird es unter den von
bestimmte Transversale
Im
t
k
Zerlegungen zuriickfuhrbar.
hineinfallt
A
jedes derselben das Innere sowie eine Seite, namlich
gegeniiberliegende Seite von weiteren Teilpunkten
eine
ausgehenden Transversalen im Dreieck
k
geben, in welche entweder eine Seite von
A
oder welche selbst das Dreieck
ersten Falle bleibt die betreffende
A
Seite
in
k
zwei Dreiecke zerlegt.
Dreiecks
k
iiberhaupt
A
des
von weiteren Teilpunkten bei der Zerlegung in Dreiecke z/, s im
letzteren Falle ist die im Inneren des Dreiecks Ak verlaufende Strecke
frei
;
Transversalen
jener
die
bei
der
in
Teilung
den
in
beiden
Dreiecke
entstehenden
4
Dreiecken
eine
Seite,
von weitereu Teilpunkten gewiB
ts
frei bleibt.
Nach
am Anfang
der
das InhaltsmaB
J (zJ]
maBe
J (A~^
aller
InhaltsmaBe
InhaltsmaBe
maBe
J(4
gleich der
des Satzes
A
ts },
t ,
und
A
angestellten Betrachtung ist
gleich der Summe aller Inhalts-
diese
Andererseits
J&quot;(^).
.)
Dreiecke
aller
A
k
Summe
ist
gleich
Summe
Summe iiber die
Summe aller Inhalts
ist
gleich der
auch die
der
folgt endlich, daB das InhaltsmaB J (^f) auch
Damit ist der Beweis
InhaltsmaBe J&quot;(^/A.) ist.
und hieraus
Summe
aller
30 vollstandig erbracht.
Definieren
Erklarung.
als die
des Dreiecks
der Dreiecke
J (z/A
dieses Beweises
Summe
wir
das
InhaltsmaB
der InhaltsmaBe aller Dreiecke,
in
J (P)
eines
Polygons
die dasselbe bei einer
bestimmten Zerlegung zerfallt, so erkennen wir auf Grrund des Satzes 30
18 beim Beweise des
durch eine ahnliche SchluBweise, wie wir sie in
Satzes 24 angewandt haben, daB das InhaltsmaB eines Polygons von der
Art der Zerlegung in Dreiecke unabhangig
ist
und mithin
allein
durch
Aus dieser Erklarung entnehmen
das Polygon sich eindeutig bestimmt.
30
die
wir vermittels des Satzes
Tatsache, daB zerlegungsgleiche
Polygone gleiches InhaltsmaB haben.
P
und Q zwei inhaltsgleiche Polygone, so muB es nach
Sind ferner
und Q geben, so daB
der Erklarung zwei zerlegungsgleiche Polygone
P
Kap. IV.
Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
45
20, 21.
aus P und P zusammengesetzte Polygon (P + P ) mit dem aus
und
Q
Q zusammengesetzten Polygon (Q + $ ) zerlegungsgleich ausfallt.
Aus den beiden Gleichungen
das
J(P+P = J(Q +
)
schlieBen wir
d. h.
$
),
leiclit
inhaltsgleiche Polygone haben gleiclies InhaltsraaB.
21.
Die Inhaltsgleiclilieit und das InhaltsmaB.
20 haben
In
InhaltsmaB
wir gefunden, daB inhaltsgleiche Polygone stets
Aus dieser Tatsache entnehmen wir unhabeu.
gleiches
mittelbar den Beweis des Satzes 29.
der
Grrundlinie
und
li,
beiden
schlieBen
so
beiden Dreiecke,
d. h. es folt:
Dreiecke
wir
aus
Bezeichnen wir namlich die gleiche
die zugehorigen Hohen mit /^
mit g,
der
angenommenen
Inhaltsgleichheit
der
daB dieselben auch gleiches InhaltsmaB haben miissen,
und mithin nach Division durch %g
h = h
]
Aussage des Satzes 29.
lafit sich nunmehr die am SchluB von
dies ist die
Auch
P
umkehren.
20 gemachte Aussage
und Q zwei Polygone mit gleichem
In der Tat, seien
zwei rechtwinklige Drei
InhaltsmaB, so konstruieren wir gemaB Satz 28
und E, von denen jedes eine Kathete 1 besitzt und so daB das
ecke
mit dem Polygon Q
und das Dreieck
mit dem Polygon
Dreieck
d
4
P
E
20 bewiesenen Satze folgt
Aus dem am SchluB von
inhaltsgleich ist.
mit
Q gleiche Inhaltsmafie habeu.
dann, daB 4 mit P und ebenso E
daB auch
Wegen des gleichen InhaltsmaBes von P und Q folgt hieraus,
Da nun diese beiden rechtwinkligen
zl und E gleiches InhaltsmaB haben.
Dreiecke in der Kathete 1 ubereinstimmen, so stimmen notwendig auch
sind
und
ihre anderen Katheten iiberein, d. h. die beiden Dreiecke
4
E
P
einander kongruent und mithin sind nach Satz 24 die beiden Polygone
und Q einander inhaltsgleich.
Die beiden in diesem und dem vorigen Paragraph gefundenen Tatsachen fassen wir in den folgenden Satz zusammen:
Satz 31. Zivei inhaltsgkiche Polygone luiben stets das
sind
maft und zwei Polygone mit gleichem Inlialtsmafi
inhaltsgleich.
gleiche InJtalisstets
einander
Kap. IV. Die Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene.
46
21.
Insbesondere miissen zwei inhaltsgleiche Rechteeke mit einer gemeinAuch folgt
Seite auch in den anderen Seiten iibereinstimmen.
samen
der Satz:
Satz 32. Zerlegt man ein Rechteck durch Gerade in mehrere Dreiecke und laBt auch nur eines dieser Dreiecke fort, so kann man mit den
iibrigen Dreiecken das
Rechteck nicht mehr
von de Zolt^] und von 0.
und von F. Schur^} und W. Killing* } mit
Dieser Satz
ist
$fo?#
1
Axioms bewiesen worden.
Im vorstehenden
1
ausfiillen
3
Axiom
hingestellt
Archimedischen
des
Hilfe
ist
).
als
)
gezeigt, daB derselbe vollig
unabhangig von dem Archimedischen Axiom gilt.
Zum Beweise der Satze 29, 30, 31 haben wir wesentlich die in
15 eingefiihrte Streckenrechnung benutzt, und da diese im
Kapitel III
wesentlichen auf dem Pascalschen Satze (Satz 21) beruht, so erweist sich
fur die Lehre
von den Flacheninhalten der Pascalsche Satz
als
der wich-
tigste Baustein.
Wir erkennen
daB auch umgekehrt aus den Satzen 27 und 29
In der Tat, aus der
der Pascalsche Satz wieder gewonnen werden kann.
leicht,
Parallelitat der
und
C
B
Geraden
CB
folgt nach Satz 27
die Inhaltsgleichheit der Drei
ecke
OBB
und 0(7(7; eben-
so folgt aus
Geraden
der
der Parallelitat
CA
und
AC
die Inhaltsgleichheit der Drei
ecke
OA A
hiernach
OAA
Satz 29,
Von
daB auch
BA
zu
AB
parallel
und
auch
und
OCC
die
OBB
inhaltsgleich sind,
sein muB.
Da
Dreiecke
einander
so ergibt
P und Q nennen wir P
nachdem das InhaltsmaB J (P)
zwei nicht inhaltsgleichen Polygonen
inlialtskleiner bez. iritialtsgrofier
als
Q, je
kleiner oder grb Ber als J (Q) ausfallt. Es ist nach dem vorstehenden klar,
daB die Begriffe inhaltsgleich, inhaltskleiner und inhaltsgroBer sich gegen1) Hinsichtlich der merkwiirdigen Rolle, die dieser Satz 32 behufs Erganzung
sogenannten ,,Kongruenzsatze im engeren Sinne&quot; spielt, vergleicbe man den
Schlufi von Anhang II S. 105106.
der
2) Principii della eguaglianza di polizoni preceduti da alcuni critici sulla teoria
della equivalenza geometrica. Milano, Briola 1881. Vgl. auch Principii della eguaglianza
di poliedri e di polizoni sferici.
Milano, Briola 1883.
3)
4)
5)
Monatshefte fur Math, und Phys., Jahrgang
5,
1894.
Sitzungsberichte der Dorpater Naturf. Ges. 1892.
Grundlagen der Geometric, Bd. 2, Abschnitt 5,
5,
1898.
Kap. V.
Der Desarguessche
Ferner erkennen wir
seitig ausschlieBen.
Satz.
leicht,
47
22.
daB ein Polygon, welches
ganz im Inneren eines anderen Polygons liegt, stets inhaltskleiner als
dieses sein muB.
Hiermit haben wir die wesentlichen Satze der Lehre von den Flacheninhalten in der Ebene begriindet.
GauB
Bereits
sprechende Frage
hat die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf die entfiir
den
Raum
gelenkt.
Ich habe die
Vermutung der
Unmoglichkeit einer analogen Begriindung der Lehre von den Inhalten
im Raume ausgesprochen und die bestimmte Aufgabe 1 ) gestellt, zwei
Tetraeder mit gleicher Grundflache und von gleicher Hohe anzugeben, die
sich auf keine
Weise
in kongruente Tetraeder zerlegen
durch
kongruenter Tetraeder
und
lassen,
nicht
zu
die
sich auch
Hinzufiigung
Polyedern erganzen lassen, fur die ihrerseits eine Zerlegung in kongruente
Tetraeder mb glich ist.
M. Dehn^
solchen
Tat gelungen; er hat damit in
Unmoglichkeit dargetan, die Lehre von den raumlichen
Inhalten so zu begriinden, wie dies im vorstehenden fiir die ebenen Inhalte
strenger Weise
ist
dieser
Nachweis
in der
die
geschehen ist.
Hiernach waren zur Behandlung der analogen Fragen fiir den
andere Hilfsmittel, etwa das Cavalierische Prinzip heranzuziehen.
Raum
Kapitel V.
Der Desarguessche Satz.
22.
Der Desarguessche Satz und der Beweis desselben in der Ebene
mit Hilfe der Kongruenzaxiome.
der
Kapitel I aufgestellten Axiomen sind diejenigen
4
Axiome
die
ebene
teils
teils
samtlich
Axiome;
lineare,
Gruppen
Bedie
Axiome.
raumlichen
8 der Gruppe I sind die einzigen
wir uns
deutung dieser raumlichen Axiome klar zu erkennen, denken
Von den im
II
V
Um
irgend eine
Bedingungen
ebene
dafiir,
Geometrie vorgelegt und untersuchen allgemein die
daB diese ebene Geometrie sich als Teil einer raum
lichen Geometrie auffassen laBt, in welcher die
IV
samtlich
1)
erfiillt
Axiome der Gruppen
I
II,
sind.
Vgl. meinen Vortrag ,,Math.ematische
Probleme&quot;
Nr.
3.
Nachr. 1900, sowie ttber
2) tiber raurngleiche Polyeder, Gottinger
inhalt, Math. Ann. Bd. 55. 1902.
Vgl. ferner Kagan, Math. Ann. Bd. 57.
den Raum-
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
48
Auf Grund
der
Axiome
der Gruppen I
II,
22.
IV
bekanntlich leicht
1st es
moglich, den sogenannten Desarguesschen Satz zu beweisen; derselbe ist
Wir nelimen insbesondere die Gerade, auf
ein ebener Schnittpunktsatz.
der die Sclmittpunkte entsprechender Seiten der beiden Dreiecke liegen
wie
sollen, zur ,,Unendlichfernen&quot;,
stehenden
nebst
Satz
seiner
man
sagt,
Umkehrung
und bezeichnen den
so ent-
schlechthin als Desarguesschen
Satz; dieser Satz lautet wie folgt:
Satz 33. (Desarguesscher
Satz.) Wenn zwei Dreiecke in einer
so gelegen sind, daB je zwei entsprechende Seiten einander parallel
sind, so laufen die Verbindungslinien der entsprechenden Ecken durch ein
Ebene
und denselben Punkt oder sind einander parallel, und umgekehrt:
Wenn zwei Dreiecke in einer Ebene so gelegen sind, daB die Ver
bindungslinien der entsprechenden Ecken durch einen Punkt laufen oder
einander parallel sind, und wenn
ferner zwei Paare entsprechender
Seiten in den Dreiecken parallel
sind, so sind auch die dritten
Seiten der beiden Dreiecke ein
ander parallel.
der
Wie
bereits
Satz
33
Axiome
I, II,
ist
gemaB
Satzes
Desarguesschen
in
Ebene
der
jedenfalls
eine
erwahnt,
ist
der
eine
Folge
IV; dieser Tatsache
Giiltigkeit
des
notwendige
Be-
die
diugung dafiir, daB die Geometrie dieser Ebene sich als Teil einer raumlichen Geometrie auffassen laBt, in welcher die Axiome der Gruppen I,
II,
IV samtlich erfiillt sind.
Wir nehmen nun wie
Geometrie
in welcher
an,
den Kapiteln
in
Axiome
die
denken uns in derselben nach
dann
wie in
laBt sich,
ein Paar
I 1
und IV eine ebene
und II IV gelten, und
III
3
15 eine Streckenrechnung eingefiihrt:
ist, jedem Punkte der Ebene
17 dargelegt worden
von Strecken (x, y) und jeder Geraden ein Verhliltnis von drei
v w\ wobei w, v nicht beide Null sind, zuordnen derart, daB
Strecken (u
die lineare
:
:
Gleichung
ux
+ vy
-j-
w=
Bedingung fur die vereinigte Lage von Punkt und Gerade darstellt.
17 einen
Das System aller Strecken in unserer Geometrie bildet nach
16
13 aufgezahlten Eigenschaften 1
Zahlenbereich, fur welchen die in
die
bestehen,
ist,
und wir konnen daher
mittels dieses Zahlenbereiches,
&
i
12 mittels des Zahlensystems
bez.
zu
eine raumliche Geometrie konstruieren: wir setzen
wie es in
9 oder
(i)
ahnlich
geschehen
dem Zwecke
Der Desarguessche
Kap. V.
Satz.
49
22, 23.
ein System von drei Strecken (x,y, z) einen Punkt, die Verv w r)/ eine Ebene darstellen niogre.
von vier Strecken (u
\
o
wahrend die Geraden als Schnitte zweier Ebenen definiert sind; dabei
daB
fest,
haltnisse
:
:
:
/
driickt die lineare
Gleichung
ux
+ vy + MZ + r =
daB der Punkt (x,y,z) auf der Ebene (u v w r) liegt. Was endAnordnung der Punkte auf einer Geraden oder der Punkte einer
aus,
:
:
:
lich die
Ebene in Bezug auf eine Gerade in ihr oder endlich die Anordnung der
Punkte in Bezug auf eine Ebene im Raume anbetrifft, so wird diese in
analoger Weise durch Ungleichungen zwischen Strecken bestimint, wie
9
dies in
Da
fiir
wir
die
durch
Ebene geschehen
Einsetzen
das
ist.
des
Wertes
=
die
urspriingliche
Geometrie wieder gewinnen, so erkennen wir, daB unsere ebene
Geometric als Teil einer raumlichen Geometrie betrachtet werden kann.
ebene
Nun
ist hierfiir
nach den obigen
folgt, daB in der
die Gultigkeit des Desarguesschen Satzes
Ausfiihrungeii eine notwendige Bedingung,
angenommenen ebenen Geometrie auch
und daher
der Desarguessche Satz gelten muB.
Wir bemerken, daB die eben gefundene Tatsache sich auch direkt
dem Satze 23 in der Lehre von den Proportionen ohne Miihe ab-
aus
leiten laBt.
23.
Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene
ohne Hilfe der Kongruenzaxiome.
Wir untersuchen nun
die
Frage,
ob in der ebenen Geometrie auch
ohne Hilfe der Kongruenzaxiome der Desarguessche Satz bewiesen werden
kann, und gelangen dabei zu folgendem Resultate:
Satz 34. Es gibt eine ebene Geometrie, in welcher die Axiome
III 1
II,
nahme
5,
des
IV, V,
d.
li.
sdmtliche linearen
Kongruenzaxioms
Satz (Satz 32) nicht
gilt.
III
6
I 1
3,
und ebenen Axiome mit Aus-
erfullt sind,
wahrend der Desarguessche
Der Desarguessche Satz kann mithin aus den
genannten Axiomen allein nicht gefolgert werden: es bedarf zum Beweise
desselben notwendig entweder der raumlichen Axiome oder des Axioms III 6
uber die Kongruenz der Dreiecke.
Wir wahlen in der gewohnlichen ebenen Geometrie, deren
Beweis.
im Kapitel II
bereits
9 erkannt worden ist, irgend zwei
Moglichkeit
zu einander senkrechte Gerade als Koordinatenachsen X,
und denken
Y
uns
um
Ellipse
z.
dieses Koordinatensy stems als Mittelpunkt eine
den Nullpunkt
B. mit den Halbachsen 1 und - konstruiert; endlich bezeichnen wir
Hilbert, Orundlagen der Geometrie.
4
Kap. V.
50
F
mit
Der Desarguessche
Satz.
23.
den Punkt, welcher in der Entfernung | von
.X-Achse
Wir
auf der positiven
liegt.
nun
fassen
die
Gesamtheit
aller
welche
Kreise ins Auge,
die
getrennten oder beliebig zusammenfallenden
Punkten schneiden, und suchen uiiter alien auf diesen Kreisen gelegenen
Punkten denjenigen Punkt zu bestimmen, der auf der positiven X-Achse
Ellipse in vier reellen
- -
am
weitesten vom Nullpunkt entfernt ist.
Zu dem Zwecke gehen wir
von einem beliebigen Kreise aus, der die Ellipse in vier Punkten schneidet
und die positive X-Achse im Punkte C treffen moge. Diesen Kreis denken
wir uns dann um den Punkt C derart gedreht, daB zwei von den vier
Schnittpunkten oder mehr in einen einzigen Punkt A zusammenfallen
;
wahrend die iibrigen reell bleiben. Der so entstehende Beruhrungskreis
werde alsdann vergro Bert derart, daB stets der Punkt A Beriihrungspunkt
mit der Ellipse bleibt;
hierdurch
wir
gelangen
einem
zu
notwendig
S
beKreise, der die Ellipse entweder noch in einem anderen Punkte
riihrt oder in
mit der Ellipse eine vierpunktige Beriihrung aufweist
und der iiberdies die positive X-Achse in einem entfernteren Punkte
A
C
Der gesuchte entfernteste Punkt wird sich demnach unter
denjenigen Punkten befinden, die von den doppeltberiihrenden auBerhalb
als
trifft.
der Ellipse verlaufenden Kreisen auf der positiven X-Achse ausgeschnitten
Die doppeltberiihrenden auBerhalb der Ellipse verlaufenden Kreise
werden.
liegen nun, wie man leicht sieht, samtlich zur Y-Achse symmetrisch. Es
seien a, b die Koordinaten irgend eines Punktes der Ellipse: dann lehrt
Rechnung, daB der in diesem Punkte beriihrende zur F-Achse
symmetrische Kreis auf der positiven X-Achse die Strecke
eine leichte
Der grofitmogliche Wert
abschneidet.
dieses
Ausdrucks
tritt fur
I
=
t
7
Da der vorhin mit F bezeichnete
ein und wird somit gleich -\
Punkt auf der X-Achse die Abscisse f&amp;gt;$-| K 7 aufweist, so folgt, daB
unter den die Ellipse viermal treffenden Kreisen sich gewiB
keiner befindet, der durch den Punkt F lauft.
.
|
Nunmehr
Weise
her.
stellen
Als
XY- Ebene;
&quot;[/
wir uns
eine
neue ebene Geometric
Punkte der neuen Geometric nehmen wir
in
folgender
die
Punkte
Gerade der neuen Geometric nehmen wir diejenigen
Geradeu der XY-Ebene unverandert, welche die feste Ellipse beriihren
der
oder
gar
nicht
als
trelfen;
die Ellipse in zwei
P, Q und den
dem
ist
Punkten
Punkt
dagegen g eine Gerade der XY-Ebene, die
P und Q trifft, so konstruieren wir durch
F
einen Kreis; dieser Kreis hat, wie aus
oben Bewiesenen hervorgeht, keinen weiteren Punkt mit der Ellipse
gemein.
festen
Wir denken uns nun an
Stelle des
zwischen
P
und Q innerhalb
Kap. V. Der Desarguessche
Satz.
51
23.
der Ellipse gelegenen Stiickes der Geraden g denjenigen Bogen des eben
konstruierten Kreises gesetzt, der zwischen
und Q innerhalb der Ellipse
P
Den Linienzug, welcher aus den beiden von P und Q ausunendliclien
Stiicken der Geraden g und dem eben konstruierten
gehenden
Kreisbogen PQ besteht, nehmen wir als Gerade der neu herzustellenden
Geometrie.
Denken wir uns fur alle Geraden der XY-Ebene die entverlauft.
sprechenden Linienziige konstruiert,
zugen,
welche, als Gerade einer
I 1
2 und III geniigen.
Axiomen
so
entsteht ein System von Linien-
Geometrie
aufgefaBt,
offenbar
den
Bei Festsetzung der natiirlichen AnGeraden in unserer neuen Geometrie er-
ordnung fiir die Punkte und
kennen wir umnittelbar, daB auch die Axiome II gultig sind.
in unserer neuen
und
Ferner nennen wir zwei Strecken
Geometrie kongruent, wenn der zwischen A und S verlaufende Linienzug
und B verlaufende
die gleiche naturliche Lange hat, wie der zwischen
AB
AH
A
Linienzug.
Endlich bedurfen wir einer Festsetzung betreffs der Kongruenz der
Winkel. Sobald keiner von den Scheiteln der zu vergleichenden Winkel
52
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
23.
auf der Ellipse liegt, nennen wir zwei Winkel einander
kongruent, wenn
sie im gewohnlichen Sinne einander
gleich sind. Im anderen Falle treiFen
Es mogen die Punkte A, B, C in dieser Reihenund
die
Punkte
A
B
C in dieser Reihenfolge je auf einer Geraden
folge
unserer neuen Geometrie liegen; D sei ein Punkt auBerhalb der Geraden
ABC und D ein Punkt auBerhalb der Geraden A B C dann mogen
wir folgende Festsetzung.
,
,
:
Winkel zwischen diesen Geraden
fur die
in unserer
neuen Geometrie die
Kongruenzen
ABD
sobald
gelten,
fiir
ABD
die
natiirlichen
und
CBD = C B D
&amp;lt;
Winkel zwischen den entsprechenden
Linienziigen in der gewohnlichen Geometrie die Proportion
&amp;lt;
erfiillt
V
ist.
ABD
:
&amp;lt;
CBD =
&amp;lt;
ABD
:
BD
C
&amp;lt;
Bei diesen Festsetzungen sind auch die Axiome III
5 und
1
giiltig.
Urn
einzusehen,
daB
Desarguessche Satz nicht
in
gilt,
unserer
neu
Geometrie
hergestellten
der
betrachten wir folgende drei gewohnliche
r
-Ebene:
gerade Linien in der
Xl
A
die
X-Achse,
die
Gerade,
die
welche
Ellipsenpunkte #
x
=
f, y
die
beiden
= -, = f
2/
-|
Da
verbindet.
Y-Achse und
und
mit einander
diese drei
gewohn
lichen geraden Linien durch den
Nullpunkt
laufen,
angeben,
deren
jenen drei
konnen
so
wir leicht zwei solche
Ecken
Dreiecke
bez.
auf
Geraden liegen, deren
entsprechende Seiten paarweise
einander parallel laufen und die
samtlich auBerhalb der Ellipse gelegen
sind.
welche aus
Da
die
Linienziige,
den genannten
drei
geraden Linien entspringen, sich, wie die Figur auf S. 53 zeigt und wie
man leicht durch Rechnung bestatigt, nicht in einem Punkte treffen, so
daB der Desarguessche Satz in der neuen ebenen Geometrie
beiden vorhin konstruierten Dreiecke gewiB nicht
gilt.
folgt,
fiir
die
Die von uns hergestellte ebene Geometrie dient zugleich als Beispiel
einer ebenen Geometrie, in welcher die Axiome I 1
5, IV,
3, II, III 1
V
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
giiltig sind,
und
die
sich
doch
nicht
53
23, 24.
als Teil
raumlichen Geo-
einer
metrie auffassen laBt.
24.
Einfuhrung einer Streckenrechnung ohne Hilfe der Kongruenzaxiome auf
Grund des Desarguesschen Satzes.
Um
die
Bedeutung des Desarguesschen Satzes (Satz 33) votlstandig
zu erkennen, legen wir eine ebene Geometrie zu Grunde, in welcher die
I 1
3, II, IV, d. h. die samtlichen linearen und ebenen Axiome
Axiome
auBer den Kongruenz- und Stetigkeitsaxiomen giiltig sind, und fiihren in
diese Geometrie unabhangig von den Kongruenzaxiomen auf fol-
gende Weise eine neue Streckenrechnung
Wir nehmen
Punkte
ein.
der Ebene zwei feste Geraden an, die sich in dem
schneiden mogen, und rechnen im folgenden nur mit solchen
in
ist und deren Endpunkte auf einer dieser
Strecken, deren Anfangspunkt
beiden festen Geraden beliebig liegen. Auch den Punkt
allein bezeichnen
wir als Strecke und nennen ihn dann die Strecke 0, in Zeichen
00 =
Es
seien
E
und
E
je ein
oder
0=00.
bestimmter Punkt auf den festen Geraden
durch 0; dann bezeichnen wir die beiden Strecken
Strecken 1, in Zeichen:
OE = OE =
1
oder
1
OE
= OE = OE
und
.
OE
als
die
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
54
EE
Die Gerade
A
nennen wir kurz
EE
AA
parallel zu
gerade
einander gleich, in Zeichen:
die Einheitsgerade.
OE
Punkte auf den Geraden
so
,
Summe
man A A
finieren, konstruiere
und
nennen wir
C
und
und
Verbindungs-
OA
b
parallel zur Einheitsgeraden
sodann durch
&amp;lt;*&amp;gt;+*&amp;gt;,
die
die Strecken
OA = OA.
Strecken a = OA
A
Sind ferner
lauft
OA
und
oder
der
die
OE
bez.
OA=OA
Urn zunachst
24.
und durch
,
= OS
EE
A
durch
B
eine Parallele zu
schneiden.
A&quot;
ziehe
A eine Parallele zu OE
Diese beiden Parallelen
in
zu de-
und
zur
OE
.
sich
mogen
man
Endlich ziehe
EE
Einheitsgeraden
eine Parallele; dieselbe treffe die festen
a,A
und OE in C und C
=
dann heiBe c
C = C die Summe
=
der Strecke a
OA mit der Strecke
b = OB, in Zeichen:
Geraden
c
Um
=a+
b
OE
oder a -f b ==
das Produkt einer Strecke a
= OA
definieren, bedienen wir uns genau der in
:
c.
in eine Strecke
l&amp;gt;
= OB
zu
15 angegebenen Konstruktion,
nur daB an Stelle der
Schenkel des rechten
ccb.C
Winkels hier
die bei
OE
den festen Geraden
und
OE
Konstruktion
nach
ist
heiBt
wird, verbinde
trifft
c= OC
diese
E
Parallele
mit
die
A
c
=
ab
oder
den
AA
der Einheits
und ziehe durch B eine Parallele
so
Gerade OE im Punkte C
feste
das Produkt der Strecke
in Zeichen:
parallel
Man
OE
Punkt A, so daB
EE
dem-
folgende.
bestimme auf
geraden
zu EA;
Die
treten.
,
a= OA
ab
=
c.
in die Strecke
b=
OB,
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
55
25.
25.
Das kommutative und assoziative Gesetz der Addition in der neuen
Streckenrechnung.
13 aufgestellten Rechwenn wir
nungsgesetzen fur unsere neue Streckenrechnung gultig sind,
IV
eine ebene Geometrie zu Grunde legen, in der die Axiome I 1
3, II
Wir untersuchen
welche von den in
jetzt,
und iiberdies der Desarguessche Satz gilt.
24 definierte Addi
Vor allem wollen wir beweisen, daB fiir die in
erfullt sind
tion der Strecken das
Es
gilt.
kommutative
sei
wobei unserer Festsetzung
parallel
sind.
AA
sowie
AB&quot;
und
man
Nun
B
B&quot;
BA&quot;
sofort
parallel
auf
Grund
A
OA
und
mit
B&quot;
B&quot;,
indem wir
ferner
ziehen; wie
die
AA
C
Verbindungslinie
Die Rich-
^
lauft.
Desarguesschen Satzes
Wir bezeichnen den
folgt.
A
Schnittpunkt von AB&quot; und
und den Schnittpunkt von
D; dann
AA F
ecken
der Einheitsgeraden
und
des
(Satz 32) wie
B
A
Behauptung erkennen wir
dieser
tigkeit
BB
und
sagt dann unsere Be-
sieht,
parallel mit
B&quot;
,
,
konstruieren wir die Punkte
parallel
hauptung aus, daB
A
Gesetz
a + 6 = 6 -f a
a = OA = OA
I = OB = OB
entsprechend A A
und
sind
mit
BA&quot;
Q
F
und
den Drei-
in
BB D
A&quot;
die
entsprechenden
Seiten
einander
parallel.
des Desarguesschen Satzes schlieBen wir hieraus, daB die drei
Punkte 0, F, I) in einer Geraden liegen. Infolge dieses Umstandes liegen
Mittels
die
beiden Dreiecke
linien
OAA
und
DB&quot;A
derart,
daB
Punkt
entsprechender Ecken durch den namlichen
die
F
Verbindungslaufen und da
OA
und DB&quot; sowie
uberdies zwei Paare entsprechender Seiten, namlich
und DA&quot; einander parallel sind, so laufen nach der zweiten Aussage
OA
des Desarguesschen Satzes (Satz 32)
einander parallel.
B&quot;A&quot;
Zum
auch die
dritten
Seiten
AA
und
Beweise des assoziativen Gesetzes der Addition
a
dient die Figur
auf
-f (b
S. 56.
+ c] =
(a
+
&)
+c
Mit Beriicksichtigung des eben bewiesenen
Kap. V. Der Desarguessche
56
Satz.
25, 26.
Ad
kommutativen Gesetzes der
CL+b+C
dition
sitb
spricht
Bebauptung,
wie
die
obige
man
siebt,
darin aus, daB die Gerade A&quot;B&quot;
parallel der Einheitsgeraden verlaufen muB.
ser
c
a
+
(b
+
a,+ib
c)
=
(a
Behauptung
ist
offenbar,
die-
da
der scbraffierte Teil dieser Figur
mit der vorhergehenden Figur
~b+c
+ 6) +
Die Richtigkeit
genau iibereinstimmt.
c
26.
Das assoziative Gesetz der Multiplikation und die beiden distributive!!
Gesetze in der neuen Streckenrechnurig.
Bei unseren
Annabmen
gilt
aucb fur
die Multiplikation der Strecken
das assoziative Gesetz:
=
a(bc)
Es
seien auf
der ersteren der
Strecken
1
=
OA,
und auf der anderen Geraden
Um
beiden festen Geraden durcb
die
c=OA
l=OC,
die Strecken
a=OG
gegeben.
(afyc.
und
gemafi der Vorscbrift in
und
= OD,
= OD
(aV)c
ziehen wir A B
b
= OB
24 der Reibe nacb
die Strecken
lc=
ab
zu konstruieren,
sowie
parallel
AG
AD
parallel
AB,
BC
parallel
BC,
CD
AD] wie wir sofort erkennen, lauft danu
unsere Bebauptung darauf hinaus, da6 aucb CD parallel C
sein mu6.
Bezeicbnen wir nun den Schnittpunkt der Geraden
und
mit
parallel
D
AD
BC
F
F
und den Scbnittpunkt der Geraden A D und B C mit
so sind in
,
den Dreiecken
und A B
die entsprechenden Seiten einander
parallel; nacb dem Desarguesschen Satze liegen daher die drei Punkte
auf einer Geraden. Wegen dieses Umstandes konnen wir die
0, Fj
ABF
F
F
CDF
zweite Aussage des Desarguesscben Satzes auf die beiden Dreiecke
und C
anwenden und erkennen bieraus, daB in der Tat
parallel
DF
C
D
ist.
CD
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
57
26.
ccbc.
a (be)
=
(ab}c
A
C
A
C
1
b
c
be
auf Grund
Wir beweisen
Desarguesschen
endlich in unserer Streckenreclinung
Satzes die beiden distributive!! Gesetze:
+ c) = ab
= ac
(a + b}c
a(b
und
Zum
Beweise
derselben
ist
ac
-f-
be.
ersteren Gesetzes dient
des
b=OA, c=OC
ac =
ab ab = OB
OA&quot;,
,
und
-f
die Figur
u.
OC&quot;
s.
1
58
S.
des
).
In
f.
es lauft
ff
B&quot;DZ
parallel
B D,
C
C
ferner ist
D
D
t
A&quot;
B
A&quot;
C
paraUel
und
parallel
OA
,
OA&quot;
2
A
AB&quot;
Geraden
parallel zur festen
paraUel
,
C&quot;
FD
2
parallel
F&quot;D 1
.
Die Behauptung lauft clarauf hinaus ; daB dann auch
F
sein
Wir
paraUel
A
A&quot;
und C
C&quot;
konstruieren folgende Hilfslinien:
F&quot;J
die
F&quot;
muB.
parallel der festen
Schnittpunkte der Geraden
1)
Die Figuren
S. 58,
C&quot;D
l
Geraden
und
C
D
2
,
OA,
C&quot;
D^ und
FJ
y
C
R
2
60 und 62 hat Herr Dr. von Schaper entworfen und auch
die zugehorigen Beweise ausgefuhrt.
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
58
und
F&quot;J
heiBen
G
H H
ly
}
26.
endlich erhalten wir noch die weiteren in
-
2
der untenstehenden Figur punktierten Hilfslinien durch Verbindung bereits
konstruierter Punkte.
A
und F D.2 G laufen die Verbindungs
Ecken
einander
geraden entsprechender
parallel; nach der zweiten AusIn den beiden Dreiecken
B&quot;C&quot;
sage des Desarguesschen Satzes folgt daher, daB
AC&quot;
sein
muB.
falls
die
A
In den beiden Dreiecken
Verbindungsgeraden
FG
parallel
C&quot; F&quot;
und
F
Ecken
entsprechender
GH^
laufen eben-
einander
parallel;
AAA
A S
C
c
cub
b
a(b -f
ab
c)
wegen der vorhin gefundenen Tatsache
-f
ac
nach der zweiten Aussage
folgt
des Desarguesschen Satzes, daB
A
sein
muB.
und
OAF&quot;
Da
somit
JH F
2
F&quot;
FH
parallel
2
den beiden wagerecht schraffierten Dreiecken
in
f
die entsprechenden Seiten parallel sind, so lehrt der
Desarguessche Satz, daB die drei Verbindungsgeraden
AH
OJ,
sich in
2
,
F&quot;F
einem und demselben Punkte, etwa in P,
dieselbe Weise finden wir, daB auch
treffen.
Auf
A&quot;F
sein
muB und
OA F
sich
und
da
somit
in
parallel
F&quot;
den beiden
S
schrag
schraffierten
Dreiecken
Seiten parallel laufen, so treffen
JH^F&quot; die entsprechenden
dem Desarguesschen
Satze zufolge die drei Verbindungsgeraden
OJ,
ebenfalls in einem
Punkte
A&quot;Hlf
F
dem Punkte
F&quot;
P.
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
59
26.
und JH^H^ die VerbinOA
Punkt P, und
den
namlichen
durch
Ecken
dungsgeraden entsprechender
Nunmehr
mithin
folgt,
laufen
fur die Dreiecke
daB
H^HZ
sein
A&quot;
muB; mithin
ist
A
parallel
A&quot;
auch
C
fli.ff2 parallel
Endlich betrachten wir die Figur
selben
F&quot;HZ
parallel
H,C
C
C
C&quot;.
F&quot;H2
F
C
parallel
C&quot;
H^F
C&quot;
F&quot;.
Da
in der-
H
H,F
F&quot;C&quot;
H^H
C&quot;
2
A
A&quot;BB ) wieder,
55 (B B&quot;A
25 zum Beweise fur das kommutative Gesetz der Addition
die wir in
benutzt haben. Die entsprechenden Schliisse wie dort zeigen dann, daB
ausfiillt,
so erkennen wir hierin die Figur S.
F
sein
muB und
F&quot;
parallel
H^H
parallel
A
%
da mithin auch
F
F&quot;
A&quot;
Beweis unserer Behauptung vollstandig erbracht.
Beweise der zweiten Form el des distributiven Gesetzes dient
ausfallt, so ist der
Zum
die vollig verschiedene Figur S. 60.
1
=
In derselben
ist
a=OA, a^OB, b=OG, c=OD
Ic = OG u.
ac = OB
ac = OA
OD,
s.
f.
,
,
und
es lauft
GH parallel G H
AH
AH
und ferner
Greraden
parallel zur festen
AB
BD
DG
HJ
OA,
OB
parallel
AB
BD
D G
H
J
,
,
,
.
Die Behauptung lauft darauf hinaus, daB dann auch
DJ
sein
Wir bezeichnen
treffen,
GD
noch
parallel
DJ
muB.
bez.
die
mit
Gerade
die Punkte, in
F
C und
AH
und
treffen,
die in der Figur S.
denen
ferner die
bez.
mit
60 punktierten
BD
und
Punkte,
C und
F
Hilfslinien
GD
in
;
die
denen
Gerade
B
I)
AH
und
endlich ziehen wir
FJ
und
FJ
.
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
60
ABC
26, 27.
AS
und
C laufen die entsprechenden Seiten
mithin
nach
dem
parallel;
liegen
Desarguesschen Satze die drei Punkte
auf
C
einer
Geraden.
Ebenso
0, C,
folgt dann aus der Betrachtung der
Dreiecke
und C
daB 0, }
auf einer Geraden liegen, und
,
In den Dreiecken
DF
CDF
FF
J
be
CL+b
FGH
F
H
H
die Betrachtung der Dreiecke
und
G
lehrt, daB 0, H,
Punkte einer Geraden sind. Nun laufen in den Dreiecken
und
J die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken durch den namlichen Punkt 0, und mithin sind zufolge der zweiten Aussage des Des
FHJ
FH
arguesschen Satzes die Geraden
zeigt
dann
Geraden
DJ
die
Betrachtung
und
DJ
F J einander parallel.
Dreiecke DFJ und D F J
FJ
der
und
,
einander parallel sind, und damit
ist
Endlich
daB
die
der Beweis
unserer Behauptung vollstandig erbracht.
27.
Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Streckenrechnung.
Wir haben in
24 bis
26 mittels der in
24 angefiihrten Axiome
und unter Voraussetzung der Giiltigkeit des Desarguesschen Satzes in der
Ebene eine Streckenrechnung eingefiihrt, in welcher das kommutative
Gesetz der Addition, die assoziativen Gesetze der Addition und MultipliWir wollen
kation, sowie die beiden distributiven Gesetze gultig sind.
Paragraphen zeigen, in welcher Weise auf Grund dieser Strecken
rechnung eine analytische Darstellung der Punkte und Geraden in der
in diesem
Ebene moglich ist.
Erklarung. Wir bezeichnen in der Ebene die beiden angenommeneu
festen Geraden durch den Punkt
als die X- und Y-Achse und denken
uns irgend einen Punkt P der Ebene durch die Strecken x, y bestimmt,
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
die
man
Achsen
auf der
X-
Parallelen
Punktes P.
Y-Achse
bez.
Diese
zieht.
Auf Grund
erhalt,
61
27.
wenn man durch
Strecken x y
}
heiBen
P
zu diesen
Koordinaten
des
der neuen Streckenrechnung und mit Hilfe des
Desarguesschen Satzes gelangen wir zu der folgenden Tatsache:
Satz 35. Die Koordinaten x, y der Punkte auf einer beliebigen Geraden erfallen
stets eine
Streckengleichung von der Gestalt:
ax-\- by
+ c = 0;
in dieser Gleichung steJien die Strecken a, I) notwendig linksseitig von den
Koordinaten x, y; die Strecken a, b sind niemals beide Null und c ist eine
beliebige Strecke.
Umgekehrt: jede Streckengleichung der beschriebenen Art
Gerade in der zu Grunde gelegten ebenen Geometric dar.
Wir nehmen zunachst
Beweis.
an,
die
Gerade
stellt stets
und
gehe durch
I
eine
Ferner sei C ein bestimmter von
von den Achsen verschieden.
verschiedener Punkt auf I und P ein beliebiger Punkt auf Z; C habe die
Koordinaten OA, OB und P habe die Koordinaten x y; wir bezeichnen
sei
}
die
Verbindungsgerade
der
Endpunkte von
x,
y mit
y.
Endlich
ziehen
wir durch den Endpunkt der Strecke 1 auf der X-Achse eine Parallele h
zu AB; diese Parallele schneide auf der Y-Achse die Strecke e ab. Aus
Desarguesschen Satzes folgt leicht, daB die
Da somit auch g stets zu h parallel
zu
lauft.
Gerade g stets parallel
auf I die
fur die Koordinaten x, y des beliebigen Punktes
ist, so folgt
der
zweiten
Aussage
des
AB
P
Streckengleichung
ex
Nunmehr
sei
I
=
y.
eine beliebige nicht zu den
Achsen
parallele Gerade in
unserer Ebene; dieselbe schneide auf der X-Achse die Strecke
c
= 00
ab.
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
62
Wir
ziehen ferner die Gerade
parallel zu
durch
I
27.
I
.
Es
sei
P
ein be-
liebiger Punkt auf T; die Parallele durch P zur X-Achse treffe die Gerade I
in P und schneide auf der Y-Achse die Strecke y = OS ab; ferner mogen
die Parallelen durch P und P zur F-Achse auf der X-Achse die Strecken
x= OA
und x
Wir
= OA
abschneiden.
wollen nun beweisen, da6 die Streckengleichung
=x+
x
ferner
ziehen wir
O C
parallel zur Einheitsgeraden,
X-Achse und
AD
parallel
Zu diesem Zwecke
besteht.
CD
zur
parallel
c
dann
zur Y-Achse;
unsere Behauptung darauf hinaus, daB
lauffc
AD
sein
muB.
und
AP
Da
Wir
D
konstruieren noch
C
und ziehen O
in den Dreiecken
sprechender Ecken
O C
parallel
Schnittpunkt der Geraden
F-Achse.
als
parallel zur
OCP
P
und O C
parallel laufen,
so folgt
CD
Verbindungsgeraden ent-
die
mittels
der zweiten Aussage
des Desarguesschen Satzes, daB
CP
sein
muB; auf
und
ACP
ist.
Da
,
gleiche
Weise
parallel
lehrt
die
C
P
Betrachtung der Dreiecke
ACP
daB
AC
parallel
ACD
somit in den Dreiecken
AC
und C
A
O
die
entsprechenden
AC CA DO
C A D und
Seiten einander parallel laufen, so treffen sich die Geraden
in einem Puiikte und die Betrachtung der beiden Dreiecke
AGO
zeigt dann, daB
Aus den beiden
AD
GO
und
einander parallel sind.
bisher gefundenen Streckeiigleichungen
ex
folgt sofort die weitere
=y
und
x
=x+c
Gleichung
ex
=y+
ec.
}
,
Kap. V. Der Desargue8sche Satz.
Bezel chnen
addiert die
wir
mit n
schliefilich
Strecke
die
Strecke,
man
so folgt, wie
liefert,
letzten Gleichung
ex
+
ny
-f
nee
63
27, 28.
die
zur Strecke
1
aus der
leicht beweist,
=
und
diese Gleichung ist von der Gestalt, wie der Satz 35 behauptet.
Die zweite Aussage des Satzes 35 erkennen wir nun ohne Miihe
richtig; denn eine jede vorgelegte Streckengleichung
ax
wo
b
laBt
-f-
offenbar
sich
c
-f-
l&amp;gt;y
als
=
,
durch
mit
Multiplikation
einer geeigneten Strecke in die vorhin gefundene Gestalt
ist,
=4=
ex
linksseitige
+ ny + wee =
bringen.
Es
noch ausdriicklich bemerkt, daB
Streckengleichung von der Gestalt
bei
sei
xa
in der die Strecken a, b
im allgemeinen nicht
Wir werden
in
unseren
Annahmen
eine
+ yb-\- c = 0,
rechtsseitig von den Koordinaten
x,
y stehen;
Anwendung von dem
Satze 35
eine Gerade darstellt.
30
eine
wichtige
machen.
28.
Der Inbegriff der Strecken aufgefafit
Wir
sehen unmittelbar em, daB
Streckenrechnung die Satze 1 6 in
Ferner haben wir in
25 und
fiir
als
komplexes Zahlensystem.
unsere neue in
13
erfiillt
24 begriindete
sind.
26 mit Hilfe des Desarguesschen
erkannt, daB fiir diese Streckenrechnung die Rechnungsgesetze
11 in
13 gultig sind; es bestehen somit samtliche Satze der Verkniipfung, abgesehen vom kommutativen Gesetze der Multiplikation.
Satzes
7
Um
Anordnung der Strecken zu ermoglichen, treffen wir
Es seien A, B irgend zwei verschiedene Punkte
folgende Festsetzung.
der Geraden OE; dann bringen wir gemaB Axiom II 4 die vier Punkte
0, E, A,
endlich eine
B
in
eine Reihenfolge.
Ist
dies
auf eine der folgenden sechs
Arten
ABOE, AOBE, AOEB, OABE, OAEB, OEAB
= OA Tdeiner als die Strecke
moglich, so nennen wir die Strecke a
6=0.5,
in Zeichen:
a
&amp;lt;
b.
Findet dagegen eine der sechs Reihenfolgen
BAOE, BOAE, BOEA, OBAE, OBEA, OEBA
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
64
so
statt,
in
nennen wir
a
die Strecke
= OA
28, 29.
=
grower als die Strecke I
OA,
Zeichen
a&amp;gt;b.
B
A
E
Diese Festsetzung bleibt auch in Kraft, wenn
oder
mit
oder
zusammenfallen, nur daB dann die zusammenfallenden Punkte als ein ein-
Punkt anzusehen sind und somit
in Frage kommt.
ziger
lediglich
die
Anordmmg
dreier
Punkte
Wir erkennen
daB nunmehr in unserer Streckenrechnung auf
16 in
13 erfiillt sind;
Rechnungsgesetze 13
leicht,
Grund der Axiome
II
die
somit bildet die Gesamtheit aller verschiedenen Strecken ein komplexes
16 in
Zahlensystem, fiir welches die Gesetze 1
11, 13
13, d. h. die
samtlichen Yorschriften auBer dem kommutativen Gesetze der
Multiplikation und den Satzen von der Stetigkeit gewiB giiltig
sind; wir bezeichnen ein solches Zahlensystem im folgenden kurz
als ein
Desargucssches Zalilcnsystem.
29.
Aufbau
einer rainnliclien Geometrie mit Hilfe eines Desarguesschen
Zahlensystems.
Es sei nun irgend ein Desarguessches Zahlensystem D vorgelegt;
dasselbe ermoglicht uns den Aufbau einer raumlichen Geometrie,
in der die Axiome I, II, IV samtlich erfiillt sind.
Um
Zahlen
einzusehen, denken wir uns das System von irgend drei
des Desarguesschen Zahlensystems
als einen Punkt und
dies
D
(x, y, z)
das System von irgend vier Zahlen (u v w r) in D, von denen die
ersten drei Zahlen nicht zugleich
sind, als eine Ebene; doch sollen die
und
v
w
av
aw ar), wo a irgend eine von
(au
Systeme (u
r)
verschiedene Zahl in
bedeutet, die namliche Ebene darstellen. Das Be:
:
:
:
:
:
:
:
:
D
stehen der Gleichung
ux
moge
+
vy
Punkt
ausdriicken, daB der
-f
wz
+r=
auf der Ebene (u
(x, y, z)
:
v
:
iv
:
r) liegt.
Die Gerade endlich definieren wir mit Hilfe eines Systems zweier Ebenen
(u
v
:
von
:
w
:
r
und
)
a u
wird.
(u&quot;
:
v&quot;
Ein Punkt
gelegen,
wenn
gemeinsam
ist.
=a
w&quot;
:
:
r&quot;),
verschiedene Zahlen a
u
,
(x, y, z] heifit
er den beiden
,
a&quot;
in
a v
D
wenn
es nicht moglich ist, zwei
zu finden, so daB gleichzeitig
a v
a
,
w =
a
auf dieser Geraden [(u: v:
Ebenen
(u
:
v
:
w
:
r
)
w
w
:
/),
und
v&quot;:
w&quot;:
(u&quot;:
(u&quot;:
v&quot;:
/ )]
w&quot;:
r&quot;)
Zwei Gerade, welche dieselben Punkte enthalten, gelten
als nicht verschieden.
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
Indem wir
65
29.
11 in
13 anwenden, die nach
Voraussetzung
gelten sollen, gelangen wir ohne
zu
dem
daB
in
der
soeben aufgestellten raumlichen
Schwierigkeit
Resultate,
Geometric die Axiome I und IV samtlich erfiillt sind.
die
1
Rechnungsgesetze
Zahlen in
D
die
fiir
Damit auch den Axiomen II der Anordnung Geniige geschehe,
Es seien
treffen
wir folgende Pestsetzungen.
Oi
*i)
2/i ,
&amp;gt;
2
;
2/2
y
*a)
,
fa. ;
&amp;gt;
2/s&amp;gt;
*s)
irgend drei Punkte einer Geraden
-.w
-.v
[(u
dann heiBe der Punkt
-.r
:
),
w&quot; :
v&quot; :
(u&quot;
r&quot;)]-
zwischen den beiden anderen gelegen,
y2 ,
wenn wenigstens eine der sechs Paare von Ungleichungen
#2 )
(x.2 ,
\ ^2
^ ^3
{*)
-%i
&quot;^
^3;
^1 -^
2
( )
y&amp;lt;y*&amp;lt;
y*,
y\&amp;gt;y*&amp;gt;
et
(3)
2
&amp;lt;
^
z^
&amp;lt;
&amp;gt;
*^2
^2
&amp;gt;
ys
^3
Besteht nun etwa eine der beiden Doppelungleichungen (1),
so sehlieBen wir leicht, daB entweder y v
7/2
y3 oder notwendig eine
erfiillt
ist.
=
=
= =
der beiden Doppelungleichungen (2) und ebenso daB entweder ^
#3
2
oder eine der Doppelungleichungen (3) gelten muB. In der Tat, aus den
Gleichungen
u x
i
-f v y.
f
+
w&quot;#
aus
D,
zi -f r
w
+r
-f
v&quot;^
&quot;#
f
&quot;
= 0,
= 0,
r- 1, 2, 3)
(i
leiten wir
+w
durch linksseitige Multiplikation derselben mit geeigneten Zahlen
sind, und durch nachherige Addition der entstehenden
die 4=
Gleichungen ein Gleichungssystem von der Gestalt
u
(4)
&quot;x
i
+
v
&quot;yi
=
(i
ab.
Hierin
ist
der drei Zahlen
der Koeffizient
v&quot;
+r
1, 2,
&quot;=Q
3)
sicher nicht 0, da sonst die Gleichheit
xl} x2 ,x3 folgen wurde.
Aus
sehlieBen wir
tv
und mithin wegen
&quot;
A/-t
^&quot;
Zv
^O \~
*
**/a
(4)
v&quot;
yi
+
&quot;
und daher
Hilbert, Grundlagen der Geometrie.
&quot;
&quot;
2
v
ys
Kap. V. Der Desarguessche Satz.
66
und da
&quot;
nicht
v
so
ist,
haben wir
2/i
2/2
&amp;gt;
in
dieser
jeder
obere oder
Doppelungleichungen
das
durchweg
29, 30.
mittlere
^i2/35
entweder durchweg das
das untere Zeichen
stets
soil
oder durchweg
gelten.
Die angestellten TJberlegungen lassen erkennen, daB in unserer GeoAxiome II 1 3 der Anordnung zutreffen. Es bleibt
metrie die linearen
noch zu zeigen ubrig, daB
II 4 giiltig ist.
Zu dem Zwecke
v
[(u:v:w:r), (u
Ebene (u v w r)
ux+ vy+wz+r
:
:
:
eine
sei
w
unserer Geometric auch das ebene
in
Ebene
(u
:
v
w
:
:
r)
und
Axiom
in ihr eine Gerade
Wir
setzen fest, daB alle in der
gegeben.
Punkte
gelegenen
(x, y, 0) , fur die der Ausdruck
kleiner oder groBer als
ausfallt, auf der einen
:
:
:
r
~)~]
auf der anderen Seite von jener Geraden gelegen sein sollen, und
haben dann zu beweisen, daB diese Festsetzung sich mit der vorigen in
bez.
Ubereinstimmung befindet, was leicht geschehen kann.
Damit haben wir erkannt, daB die samtlichen Axiome
derjenigen raumlichen Geometric
erfiillt sind,
I,
II,
IV
in
oben geschilderten
Bedenken
entspringt.
die in der
D
Weise aus dem Desarguesschen Zahlensystem
daB der Desarguessche Satz eine Folge der Axiome I, II, IV ist, so
sehen wir, daB die eben gefundene Tatsache die genaue Umkehrung des28 gelangt sind.
jenigen Ergebnisses darstellt, zu dem wir in
wir,
30.
Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes.
Wenn
in einer
ebenen Geometrie die Axiome
I 1
3, II,
IV
erfiillt
24
Desarguessche Satz gilt, so ist es nach
in dieser Geometrie stets moglich, eine Streckenrechnung einzufiihren,
sind
und
iiberdies der
28
fiir
welche die Regeln 1
16 in
13 anwendbar sind. Wir betrachten
11, 13
nun weiter den Inbegriff dieser Strecken als ein komplexes Zahlensystem
und bauen aus denselben nach den Entwickelungen in
29 eine raumliche
Geometrie
auf, in der samtliche
Fassen wir in
dieser
Axiome
raumlichen
I,
II,
IV
giiltig
sind.
Geometrie lediglich
die
Punkte
Auge, auf denen nur solche Punkte
27 abso
entsteht
eine
ebene
Geometrie, und wenn wir die in
liegen,
diese
ebene
Geo
so
daB
Tatsache
leuchtet
geleitete
berucksichtigen,
ein,
(x,y,fy und diejenigen Geraden
ins
metrie genau mit der zu Anfang vorgelegten ebenen Geometrie iibereinstimmen muB. Damit gewinnen wir folgenden Satz, der als das Endziel
der gesamten Entwickelungen dieses Kapitels
V
anzusehen
ist:
Kap. VI. Der Pascalsche Satz.
Es
dann
ist
seien in einer ebenen Geometric die
31.
Axiome
I 1
67
3, II,
IV
die Gultigkeit des Desarguesschen Satzes die notwendige
erfullt:
und
hin-
reichende Bedingung dafilr, daft diese ebene Geometric sich auffassen Idftt
als ein Teil einer rdumlichen Geometric, in welcher die sdmtlichen Axiome
I, II,
IV
erfullt sind.
Der Desarguessche Satz kennzeichnet sich so gewissermaBen fiir die
ebene Geometrie als das Resultat der Elimination der raumlichen Axiome.
Die gefundenen Resultate setzen uns auch in den Stand zu erkennen,
daB jede raumliche Geometrie, in der die Axiome I, II, IV samtlich er
von heliebig vielen
auffassen laBt; dabei ist unter einer Geometrie von beliebig
vielen Dimensionen eine Gesamtheit von Punkten, Geraden, Ebenen und
fullt
sind,
sich
stets
als
ein Teil einer ,,Geometrie
Dimensioned
noch weiteren Elementen zu verstehen, fiir welche die entsprechenden
Axiome der Verkniipfung und Anordnung sowie das Parallelenaxiom
erfullt sind.
Kapitel
VI.
Der Pascalsche Satz.
31.
Zwei Satze
liber die
Beweisbarkeit des Pascalschen Satzes.
Der Desarguessche Satz (Satz 33) laBt sich bekanntlich aus den
Axiomen I, II, IV, d. h. unter wesentlicher Benutzung der raumlichen
Axiome beweisen; in
23 habe ich gezeigt, daB der Beweis desselben
ohne die raumlichen Axiome der Gruppe I und ohne die Kongruenzaxiome
II nicht moglich ist, selbst wenn die Benutzung der Stetigkeitsaxionie
gestattet wird.
In
14 ist der Pascalsche Satz (Satz 21) und damit nach
22 auch
der Desarguessche Satz aus den Axiomen I 1
II
also
mit
AusIV,
3,
schluB der raumlichen Axiome und unter wesentlicher Benutzung der
Kongruenzaxiome abgeleitet worden. Es entsteht die Frage, ob auch der
Pascalsche Satz ohne Hinzuziehung der Kongruenzaxiome bewiesen werden kann. Unsere Untersuchung wird zeigen, daB in dieser
Hinsicht der Pascalsche Satz sich vollig anders als der Desarguessche Satz
verhalt, indem bei dem Beweise des Pascalschen Satzes die Zulassung
oder AusschlieBung des Archimedischen Axioms von entscheiden-
dem
seine Giiltigkeit ist.
Die wesentlichen Ergebnisse unserer Untersuchung fassen wir in den folgenden zwei Satzen zusammen:
5*
Einflusse
fiir
Kap. VI. Der Pascalsche Satz.
68
Satz
Axiome I,
31, 32.
Der Pascalsche Satz
36.
IV, V,
II,
(Satz 21) ist beweisbar auf Grund der
unter Ausschliefiung der Kongruenzaxiome mit
d. h.
ZuMlfenahme des Arcliimedisclien Axioms.
Satz 37. Der Pascalsche Satz (Satz 21) ist niclit beweisbar auf
Grund der Axiome I, II, IV, d. k. unter AusscJdieftung der Kongruenzaxiome
sowie des Archimedischen Axioms.
In der Fassung dieser beiden Satze konnen nach dem allgemeinen Satze 35
die raumlichen Axiome I 4
8 auch durch die Forderung der ebenen Geometrie ersetzt werden, daB der Desarguessche Satz (Satz 33) gelten
soil.
32.
Das kommutative Gesetz der Multiplikation im ArcMmedischen Zahlensystem.
Die Beweise der Satze 36 und 37 berulien wesentlich auf gewissen
gegenseitigen Beziehungen, welche fiir die Rechnungsregeln und Grundtatsachen der Arithmetik bestehen und deren Kenntnis auch an sich von
Interesse erscheint.
Satz
Wir
stellen die folgenden zwei Satze auf:
Fiir ein Archimedisches ZaMensysiem
38.
das Commutative
ist
Gesetz der Multiplikation eine notwendige Folge der ubrigen jRechnungsgesetee ;
13 aufgezaltlten Eigenschaften 1
d. h., wenn ein Zahlensystem die in
11,
13
17
so folgt notwendig, daft dasselbe aucli der
besitzt,
Beweis.
Zahlensystems und
w= 1 +
eine ganze rationale positive Zahl
1
=
+!+
a(l
geniigt.
+
hi
H
ist,
so gilt
mutative Gesetz der Multiplikation; es
aw
Formel 12
Zunachst bemerken wir: wenn a eine beliebige Zahl des
fiir
= a-l+a-l +
---
+
= l-a+l-a +
---
+
l)
a und n
stets das
kom
namlich
ist
-l
= + +
-
+
+---
+
tt
a
und ebenso
na
=
(1 -f 1 -f
Es
seien
+
1)
l-
= +
nun im Gegensatz zu unserer Behauptung
Zahlen des Zahlensystems,
plikation nicht giiltig
fiir
solche zwei
welche das kommutative Gesetz der Multi
Wir
ist.
a, b
diirfen
dann, wie leicht ersichtlich, die
Annahmen
a&amp;gt;
machen.
Wegen
0,
(a
ist.
+b+
geniigt,
und bezeichnen mit
fiir
die
m
ba&amp;gt;0
13 gibt es eine Zahl
l)c
Endlich wahlen wir eine Zahl
d&amp;gt;0,
^ 0,
ab
b&amp;gt;
der Forderung 6 in
d,
= ab
so daB
ba
die zugleich
d&amp;lt;l,
c(&amp;gt;0),
den Ungleichungen
d&amp;lt;c
und n zwei solche ganze
rationale Zahlen
Kap. VI. Der Pascalsche Satz.
md
a
&amp;lt;
&amp;lt;^
(m
69
32, 33.
-f
bez.
Das Vorhandensein soldier Zahlen m, n
gerung des Archimedischen Satzes (Satz 17 in
wird.
eine unmittelbare Fol-
ist
Mit Riicksicht auf
13).
Bemerkung zu Anfang dieses Beweises erhalten wir aus den letzteren
Ungleichungen durch Multiplikation
die
mnd?
ab
&amp;lt;^
&&
&amp;gt;
mnd
(m
-f
-f-
n
-j-
2
,
also durch Subtraktion
Nun
ist
und
folglich
h.
d.
6
oder wegen d
+
&a&amp;lt;
(a
&
(a -f &
c
&amp;lt;
a&
&amp;lt;
+
l)c.
Diese Ungleichung widerspricht der Bestimmung der Zahl
der Beweis fiir den Satz 38 erbracht.
c,
und damit
ist
33.
Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Nicht-ArcMmedischen
Zahlensystem.
39. Fur ein Nicht-Archimedisches Zalilcnsystem ist das ItommuGesetz der Multiplikation nicht eine notwendige Folge der iibrigen
Satz
tative
Reclmungsgesetze ;
Eigenscliaften
28
nacli
ein Zalilensystem, das die
d. h. es gibt
11, 13
1
16
m
13 aufgezalilten
ein
besitst
Desarguessclies Zalilensystem
in welcJiem nicht das kommutative Gesetz (12) der Multi
,
plikation besteht.
Beweis.
Es
sei
ein Parameter
t
und
einer endlichen oder unendlichen Gliederzahl
T=r
darin
n
sei
mogen
r
(=}=
S
lichen Grliederzahl
n
+
rx
f+
0), r l} r2 , ...
eine beliebige
Parameter und
t
1
+ r f+ +
2
2
T
irgend ein Ausdruck mit
von der Gestalt
r3 t n + *
-\
---;
beliebige rationale Zahlen bedeuten
ganze rationale Zahl ^= 0.
Ferner
sei 5 ein
und
anderer
irgend ein Ausdruck mit einer endlichen oder unend
von der Gestalt
5
-
s
&quot;T
-f
Kap. VI. Der Pascalsche Satz.
70
darin
T
mogen
T1} T
0),
(=j=
bezeichnen und
m
Die Gesamtheit
aller
2
11 in
wahrend man
13,
dem wir
in
S
sehen wir
als ein
T
= 0.
kom-
folgende Reehmmgsregeln
wie mit Parametern nach den Regeln
an Stelle der Regel 12 stets die Form el
festsetzen:
7
eine beliebige ganze rationale Zahl
Ausdriicke von der Gestalt
Zahlensystem i(s, f) an,
man rechne mit s und
plexes
von der Gesalt
... beliebige Ausdriicke
,
wiederum
sei
33.
t,
=
ts
(1)
2st
anwende.
Sind nun
S
,
S&quot;
irgend zwei Ausdrucke von der Gestalt S:
S = sm T + s m
+1 T
f
S&quot;=
kann man
so
S
+
m
s
&quot;T
offenbar
/
1
+ sm
+
2
T
2
bestimmt
durch Zusammenfugung einen neuen Ausdruck
+
Ausdruck S
ist; dieser
,
s
&quot;+
S und
bilden, der wiederum von der Gestalt
S&quot;
H----
S&quot;
heifit die
zugleich eindeutig
der durch S ,
Summe
S&quot;
dargestellten Zahlen.
Durch gliedw^ise Multiplikation der beiden Ausdrucke S
,
S&quot;
gelangen
wir zunachst zu einem Ausdrucke von der Gestalt
&quot;=
s
m
T
s
m
&quot;
T
m&amp;gt;
&quot;+
(s
T
m +l
&quot;
s
TI+
s
m&amp;gt;
+
l
Tj V&quot;
T
&quot;)
Dieser Ausdruck wird bei Benutzung der Formel (1) offenbar ein ein
deutig bestimmter Ausdruck von der Gestalt S] der letztere heiBe das
Produkt der durch
S
dargestellten Zahl in die durch
S&quot;
dargestellte Zahl.
Bei der so festgesetzten Rechnungsweise leuchtet die Giiltigkeit der
13 unmittelbar ein. Auch die Giiltigkeit der
Rechnungsregeln 1 5 in
13 ist nicht schwer einzusehen. Zu dem Zwecke nehVorschrift 6 in
men
wir an, es seien etwa
S
= sm T
f
und
gegebene Ausdriicke von der Gestalt S, und bedenken,
setzungen entsprechend der erste Koeffizient r
sein
muB.
Indem wir nun
die
aus
T
dafi
unseren Fest-
von
namlichen Potenzen von
verschieden
s
auf beiden
Seiten einer Gleichung
S
(2)
S&quot;=
S
&quot;
vergleichen, finden wir in eindeutig bestimmter Weise zunachst eine ganze
Zahl m&quot; als Exponenten und sodann der Reihe nach gewisse Ausdrucke
rp
ii
rrt
&quot;
*&amp;gt;*!&amp;gt;
derart,
daB der Ausdruck
rp
*!
it
&amp;gt;
Kap. VI.
S&quot;
=
Der Pascalsche
&quot;
s&quot;
&quot;T
&quot;+
s
Ml
+
Satz.
T
1
1 &quot;+
s
&quot;&quot;
Um
zu
Systems
heifie
darstellt,
der
&amp;lt;
treffen
wir
oder
0,
&amp;gt;
folgende
je
Koeffizient
erste
71
T
(2) geniigt;
hiermit
ist
Anordnung der Zahlen unseres Zahlensystems
endlich die
ermoglichen,
+
2
2 &quot;H
Benutzung der Form el (1) der Gleichung
gewiinschte Nachweis erbracht.
bei
33, 34.
Eine
Festsetzungen.
der
1 (s,
Zahl
f)
des
nachdem in dem Ausdrucke S, der sie
rQ von T
oder
ausfallt.
Sind
&amp;lt;
&amp;gt;
irgend zwei Zahlen a und b des komplexen Zahlensy stems vorgelegt, so
b
oder
wird. Es leuchtet
heiBe a
b bez. a
b, je nachdem a
daB
ein,
13 gultig sind,
&amp;gt;
&amp;lt;
&amp;gt;
&amp;lt;
unmittelbar
d.
bei
diesen
& (s,
h.
Festsetzungen
ein
ist
f)
die
13
Regeln
16
in
Desarguesschen Zahlensystem
28).
(vgl.
Die Vorschrift 12 in
13
ii (s,
ist,
wie Gleichung (1) zeigt, fur unser
erfiillt und damit ist die
Richtig-
nicht
komplexes Zahlensystem
f)
keit des Satzes 39 vollstandig erkannt.
in
In Ubereinstimmung mit Satz 38 gilt der Archimedische Satz (Satz 17
13) fiir das soeben aufgestellte Zahlensystem ii (s, ) nicht.
Es werde noch hervorgehoben, daB das Zahlensystem i (s,
9 und
12 benutzten Zahlensysteme 1 und
abzahlbare Menge von Zahlen enthalt.
wie die in
eine
ebenso
f)
1
-
-
(f)
nur
34.
Beweis der beiden Satze
iiber
den Pascalschen Satz.
(Nicht-Pascalsche Geometrie.)
Wenn
in einer raumlichen Geometric die samtlichen
Axiome
I 7 II 7
IV
Satz (Satz 33) und mithin
sind,
gilt auch der Desarguessche
24 bis
26 in dieser Geometric die Einfuhrung
ist nach Kapitel V
16
einer Streckenrechnung moglich, fiir welche die Vorschriften 1
11, 13
so
erfiillt
in
13
gultig
Setzen
sind.
wir
nun das Archimedische Axiom
V
in
unserer Geometric voraus, so gilt offenbar fiir die Streckenrechnung der
Archimedische Satz (Satz 17 in
13) und mithin nach Satz 38 auch
Da aber die hier in Rede
das kommutative Gesetz der Multiplikation.
stehende in
24
mit der in
15
des Streckenproduktes
(Fig. S. 54) eingefiihrte Definition
Definition
ubereinstimmt, so
(Fig. S. 32) angewandten
15 ausgefiihrten Konstruktion das kommutative
Gesetz der Multiplikation zweier Strecken auch hier nichts anderes als
den Pascalschen Satz. Damit ist die Richtigkeit des Satzes 36 erkannt.
bedeutet
Um
gemaB der
in
33 aufgestellte
mit Hilfe
konstruieren
und
Auge
den Satz 37 zu beweisen, fassen wir das in
& (s,
ins
t}
Desarguessche Zahlensystem
29 beschriebene Art eine raumliche Geometric, in
desselben auf die in
Kap. VI.
72
der
samtlichen
die
Der Pascalsche
Axiome
I,
II,
IV
Satz.
34, 35.
sind.
erfiillt
Trotzdem
der
gilt
Pascalsche Satz in dieser Geometrie nicht, da das kommutative Gesetz
der Multiplikation in dem Desarguesschen Zahlensystem 5i (s, f) nicht be-
Die
steht.
so
aufgebaute
Niclit-Pascalsclie&quot;
Geometrie
ist
in
Uberein-
stimmung mit dem vorhin bewiesenen Satz 36 notwendig zugleich auch
eine ,,Nicht-Archimedische&quot; Geometrie.
Es
ist
offenbar, daB der Pascalsche Satz sich bei unseren
auch dann nicht beweisen
wenn man
laBt,
die
Annahmen
raumliche Geometrie
als
einen Teil einer Geometrie von beliebig vielen Dimensionen auffafit, in
welcher neben den Punkten, Geraden und Ebenen noch weitere Elemente
vorhanden sind und fur diese ein entsprechendes System von Axiomen
der Verkniipfung und Anordnung, sowie das Parallelenaxiom zu Grunde
gelegt
ist.
35.
Beweis eines beliebigen Scunittpunktsatzes mittels des Desarguesschen
und des Pascalschen
Satzes.
Ein jeder ebener Schnittpunktsatz hat notwendig diese Form: Man
zunachst ein System von Punkten und Geraden willkiirlich, bez.
wahle
mit der Bedingung, daB
fiir
gewisse von diesen Punkten und Geraden die
ist; wenn man dann in bekannter Weise
vereinigte Lage vorgeschrieben
Verbindungsgerade und Schnittpunkte konstruiert, so gelangt man schlieBlich zu einem bestimmten System von Geraden, von denen der Satz aussagt,
daB
Es
Axiome
sie
sei
durch den namlichen Punkt hindurchlaufen.
nun
eine
V
ebene
Geometrie
in
vorgelegt,
der
samtliche
nach Kap. Ill
17 konnen wir dann
vermittels eines rechtwinkligen Achsenkreuzes jedem Punkte ein Zahlenpaar (x, y) und jeder Geraden ein Verhaltnis von drei Zahlen (u v iv)
entsprechen lassen; hierbei sind x, y, u, v, w jedenfalls reelle Zahlen,
I 1
3, II
giiltig sind;
:
von denen u, v nicht beide verschwinden, und
vereinigte Lage von Punkt und Geraden
ux
-f
vy
-\-
die
Bedingung
fiir
:
die
w=
bedeutet eine Gleichung im gewohnlichen Sinne.
Andererseits diirfen wir, falls x, y, u, v, w insbesondere Zahlen des in
9 konstruierten algebraischen Bereiches ii sind und u, v nicht beide ver-
schwinden, annehmen, daB umgekehrt das Zahlenpaar (x } y) und das Zahlentripel (u: v :w) einen Punkt bez. eine Gerade in der vorgelegten Geo
metrie liefert.
Fiihren wir fur alle Punkte und Geraden, die in
Schnittpunktsatze auftreten, die betreffenden
ebenen
einem beliebigen
und
Zahlenpaare
Kap. VIE. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome
I
IV.
36.
73
so wird dieser Schnittpunktsatz
aussagen, daB ein bevon
Parametern
rational
stimmter,
gewissen
p1}
pr
abhangiger Ausdruek A (pi}
,p^ mit reellen Koeffizienten stets verschwindet, sobald
Zahlentripel ein ;
.
.
.
.
.
.
wir fur jene Parameter insbesondere irgend welche Zahlen des in
9
betrachteten Bereiches SI einsetzen.
Wir schlieBen hieraus, daB der Aus-
druck
in
A(pi7 .,pr) auch identisch auf Grund der Rechmmgsgesetze 7
13 verschwinden muB.
.
Da
.
12
nach
22 der Desarguessche Satz
konnen wir gewiB auch die in
24 eingefiibrte Streckenrechnung
benutzen, und wegen der Giiltigkeit des Pascalschen Satzes trifft fiir diese
gilt,
in der vorgelegten Geometrie
so
Streckenrechnung auch das kommutative
so daB in dieser Streckenrechnung
13
Gesetz der Multiplikation zu ?
samtliche Rechnungsgesetze 7
12 in
giiltig sind.
Indem wir die Achsen des bisher benutzten Achsenkreuzes auch als
Achsen dieser neuen Streckenrechnung gewahlt und die Einheitspunkte E
und E geeignet festgesetzt denken, erkennen wir die Ubereinstimmung
der neuen Streckenrechnung mit der friiheren Koordinatenrechnung.
in der neuen Streckenrechnung das identische Verschwinden des
Um
Ausdruckes
A (p,
,pr
nachzuweisen, geniigt die Anwendung des
und
Pascalschen
Satzes und damit erkennen wir, daB
Desarguesschen
der
in
Geometrie
jeder
vorgelegten
geltende Schnittpunktsatz
durch Konstruktion geeigneter Hilfspunkte und Hilfsgeraden
sich stets als eine Kombination des Desarguesschen und Pas
calschen Satzes herausstellen muB. Zum Nachweise der Richtigkeit
.
.
.
~)
des Schnittpunktsatzes brauchen wir also
nicht auf
die
Kongruenzsatze
zuriickzugreifen.
Kapitel VII.
Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome
I
IV.
36.
Die geometrischen Konstruktionen mittels Lineals und
EichmaBes.
Es
Axiome
raumliche Geometrie vorgelegt, in der die samtlichen
gelten; wir fassen der Einfachheit wegen in diesem Kapitel
nur eine ebene Geometrie ins Auge, die in dieser raumlichen Geometrie enthalten
sei
I
ist,
eine
IV
und untersuchen dann
struktionsaufgaben in einer solchen
Frage, welche elementaren KonGeometrie notwendig ausfiihrbar sind.
die
Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiome
74
Auf Grund
stets
der
Axiome
I ist die
IV.
I
36.
Ausfiihrung der folgenden Aufgabe
moglich:
Zwei Punkte durch eine Gerade zu verbinden und den
Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, falls die Geraden niclit parallel sind.
Auf Grund der Axiome der Gruppe II werden keine neuen Auf-
Aufgabe
gaben
1.
16 sbar.
Auf Grund der Kongruenzaxiome
und Winkeln moglich, d. h. es lassen
das Abtragen von Strecken
sich in der vorgelegten Geometric
III
ist
folgende Aufgaben losen:
Aufgabe 2. Eine gegebene Strecke auf einer gegebenen Geraden
von einem Punkte aus abzutragen.
Aufgabe 3. Einen gegebenen Winkel an eine gegebene Gerade
anzutragen oder eine Gerade zu konstruieren, die eine gegebene Gerade
unter einem gegebenen Winkel schneidet.
Das Axiom IV ermoglicht die Ausfiihrung der folgenden Aufgabe:
Aufgabe 4. Durch einen gegebenen Punkt zu einer Geraden eine
Parallele zu ziehen.
Wir sehen somit, dafi unter Zugrundelegung der Axiome I IV alle
und nur diejenigen Konstruktionsaufgaben losbar sind, die sich auf die
eben genannten Aufgaben 1 4 zuruckfiihren lassen.
Wir fiigen den fundamentalen Aufgaben 1 4 noch die folgende hinzu:
Aufgabe 5. Zu einer gegebenen Geraden eine Senkrechte zu ziehen.
Wir erkennen unmittelbar, daB diese Aufgabe 5 auf verschiedene
Arten durch die Aufgaben 1 4 gelost werden kann.
Zur Ausfiihrung der Aufgabe 1 bediirfen wir des Lineals.
Urn
die
Aufgaben 2 5 auszufiihren, geniigt es, wie im Folgenden gezeigt wird,
neben dem Lineal das EichmaB anzuwenden, ein Instrument, welches das
Abtragen einer einzigen bestimmten Strecke, etwa der Einheitsstrecke
1
ermoglicht
).
Satz 40.
Wir gelangen damit
zu folgendem Resultat:
Diejenigen geometrischen Konstniktionsaufgaben,
Zugrundelegung der Axiome I
die
unter
IV
losbar
sind, lassen sich notwendig mittels Lineals
und Eichmaftes
Beweis.
ausfiihren.
Um
die
Aufgabe 4 auszu-
fiihren, verbinden wir den gegebenen Punkt
der ge
mit irgend einem Punkte
A
P
A/^ B/
a
1)
gebenen Geraden a und tragen von A aus
auf a zweimal hintereinander mittels des
EichmaBes die Einheitsstrecke ab, etwa
X/
Diese Bemerkung
ist
von
J.
KurscMk gemacht worden;
,,Das Streckenabtragen&quot; Math. Ann. Bd. 55. 1902.
vgl.
dessen Note
Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiome
bis
B
und
Es
C.
ist
75
36.
AP
D
nun
und
sei
E
ferner
}
irgend ein Punkt auf
der Treffpunkt von
BD
CP
Treffpunkt von
und CD: dann
IV.
I
F
und endlich
nach Steiner
PF
der
AE
die gesuchte Parallele zu a.
Die Aufgabe 5 losen wir auf folgende Weise.- Es sei
dann tragen wir von
liebiger Punkt der gegebenen Geraden;
A
A
be-
ein
aus auf
Geraden nach beiden
dieser
Seiten hin mittels des Eich-
maBes
Einheitsstrecken
die
AB und AC
ab und bestim-
men dann
auf zwei beliebigen
durch
gehenden
A
anderen
E
Geraden die Punkte
und
J), so daB auch die Strecken
AE
AD
und
gleich der Einheitsstrecke werden. Die Ge
BD
raden
sich in
F,
CD
und
Tat:
die
liber
BC
punkt
FH
in
mogen
BE
Geraden
H
schneiden:
Winkel
dann
^BDC
FH
ist
und
BC
^BEC
sind als
Wir konnen nunmehr
Winkel im Halbkreise
Satze
den wir auf das Dreieck
Dreieckes,
senkrecht.
In der
die gesuchte Senkrechte.
Rechte und daher steht nach dem
eines
auf
CE
und
die
vom
BCF
Hohenschnitt-
anwenden, auch
Aufgabe 3 allein mittels
Lineals und EichmaBes losen; wir schlagen etwa folgendes Verfahren ein,
welches nur das Ziehen von Parallelen
und das Fallen von Loten erfordert. Es
auch
leicht
die
A
der abzutragende Winkel und
der Scheitel dieses Winkels. Wir ziehen
sei
/3
die
Gerade
I
(AC) durch A
parallel zu der
an welche der geangetragen werden soil.
gegebenen Geraden,
gebene Winkel
Von einem
/3
beliebigen
Schenkels von
/3
Punkte
anderen Schenkel des Winkels
Die
FuBpunkte
geschieht
B
eines
fallen wir Lote auf den
dieser
vermoge
der
eine Senkrechte auf
Lote
/3
und auf
I.
D
seien
und
2 und
Aufgaben
ihr FuBpunkt
CD,
CAE =
C.
5.
sei
E.
Das Fallen von Loten
fallen wir von A
Sodann
Nach dem
in
14
S.
27
Aufgabe 3 ist somit gelost.
/3;
Urn endlich die Aufgabe 2 auszufiihren, benutzen wir die einfache
die abzutrageude
von J. Kiirschak angegebene Konstruktion: es sei
ausgefiihrten Beweise
ist
&amp;lt;
die
AB
Strecke und
P
der gegebene Punkt auf der gegebenen Geraden I
Man
Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiomel
76
ziehe durch
P
P
aus die
36,37.
AB
und trage auf derselben mittels des
Einheitsstrecke ab etwa bis C; ferner trage
man auf I von
aus die Einheits
die Parallele zu
EichmaBes von
IV.
P
D
strecke bis
B
zogene
ist
und
AP
treife
zu
Q
treffe
I
in
durch
PC in
CD ge
E:
dann
PE = AB.
gaben
sind,
durch
die
Parallele
Damit
und EichmaB losbar
Parallele
gezogene
Q und
Die zu
ab.
ist
5
1
gezeigt,
daB die Auf-
durch
samtlich
Lineal
folglich der Satz 40 vollstandig bewiesen.
37.
Analytische Darstellung der Koordinaten konstruierbarer Punkte.
AuBer den in
36 behandelten elementargeometrischen Aufgaben
es
noch
eine
gibt
groBe Reihe weiterer Aufgaben, zu deren Losung man
das
Ziehen
von Geraden und das Abtragen von Strecken notig
lediglich
hat.
Um den Bereich aller auf diese Weise losbaren Aufgaben iiberblicken zu konnen,
legen wir bei der weiteren Betrachtung ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu Grunde und denken uns die Koordinaten
der Punkte in der iiblichen Weise als reelle Zahlen oder Punktionen von
Um
die Frage nach der Gesamtheit
gewissen willkiirlichen Parametern.
konstruierbaren Punkte zu beantworten, stellen wir folgende Uber-
aller
legung an:
Es
System von bestimmten Punkten gegeben; wir setzen aus
R zusammen; derselbe enthalt gewisse reelle Zahlen und gewisse willkiirliche Parameter p.
Nunmehr denken wir uns die Gesamtheit aller derjenigen Punkte, die durch
sei ein
den Koordinaten dieser Punkte einen Bereich
von Geraden und Abtragen von Strecken aus dem vorgelegten
System von Punkten konstruierbar sind. Der Bereich, der von den Koor
dinaten dieser Punkte gebildet wird, heiBe & (JR); derselbe enthalt gewisse
Ziehen
reelle
Zahlen und Funktionen der willkiirlichen Parameter
Unsere Betrachtungen in
17 zeigen,
claB
p.
das Ziehen von Geraden
und Parallelen analytisch auf die Anwendung der Addition, Multiplikation,
Subtraktion, Division von Strecken hinauslauft; ferner lehrt die bekannte
in
9 aufgestellte Formel fur die Drehung, daB das Abtragen von Strecken
auf einer beliebigen Geraden keine andere analytische Operation erfordert,
als die Quadratwurzel zu ziehen aus einer Summe von zwei Quadraten,
deren Basen
des
man
bereits
Pythagoraischen
konstruiert hat.
Lehrsatzes
vermoge
Umgekehrt kann man zufolge
eines
rechtwinkligen
Dreiecks
Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axioms
die
Summe
Quadratwurzel aus der
von Strecken
IV.
I
37.
77
zweier Streckenquadrate durch Abtragen
stets konstruieren.
&
Aus
diejenigen
diesen Betrachtungen geht hervor, daB der Bereich
(_R) alle
und nur solche reelle Zahlen und Funktionen der Parameter p
enthalt, die aus den Zahlen und Parametern in R vermoge einer endlichen
Anzahl von Anwendungen von fiinf Rechnungsoperationen hervorgehen,
namlich der vier elementaren Rechnungsoperationen und einer fiinften
Operation, als die man das Ziehen der Quadratwurzel aus einer Summe
zweier Quadrate betrachtet.
Wir sprechen dieses Resultat wie folgt aus:
Satz 41. Eine geometrische Konstruktionsaufgabe ist dann und nur
dann durch Ziehen von Geraden und Abtragen von Strecken, d. h. mittels
Lineals und EichmaBes losbar, wenn bei der analytischen
Behandlung der
die Koordinaten der gesuchten Punkte solche Funktionen der
Koordinaten der gegebenen Punkte sind, deren Herstellung nur rationale
Operationen und die Operation des Ziehens der Quadratwurzel aus der
Aufgabe
Summe
zweier Quadrate und diese
Operationen in endlicher Anzahl
fiinf
erfordert.
Wir konnen
Zirkels
mittels
diesem
aus
Satze
sofort
auch
losbare
allein
daB nicht jede
Lineals und Eich-
erkenneu,
mittels
Aufgabe
maBes gelost werden kann. Zu dem Zwecke legen wir diejenige Geometric
9 mit Hilfe des algebraischen Zahlenbereichs ii aufin dieser Geometrie gibt es lediglich solche Strecken,
zu Grunde, die in
gebaut worden
die mittels
ist;
und EichmaBes konstruierbar
Lineals
Zahlen des Bereiches
Ist
des
nun o irgend
Bereiches ii
Zahl in
&
samtlich
reell
reelle
SI
sind,
namlich die durch
bestimmten Strecken.
eine Zahl in ii, so erkennen wir aus der Definition
daB
leicht,
auch jede zu co konjugierte algebraische
die Zahlen des Bereichs & offenbar
muB, und da
liegen
so
sind,
folgt
daB
hieraus,
algebraische Zahlen enthalten kann,
der
Bereich
deren
Q
nur solche
Konjugierte
ebenfalls
reell sind.
Wir
die
1
und
algebraische
Kathete
die
stellen jetzt
Hypotenuse
|
Zahl
ausdriickt,
jugierte Zahl ]/
Aufgabe,
einer Kathete
iin
y2\y2\
2,
rechtwinkliges Dreieck mit der
1 zu konstruieren. Nun kommt
|
die
den Zahlenwert
Zahlenbereich ii nicht vor,
2 1/2
|
em
&quot;J/2
|
2 imaginar
ausfallt.
der
anderen
da die zu ihr kon
Die gestellte Aufgabe
mithin in der zu Grunde gelegten Geometrie nicht losbar und kann
daher iiberhaupt nicht mittels Lineals und EichmaBes losbar sein, obwohl
die Konstruktiou mittels des Zirkels sofort ausfiihrbar ist
ist
Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiome
78
IV.
I
38.
38.
Die Darstellung algebraischer Zahlen und ganzer rationale! Funktionen
Summe von
als
Frage nach der Ausfiihrbarkeit geometrischer Konstruktionen
und EichmaBes erfordert zu ihrer weiteren Behandlung
Die
Lineals
mittels
einige
Quadraten.
zahlentheoretischen und algebraischen Charakters,
Satze
mir scheint, auch an sich von Interesse
Nach Fermat
die,
wie
sind.
bekanntlich jede ganze rationale positive Zahl als
darstellbar.
Dieser Fermatsche Satz gestattet eine merkwiirdige
von
Verallgemeinerung
folgender Art:
Summe von
ist
vier Quadratzahlen
Es sei k ein beliebiger Zahlkorper; der Grrad dieses
k
heiBe
1 zu k
Korpers
m, und die
konjugierten Zahlkorper mogen
~ l)
m
mit k ,
U
bezeichnet werden.
Trifft es sich, daB unter den
,
m
tt ~V einer oder mehrere aus lauter reellen Zahlen
Korpern k, k }
Erklarung.
m
.
.
.
&&quot;,
m
.
.
.
,
gebildet
sind,
Korper etwa
nennen wir
so
k, k ,
.
.
.
,
U*~ l \
diese Korper selbst reell; es seien diese
Eine Zahl a des Korpers k heifie in diesem
Falle total positiv in k, falls die s zu
cc
konjugierten bez. in k, k
,U ~^
S
,
.
.
.
gelegenen Zahlen samtlich positiv sind. Kommen dagegen in jedem der
~
& (m 1) auch imaginare Zahlen vor, so heiBe eine jede
Korper k, k ,
,
Zahl a in k stets total positiv.
m
f
.
Satz 42.
.
.
Jede
total
Zahl in k
positive
lafit
sich
als
Summe
von
Quadraten darstellen, deren Basen ganze oder gebrochene Zahlen des
Korpers k sind.
Der Beweis dieses Satzes bietet erhebliche Schwierigkeiten dar; er
vier
beruht wesentlich
auf der
die ich unlangst in
Theorie
nur auf denjenigen Satz aus
dingungen fiir
von der Gestalt
die
der
mehreren Arbeiten 1 )
Losbarkeit
2
&amp;lt;4
relativquadratischen Zahlkorper,
Es sei hier
entwickelt habe.
dieser
Theorie
hingewiesen,
einer
ternaren
Diophantischen Gleichung
+ /V +
angibt, worin die Koeffizienten a,
2
y
der
die
Be-
=
y gegebene Zahlen in k und , 17,
Der Beweis des Satzes 42 wird durch
/3,
gesuchte Zahlen in k bedeuten.
wiederholte Anwendung des eben genannten Satzes erbracht.
Aus dem Satze 42 folgen eine Reihe von Satzen tiber
die
Dar
stellung solcher rationaler Funktionen einer Veranderlichen mit rationalen
Koeffizienten, die niemals negative Werte haben.
1)
tiber die Theorie der relativquadratischen Zahlkorper, Jahresber. d. Deutschen
ferner: Uber die Theorie
6, 1899 und Math. Ann. Bd. 51;
Math.-Vereinigung Bd.
der relativ-Abelschen Zahlkorper, Nachr.
Acta mathematiea Bd. 26.
d.
K. Ges.
d.
Wiss. zu Gottingen 1898 und
Kap. VIT. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome
IV.
I
79
38,39.
Erwahnt sei noch folgender Satz, der uns im nachsten Paragraphen
von Nutzen sein wird.
Satz 43. Es bedeute f (x) eine solche ganze rationale Funktion
von x mit rationalen Zahlenkoeffizienten, die niemals negative Werte annimmt, wenn man fiir x beliebige reelle Werte einsetzt: dann laBt sich f(x)
stets als Summe von Quadraten darstellen, so daB die samtlichen Basen dieser
Quadrate ganze rationale Funktionen von x mit rationalen Koeffizienten sind 1 ).
Es
diirfte
sehr schwierig sein; die entsprechenden Tatsachen
rationale Funktionen
doch
zu beweisen,
fiir
ganze
von zwei oder mehr Veranderlichen aufzustellen und
sei
hier darauf hingewiesen,
daB
die
Darstellbarkeit
einer beliebigen definitiven ganzen rationalen Funktion zweier Veranderlicher als Quotient von Quadratsummen ganzer Funktionen auf einem
Wege von mir
vollig anderen
setzung, daB
fiir
bewiesen worden
die darstellenden
unter der Voraus-
ist
Funktionen nicht bloB
beliebige reelle Koeffizienten zulassig sind
rationale, sondern
2
).
39.
Kriterimn
fiir
die Ausfiilirbarkeit geometrischer Konstruktionen
mittels Lineals
Es
des
nnd EichmaBes.
eine geometrische Konstruktionsaufgabe vorgelegt, die mittels
Zirkels ausfiihrbar ist; wir wollen dann ein Kriterium aufzustellen
sei
versuchen, welches unmittelbar aus der analytischeu Natur der Aufgabe
ihrer Losungen beurteilen laBt, ob die Konstruktion auch allein
und
mittels
Lineals
und EichmaBes ausfiihrbar
Wir werden
ist.
bei
dieser
Untersuchung auf den folgenden Satz gefiihrt:
Satz 44. Es sei eine geometrische Konslruktionsaufgabe vorgelegt von
der Art, daft man bei analytisdier Behandlung derselben die Koordinaten
der gesucliten Punkte aus den Koordinaten der gegebenm Punkte lediglich
durch rationale Operationen und durcti Ziehen von Quadratwurzeln flnden
kann;
es
sei
n
die
Meinste Anzahl der
Quadratwurzeln,
die hierbei zur
Berechnung der Koordinaten der Punkte ausreichen: soil dann die vorKonstruktionsaufgabe sich auch allein durch Ziehen von Geradcn
gelegte
und Abtragen von Strecken ausfuhren
hinreichend,
daft
die geometrische
lassen,
so
Aufgabe genau
ist
2&quot;
und zwar fur alle Lagen der gegebenen Punkte,
dafur notwendig und
reelle
d.
h.
Losungen besitzt
fur alle Werle
Der Beweis fiir die Darstellbarkeit von f(x) als Quotient zweier Quadrat
ist von mir auf Grund des Satzes 42 in der ersten Auflage ausgefiihrt worden.
Inzwischen ist es E. Landau gelungen, den Beweis fur die Darstellbarkeit von f(x)
direkt als Quadratsumme, wie oben behauptet, zu erbringen und zwar lediglich mit
Benutzung sehr einfacher und elementarer Hilfsmittel. Math. Ann. Bd. 57 1903.
1)
summen
2) tiber terniire definite
Forrnen, Acta Matheinatica Bd. 17.
Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome
80
der
IV.
39.
Punkte auftretenden willMrlichcn
den Koordinaten der gegebenen
in
I
Parameter.
Beweis.
Wir beweisen
diesen
Satz 44 ausschlieBlich
fiir
den
Fall,
daB die Koordinaten der gegebenen Punkte rationale Funktionen eines
Parameters p mit rationalen Koeffizienten sind.
Die Notwendigkeit des aufgestellten Kriteriums leuchtet aus
37
ein.
Um
zu zeigen, daB dasselbe auch hinreicht, setzen wir dieses Kriterium als
erfiillt voraus und betrachten zunachst eine solche von jenen n Quadrat-
wurzeln, die bei der Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte
zuerst zu suchen ist. Der Ausdruck unter dieser Quadratwurzel ist eine
rationale
Funktion
diese rationale
f^
(p)
des Parameters
Funktion darf
fiir
p
mit rationalen Koeffizienten;
Parameterwerte p niemals
beliebige reelle
Werte annehmen, da sonst entgegen der Voraussetzung die vorgelegte Aufgabe fiir gewisse Werte p imaginare Losungen haben muBte
Aus Satz 43 schliefien wir daher, daB f^ (p) als Quotient von Summen
von Quadraten ganzer rationaler Funktionen darstellbar ist.
Nunmehr zeieren die Formeln
negative
daB allgemein das Ziehen der Quadratwurzel aus einer Summe von bevielen Quadraten sich stets zuriickfuhren laBt auf wiederholtes
Ziehen der Quadratwurzel aus der Summe zweier Quadrate.
liebig
Nehmen
wir diese Bemerkung mit dem vorigen Ergebnisse zusammen,
daB der Ausdruck j//^ (p) gewiB mittels Lineals und
so erkennen wir,
EichmaBes konstruiert werden kann.
Wir
betrachten
ferner
eine
solche von den
n Quadratwurzeln,
die
Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte an zweiter
Stelle zu ziehen ist. Der Ausdruck unter dieser Quadratwurzel ist eine
bei der
f2 \p, ]//i) des Parameters p und der zuerst betrachteten Quadratwurzel; auch diese Funktion f2 ist bei beliebigen reellen
niemals negativer
Parameter werten p und fiir jedes Vorzeichen von
rationale Funktion
&quot;[//^
Werte
fahig, da sonst entgegen der Voraussetzung die vorgelegte Aufgabe
unter ihren 2 n Losungen fiir gewisse Werte p auch imaginare Losungen
haben
miiBte.
Aus diesem Umstande
folgt,
daB
f%
einer
quadratischen
Gleichung von der Gestalt
geniigen muB, worin cp 1 (p) und ^ t (j?) notwendig solche rationale Funk
tionen von p mit rationalen Koeffizienten sind, die fiir reelle Werte von p
Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiome
Aus
niemals negative Werte besitzen.
entnehmen wir
f
I
IV.
81
39.
der letzteren quadratischen Gleichung
= fl^M
9t($
Nun
miissen wiederum nach Satz 43
Funktionen
die
&amp;lt;p^
Quotienten von
Summen von
(p)
und
^ (p)
Quadraten rationaler Funktionen sein und
ist nach dem vorigen der Ausdruck f2
mittels Lineals und
EichmaBes konstruierbar; der gefundene Ausdruck fur /2 zeigt somit, daB f2
ein Quotient von Summen von Quadraten konstruierbarer Funktionen ist.
andererseits
Also laBt sich auch der Ausdruck
mittels
2
j//&quot;
Lineals
und EichmaBes
konstruieren.
Ebenso wie der Ausdruck
2
/&quot;
erweist sich auch jede andere rationale
und
2 (p, ]//i) von p
fL als Quotient zweier Summen von
Quadraten konstruierbarer Funktionen, sobald diese rationale Funktion 2
Y
Funktion
&amp;lt;p
&amp;lt;p
niemals negative Werte anzunehmen bei reellem
die Eigenschaft besitzt,
Parameter
p und
fur beiderlei Vorzeichen
von
]/ f\.
Diese Bemerkung gestattet uns, das eben begonnene SchluBverfahren
Weise fortzusetzen.
Es sei f3 (p, y fa ]/7g) ein solcher Ausdruck, der von den drei Argumenten p, ]//i, V fi i n rationaler Weise abhangt und aus dem bei der
analytischen Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte an dritter
in folgender
,
Stelle die Quadratwurzel zu ziehen
Wie
ist.
vorhin schliefien wir,
daB
Werten p und fur beiderlei Vorzeichen von ]//i
fs
und y /g niemals negative Werte annehmen darf dieser Umstand wiederum
zeigt, daB f3 einer quadratischen Gleichung von der Gestalt
bei beliebigen reellen
;
-%
/;
(P, 1/7;) /3
+^
(
und ^ 2 solche rationale Funktionen von p und
Werte p und beiderlei Vorzeichen von ]//j
Yfi bedeuten,
Werte
nicht
sind.
Da mithin g? 2 und 2 nach der vorigen
negativer
fahig
Bemerkung Quotienten zweier Summen von Quadraten konstruierbarer
Ausdriicke sind, so folgt das gleiche auch fiir den Ausdruck
geniigen
muB, worin
die
cp 2
fiir
reelle
i{;
und mithin
in
ist
auch
3
]//&quot;
mittels Lineals
und EichmaBes konstruierbar.
Die Fortsetzung dieser SchluBweise fiihrt zum Beweise des Satzes 44
betrachteten Falle eines Parameters p.
dem
Die allgemeine Richtigkeit des Satzes 44 hangt davon ab, ob der
Satz 43 in entsprechender Weise sich auf den Fall mehrerer Veranderlicher verallgemeinern laBt.
Hilbert, Grundlagen der Geometrie.
6
82
SchluBwort.
Als Beispiel fiir die Anwendung des Satzes 44 mogen die
regularen
mittels Zirkels konstruierbaren Polygone dienen; in diesem Falle kommt
ein willkiirlicher Parameter p nicht vor, sondern die zu konstruierenden
Ausdriicke
stellen
samtlich
algebraische
daB das Kriterium des Satzes 44
erfiillt
Zahlen
ist,
man
jene regularen Polygone auch allein mittels
und Abtragens von Strecken konstruieren kann
sich auch aus der Theorie der Kreisteilung direkt
Was
aufgaben
weitere
die
und EichmaBes
sieht
ergibt
Ziehens
leicht,
sich,
daB
von Geraden
ein Resultat, welches
entnehmen
lafit.
Elementargeometrie bekannte Konstruktionshier nur erwahnt, daB das Malfattische Problem,
der
anbetrifft, so sei
aber
nicht
aus
Man
dar.
und somit
Appollonische Beriihrungsaufgabe
mittels
allein
Lineals
1
gelost werden kann ).
SchluBwort.
Die vorstehende Abhandlung
ist
eine
kritische
Untersuchung der
Prinzipien der Geometric; in dieser Untersuchung leitete uns der Grundsatz, eine jede sich darbietende Frage in der Weise zu erortern, daB wir
zugleich priiften, ob ihre Beantwortung auf einem vorgeschriebenen Wege
mit gewissen eingeschrankten Hilfsmitteln moglich oder nicht moglich ist.
Dieser Grundsatz scheint mir eine allgemeine und naturgemaBe Vorschrift
zu enthalten; in der Tat wird, wenn wir bei unseren mathematischen
Betrachtungen
unser
einem
Erkenntnistrieb
Probleme
erst
begegnen
dann
oder
befriedigt,
einen
Satz
wenn uns
vermuten,
entweder die
Losung jenes Problems und der strenge Beweis dieses Satzes
gelingt oder wenn der Grund fiir die Unmoglichkeit des Gelingens und
damit zugleich die Notwendigkeit des MiBlingens von uns klar erkannt
worden ist.
So spielt denn in der neueren Mathematik die Frage nach der Un
vollige
gewisser Losungen oder Aufgaben eine hervorragende Rolle
und das Bestreben, eine Frage solcher Art zu beantworten, war oftmals
der AnlaB zur Entdeckung neuer und fruchtbarer Forschungsgebiete. Wir
moglichkeit
erinnern nur an Abels Beweis
Unmoglichkeit der Auflosung der
Grades durch Wurzelziehen, ferner an die Erkenntnis
fiir
die
Gleichungen fiinften
der Unbeweisbarkeit des Parallelenaxioms und an Hermites und Lindemanns
1)
maBes
Betreffs weiterer
vgl.
M. Feldblum,
geometrischer Konstruktionen mittels Lineals und Eich
tjber elementargeometrische Konstruktionen, Inaugural-
dissertation, Gottingen 1899.
Anhang
I:
Gerade Linie
Satze
von der Unmoglichkeit,
Wege
zu konstruieren.
die
als kurzeste
Zahlen
und n
e
83
Verbindung.
auf algebraischem
Der Grundsatz, demzufolge man uberall
keit der
der
die Prinzipien der Moglichhangt auch aufs engste mit der Forderung
der Beweismethoden zusammen, die von mehreren Mathe-
Beweise erortern
,,Reinheit&quot;
matikern
der
Forderung
ist
soil,
neueren Zeit mit Nachdruck erhoben worden ist. Diese
im Grunde nichts anderes als eine subjektive Fassung des
hier befolgten Grundsatzes. In der Tat sucht die vorstehende geometrische
Untersuchung allgemein dariiber AufschluB zu geben, welche Axiome,
Voraussetzungen
trischen
messen
zum Beweise
oder Hilfsmittel
einer
elementar-geome-
Wahrheit notig sind, und es bleibt dann dem jedesmaligen Eranheim gestellt, welche Beweismethode von dem gerade einaus zu bevorzugen
genommenen Standpunkte
Anhang
Uber die gerade Linie
als kiirzeste
ist.
I.
1
Verbindung zweier Punkte ).
Aus Math. Ann. Bd.
46.
(Aus einem an Herrn F. Klein gerichteten Briefe.)
Nebmen wir
so
die Punkte, die
Geraden und die Ebenen
konnen zur Begriindung der Geometric
die folgenden
als
Elemente,
Axiome
dienen:
Die Axiome, welche die Verkniipfung dieser Elemente
untereinander betreffen; kurz zusammengefafit, lauten dieselben
1.
wie folgt:
Irgend zwei
Punkte
A
und
B
bestimmen
stets
eine
Gerade
a.
Geraden gelegene Punkte A, B, C bestimmen
einer Geraden a in einer
zwei Punkte A,
Irgend drei nicht auf einer
B
Wenn
Ebene cc.
Ebene K liegen, so liegt die Gerade a vollstandig in der Ebene a.
Wenn zwei Ebenen a, /3 einen Punkt A gemein haben, so haben sie
Auf jeder Geraden
wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein.
Ebene
in
es
zwei
wenigstens drei nicht
Punkte.,
jeder
gibt
wenigstens
Raume
auf einer Geraden gelegene Punkte, und im
gibt es wenigstens
vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.
2.
Die Axiome, durch welche der Begriff der Strecke
und der Begriff der Reihenfolge von Punkten einer Geraden
eine
dem
allgemeinerer Formulierung dieses Problems vgl. meinen auf
Mathematiker-KongreB in Paris 1900 gehaltenen Vortrag: Mathematische Probleme. Gottinger Nachr. 1900 Nr. 4, sowie G. Hamel, InauguralDissertation, Gottingen 1901 und dessen Abhandlung: tJber die Geometrien, in denen
1) Betreffs
internationalen
die
Geraden die Kurzesten
sind,
Math. Ann. Bd. 57 1903.
6*
84
Anhang
Gerade Linie
I:
als kfirzeste
Verbindung.
Diese Axiome sind von M. Pasch 1 ) zuerst aufeingefiihrt wird.
und
gestellt
systematise!! untersucht worden; dieselben sind im wesentlichen folgende:
Zwischen zwei Punkten A,
C
einen dritten Punkt
gibt es stets einen
C
Punkt
einer Geraden gibt es stets wenigstens
Unter drei Punkten einer Geraden
und nur einen , welcher zwischen den beiden anderen
Wenn A,
liegt.
B
der Geraden.
B
auf der Geraden a liegen, so gibt es stets einen
der namlichen Geraden a, so daB
zwischen
und C liegt. -
B
Irgend vier Punkte
A1} A A A
2
A
einer Geraden a
3)
,
konnen
stets in der
Weise angeordnet werden, daB allgemein A zwischen Ah und Ak liegt,
sobald der Index h kleiner und Jc groBer als i ist. - - Jede Gerade a,
welche in einer Ebene K liegt
trennt die Punkte dieser Ebene a in
zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit: ein jeder Punkt A des einen
Gebietes bestimmt mit jedem Punkt
des anderen Gebietes zusammen
eine Strecke AA
innerhalb welcher ein Punkt der Geraden a liegt; dagegen bestimmen irgend zwei Punkte A und B des namlichen Gebietes
eine Strecke AB, welche keinen Punkt der Geraden a enthalt.
3. Das Axiom der Stetigkeit, welchem ich
folgende Fassung gebe:
Wenn A l} A 2 A3
eine unendliche Reihe von Punkten einer Ge
raden a sind und B ein weiterer Punkt auf a ist, von der Art, daB all
gemein A zwischen A h und B liegt, sobald der Index h kleiner als i ist,
so gibt es einen Punkt (7, welcher folgende Eigenschaft besitzt: sarntliche Punkte der unendlichen Reihe A3} Az A,
liegen zwischen A 1
und C und jeder andere Punkt C fur welchen dies ebenfalls zutrifft,
liegt zwischen C und B.
Auf diese Axiome laBt sich in vollkommener Strenge die Theorie
der harmonischen Punkte griinden, und wenn wir uns derselben in ahnlicher Weise bedienen, wie dies F. Lindemann 2) tut, so gelangen wir zu
i
;
A
}
,
,
.
.
.
i
.
,
.
.
,
folgendem Satze:
Jedem Punkte kann
jeder Ebene
ordnen,
lineare
man
endliche
drei
reelle
Zahlen x, y, # und
eine lineare Relation zwischen diesen drei Zahlen x, y, z zu-
derart,
Relation
daB
alle
Punkte,
erfiillen,
in
fiir
der
welche die drei Zahlen x y, z die
Ebene liegen und daB
}
betreffenden
alien in dieser Ebene gelegenen Punkten Zahlen x, y, z entwelche
der linearen Relation geniigen.
Werden ferner x, y, z
sprechen,
als
die rechtwinkligen
Koordinaten eines Punktes im gewohnlichen
umgekehrt
Euklidischen
lichen
1)
2)
Raume
gedeutet, so entsprechen den Punkten des urspriingeines gewissen nirgends konkaven
Raumes Punkte im Inneren
Teubner 1882.
Vgl. Vorlesungen fiber neuere Geometric.
Vgl. Vorlesungen fiber Geometrie Bd. II. Teil 1; S. 433 u.
f.
Anhang
Korpers
des
I:
Gerade Linie
Euklidischen
Punkten im Inneren
dieses
als kiirzeste
Raumes
85
Verbindung.
urid
umgekehrt entsprechen alien
konkaven
nirgends
Korpers Punkte unseres
urspriinglichen Raumes: unser urspriinglicher Raum ist mithin
Innere ernes nirgends korikaven Korpers des Euklidischen Raumes
auf das
dbgebildet.
unter einem nirgends konkaven Korper ein Korper von
der Beschaffenheit verstanden, daB, wenn man zwei im Inneren des
Korpers
Hierbei
ist
gelegene Punkte miteinander durch eine Gerade verbindet, der zwischen
diesen beiden Punkten gelegene Teil der Geraden ganz in das Innere des
Korpers fallt. Ich erlaube mir, Sie darauf aufmerksam zu machen, daB
diesen hier auftretenden nirgends konkaven Korpern auch in den zahlentheoretischen Untersuchungen von H. Minkowski 1 ) eine
wichtige Rolle
zukommt, und daB H. Minkowski
fiir
dieselben eine einfache analytische
Definition gefunden hat.
Wenn
umgekehrt im Euklidischen Raume ein beliebiger nirgends
konkaver Korper gegeben ist, so definiert derselbe eine bestimmte Geoin
metrie,
welcher
die
genannten Axiome
samtlich giiltig sind: jedem
Punkt im Inneren des nirgends konkaven Korpers entspricht
ein
Punkt
in
jener Geometric; jeder durch das Innere des Korpers gehenden Geraden
und Ebene des Euklidischen Raumes entspricht eine Gerade bezuglich
Ebene der allgemeinen Geometric; den auf der Grenze oder aufierhalb
des nirgends konkaven Korpers gelegenen Punkten und den ganz aufierhalb des Korpers verlaufenden Geraden und Ebenen des Euklidischen
Raumes entsprechen keine Elemente der allgemeinen Geometric. Der
obige Satz fiber die Abbildung der Punkte in der allgemeinen Geometrie
auf das Inn ere des nirgends konkaven Korpers im Euklidischen Raume
somit eine Eigenschaft der Elemente der allgemeinen Geometrie
welche
inhaltlich mit den anfangs aufgestellten Axiomen vollkommen
aus,
driickt
gleichbedeutend
ist.
nun den Begriff der Lange einer Strecke AB in
unserer allgemeinen Geometrie und bezeichnen zu dem Zwecke diejenigen
beiden Punkte des Euklidischen Raumes, welche den Punkten A und B
des urspriinglichen Raumes entsprechen, ebenfalls mit A und B; wir verim Euklidischen Raume iiber A und B
langern dann die Gerade
bis
dieselbe
die
hinaus,
Begrenzung des nirgends konkaven Korpers in den
Punkten X bezuglich Y trifft, und bezeichnen allgemein die Euklidische
Entfernung zwischen irgend zwei Punkten P und Q des Euklidischen
Raumes kurz mit PQ, dann heiBe der reelle Wert
Wir
definieren
AB
YB
1)
Vgl. Geometrie der Zahlen.
XA
Teubner 1896.
86
Anhang
I:
Ldnge der Strecke
die
Gerade Linie
AB
in
als kiirzeste
unserer
ist
Lange stets eine
Es lassen sich leicht
diese
Geometrie.
allgemeinen
XB
XA
TA
YB
Verbindung.
Wegen
&amp;gt;1
positive GroBe.
die Eigenschaften
des
Begriffs
der Lange auf-
zahlen, welche mit Notwendigkeit auf einen Ausdruck der angegebenen
AB
fuhren; doch unterlasse ich dies, damit
Brief nicht allzusehr Ihre Aufmerksamkeit ermiide.
Art fur
Die
aufgestellte
Form el
AB
fur
lehrt
zugleich,
ich durch
diesen
in welcher
Weise
GroBe von der Gestalt des nirgends konkaven Korpers abhangt.
im Inneren des Korpers fest
Halten wir namlich die Punkte A und
und andern nur die Begrenzung des Korpers derart, daB der Grenzdiese
B
punkt
X
ist klar,
A
sich nach
hinbewegt und Y sich
daB jeder der beiden Quotienten
YA
und
folglich
auch der Wert von
AB
dem Punkte
B
so
nahert,
XB
X3
sich vergroBert.
im Inneren des nirgends konkaven Korpers ein Dreieck
Die
Ebene K desselben schneidet aus dem Korper ein
gegeben.
nirgends konkaves Oval aus. Wir denken uns ferner jede der drei Seiten
Es
sei jetzt
ABC
AB, AC,
BC
des
Dreieckes iiber beide
hinaus
Endpunkte
verlangert,
die
bis
sie
Begrenzung des
Ovals
in
beziiglich
denPunktenXund
Y,
U
Z
und
V,
T
und
schneiden; dann konstruieren wir die ge-
raden
Verbindungs-
UZ
und
und verlangern
linien
TV
die-
selben bis zu ihrem
der Geraden
mehr
statt
das Dreieck
XY
des
DurchschnittTF; ihre
mit
Schnittpunkte
bezeichnen wir mit
X
beziiglich
Y
.
Wir
legen nun-
urspriinglichen nirgends konkaven Ovals in der Ebene a
zu Grunde und erkennen leicht, daB in der durch
UWT
Anhang
I:
Gerade Linie
als kurzeste
bestimmten ebenen Geometrie
dieses Dreieck
87
Verbindung.
die
Langen
AC
und lie
die
gleichen sind, wie in der urspriinglichen Geometrie, wahrend die Lange
der Seite
durch die vorgenommene Anderung vergroBert worden ist.
AB
Wir
bezeichnen die neue Lange der Seite
AB
Lange
nun fin-
urspriinglichen
Es
gilt
die
mit
AB;
dann
AB
zum
Unterschiede von der
AB.
ist AB&amp;gt;
Langen der Seiten des Dreiecks
ABC
die
ein-
fache Beziehung
Zum
verhaltnis
ist
X
Y
,
A, D,
D
mit
W
mit C und verlangern diese Gerade bis
AB. Nach dem bekannten Satze vom Doppel-
Beweise verbinden wir
zum Durchschnitt
dann wegen der perspektiven Lage der beiden Punktreihen
und U, A, C, V
TA X D
YD X A
VA UC
VC UA
und wegen der perspektiven Lage der beiden Punktreihen Y, B, D,
und T, B, C, Z ist
~YI&amp;gt;
X D TB
X
ZB YC
ZC TB
Die Multiplikation beider Gleichungen ergibt
TA X B
YB XA
und
diese neue Gleichung beweist
VA UC
VC UA
ZB TC
ZC TB
meine Behauptung.
Aus obiger Untersuchung erkennen Sie, daB lediglich auf Grund der
zu Anfang meines Briefes aufgezahlten Axiome und der aus den einfachsten Eigenschaften des LaDgenbegriffs sich mit Notwendigkeit ergebenden Definition der Lange der allgemeine Satz
In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seiten
gilt:
grofier oder gleich der
dritten Seite.
daB der Fall der Gleichheit dann und nur dann
Ebene a aus der Begrenzung des nirgends konkaven
Die
Korpers zwei gerade Linienstiicke VZ und TV ausschneidet.
des
kon
letztere Bedingung laBt sich auch ohne Zuhilfenahme
nirgends
kaven Korpers ausdriicken. Sind namlich irgend zwei in einer Ebene a
a und 6
gelegene und in irgend einem Punkte C sich schneidende Geraden
Zugleich
ist
vorkommt, wenn
klar,
die
der urspriinglichen Geometrie gegeben, so werden im allgemeinen in jedem
der vier in a um C herum entstehenden ebenen Winkelraume solche
und 6
gerade Linien vorhanden sein, welche keine der beiden Geraden a
schneiden; sind jedoch insbesondere in zwei sich gegeniiberliegenden
88
Anhang
II:
Gleichheit der Basiswinkel
im gleichschenkligen Dreieck.
ebenen Winkelraumen keine solchen geraden Linien vorhanden, so
fragliche
Summe
Bedingung
erfullt,
und
es gibt
zweier Seiten gleich der dritten
dann
ist.
ist die
Dreiecke, fur welche die
In dem betrachteten Falle ist
stets
also zwischen gewissen Punkten A und ]B ein aus zwei geradlinigen Stiicken
zusammengesetzter Weg moglich, dessen Gesamtlange gleich der direkten
Entfernung der beiden Punkte A und
ist; es lafit sich ohne Schwierig-
B
keit
zeigen, daB
alle
zwisclien
Wege
den beiden Punkten
A
und
J5
von
derseTben Eigenschaft sich aus den konstruierten
Wegen zusammensetzen lassen
und daft die ubrigen Verbindungswege von groflerer Gesamtlange sind. Die
nahere Untersuchung dieser Frage nach den kiirzesten Wegen ist leicht
bietet ein besonderes Interesse in dem Falle, daB fur die
des
Begrenzung
nirgends konkaven Korpers ein Tetraeder zu Grunde gewird.
legt
ausfiihrbar
und
Zum SchluB erlaube ich mir darauf hinzuweisen, daB ich bei der
vorstehenden Entwickelung stets den nirgends konkaven Korper als ganz
im Endlichen gelegen angenommen habe. Wenu jedoch in der durch die
urspriinglichen Axiome definierten Geometrie eine Gerade und ein Punkt
vorhanden
ist
von der Eigenschaft, daB durch diesen Punkt zu der Ge
raden nur eine einzige Parallele moglich ist, so ist jene Annahme nicht
Es wird leicht erkannt, welche Abanderungen meine Begerecbtfertigt.
trachtung dann zu erfahren hat.
Kleinteich
bei Ostseebad Rauschen, den 14.
Anhang
Uber den Satz von der
August 1894.
II.
der Basiswinkel im gleichschenkligen
Dreieck.
Grleichheit
[Mit Zusatzen abgedru^kt aus den Proceedings of
Vol.
XXXV,
the
London Mathematical
Society,
Nos. 793, 794.]
Unter der axiomatisclien Erforschung einer mathematischen Wahrheit
verstehe ich eine Untersuchung welche nicht dahin zielt, im Zusammen,
hange mit jener Wahrheit neue oder allgemeinere Satze zu entdecken,
sondern die vielmehr die Stellung jenes Satzes innerhalb des Systems der
bekannten Wahrheiten und ihren logischen Zusammenhang in der Weise
klarzulegen sucht, daB sich sicher angeben laBt, welche Voraussetzungen
zur Begriindung jener Wahrheit notwendig und hinreichend sind.
So habe ich beispielsweise in meiner Festschrift G-rundlagen der Geo
metrie Kap.
V
und VI
(S.
47
73) die ebenen Schnittpunktsatze, namlich
Anhang
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
II:
89
den speziellen Pascalschen Satz fiir das Geradenpaar und den
Desarguesschen Satz von den perspektiv liegenden Dreiecken einer axiomatischen
Untersuchung unterworfen, und in gleicher Weise haben auf meine An1
regung hin M. Dehn ) den Satz von der Winkelsumme im Dreieck und
G. Hamel^) den Satz von der Geraden
zwischen zwei Punkten behandelt.
als
der
kurzesten Verbindung
Die vorliegende Note
betrifft die Stellung des Satzes von der Gleich
im gleichschenkligen Dreieck in der ebenen Euklidischen Geometrie. Zur Erleichterung des Verstandnisses stelle ich - - im
wesentlichen wie in meinen Grundlagen der Geometrie
die Axiome der
heit der Basiswinkel
ebenen Euklidischen Geometrie zusammen wie folgt:
I.
I
1.
stimmen
I 2.
Axiome der Verkniipfung.
Zwei von einander verschiedene Punkte A,
B
be-
stets eine Gerade.
Irgend zwei von einander verschiedene Punkte einer
Geraden bestimmen diese Gerade.
Auf
jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte.
gibt wenigstens drei Punkte, welche nicht in einer Ge
I 3.
Es
raden liegen.
Axiome der Anordnung.
Wenn A, B, C Punkte einer Geraden
II.
II 1.
zwischen
II 2.
A
und C liegt, so liegt auch
Wenn A und B zwei Punkte
sind,
zwischen
C
und
B
und A.
einer Geraden sind, so
gibt es wenigstens einen Punkt C, der zwischen A und B liegt,
und wenigstens einen Punkt D, so daB B zwischen A und D liegt.
II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets
einen und nur einen Punkt, der zwischen den beiden anderen
liegt.
Definition.
Die zwischen zwei Punkten
A
und
B
gelegenen Punkte
AB.
heiBen auch die Punkte der Strecke
Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene
Punkte und a eine Gerade, die keinen der Punkte A, B, C trifft;
wenn dann diese Gerade durch einen Punkt der Strecke AB
geht, so geht sie gewiB auch durch einen Punkt der Strecke
II 4.
BC
1)
oder der Strecke
Mathematische Annalen, Bd.
AC
LIII,
oder
BA.
1900.
Inaugural-Dissertation, Gottingen 1901, und dessen Abhandlung: tTber die
Geometrieen, in denen die Geraden die Kurzesten sind, Math. Ann. Bd. 57, 1903,
2)
90
Anhang
II:
im gleichschenkligen Dreieck.
Gleichheit der Basiswinkel
Axiome der Kongruenz.
III.
Ill
Wenn A,
1.
em Punkt
B
A
zwei Punkte der Geraden a sind, und
ist, so kann man auf einer gege-
Geraden a
einer
benen Halfte der Geraden a
einen Punkt
B
kongruent oder gleich
Jede Strecke
1st;
sich selbst kongruent,
ist
Wenn
auch der Strecke
Strecke
aus stets einen und nur
AB der Strecke A B
in Zeichen
AB = AB
Ill 2.
A
von
finden, so daB die Strecke
A&quot; B&quot;
und
AB
die Strecke
A
es ist stets:
sowohl der Strecke
kongruent
B&quot;
d. h.
AB = BA.
ist,
so ist auch
AB
AB
als
der
kongruent.
AB
und BC zwei Strecken ohne gemeinund
ferner A B und B C zwei Strecken
a,
ohne gemeinsame Punkte auf einer Geraden a wenn dann
A B und BC B C
Es
Ill 3.
seien
f
same Punkte auf
]
=
AB =
,
so ist auch stets:
ist,
AC = AC
.
Ein von einem Punkte ausgehendes Paar von HalbWinkel und bezeichnen ihn entweder mit
Definition.
strahlen A, k nennen wir einen
(h, *)
oder
-
(ft,
h).
Es
Ill 4.
Winkel
sei ein
^C
(/*, ti),
eine Gerade a
und
,
eine
bestimmte Seite von a gegeben. Es bedeute h einen Halbstrahl
der vom Punkte
der Geraden a
ausgeht: dann gibt es
,
einen und nur einen Halbstrahl &
*(M)
ist
auf
und zugleich
der
*&amp;lt;#:*)
inneren Punkte
alle
gegebenen
so daB
,
Seite
von a
des Winkels
&amp;lt;
(//,
Jeder Winkel
liegen.
A;
)
ist
sich selbst kongruent, d. h.
Ill 5.
als
Wenn ein Winkel
auch dem Winkel
Winkel
HI
^ (h
6*.
,
k
}
Wenn
&amp;lt;^
&amp;lt;;
(A&quot;,
(h,
sowohl dem Winkel
kongruent
fc&quot;)
dem Winkel
fiir
ti)
;
(A&quot;,
zwei Dreiecke
Kongruenzen
AB = A B
gelten, so gilt
,
AC = AC
auch
und
stets
:AB
C
und
A;&quot;)
ist,
^
(h ,
so ist auch der
k&quot;)
kongruent.
ABC
und
J.
5
C
^ BAG = ^ B A C
die
Anhang
Es
II:
nun
ist
Gleichheit der Basiswinkel
im gleichschenkligen Dreieck.
fur die nachfolgende Untersuchung wesentlich,
Kongruenzaxiom, namlich dem Axiom
eine engere Fassung zu erteilen, indem wir
dem
91
letzten
III 6* iiber die
Dreieckskongruenz
Aussage desselben nur fiir
die
Um
diesen einDreiecke mit gleichem Umlaufssinn als giiltig hinstellen.
schrankenden Zusatz scharf zu formulieren, nehmen wir irgend eirie durch
A B
bestimmte Gerade in der Ebene beliebig an, und bezeichnen eine der beiden Halbebenen, in die diese Gerade die Ebene teilt,
in der Richtung von A nach B, und
als rechts von der Geraden
zwei Punkte
}
AB
BA
B
in der Richtung von
dieselbe Halbebene zugleich auch als links von
nach A, die and ere Halbebene bezeichnen wir als links von der Geraden
und zugleich als rechts von der Geraden BA gelegen. Ist nun
irgend ein Punkt auf der rechten Halbebene von AB, so bezeichnen wir
die linke
diejenige Halbebene von A C, auf welcher der Punkt B liegt, als
Halbebene von AC. Auf diese Weise konnen wir durch analoge Festsetzungen schlieBlich in eindeutig bestimmter Weise fiir jede Gerade andieser Geraden in gegebener
geben, welche Halbebene rechts oder links von
Richtung gelegen ist. Zugleich wird von den Schenkeln irgend eines
Winkels in eindeutig bestimmter Weise stets der eine als der rechte
AB,
&amp;gt;C
Schenkel und der andere
als der linke
Schenkel zu bezeichnen
nam
sein,
Halbebene von derjenigen
nach Lage und Richtung
anderen
Schenkel
Geraden liegt, die durch den
bestimmt ist, wahrend der linke Schenkel links von derjenigen Geraden
lich so, daB der rechte Schenkel auf der rechten
durch den ersteren
die
liegt,
stimmt
und
und
und Richtung be
Aussage des Axioms III 6* nur dann
und A B
den beiden Dreiecken die Seiten
Stellen wir
hin,
Schenkel nach Lage
ist.
wenn
AC
in
nun
die
AB
als gtiltig
AC
BAG
bez.
der Winkel
zugleich die rechten bez. die linken Schenkel
der
in
wir
Axiom
erhalten
so
engeren
folgenden
jenes
sind,
BA C
Fassung:
III 6.
Wenn
fiir
zwei Dreiecke
ABC und A B
C
Kon-
die
gruenzen
AB = A B
gelten, so gilt
,
AC = AC
auch
und
&amp;lt;
BA C ==
&amp;lt;
BA
C
stets
ACB = A C B
ABC = 3:A B C und
AC und
vorausgesetzt, daB AB und A B die rechten Schenkel,
AC die linken Schenkel der Winkel BAG bez. B A C sind.
&amp;lt;
,
Das
letzte
in seiner urspriinglichen weiteren Fassung III 6* hat
von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen
Axiom
sofort den Satz
Dreieck zur Folge.
dieses Satzes
vom
zu erkennen, daB umgekehrt mit Hilfe
gleichschenkligen Dreieck aus jenem Kongruenzaxiom
Auch
ist leicht
92
II:
Anhang
in der engeren
III
im gleichschenkligen Dreieck.
Gleichheit der Basiswinkel
III 6
Fassung
und den vorangehenden Axiomen das Axiom
6* in der weiteren Fassung notwendig folgt.
Das engere Axiom III 6 zusammen mit den fruheren Axiomen
III 5
III 1
den Nachweis
gestattet
I,
II,
Satzes von der Gleichheit der
des
und der Moglichkeit der Halbierung
Scheitelwinkel
einer jeden Strecke,
des Euklidischen Satzes, daB der AuBenwinkel eines
Dreiecks stets groBer ist als jeder der beiden inneren Winkel.
sowie
den Beweis
IV.
Axiom
der Parallelen (Euklidisches Axiom).
Durch einen Punkt
A
auBerhalb einer Geraden a laBt sich
nur eine Gerade ziehen, welche a nicht schneidet.
Der Satz von der Gleichheit der Wechselwinkel, und mithin auch der
Satz, daB die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte betragt, folgen aus
dem Parallelenaxiom mit
wir das
Grunde
letzte
Hilfe der vorangehenden Axiome, auch wenn
Kongruenzaxioni nur in der engeren Fassung III 6 zu
legen.
Axiome der
V.
V
1.
Axiom
Es
Stetigkeit.
des Messens (Archimediscbes Axiom).
A
Punkt auf einer Geraden zwischen
A und B] man konstruiere
dann die Punkte A2 A 3 A,
so daB At zwischen A und
A2 ferner A2 zwischen A und A3 ferner A3 zwischen A2 und
A u. s. w. liegt, und iiberdies die Strecken
sei
ein beliebiger
1
den beliebig gegebenen Punkten
,
.
.
,
,
.
,
,
einander gleich sind: dann gibt es in der Reihe der Punkte
einen solchen Punkt
zwischen
z,
3,
n , daB
A A A,
stets
und
A
An liegt.
.
.
A
.
V
2.
Axiom
B
der Nachbarschaft.
AB
irgend eine Strecke
vorgelegt, so gibt es stets ein
zu
in
dessen
Innerem
keine
Dreieck,
kongruente Strecke
Ist
AB
sich finden laBt.
Dieses
Axiom
der Nachbarschaft
ist
eine notwendige Folge aus
dem
Satze von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreiecke,
wie man aus dem Umstande erkennt, daB wegen dieses Satzes vom gleich
schenkligen Dreieck die
Summe
zweier Seiten in jedem Dreiecke groBer
als die dritte Seite ausfallt.
stelle nun folgende Behauptung auf:
Mit Benutzung der sdmtlichen Axiome I V ist es moglich, den Satz
von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck zu beweisen,
Ich
Anhang
II:
Gleichheit der Basiswinkel
im gleichschenkligen Dreieck.
93
auch wenn wir das Axiom von der Dreiecksltongruenz nur in der
engeren
Fassung III 6 zu Grunde legen.
Um
Achsen
dies
einzusehen, wahlen wir zwei sich schneidende Gerade als
und ordnen den Punkten
Geraden auf Grund der linearen Kongruenzaxiome III 1 3 und
des Archimedischen Axioms Y. 1 reelle Zahlen zu; die sarntlichen Punkte
eines schiefwinkligen Koordinatensystems,
dieser
der Ebene sind dann durch Zahlenpaare darstellbar.
Das engere Kongruenzaxiom III 6 zusammen mit
die Begriindung der Proportionenlehre,
und aus
V
dieser folgt, daB die
raden durch lineare Gleichungen darstellbar sind.
Fassen wir nun den Punkt mit den Koordinaten x
Auge, wo
s eine beliebige
GroBe
1 gestattet leicht
=1
und y = s
Ge
ins
und betrachten
ist,
diejenige Kongruenz
Ebene mit sich im engeren Sinne, bei welcher der Koordinatenanfang
sich selbst und die ,r-Achse der Verbindungsgeraden des
Koordinatenanfanges
mit jenem Punkte 1 s entspricht, so erkennen wir leicht, daB diese Drehung
der
,
durch ein Formelsystem von der Gestalt
vermittelt wird, worin
bestimmt
cc
s
,
fi s ,
ys ds Zahlen bedeuten, die durch s eindeutig
einer jeden Geraden durch den Koordi
,
Indem wir nun
sind.
=
1 zuordnen, ernatenanfang ihren Treffpunkt (1, f) mit der Geraden x
halten wir zu jeder solchen Drehung der Ebene um den Koordinaten
anfan eine Transformation der Punkte der Geraden x=-\ von der Gestalt
Die Koeffizienten
alle rationalen
cc
t
,
fis ,
y s , d g bezeichnen Funktionen von
Werte von
s definiert sind;
man
sieht
s ; die sicher fiir
dann
leicht ein ;
daB
Funktionen sich nach dem Prinzip der Stetigkeit so ergiinzen lassen
miissen ; daB man aus ihnen stetige und fiir alle reellen Werte von 5,
diese
sowie
fiir
schehen
eine
s
ist,
=
oo eindeutig definierte Funktionen erhalt.
so liefert die Formel
Gruppe von linearen Transformationen,
die
Wenn
das ge-
gewiB folgende Eigen-
schaften besitzt:
Es
gibt auBer der Identitat keine Transformation
welche einen Wert der Variabeln t festlaBt.
1.
Es gibt stets
gebenen Wert von t
2.
Variabeln uberfiihrt.
der
eine Transformation der Gruppe, welche
in
irgend einen
Gruppe,
einen ge-
anderen bestimmten Wert
dieser
94
Anhang
II:
Grleichheit der Basiswinkel
im gleichschenkligen Dreieck.
In meiner Abhandlung uber die Grundlagen der Geometrie 1 ) ( 18)
habe ich bewiesen, daB eine Gruppe mit diesen Eigenschaften notwendig
holoedrisch-isomorph ist mit der Gruppe der gewohnlichen Drehungen
eines Kreises in sich, und folglich auch mit derjenigen Transformationsgruppe, die durch die Formel
y ,_ ST+1
-T+S
dargestellt wird, wo T, T die Variabeln und S den Parameter bedeutet.
Hieraus konnen wir nun entnehmen, daB die obige Gleichung zwischen
T und T so gelost werden kann, daB wir
_~ C+DT
,
_~ C+DT
wobei A, B, C,
der Formeln
setzen,
D
BF
A
BT&amp;gt;
Konstante bedeuten.
Fiihren wir dann mittels
y=CX+DY
statt der
Koordinaten
bestimmten Drehung
T
Koordinaten X,
ein, so entspricht einer
uni den Koordinatenanfang die Formel
x, y die
T _X
~ + SY
X
und bieraus entnehmen wir
C
die
SXY&amp;gt;
Drehungsformeln
von S abhangige GroBe bezeichnet.
Unter Zuhilfenahme des Axioms der Nachbarschaft V 2 folgt, daB
Determinante dieser eine Drehung vermittelnden Transformations-
wobei
die
t
eine
formeln notwendig
=
1
sein
muB; mithin
fi
\j
_
rm
l/l
und
X,
y
die
Gruppe der Drehungen
wie folgt dar:
Y =
S
yv
Y=
Aus
diesen
ist
1
+S
stellt
~
.
8
daher in den Koordinaten
sich
X
^\-
X+
Formeln entnehmen wir
die
Y.
Giiltigkeit
aller
Tatsachen
der
Satz von der
gewohnlichen Euklidischen Geometrie und insbesondere den
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
1)
Mathematische Annalen 1903.
Anhang IV
S.
143145.
Anhang
II:
Gleichheit der Basiswinkel
im gleichschenkligen Dreieck.
95
Wir haben im vorstelienden kurz den Beweis dafiir angedeutet,
dafi
O
das Axiom von der Dreieckskongruenz im weiteren Sinne III 6* eine
Folge dieses Axioms im engeren Sinne III 6 ist, wenn man die Stetig/
V
keitsaxiome
1
Numnehr
V
und
1
V
und
V
2 zu Hilfe nimmt.
entsteht die Frage, ob aucti ohne die Axiome der Stetigkeit
die weitere Fassung des Axioms von der Dreieckskongruenz
2
sicti als eine notwendige Folge der engeren Fassung desselben
Die
ergibt.
nachfolgende Untersuchung wird zeigen, daft dies nicht der Fall ist, sclbst
dann nicht, wenn man nodi die Proportionenlelire als gultig voraussetzt. Die
zu diesem Zwecke im folgenden konstruiere, beantwortet
nicht nur die eben aufgeworfene Frage, sondern verbreitet uberhaupt, wie ich
Geomel/rie, welche ich
glaube, uber den logischen
Zusammenhang
des Satzes
vom
gleichschenkligen
mit den anderen in Setracht kommenden elementaren Sdtzen der
Dreieck
ebenen Geometric neues Licht.
Es
und a irgend ein Ausdruck mit
lichen oder unendlichen Gliederzahl von der Gestalt
sei
t
ein Parameter
mogen a
darin
(=f=
a lf
0),
2
.
.
.
,
von
driicke
dieser Gestalt a sehen wir als ein
indem wir folgende Festsetzungen
an,
und n
beliebige reelle Zahlen bedeuten
eine beliebige ganze rationale Zahl
(^= Oj.
sei
einer end-
Die Gesamtheit
aller
Aus-
komplexes Zahlensystem
Man
treffen.
T
addiere, subtrahiere,
irgend welche Zahlen des Systems T, als waren
sie gewohnliche Potenzreihen, die nach steigenden Potenzen der Variabeln t
fortschreiten. Die entstehenden Summen, Differenzen; Produkte und Quomultipliziere
tienten
7
dividiere
sind dann
wiederum Ausdriicke von der Gestalt
K,
und mithin
oder
Zahlen des komplexen Zahlensystems T. Eine Zahl a in T heifie
Koeffizient
nachdem
in
dem
a
der
erste
Ausdrucke
betreffenden
0, je
&amp;lt;
&amp;gt;
oder
&amp;lt;
Systems
des komplexen
, /3
irgend zwei Zahlen
nachdem a
bez. a
|3
/3 7 je
vorgelegt, so heifie a
/3
&amp;gt;
T
ausf allt.
Sind
&amp;lt;
&amp;lt;
&amp;gt;
Es leuchtet ein, dafi bei diesen Festsetzungen alle
formalen Regeln und Gesetze, wie bei den gewohnlichen reellen Zahlen,
gultig sind; dagegen gilt fur unser System T das Archimedische Axiom
oder
ausfallt.
&amp;gt;
nicht, da ja, wie groB auch die positive reelle Zahl
At
&amp;lt;
1
bleibt; unser
komplexes Zahlensystem
T
A
gewahlt
stets
sei,
ist ein Nicht- Archimedi-
sches System.
K, fi irgend zwei Zahlen des Systems T,
Einheit
]/
1, so heifie
imaginare
Sind
y
eine imaginare
= a + */3
Zahl zum komplexen System T,
und bedeutet
i
die
96
Anhang
im gleichschenkligen Dreieck.
Gleichheit der Basis winkel
II:
Ausdruck von der Gestalt
1st ferner T ein
=a
r
wo
(4=0), ai} a2
niedrigsten Potenz von
.
,
.
.
t
n
n
+
ai
+
1
-f
a^+
2
----
-\
,
Zahlen bedeuten und der Exponent n der
reelle
t
t
positiv ausfallt, so heiBe T eine unendlicli kleine
Zahl des Jwmplexen Systems T.
Offenbar laBt sich stets die unendliche Reihe
(*
J.
1
+
(1
&amp;gt;
,
~TT~
+ *)***
,
~2!~
(1
+ i)**
3
,
~3!~
nach steigenden Potenzen von t ordnen, und stellt dann eine imaginiire
Zahl zum komplexen System T dar; wir bezeichnen diese imaginare Zalil
mit e^ + O*. 1st dann noch & irgend eine gewohnliche reelle Zahl, so
setzen wir
Nunmehr
T
konstruieren wir mit Hilfe des komplexen Zahlensystems
eine ebene Geometrie wie folgt:
Wir denken uns ein Paar von Zahlen (x, y) des Systems
als einen
Punkt und die Verhaltnisse von irgend drei Zahlen (u v: w) aus T, falls
u, v nicht beide
sind, als eine Gerade; ferner moge das Bestehen der
T
:
Gleichung
ux
ausdriicken, daB der
Punkt
+ vy + w
(x, y)
auf der Geraden (u
:
v
:
w)
liegt.
Beriicksichtigen wir die obige Festsetzung, derzufolge die Zahlen in T
sich ihrer GroBe nach anordnen lassen, so konnen wir leicht solche Fest-
unsere Punkte und Geraden treffen, daB auch die Axiome II
der Anordnung samtlich erfiillt sind.
In der Tat, stellen (xlf y^, (x2 , 7/2 ),
setzungen
(
x
s&amp;gt;
fiir
irgend welche Punkte auf einer Geraden dar, so moge dies
auf der Geraden sein, wenn die Zahlen xlf X2 , X3 ,
2/a);
ihre Reihenfolge
oder
bez.
2/ 1; i/ 2
,
?/ 3 ,
wachsen;
nung II. 4 zu
.
...
um
in
dieser
Reihenfolge
.
Axioms
der
Anord
haben wir nur notig festzusetzen, daB
alle
Punkte
ferner die Forderung des letzten
erfiillen,
.
entweder bestandig abnehmen
fiir die ux
w kleiner oder groBer als ausfallt, auf der
vy
einen bez. auf der anderen Seite der Geraden (u :v w) gelegen sein sollen.
Wenn zwei Punkte A,
beide zugleich entweder auf der #-Achse
(x, y},
+
+
:
B
oder auf der ^/-Achse liegen, so nennen wir die absolute Differenz der
Abszissen bez. der Ordinaten dieser beiden Punkte ihre Entfernung oder
auch die L ange der durch sie bestimmten Strecke. Nunmehr definieren
wir das Abtragen von Strecken und Winkeln durch die Parallelverschiebungen und Drehungen der Ebene in sich wie folgt. Die Parallelverschie-
bung wird durch
eine Transformation
#
von der Gestalt
=x+
Anhang
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
II:
x
oder
worin
vermittelt,
in
+
= x -f
iy
iy
-f- oc -\-
97
ifi
Zahlen in T, nanilieh die Projektionen der ParallelRichtung der Achsen sind. Die Drehung der Ebene um
a,
/3
verschiebung
den Koordinatenanfangspunkt
x
+
(0, 0)
werde durch
= ei9+ ^ +
iy
+
i
^(x
die
Formel
iy)
O irgend eine reelle Zahl bedeutet, und T irgend eine
unendlich kleine Zahl im komplexen System T bedeutet; -fr -f- r heiBe der
vermittelt, worin
1
Drehungswinkel dieser Drehung.
Zunachst ist klar, daB bei alien Verschiebungen und Drehungen der
Ebene jede Gerade wiederum in eine Gerade ubergeht, und zugleich die
Anordnung der Punkte auf
einer Geraden sowie ihre
Lage zu den Geraden
ebenfalls unverandert bleibt.
Es
seien
nun
(x, y)
und (x y
}
,
irgend zwei
vom
Koordinatenanfangs
Die Punkte der Yerbindungsgeraden von
punkt verschiedene Punkte.
(x ,y } mit dem Koordinatenanfangspunkt werden durch die Koordinaten
worin fi irgend eine Zahl des komplexen Systems T
wollen nun zeigen ; daB es stets eine Drehung um den
Koordinatenanfangspunkt gibt, durch welche der Punkt (x, y) in einen
px jpy
dargestellt,
Wir
bedeutet.
Punkt jener Verbindungsgeraden
Zu dem Zwecke untersuchen
iibergeht.
wir die Gleichung
Durch Division mit der konjugiert imaginaren Gleichung
x
x
iy
folgt
iy
oder
+ *)
e Si(
= | + i^
worin
.
.
j.
| 4-
tv
= x-
iy
z.
x-\- ly
gesetzt
Wegen
ist.
.
x
x
-\-iy
y
%y
+ n* = i
T sind, bei
2
I
daB
solche Zahlen in
deren Darstellung durch t die
der
Potenzen
von
i
sind, und mindestens einer
niedrigsten Exponenten
derselben
ausf allt. Wir konnen mithin setzen
folgt,
i,
r\
^
=
a, b gewohnliche reelle Zahlen mit der Quadratsumme 1 und
unendlich kleine Zahlen in T bedeuten.
worin
Die
reelle
Zahl
&
ist
durch die Gleichung
e
Hilbert, Grundlagen der Geometric.
t*
*=a
+
ib
7
,
98
Anhang
bis auf ganze Vielfaclie
in
T
im gleichschenkligen Dreieck.
Gleichheit der Basiswinkel
II:
von n
und
}
ferner T
als
unendlicb kleine Zahl
durch die Gleichung
a-\- ib
bestimmt.
eindeutig
vollig
spriinglicbe Gleichung folgt
Nacb Einsetzung von % und
p eindeutig
in
T
die
ur-
Wir sehen
eine Zahl in T.
als
daB es stets eine Drehung von der gewiinschten Beschaffenheit
und
daB diese Drehung bis auf Drehungen um den Winkel n ein
gibt,
daraus,
deutig bestimmt
ist.
Nunmehr nennen wir
irgend welche Strecken und Winkel einander
oder
sobald
es gelingt, dieselben durch Verschiebungen
kongruent
gleich,
und Drehungen der Ebene miteinander zur Deckung zu bringen. Unsere
obige
sind,
Entwicklung zeigt dann, daB die samtlichen Axiome III erfiillt
wobei das letzte Kongruenzaxiom im engeren Sinne III 6 zu ver-
stehen
Auch
ist.
gilt,
der Formel fur die
das
Axiom V 2
Wir fassen
wie
man
sieht,
das Parallelenaxiom IV, und aus
leicht ersehen werden, daB auch
Drehung kann ferner
der Nachbarschaft in unserer Geometrie giiltig
dies wie folgt
ist.
zusammen:
In unserer Geometrie gelten die samtlichen oben aufgestellten Axiorne
der gewohnlichen ebenen Geometrie
Axioms
V
1,
so jedoch, daB das
in der engeren
Wir
leiten
mit Ausnahme
Axiom
iiber die
III 6 zu verstehen
des Archimedischen
Dreieckskongruenz dabei
ist.
Fassung
noch einige weitere Satze ab,
die in unserer Geometrie
giiltig sind:
In unserer Geometrie gibt es einen rechten Winkel,
liebige
Winkel
In der Tat,
Drehung
um
ist
in
be-
halbierbar.
ist
I
und jeder
gewiB ein rechter Winkel, weil derselbe bei einer
seinen Nebenwinkel
daB,
wenn &
iibergeht.
Ebenso leuchtet
-f r einen beliebigen
Winkel
die Halfte desselben
deutet, 2 -f -$
2
Wir
fiihren
nun den
ein,
be-
ist.
Begriff der Spiege-
lung an einer Geraden a wie folgt ein. Fallen
auf irgend
wir von irgend einem Punkte
eine Gerade a das Lot und verlangern dieses
A
um
sich selbst
bis
A
,
iiber
so heiBe
Wir wahlen
A
den FuBpunkt
B
hinaus
der Spiegelpunkt von A.
zur Geraden a die
zunachst
#-Achse und fur A einen Punkt im positiven Quadranten mit den Koordinaten K /3.
Der Winkel
zwischen dem Halbstrahl OA und der
}
AOB
Anhang
positiven #-Achse sei
#-Achse
im gleickschenkligen Dreieck.
Grleichheit der Basiswinkel
II:
&
+
r,
um
bei der Dreliung
99
und zwar rnoge der Punkt x = y auf der
den Winkel # + T in den Punkt A iiber-
gehen; so da6
wird.
Der Spiegelpunkt
hat die Koordinaten ce,
Winkel
die
+
&amp;lt;0-
A
des
Punktes
Fiihren
/3.
A
Bezug auf
in
wir mithin
A
dem Punkte
r aus, so entsteht aus
die
#-Achse
die
um
Drehung
den
ein Punkt, der durch
imaginare Zahl
dargestellt wird ?
ist
folglich
mithin
h.
d.
der entsprechende Punkt
A OB ebenfalls
A OB iiberein.
Winkel
Winkel
der
mit dem
gleich
Wir
auf der #-Achse;;
liegt
-9-
-)-
und
T,
sprechen
stimmt
Resultat
dies
wie folgt aus:
Wenn
in
zwei symmetrisch liegenden rechtwinkligen Dreiecken die
beiden Katheten iibereinstimmen, so sind auch die entsprechenden Winkel
an der Hypotenuse einander
gleich.
Wir folgern hieraus zugleich den allgemeineren Satz:
Im Spiegelbilde einer Figur stimmen die Winkel stets mit den
ent
sprechenden Winkeln der urspriinglichen Figur
Es sei a irgend eine Gerade durch den Anfangspunkt 0, und
-f- T
dann erhalt man zu dem
sei der Winkel zwischen a und der #-Achse:
iiberein.
&amp;lt;fr
Punkt (x y) den Spiegelpunkt in Bezug auf die Gerade a,
T dreht
sodann
indem man die Ebene zunachst um den Winkel
&
an der #-Achse spiegelt, und schliefilich die Ebene um den Winkel
+r
beliebigen
}
;
-9-
Die Ausfiihrung dieser Operationen
der imaginaren Zahl x + iy die Zahlen
dreht.
liefert
der Reihe nach aus
mithin wird die Spiegelung an der Geraden a durch die Formel
x
+ iy =
e
2
(^+ f
)
(x
iy)
fur den Spiegelpunkt vermittelt.
Nun mogen
und
-ih
i
+
T,L
bez.
a lt a 2 ebenfalls zwei Gerade durch den Anfangspunkt
^ 9 + r 9 die Winkel bedeuten. die diese Gerade mit der
m
ic-Achse einschliefien.
*
M
Fiihren wir der Reihe nach die Spiegelungen an
aus so w
die entsprechende Transformation des
^
den Geraden a, alf 2
Punktes (x, y) durch die Formel
&amp;gt;
x
vermittelt,
+ iy = c
2
(+*-*, + ^+*-*i+&amp;lt;) (x
iy)
und hieraus entnehmen wir das folgende Resultat:
7*
100
Anhang
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
II:
Wenn man
an irgend drei durch einen Punkt
gehenden Geraden
nacheinander die Spiegelung ausfiihrt, so 1st die dann entstehende Transformation der Ebene wiederum eine Spiegelung.
Aus diesem Satze beweisen wir leicht die weiteren Satze:
Die Mittelsenkrechten auf den drei Seiten eines Dreieckes
sich in
Wenn
in
einem Yierecke
ABCD
ohne
ACB und ADS ubereinstimmen,
BDC einander gleich.
Winkel
und
treffen
einem Punkt.
einspringende
so sind auch die
Ecken
Winkel
die
BAG
Die genannten Satze geniigen, urn die Proportionenlehre ohne Hilfe
vom gleichschenkligen Dreiecke zu begriinden: man hat nur
des Satzes
den in meiner Festschrift Grundlagen der Geometric (
14 16)
dargelegten Beweis in geeigneter Weise abzuandern, was leicht geschehen
kann.
Wir erkennen hieraus, daB es zur Begriindung der Proportionen
notig,
lehre in der ebenen Euklidischen Geometric nicht des
vollstandigen
von der Dreieckskongruenz im weiteren Sinne
Axioms
6* bedarf, sondern daB
dazu diejenigen Bestandteile dieses Axioms hinreichen, die in den eben
genannten Satzen enthalten sind.
III
Der Fundamentalsatz der Proportionenlehre
lautet:
Schneiden zwei Parallele auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels
die Strecken a, b bez. a, V ab ; so gilt die Proportion
a :b
und
=a
:b
.
Umgekehrt, wenn vier Strecken a, 6, a, b diese Proportion erfiillen,
a, a und b } b je auf einem Scheitel eines beliebigen Winkels ab-
getragen werden, so sind die Verbindungsgeraden der Endpunkte von a, b
bez. von a, b einander parallel.
Dieser Satz konnte auch direkt aus dem Umstande abgeleitet werden,
daB in unserer Geometric die Geraden durch lineare Gleichungen definiert
sind, und zugleich erkennen wir hieraus diese Tatsachen:
In unserer Geometric gelten die Schnittpunktsatze von Pascal und
Desargues, und daher iiberhaupt alle Satze der projektiven Geometric.
Wir kommen nun
metrie
der
Dreieckes
Satz
zu der wesentlichsten Frage, ob in unserer GeoGleichheit der Basiswinkel des gleichschenkligen
von der
gilt.
Zum Zwecke
dieser
Untersuchung
sei
a eine
Gerade
Koordinatenanfang 0, die mit der #-Achse den Winkel
ferner sei
ein Punkt auf a so, daB die Strecke
A
sei
der Spiegelpunkt von
&
OA =
A
A
in
Bezug auf
die
#-Achse
-\-
1
durch
den
T einschlieBt;
ausfallt,
und
(vgl. Fig. S. 101).
Anhang
Um
II:
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
101
Punktes A zu berechnen, bedenken wir,
daB die Drehung um den Winkel
dr den Punkt
in den Punkt
mit den Koordinaten 1,
iiberfuhren muB;
wir haben mithin
Koordinaten
die
(x, y) des
A
und
d. h.
folglich
= OB = Q* cos (%~ T),
=
AB = A B = e* sin (0- + r).
y
Um die Lange der Strecke OA zu
x
-f-
rechnen, bedenken wir, daB
naten x,
d.
h.
y
die
besitzt;
die
OA
Strecke
A
die
Drehung
be
Koordi
um
den Winkel
1
-9
*
aus, und sie
gleich e
um erne unendlich kleine
2
fallt
mithin von der Strecke 1
-f-
t liefert mithin
unterscheidet
von
sich
verschiedene
komplexe Zahl.
Wir
daB im allgemeinen in zwei symmetrisch
mit ubereinstimmenden Katheten die
Dreiecken
liegenden rechtwinkligen
Hypotenusen voneinander verschieden ausfalien, und mithin bei der
ersehen
hieraus,
Spiegelung an einer Geraden die Strecken im Spiegelbilde denjenigen in
der urspriinglichen Figur
In unserer Geometric
und
also
nicJit
notwendig gleich
gilt nicht der Satz
Axiom von
vom
sind.
gleichschenkligen Dreieck,
im
wei-
erortern noch in unserer Geometric die Euklidische Lehre
vom
auch nicht das
der
Kongrwnz
der Dreiecke
teren Sinne.
Wir
Flacheninhalt
kiirzesten
Was
konnen,
mogen
den Satz
Polygone
Verbindung von zwei Punkten.
die
sie
von
der
Geraden
als
der
naogen zwei Polygone zerlegungsgleich
in eine endliche Anzahl von Dreiecken zerlegt werden
die erstere
wenn
heifien,
und
der
Frage
paarweise
inhaltsgleich
betrifft, so
einander
heifien,
wenn
kongruent
es
moglich
sind ;
ist,
und
zwei
Polygone
zu denselben zwei zer-
legungsgleiche Polygone zuzufiigen, so daB die beiden zusammengesetzten
Polygone einander zerlegungsgleich sind.
Aus
diesen Definitionen wird leicht die Inhaltsgleichheit zweier Drei-
ecke mit gleicher Grundlinie und gleicher Hohe bewiesen.
Auch gilt in unserer Geometric der Pythagoraische Ijehrsatz^^^emzufolge die beiden Quadrate fiber den Katheten irgend eines rechtwinkligen
Dreieckes zusammen inhaltsgleich dem Quadrate iiber der Hypotenuse sind.
102
Anhang
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
II:
Denn wir erkennen, daB in dem Euklidischen Beweise des Pythagoraischen
Lehrsatzes durchweg nur die Kongruenz von gleichliegenden Dreiecken,
und mithin nur das Axiom fiber die Dreieckskongrueuz im engeren Sinne
benutzt wird.
Wenden
wir den Pythagoraischen Lehrsatz
auf die
beiden
OA B
an ;
(Fig. S. 101)
OA =
Hypotenusen
so
und
1
folgt,
daB
OA = e 2r
Quadrate
einander
es gibt in unserer Geometric Quadrate,
kleine von
die
liber
und
den beiden
inhaltsgleich
deren Seiten sich
vorhin
OAB
konstruierten symmetrisch liegenden rechtwinkligen Dreiecke
um
sind,
d.
h.
unendlich
verschiedene Zahlen unterscheiden und die dennoch einander
inhaltsgleich sind.
Infolge dieses Umstandes hat in unserer Geometrie der fundamentale
wonach zwei
Satz Euklids,
linie stets
inhaltsgleiche Dreiecke rait gleicher Grund-
von gleicher Hohe
Unsere Geometrie
sind, ebenfalls keine
Giiltigkeit.,
uns mithin zu folgender Erkenntnis:
Es ist unmbglich, auf das Axiom der Dreiccltskongruenz im engeren
Sinne die Euklidische Lelire vom Fldcheninhalt zu begriinden, selbst wenn
man
fiihrt
die Giiltigkeit der Proportionenlehre liinzunimmt.
In meiner Festschrift Grundlagen der Geometrie habe ich den Satz
Euklids von der Gleichheit der Hohen in inhaltsgleichen Dreiecken auf
gleicher Grundlinie dadurch bewiesen,
maBes
daB ich den Begriff des Flachen-
FlachenmaB habe ich als das halbe Produkt
aus Grundlinie und Hohe defmiert.
Der Nachweis, daB diese GroBe
davon unabhangig ist, welche Seite des Dreiecks man als Grundlinie
einfiihrte.
Dieses
erfordert in der Tat die Benutzung symmetrisch
wahlt,
gelegener
ahnlicher Dreiecke, und mithin das Axiom iiber die Dreieckskongruenz
im weiteren
Da
Sinne.
unserer
in
Geometrie
Hypotenuse und den Katheten
die
bekannte
Beziehung
zwischen
der
rechtwinkligen Dreiecks, welche in
der gewohnlichen Geometrie aus dem Pythagoraischen Lehrsatz geschlossen
wird, nicht gilt, so mochte ich unsere Geometrie eine Niclit-Pytliagoraische
eines
Geometrie nennen.
Eine weitere Folgerung, die Euklid aus dem Satze von der Gleich
heit
daB
der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreiecke zieht, ist der Satz,
in jedem Dreiecke die Summe zweier Seiten
grofier als die dritte
ausfallt.
Um
nehmen wir
so daB die
von
die Giiltigkeit dieses Satzes in unserer Geometrie zu priifen,
in
dem rechtwinkligen Dreiecke
Hypotenuse
OA
mit der Kathete
verschiedenen Winkel r einschlieBt.
OA B (Fig. S. 101) & = 0,
OB den unendlich kleinen
Wir
der beiden Katheten durch die komplexe Zahl
erhalten dann die
Summe
Anhang
e* (cos *
+
II:
Gleichheit
sin r)
=
(l
ausgedriickt,
Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
-
+x+~+
=1+
und
cler
2r
diese Zahl
+
1st
r
2
+
) (l
.
-
-
+r-
+
103
-
.
.)
+
um
offenbar
eine unendlich kleine
von
verschiedene Zahl kleiner als die Hypotenuse
OA = e* = l + 2r + 2T + --t
Der
als
Satz,
die dritte
wonach
ist,
2
Summe
zweier Seiten in jedem Dreieck grofier
gilt also nicht in unserer Geometrie.
die
Wir erkennen hieraus die wesenttiche Abhangigkeit dieses Satzes von
dem Axiom uber die Dreieckskongruenz im weiteren Sinne.
Wir fassen die hauptsachlichsten aus unserer Nicht -Pythagoraischen
Geometrie entspringenden Resultate zusammen wie folgt:
VersteJien wir das Axiom uber die Dreieckskongruenz im engeren Sinne
und nehmen wir von den Stetigkeitsaxiomen nur das Axiom der Nachan, dann ist der Satz von der Gleichheit der Basis
winkel im gleichschenkligen Dreieck nicht beweisbar, selbst dann nicht, wenn
barschaft
als gultig
wir die Lehre von den Proportionen als gultig voraussetzen. Ebenso wenig
folgt die Euklidische Lehre von den Flacheninhalten; aucli der Satz, wonach
die
Summe
zweier Seiten
im Dreieck
grofier als die dritte ausfdllt, ist keine
notwendige Folge der gemachten Annahmen.
Wir wollen noch eine andere Nicht -Pythagoraische
Geometrie kon-
von der eben behandelten Geometrie dadurch unterihr
das Archimedische Axiom (V 1), dagegen nicht das
dafi
in
scheidet,
Axiom von der Nachbarschaft (V 2) gultig ist.
Man betrachte den Bereich & aller derjenigen algebraischen Zahlen,
welche hervorgehen, indem man von der Zahl 1 ausgeht und eine endliche
struieren,
die
sich
Anzahl von Malen
Multiplikation,
wobei
co
die vier Rechnungsoperationen: Addition, Subtraktion,
Division
jedesmal
eine
und
die
fiinfte
Zahl bedeuten
Operation ]/l
die
kann,
+
a?
2
anwendet,
vermoge jener
fiinf
Operationen bereits entstanden ist.
als einen Punkt
Wir denken uns ein Paar von Zahlen x, y aus
und die Verhaltnisse von irgend drei Zahlen (u v w) aus &, falls u, v
nicht beide
sind, als eine Gerade; ferner moge das Bestehen der
&
:
Gleichung
ux
-\-
vy
:
+w=
Punkt (x, y) auf der Geraden (u v w] liegt.
Die Anordnung der Punkte und Geraden, sowie die Festsetzung iiber
die Parallelverschiebung treffen wir genau wie vorhin, dagegen weichen
wir von der friiheren Festsetzung hinsichtlich der Drehung um einen
ausdriicken, daB der
Punkt
in folgender
:
Weise ab:
:
104
Anhang
Wir
II:
Gleichheit der Basiswinkel
im gleichschenkligen Dreieck.
x
fassen die Punkte der Geraden
ein abzahlbares
System
Plf P P
Es
=
konnen wir
1
Auge; da dieselben
ins
Reihe bringen:
dann
der
unter
welchem
2
3
Winkel,
allgemein
die Verbindungslinie des Punktes Pk mit dem Koordinatenanfang die
#-Achse schneidet. Wir wahlen nun aus der Reihe -O^, #2
eine
3
solche Reihe &
-O
daB
fiir keinen
Wert
von
n
eine
aus,
ki
O-^,
^,
.
.
.
,
,
bilden, so
sie in diese
^
sei
.
&amp;lt;fr
,
.
,
.
1
.
,
.
.
Gleichung von der Gestalt
#,n
besteht,
fiir
wo
= rit + r^ + r
ki
r, ri} r%,
.
die
+ n,-!^
rn _ t rationale Zahlen sind, wahrend andererseits
lafit, so daB
.
,
t
wobei
\+
Wert von n bestimmen
jedes k sich ein
besteht,
.
2
= rx + r^+r.d-^
r, ri} r%,
.
.
.
,
+
r^
rn rationale Zahlen sind.
Die Drehung unserer Ebene
Formel
x + iy =
um
den Winkel
e ** +r (x
+
&k werde dann
durch
iy)
vermittelt.
Es
IV
stellt
sich heraus,
wenn
daB in dieser Geometric samtliche Axiome
I
Axiom iiber die Dreieckskongruenz im
6
verstanden
Sinne
III
wird.
AuBerdem gilt das Archimedische
engeren
Axiom V 1, dagegen nicht das Axiom der Nachbarschaft V 2. Auch
bis
erfiillt
oben
sind,
das
und
aus diesen zu ziehenden Folgerungen, insbesondere die Proportionenlehre ist giiltig. Dagegen gilt nicht
der Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen
Dreieck, und folglich auch nicht die Euklidische Lehre vom Flachendie
inhalt.
genannten
Der Satz
gilt
das
Axiom
Zur
daB
;
in unserer
ist,
Satze
die
die
Summe
Geometric
der Nachbarschaft
zweier
Seiten groBer als die dritte
ebenfalls nicht, da ja aus diesem Satze
V
2 notwendig folgen wiirde.
Gultigkeit des Satzes von der Gleichheit der Basiswinkel
V
im
gleicfi-
V
2 erforderlich:
schenkligen Dreieck sind mithin beide Stetigkeitsaxiome
1,
in der Tat haben wir in dem friiheren Beweise am Anfange dieser UnterS. 94) jedes dieser beiden Axiome benutzt.
suchung (S. 93
Wir haben oben
gruenzaxiom
in der
(vgl. S.
91
S.
92) erwahnt, daB aus dem DreieckskonIII 6 und den vorangehenden Axiomen
engeren Fassung
III 6 und mithin allgemein die Kongruenz
der Figuren in der weiteren Fassung folgt, sobald wir den Satz von
der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck als giiltig
annehmen. Es erscheint mir bemerkenswert, daB diese Erganzung des
notwendig das Kongruenzaxiom
Kongruenzaxioms in der engeren Fassung III 6 noch auf eine ganz
andere Weise geschehen kann, namlich mittels einer sehr anschaulichen
Anhang
im gleichschenkligen Dreieck.
Gleichheit der Basiswinkel
II:
105
Forderung, deren Inhalt wesentlich mit dem in den Grundlagen von mir
bewiesenen Satz 32 (S. 46) iibereinstimmt und die andererseits, wie wh
in
Note
dieser
(vgl.
S.
102)
haben, nicht eine Folgerung der
gezeigt
Kongruenzsatze im engeren Sinne ist.
Es seien die Begriffe ,,zerlegungsgleich&quot; und
18 der Grundlagen der Geometrie definiert
der Kongruenzbegriff im engeren Sinne zu
,,inhaltsgleich&quot;
wie in
jedoch, daB dabei
verstehen ist.
Dementso
sprechend werden im folgenden stets nur das Kongruenzaxiom in der
engeren Fassung III 6 und die vorangehenden Axiome I, II, III 1 III,
sowie das Parallelaxiom IV angewandt.
Die fragliche Forderung, die dann
Erganzung dienen
als
soil,
lautet:
Forderung. Ein Polygon ist niemals mit einem
Polygone zerlegungsgleich, dessen Begrenzung innere
Punkte, jedoch keine aufieren Punkte des ersteren
Polygons enthalt.
Zunachst folgt aus dieser Forderung leicht der Satz:
Ein Polygon ist niemals mit einem Polygone inhaltsgleich, dessen
Begrenzung innere Punkte, jedoch keine aufieren Punkte des ersteren
enthalt.
Polygons
In
der
Polygon
Q
Polygone
P
Polygon
Q
P+
Q
und Q
Tat,
ware
ein
inhaltsgleich,
und Q
-)-
Q
Polygon
so muBten
zerlegungsgleich
zerlegungsgleich ware,
Q
-f-
so
existieren,
zerlegungsgleich
P
dem
einander
zwei
daB
das
P
innerhalb
Polygon
gelegenen
zerlegungsgleiche
P + P mit dem
P + P mit
Polygone P + Q
Da dann auch
ware.
muBten auch die
was der aufgestellten Forderung
sein,
so
widerspricht.
Nunmehr beweisen
Wenn
einem
in
einander gleich sind,
wir der Reihe nach die folgenden Satze:
Dreiecke
die beiden Winkel bei
ABC
so
A
sind auch stets
die
diesen
und
B
Winkeln gegenuber-
liegenden Seiten einander gleich.
Zum
Beweise bestimmen wir auf
AD = BC
BE = AC
und
wird.
AB
die
Punkte
Nach dem
DAG
Wir
sind
mithin
auch
und D,
so daB
ersten Kongruenzsatze in
der engeren Fassung folgt die Kongruenz
der Dreiecke
und CBE; diese beiden
Dreiecke
E
C
inhaltsgleich.
schlieBen hieraus, daB auch ihre Grund-
linien
AD
stimmen.
und
Ware
BE
dies
und nehmenwir etwa
miteinander iiberein-
namlich nicht der Fall
AD = BE,
so wiirde
nach dem bekannten Euklidischen Verfahren
*/
/E
J&amp;gt;\
\D
\_B
106
Anhang
II:
Gleichheit der Basis winkel im gleichschenkligen Dreieck.
AD
BEG
ADC
C und
einander inhalts41) folgen, daB die beiden Dreiecke
Dann aber muBten auch die Dreiecke
und
gleich sind.
C
einander inhaltsgleich sein, was dem vorhin aus unserer
Forderung ge(vgl. S.
wonnenen Satze widerspricht.
AD
AD
und
BE
AC
und
BC
Die Gleichheit der Strecken
unmittelbar zu der von uns aufgestellten
Behauptung.
Wenn in einem Dreiecke
die beiden Seiten
fiihrt
ABC
einander
gleich
sind,
so
auch
sind
stets
diesen Seiten
die
gegeniiber-
liegenden Winkel einander gleich.
Zum
CAB
AB
Beweise nehmen wir im Gegenteil an, daB der Winkel
sei.
Sodann bestimmen wir auf der Geraden
^C
groBer
die Punkte
und
derart, daB
&amp;lt;C
als
A
&amp;lt;^
wird.
CBA
B
CAB =
&amp;lt;^c
CBA
und
&amp;lt;^
Nach dem vorhin bewiesenen Satze
CA = CB
und hieraus
folgt mit
und
CAB
CB = CA
CA - CB
wir
&amp;lt;;
mithin
ist
Benutzung der Voraussetzung:
(1*)
Wenden
CB A =
den Satz
.
vom AuBenwinkel
und
auf die
BCB
so
an,
Dreiecke
AC A
erhalten wir
die
Gleichungen
&amp;lt;ACA
\\
//
=&amp;gt;$i
CAB -
CAB
&amp;lt;
und
&amp;lt;
BCB =
mithin
(2*)
CB A -
&amp;lt;
CBA;
&amp;lt;
ist
^.ACA
^^BCB
.
Die Formeln (1*) und (2*) in Verbindung mit der Voraussetzung
und
im engeren Sinne miteinander
lehren, daB die Dreiecke
kongruent sind; dann aber ware auch insbesondere
AC A
BCB
Diese Folgerung ist ein Widersinn, da die beiden Winkel bez. innerer
Winkel und nicht anliegender AuBenwinkel im Dreieck
B C sind.
Damit ist der aufgestellte Satz bewiesen und wir erkennen zugleich,
daB die Dreieckskongruenzsatze im weiteren Sinne eine notwendige Fol
gerung aus dem Kongruenzaxiom in der engeren Form III 6 sind, wenn
man noch die obige anschauliche Forderung iiber den Begriff der Zer-
A
legungsgleichheit zu Hilfe nimmt.
Mit Hilfe der beiden Stetigkeitsaxiome
nicht moglich,
analytischen
die
1
und
V
2
ist
es
noch
als identisch mit der gewohnlichen
Geometric nachzuweisen, in der jedem Zahlen-
ebene Geometric
,,Cartesischen&quot;
V
Anhang
paar
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
Existenz
der
V
durch
Axiom
2
ich
welclies
Axiom
107
Zu diesem Nachweise ist aber
Axiom vom Dedekindschen Schnitte, noch das Axiom von
Punkt der Ebene
ein
weder das
der
III:
entspricht.
Grenzpunkte
bereits
in
notwendig;
Axiom
das
vielmehr
allgemeineren
geniigt
Charakters
1
Grundlagen der Geometrie
den
^)
zu
es,
das
ersetzen,
aufgestellt
und
der VollstandigJceit genannt habe.
Anhang
III.
Neue Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
Abgedruckt aus Math. Ann. Bd.
57.
2
Kap. I (S. 2 S. 18) )
die Euklidische Geometrie aufgestellt
In meiner Festschrift
Grundlagen der
Geometrie&quot;
habe ich ein System von Axiomen fiir
und dann gezeigt, dafi lediglich auf Grund der
die Ebene betreffenden BeAxiome der Aufbau der ebenenEuklidischen Geometrie mogwenn man die Anwendung der Stetigkeitsaxiome vermeidet.
standteile dieser
lich
ist,
selbst
In der folgenden Untersuchung ersetze ich das Parallelenaxiom durch eine
der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie entsprechende Forderung und zeige
dann ebenfalls,
dafi ausschliefilich
auf Grund der ebenen Axiome olme
An
wendung von Stetiglceitsaxiomen die Begriindung der Bolyai-Lo batscliefskyschen
Geometrie in der Ebene moglich ist.
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie
mir scheint, auch hinsichtlich ihrer Einfachheit den bisher
neue
Diese
steht, wie
bekannten Begriindungsarten, namlich derjenigen von Bolyai und Lobatschefsky, die beide sich der Grenzkugel bedienten, und derjenigen von
Die jgenannten
projektiven Methode nicht nach.
die Stetigkeit.
wie
Raum
sowohl
Begriindungen benutzen wesentlich den
Zur Erleichterung des Verstandnisses stelle ich uach meiner Festschrift
F.
Klein
mittels
,,Grundlagen der
wie folgt:
der
Geometrie&quot;
I.
I
1.
die
Axiome
der
ebenen Geometrie zusammen,
Axiome der Terknupfung.
Zwei voneinander verschiedene Punkte
A
und
B
bestimmen
stets eine Gerade.
I 2.
zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden
Irgend
O
bestimmen diese Gerade.
8 S. 16; man vergleiche auch meinen Vortrag iiber den Zahlbegriff: Be1)
richte der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1900.
auch meine Abhandlung ,,Uber den Satz von der Gleichheit der
2) Vergleiche
Basiswinkel im gleichschenkligen
Society, Bd. 35. 1903 Anhang
H
Dreieck&quot;.
Proceedings of the London Mathematical
108
Anhang
I 3.
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
III:
Auf
jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte.
wenigstens drei Punkte, welche nicht in einer
II
1.
und
C
Wenn A, B, C
liegen.
Punkte einer Geraden sind und B zwischen
B zwischen C und A.
zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt
so liegt auch
liegt,
II 2.
Es gibt
Axiome der Anordnung.
II.
A
Geraden
B
Wenn A und
Punkt C, der zwischen A und B liegt, und wenigstens
einen Punkt D, so daB B zwischen A und D liegt.
II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden
gibt es stets einen
und nur einen Punkt, der zwischen den beiden anderen liegt.
es wenigstens einen
A
Erklarung: Die zwischen zwei Punkten
heifien
auch die Punkte der Strecke
AB
und
B
gelegenen Punkte
BA.
oder
II 4. Es seien A, B, C drei nicht in
gerader Linie gelegene Punkte
und a erne Gerade, die keinen der Punkte A, B, C trifft; wenn dann
diese Gerade durch einen Punkt der Strecke
geht, so geht sie gewiB
AB
BC
auch durch einen Punkt der Strecke
oder der Strecke
AC.
Axiome der Kongruenz.
III.
Erklarung: Jede Gerade zerfallt von irgend einem ihrer Punkte
aus in zwei Halbgerade (Halbstrahlen) oder Hdlften.
III 1. Wenn A,
zwei Punkte der Geraden a sind und
ein Punkt
B
einer Geraden a
raden a von
die Strecke
A
ist,
A
so
kann man auf einer gegebenen Halfte der Ge
aus stets einen und nur einen Punkt
AB
der Strecke
AB
AB~A B
Jede Strecke
ist
Ill 2.
Wenn
A&quot; B&quot;
finden,
so daB
ist; in Zeichen:
.
sich selbst kongruent; in Zeichen:
AB-AB
Strecke
B
kongruent oder gleich
die Strecke
kongruent
AB
ist,
BA = AB.
und
so
sowohl der Strecke
AB
auch
ist
AB
der
als
auch der
Strecke
A&quot; B&quot;
kongruent.
AB
Ill 3. Es seien
Punkte auf a und ferner
same Punkte
BC^B C
,
und
AB
BC
einer
Geraden
so ist auch
AC=A
auf
Erklarung.
zwei
B
und
a
C
C
Strecken
wenn
;
ohne gemeinsame
zwei Strecken ohne gemein
dann
AB = A B
und
.
Ein von einem Punkte
A
ausgehendes Paar von Halbeine Gerade ausmachen, uennen
geraden h und &, die nicht zusammen
wir einen Winkel und bezeichnen ihn entweder mit
&amp;lt;(M)
oder
3:(kK).
Die Punkte der Ebene, welche beziiglich
It,
auf derselben Seite wie
Anhang
III:
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
109
k und zugleich bezuglich k auf derselben Seite wie h liegen, bilden den
Winkelraum von
Es
&amp;lt;^(M ).
Winkel (M), eine Gerade a und eine bestimmte
von a gegeben. Es bedeute ti eine Halbgerade der Geraden a, die
vom Punkte
ausgeht: dann gibt es eine und nur eine Halbgerade k so
Ill 4.
sei ein
Seite
}
daB der Winkel (hk) dem Winkel (tik
Zeichen:
kongruent oder gleich
)
=
(KV)
und daB zugleich alle Punkte des Winkelraums von
&
(/&
Seite
von
a
gegebenen
liegen.
Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, in Zeichen:
&amp;lt;
(hk)
)
&amp;lt;^C
= ^. (hk)
^(hk~)
Wenn
Ill 5.
dem Winkel
Winkel
(ti
Ill 6.
ein
und
&amp;lt;
(hk)
auf der
= (kh).
f
Winkel
(hk)
kongruent
(h&quot;k&quot;)
in
ist 7
ist,
sowohl dem Winkel (h k ) als auch
so ist auch der Winkel QiTi) dem
kongruent.
Wenn fur zwei Dreiecke
k&quot;)
AB = A B AC = A
C
,
ABC und A B C die Kongruenzen
BAC = ^ B A C
und
&amp;lt;
gelten, so gilt auch stets
^ABC~^A B C
und
&amp;lt;^
AC = ^ A
C
B
.
Aus den Axiomen I III folgen leicht die Satze fiber die Kongruenz
der Dreiecke und iiber das gleichschenklige Dreieck und zugleich erkennt
man
die Moglichkeit, ein
Lot zu errichten oder zu
fallen, sowie eine ge-
gebene Strecke oder einen gegebenen Winkel zu halbieren. Insbesondere
folgt auch wie bei Euklid der Satz, daB in jedem Dreiecke die Summe
zweier Seiten groBer als die dritte ist.
IT.
Axiom von den
sich schneidenden
und nicht schneidenden
Geraden.
Wir sprechen nun das Axiom, welches in der Bolyai-Lobatschefsky
schen Geometrie dem Parallelenaxiom der Euklidischen Geometrie entspricht, wie folgt, aus:
IV. Ist & eine beliebige Gerade
Punkt,
A
und
ein nicht auf ihr gelegener
zwei Halbgerade a1; a2 ? ^^e nicht e in
ausmachen und die Gerade & nicht schneiden,
so gibt es stets durch
A
und dieselbe Gerade
wahrend jede in dem durch a1} az gebildeten Winkelraum gelegene von
A
B
ausgehende Halbgerade die Gerade & schneidet.
Erklarung. Die Gerade & zerfalle von irgend einem ihrer Punkte
aus in die
einen und a2 ,
die
beiden Halbgeraden 6 1; &2 und es
& 2 auf der anderen Seite der Geraden
Halbgerade
%
mogen a l}
AB
b^
liegen:
auf der
dann
zu der Halbgeraden 6 A und ebenso die Halbgerade
soil
2
zu
x*^^iv
:
HO
Anhang JII: Begrundung
der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometric.
der Halbgeraden \ parallel genannt werden;
desgleichen sagen wir, es seien
die beiden Halbgeraden a 1} a2 zu der Geraden b
parallel und auch von
jeder
bez.
von denen
a^
sagen wir, daB
sie
der beiden Geraden,
az Halbgerade
sind,
zu 6 parallel sind.
Es
^
folgt sofort die Richtigkeit folgen-
der Tatsachen:
vr
Wenn
parallel
so ist
ist,
eine
Gerade
oder
Halbgerade
zu einer anderen Geraden oder Halbgeraden
stets auch diese zu jener parallel.
Wenn
sind sie
zwei Halbgerade einer dritten Halbgeraden parallel sind, so
untereinander parallel.
Jede Halbgerade bestimmt ein Ende; von alien Halb
sagen wir, daB sie dasselbe Ende
Erklarung.
geraden,
die zueinander parallel sind,
Eine vom Punkte A ausgehende Halbgerade mit dem Ende K
werde allgemein mit (Act) bezeichnet. Eine Gerade besitzt stets zwei Enden.
Allgemein werde eine Gerade, deren Enden K und /3 sind, mit (a, /3) bezeichnet.
bestimmen.
Wenn
von derart
A B
}
sind,
von
und
A B
}
zwei Punktepaare und K und K zwei Enden
und
einander gleich sind und
daB die Strecken
AS
AS
AB
und der Halbgeraden (A, a) gebildete Winkel gleich
dem von
B und der Halbgeraden (A a) gebildeten Winkel wird, so
ist, wie man leicht erkennt, stets auch der von B A und (B, a) gebildete
Winkel gleich dem von B A und (B a } gebildeten Winkel; die beiden
Figuren ABa und A B a heiBen einander kongruent.
Endlich definieren wir noch in bekannter Weise den Begriff des
iiberdies der
A
Spiegelbildes
}
:
Erklarung. Wenn wir von einem Punkte aus auf
Lot fallen und dieses iiber semen FuBpunkt hinaus um
langern, so heiBe der entstehende
lichen Punktes
Die
Endpunkt
eine Gerade das
sich selbst ver-
das Spiegelbild des ursprung-
an jener Geraden.
Spiegelbilder
fiir
die
Punkte einer Geraden liegen wiederum
auf einer Geraden; diese heiBe das Spiegelbild der tirspriinglichen Geraden.
I-
Hilfssatze.
Wir beweisen
zunachst der Reihe nach folgende Hilfssatze:
Satz 1. Wenn zwei Gerade eine dritte Gerade unter gleichen Gegenwinkeln schneiden, so sind sie gewiB nicht zueinander parallel.
Beweis.
Wir nehmen im
Gegenteil an, daB die beiden Geraden uach
einer Richtung hin zueinander parallel waren.
Fiihren wir dann um die
Mitte der auf der dritten Geraden ausgeschnittenen Strecke eine Halb-
III:
Anhang
drehung
das
HI
Begriindung der Bolyai-Lobatscliefskyschen Geometrie.
konstruieren wir iiber der anderen Seite jener Strecke
kongruente Dreieck, so wiirde folgen, daB die beiden
d. h.
aus,
betreffende
ersteren Geraden auch nach der anderen Richtung hin zueinander
parallel
sind, und dies widersprache dem Axiom IV.
Satz
Wenn
2.
zwei Gerade a, &
irgend
vorgelegt
weder schneiden nocli zueinander parallel sind, so gibt
welche auf beiden zugleich senkrecht steht.
Von
Beweis.
wir die Lote
als das
Lot
AB:
daB der Punkt
so
wir die Gerade a
und
irgend zwei Punkten
auf die Gerade
A
AB und PB
AB
dann tragen wir
A
zwischen
durch
in demselben*Sinne
A
P
von
B
BA
und
welche
,
&.
P
und
Es
sei
B
wie die Gerade a das Lot
PB
B P ab
das Lot
sich
groBer
f
Nunmehr
A
die
der Geraden a fallen
aus auf
liegt.
in
sind,
es stets eine Gerade,
bis
A
,
konstruieren
unter demselben Winkel
BA
in
A
schneidet.
Wir
wollen beweisen, daB diese Gerade a notwendig die Gerade a treffen muB.
Zu dem Zwecke bezeichnen wir diejenige Halbgerade, in welche a
von
aus zerfallt und auf welcher der Punkt
liegt, mit a t und ziehen
A
P
B
Ferner sei h diejenige
aus eine Halbgerade li parallel zu ai
unter demselben Winkel gegen & und nach
Halbgerade, welche von
Da nach Satz 1 die Halb
derselben Richtung wie h von
ausgeht.
dann von
.
B
B
gerade
}i
nicht zu h
und daher auch nicht zu
gewiB nicht schneidet, so schneidet
sie,
wie
a^ parallel ist
man im
und auch h
Axiom IV
Hinblick auf
notwendig a L es sei T der Schnittpunkt der Halbgeraden
li
und av
Da a wegen unserer Konstruktionen parallel zu h ist, so
T durch die Seite
muB nach Axiom II 4 die Gerade a das Dreieck
leicht erkennt,
;
.
PB
PT
verlassen, womit der gewiinschte Nachweis erbracht ist.
den Schnittpunkt der Geraden a und a mit Q bezeichnen.
E
wollen
B
E von
sodann tragen wir
nach
die
aus auf b bis zum Punkte E ab, so daB auf &
Richtung
nach E ist. Ebenso tragen wir die Strecke
dieselbe, wie die von
Von Q
B
Wir
fallen wir das Lot
B
QE
auf
?&amp;gt;;
B
Anhang HI: Begrundung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
112
AQ
A
von
aus auf a in derselben Richtung bis
dann die Mitten
und
der Strecken
bez.
M
MN
N
QQ
Q
ab.
ER
f
,
Suchen wir
so liefert deren
das gesuchte gemeinsame Lot auf a und b.
In der Tat, aus der Kongruenz der Vierecke
und
die
Gleichheit
der
Strecken
und
die
sowie
folgt
Q ,
Tatsache, daB
auf
6
senkrecht steht. Hieraus wiederum erschlieBen wir die Kon
Q
Verbindungsgerade
A B QE
ABQ E
E
QE
E
MN
und Q E
und damit ist
und
der
Satz
2
Behauptung
zugleich
vollstandig bewiesen.
gruenz der Vierecke
Satz
3.
QEMN
die aufgestellte
Wenn
irgend zwei Halbgeraden vorgelegt siud, so gibt es
welche zu diesen beiden Halbgeraden parallel, ist d. h.
eine Gerade, die zwei vorgeschriebene Enden a und /3
stets eine Gerade,
es
gibt
stets
besitzt.
Be we is. Wir
ziehen durch irgend einen Punkt
Halbgeraden Parallele und tragen auf diesen von
ab, etwa bis A und J5, so daB
zu den vorgelegten
aus gleiche Strecken
OA= OB
wird und die von
aus durch
A
gehende Halbgerade das Ende a und
Anhang
III:
Begrundung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
113
B
die von
aus durch
gehende Halbgerade das Ende /3 besitzt. Sodann
verbinden wir den Punkt
mit dem Ende /3 und halbieren den Winkel
A
A
zwischen den beiden von
ausgehenden Halbgeraden; desgleichen ver
mit dem Ende a und halbieren den Winkel
B
binden wir den Punkt
B
zwischen den beiden von
Die erstere
ausgehenden Halbgeraden.
Aus der
Halbierungslinie werde mit a, die letztere mit b bezeichnet.
der
und
K
die
Gleichheit
der
Winkel
Kongruenz
Figuren OAfi
folgt
OB
und aus
die
letzterer
(a .1 /*)=
(a.B/5)
entnehmen
wir
auch
Gleichung
die Gleichheit der
Winkel
7
durch die Halbierungen entstanden sind, namlich
(aAa)
&amp;lt;
=
(aAfi
&amp;lt;
=
-
&amp;lt;
(ccBb)
(bBfi).
Es kommt zuniichst darauf an, zu zeigen, daB die beiden Halbierungslinien a und b sich weder schneiden noch zueinander parallel sind.
Wir nehmen an, a und b schnitten sich im Punkte M. Da OA B
nach Konstruktion ein gleichschenkliges Dreieck
ist ;
so folgt
3:BAO = $: ABO
and hieraus nach den vorigen Gleichungen
mithin
ist
AM = BM.
M mit
Verbinden wir nun
dem Ende a durch
eine Halbgerade, so folgt
aus der letzteren Streckengleichung und wegen der Gleichheit der Winkel
und
und
(o:^4Jf) und (aBM] die Kongruenz der Figuren
aAM
&amp;lt;
diese
Kongruenz
hatte die Gleichheit der
Winkel
&amp;lt;
(a
MA)
aBM
und
&amp;lt;C(Jf.B)
zur Folge. Da diese Folgerung oifenbar nicht zutrifft, so ist die Annahme
zu verwerfen, daB die Halbierungsgeraden a und b sich einander schneiden.
Wir nehmen
das
werden.
Die von
nach
D
/3
ferner
durch
parallel;
an,
die
Geraden
a und b
seien
B
gehende Halbgerade im Punkte C und die Gerade a im Punkte
dann beweisen wir die Gleichheit der Strecken
und DB.
DA
treffen:
In der Tat,
B
etwa bis
im gegenteiligen
ab und verbinden
Kongruenz der Figuren
Winkel
(D A a) und
Winkel
(DB (i) und
DAa
&amp;lt;
&amp;lt;^C
DA
-^(DAB)
&amp;lt;
DB
(DJ5
moglich ist.
Die Gleichheit der Strecken
und
DB
D
von
Falle tragen wir
aus auf
mit ^ durch eine Halbgerade. Aus der
dann die Gleichheit der
und
fi wiirde
B
folgen und mithin waren auch die
)
einander
(DB[i)
gleich, was nach Satz 1 nicht
&amp;lt;^
&amp;lt;
Winkel
zueinander
bestimmte Ende moge dann mit /* bezeichnet
aus nach K gehende Halbgerade moge die von A
sie
DA
(DBA)
Hilbert, Gruiidlagen der Geometrie.
und
DB
hat nun die Gleichheit der
zur Folge und da nach
dem
8
Friiheren
V/K
114
Anhang
III:
auch die Winkel
Folgerung
sr
,14
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
(CAB) und
&amp;lt;
auch die Gleichheit der Winkel
trifft
o
&amp;lt;^C
&amp;lt;;
(CBA)
einander gleich sind, so wiirde
(CAB) folgen. Diese
(D AB} und
&amp;lt;;
aber offenbar nicht zu und mithin
ist
auch die Annahme
zu verwerfen, daB die Geraden a und I einander parallel sind.
Da nach diesen Entwickelungen die Geraden a b sich weder schneiden
}
noch zueinander parallel sind, so gibt es nach Satz 2 eine Gerade c die
auf beiden Geraden a, b senkrecht steht etwa in den Punkten
bez. F.
f
E
Ich behaupte, daB diese Gerade c die gesuchte Gerade
vorgelegten Enden a, /3 miteinander verbindet.
ist ;
die die beiden
Zum
habe
Beweise dieser Behauptung nehmen wir im Gegenteil an, es
nicht das Ende a.
Dann verbinden wir jeden der beiden FuB-
c
punkte
E
F
und
mit dem Ende a
Da
durch Halbgerade.
E A = FB
muB, wie leicht erkannt wird, so folgt die Kongruenz der Figuren
und ccFB und aus dieser die Gleichheit der Winkel -^ (AEa) und
(B Fa) und folglich sind auch diejenigen Winkel einander gleich, die
die von E und F ausgehenden Halbgeraden mit der Geraden c bilden.
Diese Folgerung widerspricht dem Satze 1 und damit ist der Beweis fur
sein
aEA
&amp;lt;^C
unsere Behauptung vollstandig erbracht.
Satz 4. Es seien a, b zwei zueinander parallele Gerade und
ein
Punkt innerhalb des zwischen a und b gelegenen Gebietes der Ebene;
ferner sei O a das Spiegelbild des Punktes
an a und Ob das Spiegelbild
des
an b und
Punktes
senkrecht in
Beweis.
M
auf
O a Ob
M
M
diejenige Halbgerade von
die
aus,
Mitte der Strecke
die
Oa Ob
:
dann steht
zugleich zu a und b parallel
ist,
.
Denn im entgegengesetzten
Falle
namlichen Seite hin in
errichte
M auf
Oa Ob
den Punkten P,Q. Da P
Die Gerade
rechte.
POa
&amp;lt;PO b
ist
man nach der
O a Ob die Senk-
schneide a, b bez. in
&amp;lt;
PQ + Q 0,
QO
und desgleichen
mithin
b &amp;lt;QO a
,
M notwendig das Innere des zwischen
a und
gelegenen Gebietes der Ebene. Jene
M miiBte daher
Senkrechte
der Ge
so fallt
in
b
in
eine
raden a oder b treffen;
trafe
=AO
Punkte A, so wiirde AOa
folgen und mithin ware
d.
h.
A
miiBte
sie
und
auch
etwa a im
AOa =AO
AO = A O
auch ein Punkt von b
b
b
sein,
was der Voraussetzung des Satzes widersprache 1 ).
Satz 5. Wenn a, b c drei Gerade sind, die das namliche Ende
}
1)
ca
Diese Folgerung stimmt im wesentlichen mit einer SchluBweise von Lobatschefsky
Neue Anfangsgriinde der Geometrie mit einer vollstandigen Theorie der
iiberein; vgl.
Parallellinien (1835)
111.
n,
Anhang
besitzen
und
III:
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometric.
die
Spiegelungen an
Geraden
diesen
bez.
mit
115
Sa Sb S
,
,
c
bezeichnet werden, so gibt es stets eine Gerade d mit demselben Ende to,
so daB die aufeinanderfolgen.de Anwendung der Spiegelungen an den Ge
raden a, b, c der Spiegelung an
durch die Formel
der Geraden d gleichkommt, was wir
&amp;lt;A#a
= Sd
ausdriicken.
Beweis. Wir nehmen zunachst an, es fiele die Gerade b ins Innere
und c gelegenen Gebietes der Ebene. Dann sei
ein Punkt
auf b und die Spiegelbilder von
an a und c seien bezeichnet mit Oa und O e
Bezeichnen wir nun mit d diejenige Gerade, die die Mitte der Strecke
O a Oc mit dem Ende to verbindet, so sind wegen Satz 4 die Punkte O a
und Oc Spiegelbilder an d und folglich ist die Operation Sd Sc Sb Sa eine
solche, die den Punkt Oa sowie diejenige Gerade ungeandert laBt, die Oa
mit dem Ende 03 verbindet. Da jene Operation iiberdies aus vier Spiege
des zwischen a
.
lungen zusammengesetzt
lehren
so
ist,
die
Operation die Identitat ist; hieraus folgt die
Wir erkennen zweitens
daB die Geraden
Falle,
c
daB jene
Kongruenzsatze,
Behauptung.
leicht die Richtigkeit des Satzes
und a miteinander ubereinstimmen.
5 in dem
Ist
namlich
durch Spiegelung an der Geraden a hervorund
bezeichnen
wir
mit
Sb die Spiegelung an V, so erkennen wir
geht,
b
diejenige Gerade, die aus b
,
sofort die Richtigkeit der
Formel
=S
Sa Sb Sa
b ,.
Nunmehr nehmen wir drittens
des zwischen a
dem
und
an, es
die
fiele
ersten Teile dieses Beweises gewiB eine Gerade d
Sa S Sb
c
&8b&*
ist
c ins
Dann
}
Innere
gibt es
so daB die
nach
Formel
= S*
Bezeichnen wir mit d das Spiegelbild von d
gilt.
zweiten Teile dieses Beweises:
Damit
Gerade
b gelegenen Gebietes der Ebene.
an a, so
ist
nach dem
^ ^a^a^c^b^a = ^a^d ^a = $d
Satz 5 vollstandig bewiesen.
2.
Die Addition der Enden.
mit
Wir nehmen eine bestimmte Gerade an und bezeichnen deren Enden
und oo. Auf dieser Geraden (0, oo) wahlen wir einen Punkt
und errichten dann in
ein Lot;
1
und
1
bezeichnet
werden.
+
Wir
definieren jetzt die
Erklarung.
Es
Summe
seien a,
/3
die
Enden
dieses Lotes
mogen mit
Enden folgendermaBen:
zwei
Enden; ferner sei O a das
irgend
zweier
8*
116
Anhang
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
III:
Spiegelbild des Punktes
an der Geraden (a, oo) und 0. sei das
Spiegelan der Geraden (/3, oo); die Mitte der Strecke O O
a
bild des Punktes
verbinden wir mit
dem Ende
ft
das andere
oo:
Ende
Geraden heiBe
Enden a und
der so konstruierten
Summe
die
/3
der beiden
und werde mit K
-f
/3
bezeichnet.
Wenn
Ende a an
wir eine Halbgerade mit dem
der Geraden
so werde das
Ende der
oo) spiegeln,
so entstehendeii
(0,
a bezeichnet.
Halbgeraden mit
Wir erkennen leicht die Richtigkeit
der Gleichungen.
a
Die
Gleichung spricht das Commutative Gesetz fur die Addition von
letzte
Enden
aus.
Urn das
associative Gesetz fur die Addition von
bezeichnen wir mit
(0, oo), (a,
Da
(/3,
Sa
bez.
S^
oo): nach Satz 5 in
,
,
die
Enden zu beweisen,
Spiegelungen an
den
Geraden
1 gibt es dann gewiB eine Gerade
an dieser Geraden die Formel
S
SpSQ Sa der Punkt O a in den Punkt 0^ iibernotwendig 0. das Spiegelbild von O a an der Geraden
a, -f
d h. es gilt die Formel
oo) und folglich wird 6
/3,
gilt.
geht,
(&amp;lt;?,
oo ),
S
oo), so daB fur die Spiegelung
(tf,
= a,
+
so
bei der Operation
ist
=
Bezeichnet y ebenfalls ein Ende, so lehrt die wiederholte
Anwendung
der eben gefundenen Formel:
und
folglich ist
~
&quot;
und mithin auch
Die vorhin abgeleitete Formel
lehrt zugleich, daB die angegebene Konstruktion der
von der getroffenen Wahl des Punktes
auf der
abhangig
* TV
ist.
Bezeichnet mithin
*
uX*.
irgend
C&amp;gt;(Xo--*&amp;lt;-
trt
Summe
zweier
Geraden
einen von
Enden
(0, oo)
un-
verschiedenen
Anhang
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
III:
Punkt der Geraden
Op wiederum
^
Wir
und sind O a
(0, oo)
an den Geraden
bez.
(a, oo),
Gerade (a-f
die
fiihren hier
in
Op die Spiegelbilder des Punktes
oo), so
(/3,
/3,
,
ist
die Mittelsenkrechte auf
oo).
noch eine Tatsache an, deren Kenntnis
4 notig ist.
Entwickelungen
Wenn wir die Gerade
entsteht die Gerade (2/3
In der Tat, ist
(a, oo)
117
an der Geraden
(/?,
fiir
unsere
so
oo) spiegeln,
K, oo).
P irgend ein Punkt derjenigen Geraden, die aus
durch
(a, oo)
Spiegelung an (/3, oo) vorgeht, so bleibt derselbe offenbar
wenn
wir auf ihn der Reihe nach die Spiegelungen
ungeandert,
anwenden.
d.
h.
Wegen
der obigen Formel
ist
kommt
zusammengesetzte ProzeB
jener
aber
a, oo) gleich; der Punkt
(2/3
der letzteren Geraden.
Geraden
P
einer
liegt
Spiegelung
ruithin
an
der
notwendig auf
3.
Die Multiplikation der Enden.
Wir
Enden folgendermaBen:
Ende auf derselben Seite der Geraden (0, oo)
und wenn ein Ende
liegt, so heiBe das Ende positiv
1 liegt, so heiBe
der Geraden (0, oo) wie das Ende
definieren jetzt das Produkt zweier
Erklarung. Wenn
wie das Ende
-f 1
auf derselben Seite
das
Ende negativ.
Es seien nun
Die
Geraden
(0, oo);
Gerade bez. in
sie
/3
irgend zwei von
a)
(a,
mogen
und
/3)
stehen
senkrecht
auf der
diese
A und B schneiden.
C
bis
(0, oo)
in der
Weise
ab,
daB auf der Geraden (0, oo) die
nach
die namRichtung von
A
liche
wie
nach
C
die
und oo verschiedene Enden.
B
von
wir in
(/3,
tragen wir die Strecke
aus auf der Geraden
Ferner
OA
a,
Geraden
beiden
ein
C
die
ist:
a,
Richtung von B
dann konstruieren
auf der Geraden
Senkrechte
(0,
oo)
t
**
T&amp;gt;
~
_T
und bezeichnen
positive oder das negative
Ende dieser Senkrechten als das
das
Product a /3 der beiden Enden
&amp;lt;
a,
/3,
Anhang HI: Begrundung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometric.
118
jenachdem diese Enden entweder beide positiv
bez. beide negativ oder eines
positiv und das andere negativ ist.
Wir setzen endlich die Formel
fest.
Auf Grund der Axiome
3 iiber die Kongruenz von Strecken
III, 1
erkennen wir unmittelbar die Giiltigkeit der Formeln
d.
h
es
gilt
sowohl das Commutative wie auch das associative
von Enden.
G-esetz
fur
die Multiplikation
Auch
finden wir leicht, daB die Formeln
!==,
gelten
und daB, wenn
die
Enden
1)
(
cc,
ft
a
cc.
einer Geraden die Gleichung
durch den Punkt
gehen muB.
Die Moglichkeit der Division erhellt unmittelbar;
erfullen, diese
jedem
auch gibt es zu
Ende
positiven
stets
ein
daher
mit
it
positives
(und
ebenso ein negatives) Ende,
dessen Quadrat jenem Ende
yt
gleich wird und welches
bezeiclinet
|/?r
werden moge.
Um
Gesetz
mit
das
distributive
die
fiir
Enden
konstruieren
Rechnung
zu
wir
Enden
beweisen,
zunachst
und y auf
die in
2 angegebene Weise
das Ende /3 + y.
Suchen
aus den
wir
/3
sodann auf die
angegebene Weise
a/3,
ccy,
a(/3
+
die
eben
Enden
so
er
j&amp;gt;),
kennen wir, daB diese Konstruktion
auf
einer
Ver-
Ebene langs der Geraden (0, oo) um die Strecke A hinauswir demnach die Summe der Enden a/3 und ccy durch
und
wenn
lauft,
was nach
aus ermitteln
eine Konstruktion von A aus anstatt von
schiebung der
Anhang
einer der
III:
2 gestattet
Bemerkungen in
das Ende a(/3 + y), d.
1st
Summe
fur diese
H9
Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
a/3
+
ay
so ergibt sich in der Tat
,
Formel:
h. es gilt die
=a
4.
Die Gleichung des Punktes.
3 erkannt haben, daB fur die Rechnung mit
Nachdem wir in 2
Enden die namlichen Regeln gelten, wie fiir die Rechnung mit gewohnlichen Zahlen, bietet der Aufbau der Geometrie keine weiteren Schwierigkeiten;
er geschehe
die
|, 17
Wenn
etwa in folgender Weise:
einer Geraden
Enden irgend
=
u
Geraden
die Koordinaten jener
Wenn
Ende
4:
a,
/3,
y drei
Q 2 positiv
ay
-,.
Es
heifien.
ausfallt. so
gilt die
fundamentale Tatsache:
Beschaffenheit sind, daft das
die sdmtUchen Geraden. deren
soldier
laufen
-,
**Y^*^%*Mf-/ V
+ fiv + y = (L-V**..v .* +Jt*-. I?L +
s
=
nimmt mit
ist,
=
I?
s
]/4 a y
/3
Riicksiclit auf die
jedenfalls a 4=
A,
,
3 die Enden
2
gemaB
_________
J/4ay
I+^.
v*f-/i
2&amp;lt;*
x ==
***
4
genugen, durcli einen Punlrt.
Be we is. Konstruieren wir
,
(3
Bedeutung der Koordinaten
u, v
und da
die vorgelegte lineare Gleichung die Gestalt an
(xl-f A)(xi7
+ A) = -
1.
Wir wollen nunmehr die Transformation eines willkiirlich
Endes o untersuchen, welche durch die Formel
verander-
lichen
=x +
vermittelt
wird.
Zu dem Zwecke
formationen
o
Was
die
erstere
= KCO
A
betrachten
w
und
Transformation
=
03
wir
+
betrifft,
zunachst
die
Trans-
A.
so
kommt
offenbar
die
x nach
Multiplikation des willkurlichen Endes oo mit einer Konstanten
um
eine
der
Geraden
der
Ebene
3 einer Verschiebung
(0, oo)
langs
gewisse von x abhangige Strecke gleich.
Aber auch der letzteren Transformation,
A zu
dem
,
.
,+&amp;gt;
.
,
an
so
Enden
die
mogen
17,
Enden von
v
ni /
Koordinaten
u, v der Gleichung
sind, so
willkiirlich veranderlichen
Ende
d. h.
03,
der Zufiigung des Endes
entspricht eine gewisse nur
h
.
+*t=
c.
f
*
120
Anhang
Begrimdung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
III:
von A abhangige Bewegung der Ebene
namlich eine solche, die
Drehung der Ebene urn das Ende oo auffassen laBt.
dies einzusehen, bedenken wir, daB nach deu
Darlegungen am
in sich,
sich als eine
Um
SchluB von
(0, oo) in
an der
2 die
Gerade
Gerade
die
Geraden
(
,
(CD,
oo) und
03,
(
oo)
durch Spiegelung an der Geraden
diese wiederum durch Spiegelung
in die Gerade
ooj
(ra -f
A, oo)
iibergeht,
Hinzufiigung des Endes A zu dem willkiirlich veranderlichen
den nacheinander ausgefiihrten Spiegelungen an den
kommt
h.
d.
Ende
die
oi
Geraden
und
(0, oo)
(y, ooj gleich.
Aus dem eben Bewiesenen
folgt,
daB,
wenn
|,
rj
die
Enden
einer
Geraden sind, durch die Formeln
r-*s+*,
= -f A
r(
sich die
allein
Enden
fiir
Enden
von
die
|,
JCT?
einer solchen Geraden bestimmen, die durch eine gewisse
Bewegung der Ebene aus der Geraden mit den
x, A abhangige
t]
Da
hervorgeht.
Enden
|
,
r{ die
aber die obige Gleichung
Relation
IV - -
1
3 diese Relation die Bezur Folge hat und nach einer Bemerkung in
laufen ;
dingung dafiir ist; daB die betreffenden Geraden durch den Punkt
so ersehen wir,
daB auch
geniigenden Geraden
(|,
alle
&amp;lt;rf)
der ursprimglichen Gleichung
durch einen Punkt laufen, und damit
ist
der
den aufgestellten Satz vollkommen erbracht.
Nachdem wir erkannt haben, daB die Gleichung des Punktes in
Linienkoordinaten eine lineare ist, folgern wir leicht den speziellen Pascal-
Beweis
fiir
Geradenpaar und den Desarguesschen Satz iiber
perspektiv liegende Dreiecke, sowie die iibrigen Satze der projektiven
Auch sind dann die bekannten Formeln der Bolyai-Lobat
Geometrie.
schen
Satz
fiir
das
schefskyschen Geometrie ohne Schwierigkeit ableitbar und damit ist der
Aufbau dieser Geometrie mit alleiniger Hilfe der Axiome I IV vollendet.
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
Anhang
Uber
121
IV.
1
Grundlagen der Geometrie ).
die
Die Untersuchungen von Riemann und Helmholtz liber die Grund
lagen der Geometrie veranlaBten Lie, das Problem der axiomatischen
Behandlung der Geometrie unter Yoranstellung des Gruppenbegriffes in
Angriff zu nehmen, und fiihrten diesen scharfsinnigen Mathematiker zu
einem System von Axiomen, von denen er mittels seiner Theorie der
Transformationsgruppen nachwies,
hinreichend sind
daB
sie
zum Aufbau
der
Geometrie
2
).
Nun
hat Lie bei Begriindung seiner Theorie der Transformations
stets
die Annahme gemacht, daB die die Gruppe definierenden
gruppen
Funktionen differenziert werden konnen, und daher bleibt in den .Z^ eschen
Entwickelungen unerortert, ob die Annahme der Differenzierbarkeit bei
der Frage nach den Axiomen der Geometrie tatsachlich unvermeidlich ist
oder ob die Differenzierbarkeit der betreffenden Funktionen nicht vielmehr
als
eine Folge des Gruppenbegriffs und der iibrigen geometrischen Axiome
Auch ist Lie zufolge seines Verfahrens genotigt, ausdriicklich
erscheint.
Axiom
daB die Gruppe der Bewegungen von infinitesimalen Transformationen erzeugt sei. Diese Forderungen, sowie wesentdas
aufzustellen,
Bestandteile der iibrigen von Lie zu Grunde gelegten Axiome beziiglich der Natur der die Punkte in gleicher Entfernung definierenden
Gleichung lassen sich rein geometrisch nur auf recht gezwungene und
liche
komplizierte Weise zum Ausdruck bringen und scheinen iiberdies nur
durch die von Lie benutzte analytische Methode, nicht durch das Problem
selbst bedingt.
Ich habe daher im folgenden fur die ebene Geometrie ein System
von Axiomen aufzustellen gesucht, welches, ebenfalls auf dem Begriff der
Gruppe beruhend, nur einfache und geometrisch ubersichtliche Forderungen
enthalt
und insbesondere
die
Differenzierbarkeit
mittelnden Funktionen keineswegs voraussetzt.
aufgestellten
Systems
Axiomen enthalten
sind
als
spezielle
der die
Bewegung
ver-
Die Axiome des von mir
Bestandteile
in
den
Lieschen
oder, wie ich glaube, aus ihnen sofort ableitbar.
Meine Beweisfiihrung ist vollig von der Methode Lies verschieden:
ich operiere vornehmlich mit den von G. Cantor ausgebildeten Begriffen
der Theorie der Punktmengen und benutze den Satz von C. Jordan, wonach
Zur Kennzeichnung der nachfolgenden Begrundungsweise der Geometrie im
SchluB
Vergleich mit dem in meiner Festschrift befolgten Verfahren sehe man die am
1)
dieser
Abhandlung gemachte Bemerkung
2)
(S. 162).
Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen Bd. 3 Abteilung
5.
122
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
jede ebene stetig geschlossene Kurve ohne
ein inneres und ein auBeres Gebiet teilt.
GewiB sind auch
in
dem von mir
Doppelpunkte
aufgestellten
die
Ebene
in
System noch einzelne
doch habe ich von einer weiteren Untersuchung
Umstandes abgesehen aus Riicksicht auf die einfache Fassung der
Axiome und vor allem, weil ich eine verhaltnismaBig zu komplizierte und
Bestandteile entbehrlich
;
dieses
geometrisch nicht iibersiclitliche Beweisfuhrung vermeiden wollte.
Ich behandle im folgenden die Axiome nur fiir die Ebene, obwohl
ich meine, daB ein analoges Axiomensystem fiir den Raum
aufgestellt
werden kann, das den Auf bau der raumlichen Geometrie
in analoger
Weise
1
ermoglicht
Wir
).
s chicken
einige Erklarungen voran.
Erklarungen. Wir verstehen unter der Zahlenebene
Ebene mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem x, y.
die
Eine doppelpunktlose und einschlieBlich ihrer Endpunkte
in dieser Zahlenebene heifie
Kurve geschlossen,
so heiBe
eine Jordansche Kurve.
das
Innere
des von
gewohnliche
stetige
1st eine
Kurve
Jordansche
derselben begrenzten
Gebietes der Zahlenebene ein Jordansclies Gebiet.
Der leichteren Darstellung und FaBlichkeit wegen will ich in der
vorliegenden Untersuchung die Definition der Ebene enger fassen, als es
meine Beweisfiihrung erfordert 2 ), ich will namlich annehmen, daB es
1) Durch die nachfolgende Untersuchung wird zugleich, wie ich glaube, eine
allgemeine die Gruppentheorie betreffende Frage, die ich in meinem Vortrag ,,Mathematische Probleme&quot;, Gottinger Nachrichten 1900, 8. 17 aufgeworfen habe, fur den
speziellen Fall der Gruppe der Bewegungen in der Ebene beantwortet.
2) Betreffs der weiteren Fassung des Begriffes der Ebene vergleiche man meine
Note iiber die Grundlagen der Geometrie in den Gottinger Nachrichten 1902. Ich
habe daselbst die folgende allgemeinere Definition der Ebene aufgestellt:
Die Ebene ist ein System von Dingen, welche Purikte heifien. Jeder Punkt A
bestimmt gewisse Teilsysteme von Purikten, zu denen er selbst gehort und welche Umgebungen des Punktes A heifien.
Die Punkte einer Umgebung lassen sich
stets
umkehrbar eindeutig auf die Purikte
Das Jordansche Ge
wird ein Bild jener Umgebung genannt.
Jedes in einem Bilde enthaltene Jordansche Gebiet, innerhalb dessen der Punkt A
liegt, ist wiederum ein Bild einer Umgebung von A.
Liegen verschiedene Bilder einer
eines gewissen
Jordanschen Gebietes in der Zahlenebene abbilden.
biet
Umgebung vor, so ist die dadurch vermittelte umkehrbar eindeutige Transformation der
betreffenden Jordanschen Gebiete aufeinander eine stetige.
Ist
irgend ein Punkt in einer Umgebung von A, so ist diese Umgebung auch
B
zugleich eine
Zu
Umgebung von B.
A
irgend zicei Umgebungen eines Punktes
des Punktes A, die beiden Umgebungen gemeinsam
gibt es stets eine solche
Umgebung
ist.
Wenn A und B irgend zwei Punkte unserer Ebene sind,
Umgebung von A, die zugleich den Punkt B enthdlt.
so gibt es stets eine
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
123
moglich ist, die samtlichen Punkte unserer Geometrie zugleich auf die im
Endlichen gelegenen Punkte der Zahlenebene oder auf ein bestimmtes
Teilsystem derselben umkehrbar eindeutig abzubilden, so daB dann jeder
Punkt unserer Geometrie durch ein bestimmtes Zahlenpaar x, y charakte-
Wir
risiert ist.
formulieren diese Fassung des Begriffes der Ebene wie folgt:
Die Ebene ist ein System von Dingen, die Punkte
Definition der Ebene.
und die sich umkehrbar eindeutig auf die im Endlichen gelegenen
Punkte der Zahlenebene oder auf ein gewisses Teilsystem derselben abbilden
lassen; diese Punkte der Zahlenebene (d, h. die Bildpunkte) werden aucli
heifien,
zugleich zur Bezeichnung der
Zu jedem Punkte
A
Punkte unserer Ebene
unserer Ebene gibt
es
selbst
verwandt.
in der Zahlenebene
Jor-
A
denen der Bildpunkt von
liegt und der en sdmtliclie
Punkte ebenfalls Punkte unserer Ebene darstellen. Diese Jordanschen Ge
biete heifien Umgebungen des Punktes A.
in
dansclie Gebiete,
Jedes in einer Umgebung von
A
enthaltene Jordansche Gebiet, inner nalb
Punkt A (Bildpunkt von A) liegt, ist wiederum eine Umgebung von A.
irgend ein Punkt in einer Umgebung von A, so ist diese Um
auch
gebung
zugleich eine Umgebung von B.
Wenn A und B irgend zwei Punkte unserer Ebene sind, so gibt es
dessen der
Ist
B
stets eine
Umgebung von A,
Wir werden
die
die zugleich den
Bewegung
mation unserer Ebene in sich
als
eine
definieren.
Punkt
B
enthdlt.
umkehrbar eindeutige Transfor
Offenbar lassen sich von vorn-
herein zwei Arten von umkehrbar eindeutigen stetigen Transformationen
der Zahlenebene in sich unterscheiden. Nehmen wir namlich irgend eine
geschlossene Jordansche Kurve in der Zahlenebene an
und denken uns
dieselbe in einem bestimmten Sinn durchlaufen, so geht dieselbe bei einer
solchen Transformation wiederum in eine geschlossene Jordansche Kurve
Wir wollen nun in
wird.
fiber, die in einem gewissen Sinne umlaufen
der gegenwartigen Untersuchung annehmen, dafi dieser Umlaufssinn derselbe
ist,
wie
fiir
die
urspriingliche
Jordansche
Kurve, wenn wir eine
Diese Forderungen enthalten, wie mir scheint, fur den Fall zweier Dimensionen
Riemann und Helmholtz als ,,mehrfach ausund
und
Lie
als
,,Zahlenmannigfaltigkeit&quot; bezeichneten
gedehnte Mannigfaltigkeit&quot;
die scharfe Definition des Begriffes, den
ihren gesamten Untersuchungen zu Grunde legten. Auch bieten sie die Grundlage
fur eine strenge axiomatische Behandlung der Analysis situs.
Indem wir die obige engere Definition der Ebene annehmen, wird offenbar die
Geometrie von vornherein ausgeschlossen da sich deren Punkte nicht in
mit unseren Axiomen vertraglichen Weise auf die im Endlichen gelegenen
Punkte der Zahlenebene abbilden lassen. Es ist jedoch nicht schwer, die Abanderungen
elliptische
,
einer
zu erkennen, die in unserer Beweisfuhrung notig sind, wenn
des Begriffes der Ebene zu Grunde legt.
man
die weitere
Fassung
124
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
Transformation der Zahlenebene in sich anwenden, welche eine
Bewegung
Diese Annahme 1 ) bedingt folgende Fassung des
der
defmiert.
Begriffes
Bewegung:
Definition der Bewegung. Eine Bewegung ist eine umkehrbar eindeutige
Transformation der Bildpunkte der Zahlenebene in sich von der Art, daft
dabei der Umlaufssinn einer gescldossenen Jordansclien Kurve stets derselbe bleibt.
stetige
Eine Bewegung, bei welcher ein Punkt
Drenung urn den Punkt M.
M
ungeiindert bleibt, heiftt eine
Nach Festlegung des Begriffes ,Ebene&quot; und Bewegung&quot; stellen wir
Axiome auf:
Axiom I. Werden zwti Beivegungen liintereinander ausgefutirt, so ist
,;
;
folgende drei
die
dann
entsteliende
Transformation unserer Ebene in sich wiederum eine
Bewegung.
Wir sagen
Axiom
I.
Axiom
II.
kurz:
Die Bewegungen bilden eine Gruppe.
Wenn
A
der Ebene sind, so Jcann
und
man
unendlicli viele verschiedene
Nennen wir
M
beliebige
den Punkt
Lagen
voneinander verschiedene Punkte
A
durch Dretiung
um
M
stets
in
bring en.
die Gesamtheit derjenigen Punkte,
M
die
durch die samt-
M
aus einem von
verscbiedenen Punkte entDrebungen um
stehen, einen wahren Kreis in unserer ebenen Geometrie, so konnen wir
die Aussage des Axioms II aucb so fassen:
Axiom II. Jeder wahre Kreis besteht aus imendlich vielen Punkten.
lichen
Dem
letzten
Erklarung.
Axiom
Es
schicken wir eine Erklarung voraus.
sei
AB
ein
bestimmtes
Punktepaar
in
unserer
mit den namlichen Buchstaben mogen aucb die Bilder dieses
Punktepaares in der Zahlenebene bezeichnet werden. Wir grenzen um
die Punkte
und
in der Zahlenebene je eine Umgebung a bez. /3 ab.
Geometrie;
B
A
Wenn
ein
Punkt A*
in
die
Umgebung a und
zugleich ein Punkt
Umgebung /3 fallt, so sagen wir: das Punktepaar A*B*
Umgebung a/3 von AB. Die Aussage, daB diese Umgebung
die
1)
B*
in
liegt in der
a/3
beliebig
diese Annahme in der Forderung enthalten, daB die Gruppe der
infinitesimale Transformationen erzeugt sei. Die entgegengesetzte
h. die Annahme der
Moglichkeit von Umlegungen) wiirde wesentlich die
Bei Lie
ist
Bewegungen durch
Annahme
(d.
Beweisfuhrung erleichtern, insofern alsdann die ,,wahre Gerade&quot; unmittelbar als der
Ort derjenigen Punkte definiert werden kann, welche bei einer den Umlaufssinn
andernden Transformation (Umlegung) fest bleiben.
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
klein
125
A
bedeuten, daB a eine beliebig kleine Umgebung von
eine beliebig kleine Umgebung von
ist.
sei
ein bestimmtes Punktetripel in unserer Geometrie;
soil
sei,
zugleich
und
B
ft
ABC
Es
mit
namlichen Buchstaben mogen auch die Bilder dieses Punktetripels
in der Zablenebene bezeichnet werden. Wir grenzen um die Punkte A, B, C
den
in
Zahlenebene je eine
der
Punkt A*
in
gebung
und
ft
die
Umgebung
Punkt C*
ein
A*B*C*
Punktetripel
a bez. ft bez. y ab. Wenn
a und zugleich ein Punkt B* in die
in die
in der
liegt
ein
Umgebung
Um
Umgebung y fallt, so sagen wir: das
Umgebung ccft y von ABC. Die Aus-
sage, daB diese Umgebung ccfty beliebig klein sei,
ein beliebig kleine Umgebung von
und zugleich
A
bedeuten, daB a
soil
ft
eine beliebig kleine
B und y eine beliebig kleine Umgebung von C ist.
Beim Gebrauch der Worte ,,Punktepaar&quot; und ,,Punktetripel&quot; wird
Umgebung von
nicht
angenommen, daB
die
Punkte des Punktepaares oder des Punkte
voneinander verschieden sind.
tripels
Axiom III. Wenn es Bewegungen
liebiger Nahe des Punktetripels ABC
ABC
durcti
werden konnen,
iibergefuhrt
das
welche
gibt,
so gibt es stets auch eine solche
Bewegung,
C
genau in das Punktetripel
ABC
Punktetripel
durch tcelche Punktetripel in be
Nahe des Punktetripels
in belicbige
AB
1
ubergeht
).
Die Aussage dieses Axioms wollen wir kurz so ausdriicken:
Axiom
Wenn
III.
Die Bewegungen bilden ein abgeschlossenes System.
Axiom
wir in
III
gewisse Punkte der Punktetripel zusammen-
fallen lassen, so ergeben sich leicht einige spezielle Falle des
Axioms
III,
noch besonders hervorheben, wie folgt:
Wenn es Drehungen um einen Punkt
gibt, durch welche Punkte-
die wir
M
paare
Nahe
in beliebiger
AB
des Punktepaares
in
Punktepaares
iibergefiihrt werden konnen, so gibt
solche Drehung um M, durch welche das Punktepaar
Punktepaar
Wenn
Nahe
des
AB
es
gibt,
AB
in
werden
beliebige
Nahe
es
stets
so
AB
iibergeht.
Wenn
es
AB
des
auch eine
genau in das
durch welche Punktepaare in beliebiger
konnen,
gibt
wegung, durch welche das Punktepaar
in beliebiger
es stets
iibergeht.
Bewegungen
Punktepaares
iibergefiihrt
Nahe
beliebige
AB
Drehungen
Nahe
um
den Punkt
des Punktes
A
genau
M
des Punktepaares
auch eine solche
in das
gibt,
in beliebige
Punktepaar
AB
Be
AB
durch welche Punkte
Nahe von
1) Es geniigt Axiom III fur geniigend kleine Umgebungen
wie es ahnlich auch bei Lie geschieht; meine Beweisfiihrung
daB nur diese engere Annahme darin benutzt wird.
A
als erfiillt
liiBt
iibergefiihrt
anzunehmen,
sich so abiindern,
126
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
werden konnen, so gibt
welche
A
in
es stets
auch eine solche Drehung
um M,
genau
ubergeht.
Diesen letzten Spezialfall des Axioms
III
werde ich bei der nach-
folgenden Beweisfiihrung oftmals in der Weise anwenden, daB
Punkt
M
eintritt
durch
A
A
fiir
der
1
).
Ich beweise nun folgende Behauptung:
Eine ebene Geometrie, in welcher die
Axiome
I
III
erfullt
sind, ist entweder die Euklidische oder die Bolyai-Lobatschefskysche ebene Geometrie.
Wollen wir
allein die
nur notig, bei Axiom
Euklidische Geometrie erhalten, so haben wir
den Zusatz zu machen, daB die Gruppe der Bewegungen eine invariante Uutergruppe besitzen soil. Dieser Zusatz vertritt
I
die Stelle des Parallelenaxioms.
Den Gedankengang meiner Beweisfiihrung mochte
skizzieren
ich kurz wie folgt
:
In der
Umgebung
irgend eines Punktes
Verfahren ein gewisses Pimktgebilde
M wird durch
ein besonderes
Punkt
und
dann
der
K
um
wahre
Kreis
jc
durch
(
2)
der Untersuchung unterworfen ( 3).
Es ergibt sich, daB der wahre
Kreis K eine abgeschlossene und in sich dichte, d. h. eine perfekte Punktkonstruiert
menge
Ick
und auf
1
diesern ein gewisser
M
ist.
Das nachste Ziel unserer Entwickelungen besteht darin, zu zeigen,
daB der wahre Kreis x eine geschlossene Jordansche Kurve ist 2). Dies
gelingt, indem wir zunachst die Moglichkeit einer Anordnung der Punkte
des wahren Kreises % erkennen
(
4
5),
hieraus eine umkehrbar ein-
deutige Abbildung der Punkte von K auf die Punkte eines gewohnlichen
Kreises schliefien ( 6
7) und endlich beweisen, daB diese Abbildung
Nunmehr ergibt sich auch, daB
stetige sein muB ( 8).
das urspriinglich konstruierte Punktgebilde hk mit dem wahren Kreise K
identisch ist ( 9).
Weiter gilt der Satz, daB jeder wahre Kreis innerhalb K ebenfalls eine geschlossene Jordansche Kurve ist ( 10
12).
notwendig eine
1)
Eine Folgerung, die ich im miindlichen Vortrage in der Festsitzung zur
Jubelfeier der Ges. d. Wiss. zu Gottingen 1901 als besonderes Axiom aufgefuhrt habe,
ist diese:
,,Irgend zwei Punkte konnen durch Bewegung niemals in beliebige Nahe
zu einander
geraten.&quot;
rungen zusammen
im stande
Es ware zu untersuchen, inwieweit bez. mit welchen FordeForderung das oben aufgestellte Axiom HE zu ersetzen
diese
ist.
2) Vgl. hierzu die ein
ahnliches Ziel verfolgende interessante Note von A. Schonflies
Situs&quot;
Gottinger Nachrichten. 1902.
,,Uber einen grundlegenden Satz der Analysis
:
Anhang IV: Grrandlagen der Geometrie.
127
Wir wenden uns nun
tionen,
die
in
erfahrt
1)
sich
zur Untersuchung der Gruppe der Transforma
der wahre Kreis x
Drehungen der Ebene urn
M
den
bei
13).
(
Jede Drehung urn
M,
Diese
die
besitzt
Gruppe
folgende Eigenschaften:
einen Punkt von x festlaBt, laBt alle Punkte
desselben fest ( 14).
2) Es gibt stets eine Drehung urn M, die irgend
einen gegebenen Punkt von x in irgend einen anderen Punkt von x iiberfuhrt ( 15). 3) Die Gruppe der Drehungen um
ist eine
M
stetige
(
16).
Diese drei Eigenschaften bestirnmen vollstandig den Bau der Gruppe der
Transformationen, die alien Drehungen des wahren Kreises in sich entsprechen. Wir stellen namlich den folgenden Satz auf: Die Gruppe aller
Transformationen des wahren Kreises x in
sich, die
Drehungen
um
M
sind,
holoedrisch isomorph mit der Gruppe der gewohnlichen Drehungen
des gewohnlichen Kreises in sich ( 17
18).
Nunmehr untersuchen wir die Gruppe der Transformationen aller Punkte
ist
unserer Ebene bei Drehungen um M.
der Identitat keine Drehung der Ebene
eines
wahren Kreises
ft,
festlaBt
(
19).
Es
um
gilt
M
der Satz, daB es auBer
Kreis eine geschlossene Jordansche Kurve
ist,
Punkt
gibt, welche jeden
Wir erkennen
jetzt,
daB jeder wahre
und gewinnen Formeln fur
M
Transformationen jener Gruppe aller Drehuugen urn
20
(
21).
Endlich folgen leicht die S atze: Wenn irgend zwei Punkte bei einer Bedie
wegung
wegung
der Ebene festbleiben, so bleiben alle Punkte fest, d. h. die Beist die Identitat.
Jeder Punkt der Ebene laBt sich durch eine
geeignete
Bewegung
in jeden anderen
Punkt der Ebene
iiberfiihren
(
22).
Unser wichtigstes weiteres Ziel besteht darin, den Begriff der wahren
Geraden in unserer Geometrie zu defim eren und die fur den Aufbau der
Geometrie notwendigen Eigenschaften dieses Begriifes zu entwickeln. Zunachst werden die Begriffe Halbdrehung und Mitte einer Strecke definiert
(
23). Eine Strecke hat hochstens eine Mitte ( 24) und wenn man von
einer Strecke
ihre Mitte kennt, so folgt,
eine Mitte besitzt
Um
(
25
daB auch jede kleinere Strecke
26).
Lage der Streckenmitten zu beurteilen, haben wir einige
sich beriihrende wahre Kreise notig, und zwar kommt es vor
die
Satze iiber
allem darauf an, zwei zueinander kongruente Kreise zu koustruieren, die
sich einander von auBen in einem und nur in einem Punkte beriihren
Wir
allgemeinen Satz fiber Kreise, die sich
ab
berfihrPn,
(
28) und sodann einen Satz fiber den besonderen
Fall, daB der von innen bertihrende Kreis durch den Mittelpunkt des beriihrten Kreises geht (
29).
(
27).
leiten
ferner einen
von innen
Nunmehr
wird eine bestimmte genfigend kleine Strecke als Einheits-
Grunde gelegt und aus dieser durch fortgesetzte Halbierung
und Halbdrehung ein System von Punkten von der Art konstruiert, daB
strecke zu
Anhang IV: Grundlagen der
128
jedem Punkte
Greometrie.
Systems eine bestimmte Zahl a zugeordnet erscheint,
und nur eine Potenz von 2 als Nenner hat ( 30). Nach
dieses
die rational ist
Aufstellung eines Gesetzes iiber diese Zuordnung ( 31) werden die Punkte
des gewonnenen Punktsystems untereinander angeordnet, wobei die friiheren
zur Geltung kommen ( 32).
Jetzt
den Zahlen -|, ~, -|,
entsprecbenden
konvergieren ( 33). Dieser Satz wird schritt-
Satze iiber sich beriihrende Kreise
daB
der
Nachweis,
gelingt
Punkte gegen den Punkt
die
.
.
.
weise verallgemeinert, bis wir schlieBlich erkennen, daB eine jede Punktreibe unseres Systems konvergiert, sobald die entsprechende Zablenreihe
konvergiert
Nach
raden
als
Punkten
34
(
35).
diesen Vorbereitungen gelingt die Definition der wahren Ge-
Systems von Punkten, die aus zwei zu Grunde gelegten
entstehen, wenn man fortgesetzt die Mitten nimmt, Halbeines
drehungen ausfiihrt und die Haufungsstellen aller erhaltenen Punkte hinSodann konnen wir beweisen, daB die wahre Gerade eine
(
36).
zufiigt
Kurve
37), keinen Doppelpunkt besitzt ( 38) und mit irgend
wahren Geraden hochstens einen Punkt gemein hat ( 39).
Es ergibt sich ferner, daB die wahre Gerade jeden um einen ihrer Punkte
gelegten Kreis schneidet, und hieraus folgt, daB man irgend zwei beliebige
Punkte der Ebene stets durch eine wahre Gerade verbinden kann ( 40).
stetige
ist (
einer anderen
Auch erkennen wir
in unserer Geometrie die Kongruenzsatze als giiltig,
wobei sich jedoch zwei Dreiecke nur dann als kongruent erweisen, wenn
fur sie auch der Umlaufssinn der gleiche ist ( 41).
Hinsichtlich der Lage des Systems aller wahren Geraden gegenein-
ander sind zwei Falle zu unterscheiden, je nachdem das Parallelenaxiom
zwei Gerade
giiltig ist oder durch jeden Punkt zu einer gegebenen Geraden
existieren, die die schneidenden
Geraden von den nicht schneidenden Ge
raden abgrenzen. Im
letzteren zur Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie
ersteren Falle gelangen wir zur Euklidischen,
(
im
42).
I-
Es
sei
Bildpunkt
M
der
irgend ein Punkt in unserer Geometrie und zugleich
Zahlenebene x, y. Unser nachstes Ziel^ist dann, um
M
in der
gewisse Punktgebilde zu konstruieren, die sich schlieBlich
herausstellen werden.
Kreise um
M
Wir schlagen
O
Kreis & iru Sinne
liche
in der Zahlenebene
um
M einen
als die
wahren
..Zahlenkreis&quot;/ d. h.
//
einen
der gewohnlichen MaBbestimmung, so klein,, daB samtPunkte innerhalb und auf diesem Kreise $ ebenfalls Bildpunkte sind
der Geometrie.
Anhang IV: Grundlagen
und
auch Punkte auBerhalb
es
konzentrischen Kreis
innerhalb dieses Kreises
$
Kreises
Um
Dann gibt es gewiB einen zu
von der Art, daB samtliche Bildpunkte
gibt.
$
innerhalb
f
bei beliebigen
!
129
um
Drehungen
M innerhalb
des
bleiben.
dies zu beweisen, betrachten wir in der Zahlenebene eine unend-
mit abnehmenden
Reihe von konzentrischen Zahlenkreisen f^, f2 f3
im Gegensatz zur
und
nebmen
dann
Radien
und gegen
konvergierenden
der Art an, daB
von
Kreise
einen
in
dieser
Bildpunkt
jedem
Behauptung
des Kreises
eine
auBerhalb
an
derselbe bei einer gewissen Drehung um
liche
,
.
.
.
,
M
A
kommt
riickt: es
oder auf die Peripherie des Kreises
! { gelegener Bildpunkt, der bei der Drehung
i
in eine auBerhalb des Kreises $ oder auf demselben gelegene Stelle iiber-
gelegene Stelle
A
sei
f
im Kreise
ein solcher
Wir denken uns dann von
geht.
des betreffenden Zahlenkreises
f,-
in welche der Radius ri bei der
M nach
vom Punkte
sei
B
einer dieser Treffpunkte
{
gezogen und
fassen die
Drehung A^
iibergeht.
i
den Radius ri
Kurve y
Da
ins
i
diese
Auge,
Kurve y
i
einer gewissen Stelle auBerhalb oder auf deni Kreise
sie notwendig die Peripherie des Kreises $ treffen; es
muB
so
lauft,
M nach jedem Punkte A
B B B
2,
3
punkte
l}
der bei
Radius r
.
.
Nun
.
.
,
der
t ,
B
und
sei
eine Verdichtungsstelle der Treff-
C
allgemein
B
in
Drehung A;
i
{
derjenige
iibergeht.
Punkt auf dem
Da die Punkte
nach Axiom
gegen M konvergieren,
Kreises
der
auf
welcher
um
gelegene
Peripherie
M,
Drehung
Dies
M
den Punkt
Punkt B
widerspricht dem vorhin
Cl} C C3
2
,
,
.
.
in
eine
des
der
bei
III
gibt es
so
.
defi-
iibergeht.
nierten Begriff der Bewegung.
2.
Wie
1 festgesetzt, sei
bereits in
?
ein Zahlenkreis innerhalb
die Bedingungen des dort bewiesenen Satzes
punkte innerhalb ! bei den Drehung en um
erfiillt,
,
der
so % daB samtliche Bild
M innerhalb
sei
fc
ein Zahlenkreis innerhalb
hungen um
M innerhalb
Punkte der Zahlenebene,
innerhalb oder auf
keiner Drehung
unbedeckt.
Jc
um
!
bleiben; ferner
dessen samtliche Punkte bei den Dre-
?,
bleiben.
Dann bezeichnen wir kurz
die bei irgend einer
Drehung um
diejenigen
M aus Punkten
die bei
entstehen, als bedecJct und diejenigen Punkte,
auf
k
oder
aus Punkten innerhalb
entstehen, als
M
Aus Axiom
III
folgt
sofort,
daB die bedeckten Punkte eine
A
ein bestimmter Punkt
sei
abgeschlossene Punktmenge bilden. Ferner
welcher Bildpunkt fur einen Punkt unserer Geometrie ist.
auBerhalb
durch eine Jordansche Kurve,
Wenn sich nun ein unbedeckter Punkt
,
A
A
verbinden laBt, so
aus lauter unbedeckten Punkten besteht, mit
Punkte auBerhalb
alle
Insbesondere sind
heifie
auficrhalb kk gelegen.
die
A
des Zahlenkreises
!
gewiB auBerhalb kk gelegene Punkte.
Hilbert, Grundlagen der Geometrie.
Jeder bedeckte
130
Anhang IV: Grundlagen der Geometric.
Punkt, zu dem in beliebig kleiner
Punkte auBerhalb kk
Die Punkte auf kk bilden eine abgesclilossene Punktmenge. Diejenigen Punkte
J, die weder Punkte auBerhalb
kk noch Punkte auf kk sind, sollen Punkte innerlialb kk heiBen. Insbe-
Umgebung
sich
befinden, heiBe ein Punkt auf kk.
sondere sind also alle bedeckten Punkte, zu welchen nicht in
beliebiger
und die Punkte
liegen, wie z. B. der Punkt
M
Nahe unbedeckte Punkte
innerbalb
k, sicher innerhalb
kk gelegen.
3.
Indem wir bedenken,
um
M niemals
daB,9 wie
f
in das Innere
M
von
!
bestimmt war,
/
A
bei den
Drehungen
Q
hineingelangt, erkennen wir; daB bei
die Punkte auBerhalb kk wieder in Punkte
f
einer jeden Drehung um
auBerhalb kk, ferner die Punkte auf kk wieder in Punkte auf kk und
die Punkte innerhalb kk wiederum in Punkte innerhalb kk
iibergehen.
Jeder Punkt auf kk ist nach unserer Festsetzung ein bedeckter Punkt,
und da wir wissen, daB die Punkte innerhalb k auch innerhalb kk liesren,
O
&quot;
/
so schlieBen wir hieraus folgende Tatsache:
Zu jedem Punkte
K
auf kk gibt es gewiB eine Drehung
durch welche ein auf der Peripherie von k gelegener Punkt
A um M,
K
nach
K
a
gelangt.
A um
M
Der Radius
MK
des Zahlenkreises k liefert nach der
M
eine Jordansche Kurve, welche
mit dem
verbindet und die sonst ganz innerhalb kk verlauft.
Punkte
Drehung
auf kk
K
Anhang IV: Grundlagen
cler
Geometric.
131
Zugleich sehen wir, daB mindestens ein Punkt der Peripherie des
Zahlenkreises k, namlich gewifi der Punkt
auf kk liegt.
,
Wir verbinden den auBerhalb kk gelegenen Punkt
durch irgend
K
Kurve mit
eine Jordansche
M
A
und bezeichnen
K
jetzt mit
denjenigen
liegt und von der Art ist, daB
alle auf der Jordanschen Kurve zwischen
und A gelegenen Punkte
Sodann fassen wir das System aller aus
durch
auBerhalb kk liegen.
d.
h.
x um
den
wahren
Kreis
um
hervorgehenden Punkte,
Drehungen
Die Punkte dieses wahren Kreises sind samtlich
durch
ins Auge.
Punkt
dieser Jordanschen Kurve, der auf
kk
K
K
M
M
K
Punkte auf
kk.
Nach Axiom
II enthalt K
unendlich viele Punkte.
1st
K*
eine Ver-
dichtungsstelle von Punkten des wahren Kreises x, so gehort diese wegen
Axiom III ebenfalls zum wahren Kreise x. Bezeichnet l irgend einen
K
Punkt des wahren Kreises
ausfiihren, welche
K*
in
x,
K
so folgt,
wenn wir
M
diejenige Drehung um
eine Yerdichtungs-
uberfuhrt ; daB auch
K
von Punkten des wahren Kreises x ist. Wir erhalten somit den Satz:
Der wahre Kreis x ist eine abgescJilossene und in sich dichte d. h. cine
stelle
perfekte Punktmenge.
4.
Das wichtigste Ziel der nachstfolgenden Entwickelungen besteht darin,
zu zeigen, daB der wahre Kreis x eine geschlossene Jordansche Kurve ist.
Es wird sich ferner herausstellen, daB der wahre Kreis x mit den Punkten
auf kk ubereinstimmt.
K K
des wahren
Zunachst beweisen wir, daft irgend zwei Punkte
2
l}
Kreises x sick stets untereinander sowokl durck eine Jordanscke Kurve ver
binden lassen, die abgesehen von den Endpunkten ganz innerhalb kk verlauft,
als
durch eine solche Jordansclie Kurve, die abgesehen von den Endpunlden
ganz aufierkalb kk
verlauft.
In der Tat, ziehen wir entsprechend den obigen Ausfiihrungen die
welche innerhalb kk den MittelJordanschen Kurven MK^ und
2
mit
verbinden, und bestimmen auf der Kurve
L beziiglich
2
punkt
M KI
MK
M
M
von
,
K
K
MK
2
gelegenen Punkt P, so
ausgehend den letzten auf
Kurve
zusammen mit dem
der
ersteren
Jordanschen
PK^
eine
Kurve
der letzteren Jordanschen
Verbindungskurve von
bildet das Stuck
Stuck
PK
2
der zuerst verlangten Art.
Andererseits fassen wir die Drehungen
M
ins Auge, bei denen
um
bez. A 2 die dabei aus
A
Punkte
t
z
t
A entstehen, sind nach 3 Punkte auBerhalb kk und lassen sich daher auBer
halb kk mit A verbinden. Aus diesen Verbindungskurven und denjenigen
K in K
bezuglich in
K
iibergeht; die
Jordanschen Kurven, die bei jenen Drehungen aus der in
,
3 konstruierten
9*
132
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
AK entstehen, konnen wir leicht eine
K zusammensetzen, die ganz auBerhalb
Kurve
Kurve zwischen
und
Jordanschen
K
Jordansche
kk
2
verlauft.
5-
Der eben gefundene Satz
wahren Kreises K
Es seien
lt
uns in den Stand,
setzt
in bestimmter
Punkte des
die
Weise anzuordnen.
K K K K
Kreises
Wir
x.
2,
3
irgend vier verschiedene Punkte des wahren
verbinden die Punkte
einerseits durch eine Jordansche
,
KK%
K
und K%) innerhalb kk verlauft, und
Kurve, die ganz (d. h. zwischen
andererseits durch eine solche, die ganz auBerhalb kk verlauft. Da diese
beiden Yerbiudungskurven einschlieBlich ihrer Endpunkte
2 stetig sind,
K K
,
so bilden sie
zusammen
Weise aus K^
,
K
eine geschlossene Jordansche Kurve.
hergestellte
2
Kurve wollen wir
stets
mit
Eine in dieser
K K%
t
bezeichnen.
Die ganze Zahlenebene zerfallt dann, abgesehen von K^K^ selbst, nach dem
bekannten Jordanschen Satze in zwei Gebiete, namlich das Innere und das
AuBere dieser Kurve
K^K
2
.
K K
Lage der Punkte
5J K^ werden durch
Betreffs der
zwei Falle moglich: erstens die Punkte
K
3
,
die
sind nun
Kurve K^K^
nicht getrennt, d. h. sie liegen beide innerhalb oder beide auBerhalb derselben;
zweitens die Punkte
werden durch die Kurve
3,
getrennt, d. h.
es liegt
auBerhalb der Kurve
oder
3 innerhalb und
2
umgekehrt.
K K
K
K
Verbinden wir die Punkte
&j
K^K
K K
irgend wie anders durch einen inner
halb kk und einen auBerhalb kk verlaufenden Weg, so erkennen wir leicht,
17
2
K K
zu der neu entstehenden
Lage der Punkte
3}
geschlossenen Jordanschen Kurve K^K^ gewiB derselbe Fall eintritt, wie
In der Tat, liegt beispielsweise der erste Fall vor, und befinden
vorhin.
sich
beide im Innern von K^K^ so verbinde man
und
s
3
durch einen innerhalb kk verlaufenden Weg W. Sollte derselbe aus dem
dafi
hinsichtlich der
K K
K
,
K
KK%
Inneren der geschlossenen Kurve
heraustreten, so miiBte er im weiteren Verlauf doch schlieBlich wieder in dieses Innere zuruckfiihren; es
daher gewiB moglich 7 den auBerhalb K^K2 verlaufenden Teil dieses
durch einen nahe an dem betreffenden Stiicke von K^K^ ver
Weges
ist
W
laufenden
halb
zu ersetzen, welcher ganz innerhalb kk und zugleich inner
zwischen
verlauft, so daB dadurch ein Verbindungsweg
Weg
KiK^
W*
K und K entsteht, welcher ebenfalls ganz innerhalb kk und innerhalb
K K verlauft. Setzen wir aus dem innerhalb kk liegenden Teil der Kurve
3
2
K^Ki und dem
auBerhalb kk liegenden Teil der Kurve K^K^. eine neue
W*
offenbar ein
geschlossene Jordansche Kurve K^K^ zusammen, so ist
innerhalb dieser neuen Kurve verbindet, ohne
Weg, welcher 3 und
K
K
K
K
Kurve K^K^ zu durchsetzen, d. h.
werden durch K^K^
3 und
nicht
Hieraus
nach
gewiB
getrennt.
folgt
entsprechender Konstruktion
die
Anhang IV: Grundlagen
K
der Geometrie.
K
133
KK
auBerhalb kk, daB
und
auch durch die Kurve
3
werden. Wir diirfen daher im ersten Falle schlechthin
nicht getrennt
2
sagen: Das Punktewird durch das Punktepaar l} 2 nicht
getrennt. Dann aber
folgt auch im zweiten Falle, daB wir schlechthin sagen diirfen: Das Punkte
wird durch das Punktepaar K, K% getrennt.
paar
s
K K
paar
3
K K
,
K K
,
Wir
Punkte
fiihren
nun irgend
K K ,K K
in
Drehung um
eino
K^ K K K
M
durch welche die
aus,
Bedenken
2 ,
3 ,
iibergehen.
wir, daB
Definition eine stetige und
eindeutige umkehrbare
Transformation der Zahlenebene ist und die Punkte innerhalb kk in Punkte
die
1}
2
3
,
Drehung nach der
innerhalb kk, die Punkte auBerhalb kk in Punkte auBerhalb kk
iiberfiihrt,
K K
K,
daB die Punktepaare
voneinander getrennt
K% und
s ,
oder nicht getrennt liegen, je nachdem die Punktepaare
und 3 ,
l}
2
sich einander trennen oder nicht, d. h. die
gegenseitige Lage der Punkte
so folgt,
K
paare K!,
und
2
K K
3,
K K
Ueibt bei einer beliebigen
K K
um
Drehung
M
un-
verandert.
Wir leiten in ahnlicher Weise auch die Satze ab, die den iibrigen bekannten
Tatsachen hinsichtlich der gegenseitigen Lage der Punktepaare auf der Peri
pherie eines gewohnlichen Zahlenkreises entsprechen, namlich die Satze:
K
K K
Wenn
durch
K K
3y
t&amp;gt;
i}
i}
2
K% durch
K K
3
,
Wenn
getrennt.
getrennt werden, so werden auch
K K
l}
getrennt werden, so ivird auch
durch
K^K^
K K
2}
durch
6
und
K^K^
2
,
die gegenseitige
Trennung von Punktepaaren wie
die
3
,
durch
getrennt.
Dadurch sind wir zu dern folgenden Ergebnis gelangt:
Die Punkte des wahren Kreises K sind cyklisch, d. h. mit
auf
K K
K K
Rucksiclit
Punkte eines ge
wohnlichen Zahlenkreises angeordnet. Diese Anordnung ist gegenuber den
um den Mittelpunkt
des wahren Kreises x invariant.
M
Drehungen
6-
Eine weitere wichtige Eigenschaft des wahren Kreises x sprechen wir
wie folgt aus:
Zu
irgend einem
Punktepaar
Wir
Punktepaar des wahren Kreises x gibt
dieses Kreises x, welches jencs
Kx
Punktepaar
es
stets
ein
trennt.
gewahlten Punkt des wahren
und wollen dann von irgend drei andefen Punkten Ki} K%, s
des wahren Kreises x sagen, es liege
und
bez. nicht
zwischen
3
2
zwischen
und
das
K
durch
nachdem
das
je
3}
Punktepaar
i}
3
bezeichnen mit
einen
fest
K
Kreises x
K
K
K
K
K
x
Punktepaar
getrennt
K
K
K
oder nicht getrennt wird.
2
nehmen im Gegensatz zu der obigen Behauptung an, es seien
zwei Punkte des wahren Kreises x, die durch kein Punktepaar
,
Wir
K und K
getrennt werden; dann folgt nach unserer Festsetzung gewiB auch, daB
zwischen denselben kein Punkt von x liegt. Ferner diirfen wir annehmen,
134
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
K
K
K K
es gabe einen Punkt
von der Art, daB das Punktepaar
durch
1}
das Punktepaar K,
anderenfalls
namlich
denken wir
x getrennt wird;
uns in der folgenden Entwickelung die Rollen der Punkte
und
miteinander vertauscht.
Sodann wahlen wir eine unendliche Reihe
von
K
K
R
Punkten des wahren Kreises
K
gegen den Punkt
konvergieren, und
mit
verbinden
sowobl durch eine innerhalb kk verlaufende Kurve,
wie durch eine auBerhalb Jck verlaufende Kurve. Durch Zusammensetzung
K
K
beiden Kurven
dieser
K^K
K^
welche
j
erhalten wir
Punkten der
Es
K
Punkte der Reihe
einer dieser
9
geschlossene Jordansche Kurve
von unendlich
eine
K trennt und daher notwendig auch
gegen K konvergenten Punktreihe R
von
vielen
sei
x, die
li.
trennen muB.
Da JL zwischen K* und
JL
&quot;
K
K
K
K
und
liegt und nicht zwischen
liegen darf, so liegt
2 notwendig
und K. Nunmehr verbinden wir analog K.2 mit
zwischen
durch
eine geschlossene Jordansche Kurve K^K und gelangen ebenso zu einem
Punkte
der Reihe It, der zwischen -ZT3 und
3
liegt u. s. f. Auf diese
Weise erhalten wir eine unendliche Reihe von Punkten
l}
2
3
von denen jeder Punkt zwischen dem vorangehenden und
gelegen ist, und
die gegen den Punkt
konvergieren.
K
K
K
K
K K K
,
,
.
.
.
K
K
Wir
fiihren jetzt eine
K K K
der Punkte
bei dieser
K
2
3
,
.
,
in den
Drehung
K
und
i}
.
,
M
um
Drehung
.
K
etwa in
Da
fiber.
in einen
K
Der Punkt
iibergeht.
t
Punkt K?
K
aus, bei welcher
Annahme
unserer
durch kein Punktepaar getrennt werden, so
ist
gehe
zufolge
das gleiche mit
K entweder mit
K _ und K + liegen;
in jedem Falle liegt also K- zwischen K _
und Ki+2 so daB auch die
unendliche Reihe von Punkten K, K K KJ, K K^,
gewiB von
K
dem Punktepaar
K_
i
K+
oder mit
i
i
l
K!
ir
der Fall.
Infolgedessen
z
ist,
}
6
K
KZ,
K
7
stelle
,
.
-STji,
d
,
haben,
.
.
K
.
miissen.
K
man
wahle
so
.
,
daB jeder Punkt dieser Reihe zwischen dem voran
konvergieren
einen von
.
l
i
,
gehenden Punkte und dem Punkte
gelegen ist.
Wir wollen nun zeigen, daB auch die Punkte
den Punkt
{
l
i
2
t
der Beschaffenheit
muB
zusammenfallen oder zwischen
In
der
K
3
Tat,
verschiedenen Punkt
ihnen
aus
einen
}
K^ K^l}
Q
.
.
,
wiirden
die
gegen
Punkte
.
zur Verdichtungs-
K
Punkt
Da
aus.
t
K
samtlich zwischen Kf und
K{+8, -Kj + 12;
liegen, so gibt es eine
geschlossene Jordansche Kurve K^K, die den Punkt K^ von den Punkten
nnd daher auch von Q trennt, d. h. Q liegt not
Ki + ifKi +s, -ST/+12,
JT/+4,
K
wendig zwischen
Punkten K[ folgt
K K K
l}
bj
(J
.
,
.
.
K
gegen
und K. Wegen der Anordnung der Punkte
hieraus, daB
einerseits
Jordansche Kurve
von
t
QK^
und
Q
K
andererseits
liegt.
Die
i
zu den
wie es sein
die
sollte.
Punkte
geschlossene
K K^, K
K K K ... nicht
miiBte mithin samtliche Punkte
trennen; dann konnten aber
K konvergieren,
K
auch zwischen den samtlichen Punkten
i}
1}
6}
9
9
,
,
.
.
.
Anhang IV: Grundlagen der Geometric.
Nunmehr
K K
1}
und
...
11}
betrachten wir die gegen
Punkte
die
K
der Punkt
K
nach Axiom
III
3
K^ K^,
,
K
K
.
.
,
konvergierenden Punkte
3,
die nach dem eben Be.
,
konvergieren. Da mittels einer Drehung um
und zugleich
in K. iibergeht, so miifite es
auch eine Drehung geben, welche
und zugleich
in
wiesenen ebenfalls gegen
M
J5T
135
in
K
K
t
K
K
die
iiberfuhrt.
Dies
K
ist
aber ein Wider-
gemeinsame Konvergenzstelle
sprueh gegen die Definition der Drehung. Somit ist durch Widerlegung
unserer Annahme der zu Anfang dieses
6 aufgestellte Satz vollstiindig
bewiesen.
6 fassen wir
Mit Riicksicht auf die Festsetzungen zu Beginn des
den wahren Kreis K unter AusschluB des Punktes
als
eine
x
geordnete
Punktmenge im Sinne Cantors auf: dann besitzt diese Punktmenge den
K
Ordnungstypus des Linearkontinuums.
Zum Beweise hierfiir bestimmen wir zunachst eine abzahlbare Menge S
von Punkten des wahren Kreises K, deren Verdichtungsstellen den wahren
S besitzt nach Cantor*) den
rationalen Zahlen in ihrer natiirlichen
Eine solche Menge
Kreis x selbst ausmachen.
Ordnungstypus des Systems
aller
d. h. es ist moglich,
den Punkten des Systems S derart
Zahlen zuzuordnen, daB, wenn A, S, C irgend drei Punkte
zwischen A und C liegt, von den drei zugeordin S sind, von denen
neten rationalen Zahlen a, &, c allemal die Zahl & ihrem Werte nach
Rangordnung,
die rationalen
S
zwischen a und
Es
sei
nun
c liegt.
K
irgend ein Punkt des wahren Kreises
welcher nicht
x,
B
dem System S
Punkte von S, so nennen wir
angehort; sind dann A,
auf
Seite von
oder
derselben
auf
Seiten
verschiedenen
gelegen,
y
und
zwischen
und
oder
nicht
zwischen
nachdem
liegt.
je
Ubertragen wir diese Festsetzung von den Punkten des Systems S auf
K
A S
K
A
A
S
B
die denselben zugeordneten rationalen Zahlen, so erhalten wir unter Ver-
K
einen bestimmten Schnitt im Sinne Dedekinds
mittelung des Punktes
die
durch das System der rationalen Zahlen: wir ordnen dem Punkte
K
durch diesen Schnitt definierte irrationale Zahl
Es kann
nicht zwei verschiedene Punkte
K und K
die gleiche irrationale Zahl zugeordnet erscheint.
wir eine
zwischen
so
muB
1)
es,
und
da
K
H
Kurve
KK
KK
auf x geben, denen
der
In
Tat, konstruieren
und
H
sei
irgend ein
gelegener Punkt von x,
eine Verdichtungsstelle von Punkten des Systems S ist,
geschlossene
K
zu.
Jordansche
und
folglich innerhalb
Beitrage zur Begriindung der transfiniten Mengenlehre, Math. Annalen Bd. 46,
man insbesondere 11.
9; hinsichtlich der weiteren SchluBweise des Textes vergleiche
Anhang IV: Grundlagen der Geometric.
136
A
gewiB auch einen Punkt
auch zwischen
und
KK
S
und dalier
geben, der innerhalb
zu
Die
rationale
Zahl a
liegt.
gehorige
daher
eine
Verschiedenheit
der
die
unter
Verjedenfalls
bedingt
Schnitte,
der
Punkte
und
entstanden sind.
inittelung
K
in
K
A
K
Wir
K
wollen endlich zeigen, dafi es auch unigekehrt zu jeder irratioauf x gibt, dem diese zugeordnet erscheint.
K
nalen Zahl a einen Punkt
Zu dem Zwecke
a i} az a3
eine Reihe zunehmender und l i} b2} & 3J
abnehmender Zahlen, deren jede gegen a konvergiert. Man
konstruiere die diesen Zahlen zugehorigen Punkte A l} A 2 A 3
bez.
BI, B2 B3 , ... und bezeichne mit
irgend eine Verdichtungsstelle dieser
sei
,
.
,
.
.
.
.
.
eine Reihe
.
.
Punkte
A
,A 2 ,A 3 ,...,B1 ,B2 ,BS
Denn wenn wir
1
,
der Zahl a zu.
Kurve
B+
i
i,
halb
von
,
K
,
AB
,
.
Der Punkt
K gehort dann notwendig
eine
geschlossene Jordansche
allgemein
so
die
Punkte
A
A
A
konstruieren,
liegen
i + i)
.,
i + s ,
i+2 ,
un d folglich auch der Verdichtungspunkt
inner
-Sj + 2? B{ +
d. h. zwischen den Punkten
Der unter Verniittelung
i
i
i}
{
i
i
AB
K
.
.
K
3&amp;gt;
A B
entstehende Schnitt
ist
.
mithin kein anderer
als
derjenige, der die
Zahl a bestimmt.
Betrachten wir nun die Punkte auf der Peripherie eines gewohnlichen
Zahlenkreises mit dem Radius 1 und ordnen einem dieser Punkte das
Zeichen
+
oo und den Punkt
K^
zu, den iibrigen Punkten dagegen in
Zahlen und diesen wiederum die ent-
die samtlichen reellen
Folge
sprechenden Punkte des wahren Kreises x, so gelangen wir zu folgendem
Die Punlde des wahren Kreises K lassen sich unter Erhaltung
Resultat:
ihrer Anordnung umkelirbar eindeutig auf die Punkte der Peripherie eines
stetiger
gewohnlichen Zahlenkreises mit
dem Radius
1
dbbilden.
8.
Um
4 bezeichnete Ziel zu erreichen, bleibt nur noch die
d. h. die Liickenlosigkeit des wahren
Kreises x zu zeigen iibrig. Zu dem Zwecke denken wir uns die Punkte
das in
Stetigkeit der
gewonnenen Abbildung,
wahren Kreises x durch die Koordinaten x y der Zahlenebene und
die Punkte des Zahlenkreises mit dem Radius 1 durch den
Bogen t von einem festen Anfangspunkte an bestimmt: dann haben wir
zu beweisen, daB x, y stetige Funktionen von t sind.
Es seien nun ti} 2 t3
irgend eine Reihe gegen f* konvergierender
des
}
andererseits
.
,
entweder
s amtlich
K K K
l}
2
5
,
,
2
3}
,
t
oder
samtlich
abnehmender Werte
und
.
K*
K K K
Kurve K K*
1}
.
moge.
sprechen
.
seien bez. die diesen Parameterwerten zugeordneten Punkte
Kreises x, wahrend der Wert t* einem Punkte
auf x ent.
des wahren
.
,
wachsender
.
.
}
.
.
Es
sei
ferner
Q
eine
Punkte
der
Verdichtungsstelle
Konstruieren wir allgemein eine geschlossene Jordansche
so liegen
notwendig
die
Punkte
K+ K+ K+
i
i
,
i
2
,
i
3f
.
.
.
und
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
folglich
aucli
K
K* d. h. es liegt
deren Verdichtungsstelle Q innerhalb
{
und
demnach
mu6
sich auch der zu
zwischen
Q
t
K*;
K
auch der Punkt
Q
gehorige
137
Wert
des Parameters
allgemein zwischen
t
t
{
und
t* befinden.
wenn Q und K* zusammenfallt;
K%,
3
gegen den Punkt K*.
konvergieren
Damit ist die Stetigkeit der Funktion x, y vom Parameter t vollig be4 als das erste wichtige
wiesen und es folgt eine Tatsache, die wir in
der folgende Satz:
namlich
Ziel unserer Entwickelung hingestellt haben,
Der
letztere
lost sich nur,
Widerspruch
mithin
Der wahre Kreis x
K
Punkte
die
ist
K
i}
,
.
.
.
in der Zahlenebene eine geschlossene Jordansclie
Kurve.
9.
wissen, daB die Punkte des wahren Kreises K samtlich zu den
Punkten auf kk gehoren; es wird sich auch zeigen, daB letztere Punkte
Wir
samtlich auf x liegen, so daB der weitergehende Satz gilt:
Der walire Kreis x ist identisch mit den Punkten auf kk; die innerx liegenden Punkte sind zugleich die Punkte innerhalb kk und die
kk.
aufierhalb x liegenden Punkte sind zugleich die Punkte aufterhalb
Jialb
Um
diesen Satz zu erkennen, zeigen wir zunachst, daB der Punkt M,
u
der ,,Mittelpunkt des wahren Kreises x, mit jedem Punkte J innerhalb x
durch eine stetige Kurve verbunden werden kann, ohne daB dabei der
wahre Kreis x
iiberschritten wird.
In der Tat, ziehen wir durch
der Zahlenebene, eine sogenannte
/
in
irgend eine gewohnliche Gerade
so seien
,,Zahlengerade&quot;,
K^ und
K
2
die
ersten Punkte dieser Zahlengeraden, die auf x liegen, nach den beiden
auch Punkte auf
und
2
Richtungen hin von J aus gerechnet. Da
K
K
MK
M
bez.
durch je eine Jordansche Kurve
kk
daher
und
verlaufen
innerhalb
kk
die
gewiB
ganz
MK% verbunden werden,
Trifft eine dieser Jordanschen
nicht den wahren Kreis x iiberschreiten.
etwa im Punkte B, so bildet das KurvenKurven das Greradenstiick
t
9
sind, so
konnen
sie
mit
KK
stiick
MB
mit dem Geradenstuck
Im entgegengesetzten
dungsweg.
mit dem Geradenstuck
KK
t
9
eine
JB
zusammen den gesuchten Verbinzusammen
2
K^ und
Falle bilden
Kurve
geschlossene Jordansche
Kurve y ganz innerhalb des Zahlenkreises !
der auBerhalb des Zahlenkreises 8 gelegene Punkt
diese
MK
M
(
A
y.
Da
sich
1) liegt, so laBt
einem
mit
gewiB nicht
Punkte innerhalb y verbinden, ohne daB dabei ein Punkt der Kurve y
Die Kurve y besteht nun aus Punkten innerhalb /r,
iiberschritten wird.
aus Punkten innerhalb x. Da die letzteren Punkte
und
aus Punkten auf kk
7i
A
aus nur durch Uberschreitung eines Punktes auf x, der ebenfalls
ein Punkt auf kk ist, erreicht werden kann, so liegt das ganze innerhalb y
Verbinden wir also
innerhalb kk.
gelegene Gebiet notwendig auch
mit J durch einen stetigen innerhalb y verlaufenden Weg, so iiberschreitet
von
M
138
Auhang IV: Grrundlagen der Geometric.
dieser
Weg
den wahren Kreis x sicher nicht und
ist
mithin von der ge-
wiinschten Art.
M
M durch
Wir
schlieBen daraus zunachst, daB
innerhalb x liegt,
des wahren Kreises x liegt innerhalb desselben.
Mittelpunkt
M
Da
d. h.
der
Punkt auf kk mit
eine Jordansche Kurve
von
den
die,
Endpunkten abgesehen, ganz inner
halb kk verlauft und also x gewiB nicht trifft, so
liegt jeder Punkt auf kk
notwendig auf x oder innerhalb x. Gabe es einen Punkt P auf kk, der
innerhalb x liegt, so kb nnte der auBerhalb
gelegene Punkt A nicht mit
Punkten in beliebiger Nahe von P verbunden werden, ohne daB dabei ein
Punkt von x iiberschritten wird; da aber jeder Punkt von x zu den beferner jeder
verbunden werden kann,
P
deckten gehort, so konnte
nicht ein Punkt auf kk sein; dies ist ein
Widerspruch. Alle Punkte auf kk liegen also zugleich auf x, womit die
obige Behauptung vollig erwiesen ist.
10.
Das Punktgebilde kk
2 durch eine gewisse Konstruktion aus
Zahlenkreise k hervorgegangen. Da der Zahlenkreis k, wie in
3
gezeigt worden ist, mindestens einen Punkt auf kk enthalt und im iibrigen
ist
in
dem
ganz auf oder innerhalb kk
liegt
und
die
Punkte auf kk nach
9 nichts
anderes als der wahre Kreis x sind, so haben wir in der obigen Konstruk
tion zugleich ein Mittel, um aus dem Zahlenkreise k einen wahren Kreis x
zu konstruieren, welcher eine geschlossene Jordansche Kurve ist und den
Zahlenkreis k umschlieBt, diesen von auBen beriihrend; hier und im
folgenden sagen wir von zwei Jordanschen Kurven, wenn die eine die
andere im Inneren enthalt und mit ihr wenigstens einen Punkt gemein hat,
daB die erste die zweite von auBen, diese aber jene von innen beriihrt.
Durch
durch
eine
geringe Abanderung des friiheren Verfahrens, namlich
Vertauschung der Rollen, die den Punkten innerhalb und
eine
auBerhalb k zugeteilt worden sind, konnen wir aus dem Zahlenkreise k
noch einen anderen wahren Kreis konstruieren: wirbezeichnenjetzt diejenigen
Punkte der Zahlenebene, die bei irgend einer Drehung um
aus Punkten
M
auBerhalb oder auf k entstehen, als bedeckt; alle anderen Punkte dagegen
als unbedeckt. Wenn nun ein unbedeckter Punkt sich durch eine Jordansche
M
verbinden lafit,
Kurve, die aus lauter unbedeckten Punkten besteht, mit
so heiBe dieser Punkt innerhalb kkk.
Die Grenzpunkte dieser Punkte
innerhalb kkk heifien Punkte auf kkk und alle iibrigen Punkte heiBen
3
aufterhalb kkk. Wir zeigen dann ahnlich wie in
9, daft die Punkte
bilden, der eine geschlossene Jordansche
auf kkk einen wahren Kreis um
Kurve
M
M
umschliefit und innerhalb des Zahlenkreises k
ist, den Mittelpunkt
diesen
von
innen
beriihrend.
verlauft,
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
139
11.
An Stelle des Zahlenkreises k kann man nun eine beliebige geschlossene
innerhalb k verlaufende Jordansche Kurve z wahlen, die den Punkt
im
Innern enthalt: durch Anwendung der ndmlichen Konstruktion erhalten wir
M
dann zu
dieser
Kreis urn
M,
Kurve
z sowolil einen bestimmten sie umschliefienden wahren
der eine geschlossene Jordansche Kurve ist und z von auften
auch einen bestimmten innerhalb z verlaufendcn wahren Kreis
der eine geschlossene Jordansche Kurve ist und z von innen beruhrt.
Wir bemerken noch, daB jeder solche aus einer Jordanschen Kurve z
beruhrt,
als
um M,
konstruierte wahre Kreis auch aus einem Zahlenkreise erzeugt werden kann:
man braucht nur denjenigen Zahlenkreis zu wahlen, der innerhalb des vor-
gelegten wahren Kreises ihn von innen beriihrend verlauft bez. ihn von
aufien beriihrend umschlieBt; denn zwei wahre Kreise, die geschlossene
Jordansche Kurven sind und denselben Zahlenkreis sei es beide umschlieBend,
sei es
beide ganz innerhalb verlaufend beriihren, miiBten gewiB einen Punkt
gemein haben und waren folglich iiberhaupt miteinander
identisch.
12.
Numnehr konnen
wir
ohne erhebliche
die
wichtige
Tatsache beweisen, daft jeder
innerhalb x
irgend einen Punkt
11 honstruierten ^vahren
ebenso wie die in
gehende wahre Kreis um
Schwierigkeit
P
durcli
M
M
im Innern enthalt.
ins
wahren Kreise um
Kurven
sind
und
P
ausschlieBen:
sie
die
Jordansche
Auge,
geschlossene
und
andererseits
alle
diejenigen,
mogen wahre Kreise erster Art heiBen;
Kreise eine geschlossene Jordansche Kurve
Zum Beweise fassen wir einerseits
die geschlossene Jordansche
ist,
die
M
alle
Kurven sind und
P
einschliefien:
sie
mogen
wahre Kreise zweiter Art heiBen.
Wir denken uns zunachst aus jedem Zahlenkreise mit dem Mittelden umschlieftenden wahren Kreis erzeugt und fassen dann diepunkt
jenigen Zahlenkreise ins Auge aus denen wahre Kreise entspringen, die
M
;
erster
Art
sind.
Sodann suchen wir fur
diese
Zahlenkreise
den Grenz-
den kleinsten Zahlenkreis, der sie samtlicb enthalt. Alle
die
kleiner als g sind, liefern dann wahre Kreise erster Art.
Zahlenkreise,
Der aus dem Zahlenkreise g entspringende wahre Kreis y miifite, wenn er
nicht durch P geht, diesen Punkt ebenfalls ausschlieBen. Denn lage P inner
und
halb y, so ziehe man eine ganz innerhalb y verlaufende, die Punkte
kreis
g
}
d.
h.
M
P
umschlieBende geschlossene Jordansche Kurve und erzeuge aus dieser
Dieser wahre Kreis liefie sich, da
sie umschlieBt.
den wahren Kreis, der
er ja
gewiB in das Innere des Zahlenkreises g hineintritt, durch einen
ferner den Punkt
ist; er umschlieBt
Zahlenkreis erzeugen, der kleiner als g
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
140
P, was nicht moglich
ist.
die geschlossene Jordansche
Da, wie erw ahnt, alle wahren Kreise uin
Kurven sind, auch aus Zahlenkreisen um
M,
M
der
aus g entspringende wahre Kreis ein
entspringen ;
solcher Kreis erster Art, welcher alle anderen wahren Kreise erster Art
so
ist
offenbar
umschliefit.
M
Indem wir andererseits aus jedem Zahlenkreise init dem Mittelpunkt
denjenigen wahren Kreis erzeugt denken, der jenen Zahlenkreis ausbeweisen wir auf Jihnlichem
schlieBt,
die Existenz
Wege
eines
wahren
Kreises zweiter Art, welcher von alien anderen wahren Kreisen zweiter Art
umschlossen wird.
Wurden nun
P
die
gefundenen wahren Grenzkreise beide nicht durch
eine Jordansche Kurve in dem zwischen ihnen
man
so konnte
gehen,
gelegenen ringformigen Gebiete ziehen, welche sicher durch unser Verfahren
einen wahren Kreis liefern wiirde, der eine geschlossene Jordansche Kurve,
aber weder von der ersten noch von der zweiten Art ware; dies ist ein
Widerspruch und damit haben wir die zu Anfang von
12 aufgestellte
Behauptung bewiesen.
13.
Nachdem wir im vorstehenden die wichtigsten Eigenschaften der
wahren Kreise um
gefunden haben, die durch Punkte innerhalb K
wenden
wir
uns
nun
zur Untersuchung der Gruppe oiler Bewegungen,
laufen,
M
die
den Drehungen
bei
der
um
Ebene
M
wahre Kreis K in
der
sick
erfahrt.
Es
8 gemaB die Punkte des wahren
seien den Entwickelungen in
Kreises K auf die Punkte
t
dem
der Peripherie eines Zahlenkreises mit
unter Erhaltung ihrer Anordnung abgebildet: dann entspricht
einer jeden Drehung A unserer Ebene um
eine bestimmte umkehrbar
Radius
1
M
eindeutige
sich,
dem
Transformation der Punkte
stetige
t
des
Einheitskreises
in
5 bei einer Drehung die Anordnung der Punkte auf
7 auch die Anordnung
wahren Kreise und daher mit Rucksicht auf
da ja nach
Diese Transformation
der Parameterwerte
t
ungeandert bleibt.
durch eine Formel von der Gestalt
darstellen,
weder
wo A()
sich
eine stetige Funktion ist, die mit wachsendem t entstets abnimmt und die bei Vermehrung des
wachst oder
stets
Arguments
lafit
t
um
2 it sich ebenfalls
Diejenigen Funktionen A(),
um
die
den Betrag 2;r andert.
bei
wachsendem Argument
t
ab-
nehmen, entsprechen Transformationen, die den Umlaufssinn auf dem
wahren Kreise andern, und da zufolge unserer Fassung des Begriftes der
Bewegung
bei einer
Bewegung
der Umlaufssinn stets derselbe bleiben
soil,
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
so ergibt sich, daB die
Funktion
bei
A()
141
wachsendem Argument
stets
t
wachsen mu6.
14.
M
fragen zunachst, ob es in dieser Gruppe aller Drehungen um
des wahren Kreises x
Drehung geben kann, bei welcher ein Punkt
Wir
eine
A
ungeandert
Es
bleibt.
Punkt A und
die Formel
sei
t
=a
der Parameter wert
dieser bleibe bei der eigentlichen
Ferner
dem Parameterwert
t
wir machen etwa die
Sowohl A()
als
=&
durch
B
irgend ein Punkt des wahren Kreises mit
der bei der Drehung
seine Lage verandere;
sei
7
fest, die
= A(T)
t
dargestellt wird.
Drehung
A
solchen
einen
fur
A
Annahme
a, worin keine Einschrankung liegt.
1
auch die umgekehrte Funktion
^) sind von der
&
&amp;lt;
A&quot;
=
A
a
Art, daB sie bei zunehmendem Argument zunehmen.
Wegen
(a)
schlieBen wir hieraus der Reihe nach, daB samtliche GroBen, die durch
die
symbolischen Potenzen
dargestellt werden,
fallt, die
Nun
unterhalb a liegen.
bilden, falls
A (6)
&amp;gt;
&
aus-
GroBen
eine Reihe bestandig
zunehmender Werte; im Falle
A (6)
&amp;lt;
6
gilt
das
gleiche von der GroBenreihe
A- J (6), A- 2 (&), A- 3 (6)
;
....
diesen Tatsachen entnehmen wir, daB im ersteren Falle die direkten
auf & angewandt, im letzteren die symbo
Wiederholungen der Drehung
Aus
A
lischen Potenzen von A(fo) mit negativen Exponenten sich einem Grenzwert g
nahern miissen, der zwischen a und I liegt oder mit a ubereinstimmt. Ent-
G
auf dem wahren Kreise x, so
spricht der Grenzzahl g etwa der Punkt
mit positiven bez. negativen Exponenten Bebilden die Potenzen von
schlieBlich in beliebige Nahe von
wegungen, so daB durch sie der Punkt
A
B
G
Umgebung von G
tibergeht und zugleich durch sie Punkte
in beliebig kleiner Umgebung von G bleiben. Nach Axiom III miifite es demnach eine Bewegung geben, welche B in G iiberfiihrt und zugleich G unge
andert lafit; dies widersprache dem Begriife der Bewegung. Es ist demnach
in beliebig kleiner
die
Drehung A, welche den Punkt
Punkte des Kreises K
festlaftt,
A
d. h.
notwendig eine solche, die
fur diesen Kreis die Identitdt ist.
festlafit,
alle
15.
Aus
der Definition des wahren Kreises leuchtet unmittelbar die folgende
Tatsache ein:
Anhang IV
142
des
Grundlagen der Geometric.
:
Es gibt stets eine Drehung urn M, welche den beliebig gegebenen Punkt
wahren Kreises x in einen anderen beliebig gegebenen Punkt S desselben
iiberfiihrt.
16.
Wir
leiten
wegungen
Es seien
T
0, S, T,
Drehung
diejenige
weitere Eigenschaft
eine
jetzt
wahren Kreises
eines
Z
Punkte auf dem wahren Kreise
vier solche
um M,
Gruppe der Be-
fur die
in sich ab.
x,
daB
S
ubergeht, den Punkt
eindeutig durch die Punkte
vermoge welcher
in
Z
bewegt, so daB die Lage von Z
mitbestimmt
ist.
Halten wir
fest und bewegen S und T auf
0, S,
dem wahren Kreise, so erfolgt bei stetiger Anderung von S und T auch die
nach
T
Z
Anderung von
Um
S^,
S2 S3
,
stetig.
dies zu beweisen,
.
.
.
,
,
wahlen wir eine unendliche Reihe von Punkten
S
gegen den Punkt
die
Reihe von Punkten
Tlf T T
2
,
s
,
.
.
die
.,
konvergieren, und eine unendliche
T
gegen den Punkt
konvergieren.
Die Drehungen um M, vermoge deren
in S1} 8%, S3 ,
ubergeht, bezeichnen wir bez. mit A 1? A2 , A 3 ,
und die durch diese Drehungen bez.
aus Tl} T2} TS) ... entspringenden Punkte seien Z1} Z2 , Z3 ,
dann haben
.
.
.
.
.
.
.
wir zu zeigen, daB die Punkte
Zl} Z Z
2
,
.
s,
.
.
gegen
Z
.
.
konvergieren.
Es
Z Z Z
Z*
eine Verdichtungsstelle der Punkte
Nach Axiom III
lf
3,
2,
in S und zugleich
gibt es dann eine Drehung um M, vermoge deren
in Z* ubergeht. Hierdurch erweist sich aber Z* als
eindeutig bestimrnt
sei
T
und mit
Z
identisch.
17.
In
14
16 haben wir erkannt, daB die Gruppe aller Drehungen
wahren Kreises x in sich die folgenden Eigenschaften besitzt:
1. Es
gibt auBer der Identitat keine Drehung um M, welche einen
Punkt des wahren Kreises x festlafit.
des
Wenn
0, S irgend zwei beliebige Punkte des wahren Kreises x
sind; so gibt es gewiB eine Drehung um M, welche
in S iiberfiihrt.
3. Bei einer
um
die
nach
S
M,
Drehung
bewegt, gehe zugleich
2.
T
Z
T
in
iiber; der somit durch 0, S,
eindeutig
erfahrt auf x eine stetige Anderung, wenn S und
Lage andern.
bestimmte Punkt
T
Z
auf x stetig ihre
Diese drei Eigenschaften bestimmen vollstandig den Bau der Gruppe
der Transformationen A(), die den Bewegungen des wahren Kreises in
sich entsprechen.
Die Gruppe
um
M
sind,
Wir
namlich den folgenden Satz auf:
Bewegungen des wahren Kreises x in sich, die Drehungen
holoedrisch-isomorph mit der Gruppe der gewb hnlichen
stellen
aller
ist
Drehungen des Zahleneinheitskreises
um
M
in sich.
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
143
18.
Wenn
wir uns diejenige Drehung um M, die den Punkt
des wahren
dem Parameterwert
in den Punkt S mit dem Parameter
Kreises x mit
wert
durch die Transformationsformel
s iiberfiihrt,
=
t
A(,
s)
= nehrnen, so
dargestellt denken, wobei wir den Funktionswert A(, 0)
erkennen wir auf Grund der gefundenen Eigenschaften der Drehungsgruppe, daB die Funktion
beiden Veranderlichen t, s
eindeutig und stetig fiir alle Werte der
folgt, da s bis auf Vielfache von 2 it
A(,
s)
ist.
Auch
eindeutig durch zwei zusammengehorige
die
Funktion A(Y,
bei konstantem
s)
Werte
und
t
bestandig wiichst oder abnimmt, und da sie fiir
tritt notwendig der erstere Fall ein.
Nun ist
und wegen
A(2?r
;
s)
=
+
2^
t
bestimmt
mit wachsendem
t
A(0
;
s)
=
t
2n
=
+
s
1st,
daB
nur entweder
in s iibergeht,
so
s
folgt
Mithin bat die Funktion
schaft,
bis
bestandig von
(t, f)
(&amp;gt;
f)
der einen Veranderlichen
Aus diesem Umstande
wachst.
2?t
A
bis kit zu wachsen,
t
die Eigen-
wahrend das Argument
t
von
schlieBen wir sofort folgende
Tatsache:
Wenn
stets eine
irgend eine positive Zahl
und nur
t
eine positive Zahl
=
&(t,t}
wird; es ist
t
&amp;lt;
t
.
&amp;lt;^%it
Der Parameterwert
vorgelegt
ist ;
liefert
M
A(tf,
wird, mit
wird, mit
denjenigen,
&amp;lt;p(-^),
&amp;lt;p-,
fiir
denjenigen,
t)
Wert von
=
t,
2rt
welchen
fiir
welchen
A(M) =
9&amp;gt;(
wird, mit
?=
&amp;gt;?
es
einen Punkt des wahren
=
bezeichnen nun denjenigen
gibt
t
t
Kreises von der Art, daB bei einer gewissen Drehung um
t
sich nach t und zugleich der Punkt t nach t bewegt.
Wir
so
so daB
t,
ferner setzen wir allgemein
fiir
welchen
der Punkt
144
wo
und
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
2 a eine gerade ganze Zahl bedeutet und n eine ganze Zahl
ferner setzen wir
Damit
ist
Funktion
die
fiir
rationalen Argumente, deren
alle
&amp;lt;p
von 2
eine Potenz
Ist
nun
ist,
widerspruchslos
6 in einen Dualbruch von der
rf
_~ 5L
1;
2
#3,
,
.
.
.
Argument
_l_
?L J_ 3L 4.
2
s
2
&amp;lt;
&amp;gt;
Da
Zahlen der Reihe
die
bleiben, so nahern sie sich
&amp;lt;^&amp;lt;p(l)
Die Funktion
tp(0].
wachsendem Argument
beweisen, da6 sie auch stetig
so entwickeln wir
,
.
lauter Ziffern 0, 1 bedeuten.
eine Funktion, die mit
1
&quot;^
2
gewiB niemals abnehmen und sarntlich
einem Grenzwert; diesen bezeichnen wir mit
ist
Nenner
Form
2
wo
1st,
definiert.
ein beliebiges positives
&amp;lt;5
^1
&amp;lt;p(tf)
wachst; wir wollen
In der Tat, ware sie an einer Stelle
ist.
stets
z
V
n
~
3
|_
iL
_|_
I
,_,
.
~
*
_|
.
_
I
&amp;lt;r&amp;gt;2
^2
2
/
nicht stetig, so miiBten die beiden Grrenzwerte
T (
Jjcp\
T (a n +
x/^l
a
&quot;\
]
und
und mithin
voneinander verschieden ausfallen
J
\
)
die unendliche
Reihe von
Punkten, die den Parametern
entsprechen, gegen einen anderen Punkt konvergieren als die unendliche
Reihe von Punkten, die den Parametern
/!
-f IN
^-^l^t
entsprechen.
t
=
in
(jp(
J
^=qp/-n
90
(o^j
;
in
Nun
);
fiihrt
den Punkt
den Punkt
f
/a s
dieselbe
qp(-2--
J
&amp;lt;p(-^n)
&quot;
&quot;
bestandig
/a,,
+
1\
*-p?-)-&quot;
deren
Drehung, vermoge
=
)
^ (os)
+1 1\
^^l^ -)
iibergeht,
iiber,
abnehmen und
Punkt
auch zugleich den Punkt
und da
die
der
die
diesen
Zahlen
cp
(--)
,
Parameterwerten
A
kon
entsprechenden Punkte daher jedenfalls gegen eine gewisse Stelle
vergieren miissen, so konvergieren mit Riicksicht auf Axiom III einer oft
Anhang IV: Grundlagen
der Geometrie.
145
angewandten SchluBweise zufolge auch die vorhin genannten unendlichen
Reihen von Punkten beide gegen denselben Punkt.
Die Funktion
eine eindeutige
Die
Punkt
und
=
t
cp
(~j/
wachst und stetig
stets
sie
ist,
auch
in
den
Umkehrung.
stetige
Drehung
da
gestattet,
&amp;lt;jp(&amp;lt;?)
um M,
durch
welche
iibergeht,
fiihrt
zugleich
Punkt
der
t
den Punkt
t
=
=
cp
\&amp;lt;i
=
t
&amp;lt;P
( -7;;
\A
n
=
+ -^
a /)
die
(X)
Werte
(
y -^ + 6/J
\2
-^
\2 /j
t
= 9M-^ +
da
und,
(?
gegen
&amp;lt;p
und zugleich
(&amp;lt;?)
konvergieren, so gibt es nach
I
welche den Punkt
nach
in
Da
fur
uber, unter b m irgend eine ganze Zahl verstanden.
&amp;lt;p
gegen
\^~)
\2 /
=
nach
t
cp
d. h.
bewegt ;
o&quot;
=
eine stetige Funktion
(0)
die Zahlen
Axiom
\2
III eine
und zugleich den Punkt
~+
(
cp
t
2 /]
Drehung,
=
cp (
-^ j
fiir
be-
es ist
so
ist,
folgt
hieraus allgemein
liebige Parameter werte r } 6
Damit
ist
bewiesen,
dafi,
wenn wir
t
in der Transformationsformel
=A
(&amp;lt;,
s)
umkehrbar eindeutigen Funktion
neue Parameter T,T 6 gemaB
mittels einer gewissen
t
}
t
}
s
cp
an Stelle von
,
t
=
t
q&amp;gt;(v),
sich
einfiihren,
die
Drehung
in den
r
Dieser
ausdriickt.
Satz
=cp(r )
lehrt
s
=
cp(6]
neuen Parametern durch
=T
die
}
-\-
die
Form el
a
Richtigkeit der in
17
aufgestellten
Behauptung.
Wir
setzen noch an Stelle des Parameters 6 den Parameter
o&amp;gt;
= 2jrtf,
und nennen diesen Parameterwert co den Winkel oder die Bogenlange
= 0) und S (d. h. (?) auf dem wahren Kreise x;
zwischen den Punkten
(tf
= 0) in den Punkt S (d. h. (?)
die Drehung, bei welcher der Punkt
Kreises v. in sich um den
wahren
heifie
eine
A
des
Drehung
[co]
iibergeht,
(&amp;lt;3
Winkel
co.
Hilbert, Grundlagen
der Geometrie.
10
Anhang IV: Grundlagen
146
Durch diesen Beweis
der Geometrie.
17 haben wir die Untersuchung
des Satzes in
der Drehungen des wahren Kreises % in sich beendet.
11 und
Wegen
12 erkennen wir, daB die in
13
18 fur den wahren Kreis x an-
gewandten SchluBweisen und bewiesenen Tatsachen auch
M
um
Kreise
giiltig sind, die
Wir wenden uns nun
innerhalb
?c
Es
M
von einem wahren Kreise
sei
Kurve
schlossene Jordansche
aufter der Identitat keine
wahren Kreises
des
ft
wahren
alle
zu der Gruppe der Transformationen alter Punkte
um den festen Punkt
und beweisen der
Drehungen der Ebene
Reihe nach folgende Satze:
bei den
fiir
liegen.
ist,
ft
um
M
Drehung der Ebene
daft er eine ge-
bekannt,
deren Innerem
in
M
um M,
dann
gibt es
welche jeden
Punkt
liegt:
fesilafit.
Zum
auf
[i
Beweise bezeichnen wir eine Drehung um M, die jeden Punkt
festlaBt, mit M und nehmen dann erstens im Gegensatz zur Be-
hauptung an, es gabe auf ft einen Punkt A, in dessen beliebiger Nahe
Punkte liegen, die ihre Lage bei einer Drehung M verandern. Um A
12 gewiB moglich ist, einen wahren Kreis a,
schlagen wir, was naeh
der durch einen gegeniiber
veranderlichen Punkt gehe und hinreichend
M
14 fiir ihn
ist, so daB zufolge der obigen Bemerkung der Satz in
zutrifft.
Es sei
ein Schnittpunkt dieses Kreises mit ft; dann charakte-
klein
B
risiert sich die
alle
S
Bewegung
M
zugleich als eine
Drehung des Kreises a
in sich,
Bei einer solchen Drehung bleiben aber nach
14
Punkte auf a fest, was nicht der Fall ist; unsere erstere Annahme
bei der
festbleibt.
erweist sich
Wir
demnach
als unzulassig.
nunmehr ein System von geschlossenen Jordanschen
Kurven um M, zu denen ft gehort und von denen jede die andere entweder ganz ein- oder ganz umschlieBt, so daB durch jeden Punkt der
Zahlenebene eine und nur eine Kurve des Systems hindurchgeht. Dann
nehmen wir zweitens im Gegensatz zur obigen Behauptung an, es sei A
eine Kurve dieses Systems innerhalb ft bez. auBerhalb ft, so daB alle Punkte
in
konstruieren
dem ringformigen
Gebiete zwischen
ft
und A
bei jeder
in beliebiger Nahe der Kurve A solche
bleiben,
die
nicht
bei
festbleiben.
jeder Drehung
sind,
wahrend
Drehung
M
fest-
Punkte vorhanden
M
A
Punkt auf A, in dessen beliebiger Nahe bei M bewegliche
liegen; dann schlagen wir um A einen wahren Kreis, der durch
einen dieser beweglichen Punkte lauft und hinreichend klein ist, so daB
Es
Punkte
sei
der Satz in
ein
14
fiir
ihn
zutrifft.
Da
dieser Kreis bei geniigender Klein-
heit jedenfalls durch einen Teil des ringformigen bei den
festbleibenden
Gebietes
hindurchlauft,
so
charakterisiert
Bewegungen
sich
die
M
Be-
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
M
wegung
zugleich als eine
Drehung
des Kreises a in sich, bei welcher
unendlich viele Punkte von a festbleiben.
Punkte von a
alle
M
daB bei den Drehungen
Bei
M
miiBten daher nach
was nicht der Fall
festbleiben,
Damit
ist.
Punkte der Ebene
alle
147
ist
14
gezeigt,
festbleiben.
20.
Wir
nun folgende wichtige Behauptung
stellen
Jeder wahre Kreis
wahren Kreise
aller
um
auf:
geschlossene Jordansche
ist eine
irgend einen
um
Ebene, so daft jeder wahre Kreis
Punkt
M
Kurve: das System
erfullt
M jeden anderen
unsere
liickenlos
solchen Kreis ein-
oder umschliefit.
Die sdmtlichen Drehungen A [co] unserer Ebene
werden durch Transformationsformeln von der Gestalt
x
und
f,
g
eindeutige
M
y=g(x,y,G&amp;gt;)
f(x,y,G&amp;gt;),
darin bedeuten x, y
ausgedriickt;
ebene
=
um
x, y die Koordinaten in der ZahlenFunktionen in den drei Verdnderlichen
bez.
stetige
Ferner haben fur jeden Punkt x, y die Funktionen f, g hinsichtlich
des Argumentes co die Zahl 2n zur kleinsten simultanen Periode, d. h. man
x, y,
co.
Punkt des wahren Kreises durch den Punkt (x, y) je einmal
und nur einmal, wenn man a die Werte von
bis 2x durdilaufen Idfit.
erhdlt jeden
Endlich
die
gilt
fur die Zusammensetzung zweier Drehungen
Formel
A
[co]
A
[to ]
=A
[co
+
co
J
um
die
Winkel
co, co
.
21.
Zum
Beweise der aufgestellten Behauptungen fassen wir wiederum zuins Auge, der
3
18 untersuchten wahren Kreis x um
die
eine geschlossene Jordansche Kurve ist, und betrachten
Drehungen
M
nachst den in
dieses
ein,
wahren Kreises x
so
in
Nach
sich.
18 fiihren wir den Winkel
daB durch die Angabe eines Wertes von
co
co
und 2 it
zwischen
des wahren Kreises % in sich eindeutig bestimmt ist. Nun
aber
einer jeden Drehung des wahren Kreises x in sich nur
entspricht
19 bei Festeine bestimmte Drehung der Ebene um M, da ja nach
haltung aller Punkte auf K iiberhaupt alle Punkte der Ebene festbleiben.
eine
Bewegung
Daraus
der
folgt,
Ebene
um
20 aufgestellten Formeln fur die Drehung
Funktionen
f, g fur alle x, y, co eindeutige
daB in den in
M
die
sind, die hinsichtlich
Funktionen
co
die Periode 2?c besitzen.
g stetige Funktionen in x, y, co sind. Zu
eine
dem Zwecke sei
irgend ein Punkt auf x, ferner co 1? co 2 , co 3
unendliche Reihe von Werten, die gegen einen bestimmten Wert co
eine unendliche Reihe von Punkten
konvergieren, und T1} T2 TS}
Wir beweisen nun, daB
/,
.
.
.
,
.
.
.
,
unserer Ebene, die gegen irgend einen Punkt
T
konvergieren.
10*
Diejenigen
Anhang IV: Grundlagen der Geometric.
148
Punkte, die aus
G)
I}
o2
3
,
.
,
.
Ti} T T
Punkte, die aus
aus
bez.
mit S,
Punkte
Z
Da
2
T
1}
2
3
,
,
bez. bei
.
.
heiBen.
.
Z,
Z3
Z%,
.
.
M,
Tlf
T,
Z
Tl} T T3
2
,
G
T3}
T%,
,
.
,
.
,
und
.
die
den Drehungen o^, co 2 eo 3 ,
entEndlich mogen die Punkte, die
den Winkel co hervorgehen, bez.
.
.
.
,
daB die
zeigen,
T
konvergieren, so konnen wir
dessen Innerem die samtlichen
gegen
.
in
Auf
liegen.
.
.
.
konvergieren.
.
bestimmen,
.
Slf S2 $3
Es kommt darauf an, zu
gegen
.
,
Punkte
die
um
durch eine Drehung
bezeichnet werden.
den Winkel
der Drehungen urn
bezeichnen wir mit
.
.
,
ein Jordansches Gebiet
Punkte
Anwendung
.
Z Z Z3}
mogen
stehen,
bez. bei
hervorgehen,
.
wenden
dieses Jordansche Gebiet
M
nach S bewegt. Das
wir dann diejenige Drehung um
an, welche
so aus G entstehende Jordansche Gebiet heiBe H; dasselbe enthalt gewiB
und Z.
Endlich konstruieren wir eine geschlossene
die Punkte
M
Jordansche Kurve a, die das Gebiet
umschlieBt, ohne daB ein Punkt auf
H
H ganz
im Inneren enthalt
h.
d.
liegt.
Wir
wollen nun beweisen, daB von den Punkten Z, Z%, Z%, .. gewiB
nur eine endliche Anzahl auBerhalb der Kurve a liegen. In der Tat,
auBer
wiirden unendlich viele von ihnen, etwa die Punkte
,
^ it ,
halb
a
.
die
Drehung
um
M
.
.
.
{
{
man sich allgemein
mit Tih durch eine
verlaufende Kurve yh verbunden und dann mit yh
denke
so
liegen,
G
Jordansche innerhalb
Z Z Z
den Winkel
Die so entstehende Kurve
ausgefiihrt.
eo, A
verbindet M. mit Zth und schneidet folglich die Kurve a gewiB in einem
auf yk) der bei der Drehung um
Punkte, etwa jBA es sei
h der Punkt
A
;
den Winkel
innerhalb
es
gibt
G
und
Da
iibergeht.
h
die
B B
Punkte
t
2}
,
die
Punkte
J93 ,
.
.
A1} A2) A
Art, daB
h^
der Grenze von
A^
G
.
,
von Indices \, h2 h3
einen
Punkt A innerhalb
gegen
A^,
und zugleich
.
s
.
B
hi
,
,
B^,
.
.
samtlich
.
samtlich auf a bleiben,
.
eine unendliche Reihe
gewiB
A
B
in
o,-A
J5
Aj
,
.
.
.
.
so
von der
.
.
,
G
oder auf
B
gegen einen Punkt
Nun wissen wir, daB die Punkte Sl} S2 , $3
gegen
III
auf
Axiom
miiBte
es
demnach
eine
mit
Riicksicht
kouvergieren;
und
A
die
nach
8
nach
um
bewegt;
zugleich
geben,
Drehung
auf
a.
konvergieren.
.
.
.
,
8
M
Denn
dies ist aber nicht moglich.
H
Punkt innerhalb
oder auf
ist B ein Punkt auf der Kurve
bei dieser
der
a,
Drehung
Grenze von
die
das
H
Gebiet
miiBte
B
A
in einen
dagegen
ganz im Inneren
iibergehen;
H
enthalt.
Z Z Z
Damit haben wir erkannt, daB das Punktsystem 1} z ,
innerhalb eines ge wissen Jordanschen Gebietes liegen muB.
Es sei nun Z* eine Verdichtungsstelle der Punkte
3,
.
.
.
ganz
Z Z2) ZS}
Da
die
Axiom
Punkte S1}
III eine
iibergeht.
Da
8%,
S3
.
,
.
.
1}
gegen S konvergieren, so gibt
bei welcher
in S und zugleich
es
um M,
S
Drehung um M,
aber bei derjenigen Drehung
welche
in
T
.
.
.
nach
in
Z*
iiber-
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
T
149
Z
iibergehen sollte, so folgt wegen der vorhin bewiesenen
der
Funktionen / , g notwendig Z*
Eindeutigkeit
Z, d. h. die Punkte
verdichten sich nur an einer Stelle, namlich an der Stelle Z.
Z^, 2) 3 ,
fiihrt,
in
=
Z Z
Damit
.
.
.
Punktionen
g in x, y, co bewiesen.
setzen jetzt in f, g fiir x,y die Koordinaten irgend eines Punktes
unserer Ebene ein, der innerhalb oder aufierhalb des Kreises x liegt. Die
die Stetigkeit der
ist
/&quot;,
P
Wir
dann entstehenden Funktionen f(m) f g(aa)
diirfen nicht beliebig kleine simultane
Funktionen von
co
bleiben,
so
sind,
aber wurde der Punkt
was Axiom
P
waren
bei
II widersprache.
beiden Funktionen f(ai) f g
O
GJ
von
bis
ohne Doppelpunkte;
Kreis
um
M
dar.
o
den Winkel
Denn da
to
Drehungen
um
Ebene
der
allein
sie stetige
diesem Falle Konstante;
in
M
dann
fest
Die kleinste simultane Periode jener
mufi demnach von der
()
Form
2
-
*Jf
-
Yb
eine ganze positive Zahl bedeutet.
wahre Kreis erhalten wird, wenn
den Wert
sie
alien
in der Veranderlichen
Perioden haben.
Hieraus
man
in
der durch
folgt, dafi
sein,
P
wo n
gehende
den Formeln
--
laufen
n
sie
stellt
Wenden
Diese Kurve
lafit.
daher
den
durch
P
ist
geschlossen und
gehenden waliren
wir nunmehr auf die Ebene eine Drenung
um
*
an. so bleiben dabei alle
n
Punkte
dieses durch
P
gelegten
19 alle Punkte der Ebene
und daher miiBten nach
festbleiben; die Punkte auf dem wahren Kreise K bleiben aber bei jener
Drehung nur fest, wenn n = 1 ist, und damit haben wir die Aussagen
des in
20 aufgestellten Satzes in alien Teilen bewiesen.
wahren Kreises
fest,
22.
Wir erkennen
Wenn
jetzt leicht auch die Richtigkeit der folgenden Tatsachen:
irgend zwei Punkte bei einer Sewegung der Ebene festbleiben,
so bleiben alle
Jeder
Punkte
fest,
d. h.
Punkt der Ebene
die
lafit
Sewegung
sich
ist
die Identitdt.
durch eine Sewegung
(d. h.
zwei
Punkt der Ebene uberfuhren.
Die erstere Tatsache folgt sofort mit Riicksicht auf den Satz in
20;
die letztere, wenn wir um jeden der Punkte den wahren Kreis durch den
Drehungen) gewifi in jeden anderen
anderen legen, wobei diese Kreise sich notwendig treffen miissen.
23.
Unser wichtigstes weiteres Ziel besteht darin, den Begriff der wahren
Geraden in unserer Geometrie einzufuhren und die fiir den Aufbau der
Geometrie notwendigen Eigenschaften dieses Begriffes zu entwickeln.
Anhang IV: Grundlagen der Geometric.
150
setzen wir zunachst folgende Benennungen fest: Wenn
zwei Paare von Bildpunkten von der Art sind, daB sich
und zugleich
in
uberfuhren lafit,
vermoge einer Bewegung A in
so sagen wir, die (wahre) Strecke
sei Jconyruent (in Zeichen =) der
Zu dem Zwecke
A, B
und A,
B
A
B
B
AB
(wahren) Strecke
wenn
AB
Ferner nennen wir
.
wahre Kreise
eivei
Jcongruent,
Bewegung gibt, welche ihre Mittelpunkte und zugleich
es eine
sie
selbst ineinander uberfuhrt.
Unter einer Halbdrehung
Drehung um den Winkel it,
H
um
d. h.
M
verstehen wir eine
die
noch einmal aus-
einen Punkt
eine
Drehung,
Wenn A, B, C drei Punkte
um B in C und demnach auch
gefiihrt die Identitat ergibt.
bei
einer
daB
sind, so
C
A
bei
Halbdrehung
zugleich
Halbdrehung in A iibergeht, so heiBe B die Mitte der Strecke AC.
Wenn C ein Punkt innerhalb bez. auBerhalb des um A durch B
dieser
geschlagenen wahren Kreises
bez. grofier als die Strecke
und
,,kleiner&quot;
fur
,,gro Ber&quot;
ist,
nennen wir
so
AB.
Um
AC
die Strecke
Tdeiner
analoger Weise die Begriffe
Strecken bez. fur beliebige Kreise
beliebige
in
zu definieren, fiihre man Bewegungen aus, vermoge welcher die Anfangspunkte der Strecken bez. die Mittelpunkte der Kreise in den namlichen
Punkt
fallen.
24.
AC
Eine wahre Strecke
fur
AC
H^H^
1
wiirde
so
die
g abe
namlich
es
um
Halbdrehungen
diese
Substitution
die
zusammengesetzte
und C
welche jeden der Punkte
und somit entnehmen wir nach
indem
wir
22,
symbolisch die
eine
festlieBe,
H
H^ und
mit
Mitten
hat hochstens eine Mitte;
und bezeichnen wir
zwei Mitten
2
Bewegung
,
Identitat mit 1 bezeichnen,
B
1
A
darstellen,
jy2
-
1
=
l
d. h.
#!
=
#&amp;gt;;
mithin stimmen auch die Mitten selbst uberein.
Insbesondere folgern wir
hieraus die weitere Tatsache:
Wenn
zwei
Strecken
einander
so
kongruent sind,
sind auch ihre
Halften einander kongruent.
25.
Fur
die
weiteren Entwicklungen brauchen wir folgenden Hilfssatz:
und die
die Punkte A lf A%,
3,
gegen den Punkt
Es mogen
Punkte M^,
2
A
M M
,
z
,
.
.
.
.
.
A
.
gegen den Punkt
M
allgemein bei Ausfuhrung der Halbdrehung
iibergeht,
so
konvergieren die
Punkte
B
1}
konvergieren; wenn dann
um
M
-B2 , B.A ,
der Punkt
i
.
.
.
ebenfalls
gegen denjenigen Punkt B, der durch die Halbdrehung
entsteht.
um
A
{
in
B
i
und zwar
M aus
A
IV:
Gnmdbgea
der Geometric.
151
Zunaehst laBt sich gewifi ein Jordansehes Gebiet finden. mnerhalb
B
dessen das Punkterstem .R
. .
Daron Sberzeugen
, Q,
3,
gefegen ist
wir mis dureh das namliche SealufirarJalava, welches in
21 aof das
PunktsTstem .Z^, JZ^ ^,
angewandt wmdeu ist.
Wir
.
.
Auf Grand
.
wekhe
gebea,
d. h.
fuhrt;
aber aneh
B* = B
B*
bezeiehne& nun mit
!?.
-Bj. Jjfj.
Punkte
die
.
eine
Punkte
der
VerdiehtnngBstelle
Axioms IQ muB cs dann eine Bewegung
If, #* bez. in die Pnnkte B*. M, A uber-
des
^i,
B*
geht aas ^1 durct die HaEbdrehnng nm Jf herror. Da
aos
durch die Halbdrehung nm Jf berrorgeht, so folgt
5
A
uad damit
ist
der gewuMebie Naehweis erbracht
26.
*
xigcm,
Jf
.$a
daft jede
Streets
AB;
enter gneiss**, Sbedse
Jftfte
&amp;lt;f&amp;gt;
AC, fe Vkmar ah
AB
da** woHc* wir
dcmfaOg erne
ist,
MUte Nbstei.
Zu dem Zwedte
richest wir irgend eine stetige Knrre 7 ron ^i bis Jf
and saehen za jedem Punkte Jf dieser Kurre 7 den Punkt j^, so dafi
Jf die IGtte ron 4^ wird; dam isi der Ort der Punkte iT wie wir
in
aas !*
25 bennesenen HHasatze schliefieii. eine stetige Kurre y*.
Diese Kurre
mondet gewifi in ^, wean dor Ponkt Jf auf der
Denn im anderen FaDe nehmen wir an, es
Kurre y nach J. h
lanfL
,
/
sei Jf,. J/^.
J^
eine unendlicne Beihe ron
r
and !?
Warden nun
-1 konTergieren,
Kurre 7 .
Jf
jB4 ,
^,
^, Bt
,
B..
.
Ponkten aof
7, die
gegen
die e&tspredieiiden Punkte auf der
rersduedene Ver. .
eine ron
A
entnenmen wir daaus 7 dafi es eine Bein beliebiger TffiW ron J. in bePunkte
welefae
wegong gibi,
gewisw
and
Hahe
ron
^i*
lafit
zn^eidi dm Punkt ^ in betieWge Nine
Ke^r
ron J* bringt. Dann mofite also auf Grand des Axioms ID bei einer
festWeiben and zugieich in ^1* fibergeben, was
fefLBJMim Bewegang
diditungBsteOe
besitzen, 00
^
&quot;
-lT-i-L-.i:
der
.-
Da
mm
am
ji durcn
stetige
aasem
C
A Trr*1T
&quot;*
zofbleie
-
AC
Ideiner als
A
J^^
ist.
so mnfi
B
Terbmdende
Der diesem Punkte
tzcffen.
Knrre 7 in irgead enesm Punkte
Pnnkt Jf auf 7 ist die Mitte der wahren Streeke
gescUagene wafare Kreis die
R
^^^l^^U
and da ^iC = AB
wit,
AB
Drehung mm A
ist, so indet mam doreh cow geeignete
andi die gesodtte Mrtte 3T ron
Da die Streeke JLC dutch ihre Halbdrehnng am ihre Mitte 3T in
die Streeke CA ubezgelit, so folgt aw unserem eben bewiesenea Satze:
^C
mm JT
Die Streeke
dafi die Streeke
AC mt Mm der Streeke CA kongmeat AC kJeiner ab die bestimmte am Anfuge dieses
Grande gekgte Stredce
AB ist
_
-
26
:
:
n
152
Anhang IY: Gnradlagen der Geometric.
Zugleich erkennen wir,
den Punkt
A
Strecken bez.
AC AC AC
1}
2}
wenn
daB,
auch
stets
konvergieren,
S
.
.
,
.
gegen
1}
2
.
.
,
,
N N N
Mitten
die
A
Clf C2 C3
Punkte
die
z
,
gegen
der
.
,
konvergieren.
27.
Fur unsere weiteren Entwicklungen haben wir
einige Satze iiber sich
beriihrende wahre Kreise notig und zwar kommt es vor allem darauf an,
zwei zueinander Jcongruente Kreise zu Jconstruieren die sich einander von
,
und nur in einem Punkte beruhren.
Zu dem Zwecke wahlen wir einen Kreis x so
aufien in einem
desselben
keine
Strecke
liegt,
die
klein,
der bestimmten in
daB innerhalb
26 zu Grunde
gelegten Strecke
AB
kongruent wird; der
20
Satz in
zeigt,
daB dies gewiB mogda sich
lich
ist ;
sonst die Punkte
und
J5
A
gleichzeitig
M
beliebig nahe an
liefien.
bewegen
dann sei x
halb
K
Kreis
um
So-
ein inner
liegender
denselben
Mittelpunkt wie x
.
Wir nehmen nun auf
dem Kreise x irgend
zwei Punkte an und
schlagen um diese
zueinander kongruente Kreise a
so klein, daB irgend zwei
von
der
irgend
zwei
Punkte auf
Punkten
auf
x,
x, die innerhalb
die
innerhalb
Anordnung der Punkte auf x getrennt
seien
die
Kreises x
Kreise
liegen.
a,
/3
Dann
liegen
gewahlt, daB sie
nehme man einen Punkt
so
klein
P
/3
und
/3
liegen, niemals
liegen, im Sinne
a.
konnen.
AuBerdem
innerhalb
des
ganz
an der innerhalb a
;
Drehung
und einen Punkt R an, der innerhalb /3 und
x liegt, und schlage dann um P und R zueinander kongruente
und Q so klein, daB n ganz innerhalb a und auBerhalb x und
ganz innerhalb /3 und innerhalb x fallt. Nun fiihre man eine
um den Mittelpunkt von a aus, so daB der Kreis it in einen
Kreis
iibergeht, der den Kreis x von
und auBerhalb x
innerhalb
Kreise n
ferner Q
it&quot;
liegt,
auBen
beriihrt:
die Beriihrungs-
Anhang IV: Grundlagen
der Geometrie.
153
punkte bilden ein Punktsystem, welches mit S bezeichnet werden moge.
Sodann fiihre man eine Drehung um den Mittelpunkt von /3 aus, so daB
der Kreis Q
der den Kreis x von innen be-
in einen Kreis Q iibergeht,
Die Beriihrungspunkte bilden ein Punktsystem, welches mit
ruhrt.
T
bezeichnet werden rnoge.
Da wegen der Wahl der Kreise a, /3 keine zwei Punkte des Systems S
durch ein Punktepaar des Systems T auf x getrennt werden, so ist es
gewiB moglich, durch eine Drehung der Ebene um den Mittelpunkt des
S
Kreises x einen der auBersten Punkte von
T
Punkte von
Punkte von S
auf x mit einem der auBersten
auf x derartig zur Deckung zu bringen, daB die iibrigen
in Punkte iibergehen, die von den Punkten des Systems T
mit
durchweg verschieden sind. Bei dieser Drehung gelangt der Kreis
in
in
in
der
Weise
daB
der
Punkt
dem
das
dem Kreise Q
C,
Benihrung
Zusammenfallen stattfindet, der einzige Beriihrungspunkt wird. Wir bein seiner neuen Lage mit it und die Mittelpunkte
zeichnen den Kreis
it&quot;
;
it&quot;
von
it
und Q
bez.
mit
P
und R.
beweisen, daB der Beriihrungspunkt C notwendig
In der Tat,
ist.
die Mitte zwischen den beiden Mittelpunkten P,
notwendig kleiner als
wegen unserer Wahl von x ist die Strecke
Wir wollen nun
R
PR
die
bestimmte
AB
Strecke
und
besitzt
Dann geht
nach
daher
in einen
muB
eine
so
Da
der Punkt
C
beiden
bei einer solchen
mufi er
Halbdrehung
er
Punkt
iibergehen,
it, Q gemeinsamen
mithin
stimmt
und
bleiben
Halbdrehung ungeandert
Q gemeinsam
it,
ebenfalls
gewiB
jeder der beiden Kreise
Halbdrehung um C*
Punkte des einen Kreises ein Punkt des andern.
eine
Kreisen
26
it, Q durch
in den anderen uber und daher wird aus jedem
Mitte; dieselbe heifie C*.
ist,
den Kreisen
folglich bei dieser
notwendig mit dem Punkte 0* uberein,
um
welchen die Halbdrehung
ausgefiihrt wurde.
Aus dem eben bewiesenen Satze erkennen wir
Tatsache
zugleich
folgende
:
durch Halbdrehung um den Punkt C auf it
von
der Kreis 9 der it
aufiew beriihrt; es gibt aufier Q Jceinen anderen
und nur
Kreis, der mit dem Kreise it Congruent ist und ihn im Punkte C
Aus dem
,
Kreise
it
in
entsteht
C
in diesem einen Punkte von aufien beriihrt.
28.
Ferner
Wenn
gilt der Satz:
irgend ein Kreis
i
von dem Kreise
umsclilossen
it
Punkte
wird, so findet diese Beriihrung nur in einem
Zum
Beweise nehmen wir an, es seien Q,
schiedene Beriihrungspuukte der Kreise
t
und
Q
it.
und
beriihrt
statt.
zwei voneinander ver-
Dann
fiihren wir
eine
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
154
f
Halbdrehung um Q aus; durch diese geht n in einen Kreis
der 7f nur im Punkte Q beriihrt, und i geht in einen Kreis i
innerhalb
x und daher gewiB ganz
it
fiber,
iiber,
der
aufierhalb
verlauft, beide Kreise it, it nur in
rend.
Ftihren wir jetzt diejenige
Q
it
beriih-
Drehung
um
den Mittelpunkt des Kreises it aus durch
welche Q in Q iibergeht, so entsteht aus i
;
welcher ganz innerhalb it und
daher gewiB auch auBerhalb i liegt, diesen
nur in Q beriihrend
Damit haben wir
ein Kreis
i&quot;,
zwei Kreise
Kreis|V in
i,
Q und nur
dem
und
dieser
27.
wir
statt
Umstand
27 und
Die in
kongruenten
Punkte von
in diesem
Satze in
aufien bertihren,
spricht
die beide den
i&quot;,
28 gefundenen Tatsachen bleiben
n } p kleinere Kreise nehmen.
wider-
giiltig,
wenn
29.
Es sei P der Mittelpunkt des in
27 konstruierten Kreises it und Q
Punkt auf it, ferner sei
ein beliebiger Punkt.
Dann konnen wir
unter Heranziehung der Bemerkung am SchluB von
26 und wie in
27
auf Grand des Satzes in
20 gewiB einen Punkt E in solcher Nahe
von
der
angeben, daB innerhalb des Kreises i, der um die Mitte
Strecke OE durch
und E gelegt wird, keine zu PQ kongruente Strecke
existiert und das gleiche auch fur jeden Punkt E und den entsprechenden
Kreis i gilt, wenn E noch naher als E an dem Punkte
gelegen ist.
Alsdann gilt der Satz:
Der um die Mitte
von OE (beg. OE ) durch
gelegte
(beg.
)
Kreis i (beg. ) wird von dem Kreise um
durch E (beg. E ) ganz umschlossen und nur in E (beg. E ) beriihrt.
ein
M
M
M
.
Zum
Beweise konstruieren wir
denjenigen
Kreis
eo
um
0,
der
zunachst
den
Kreis
i
und zugleich beriihrt. Dieser Kreis c?
notwendig kleiner als der Kreis TT; denn
umschliefit
ist
im anderen
zu
Falle
wiirde
x kongruente Kreis
eintreten
PQ
der
um
gelegte
ins Inn ere des Kreises
und dann miiBte innerhalb
i
i
eine zu
kongruente Strecke existieren, was nicht
28 bewiesenen
sollte. Nach dem in
der Fall sein
Satze kann dieser Kreis
sei
E
i
.
Ware nun
E
i
nur einen Beriihrungspunkt haben; derselbe
verschieden von E, so fiihre man um
diejenige
o&amp;gt;
mit
i
M
Anhang IV: Grundlagen
der Geometrie.
155
Drehung aus, durch welch e E nacli
gelangt; bei dieser Drehung gein einen Punkt E% des Kreises i, der von El verschieden
langt dann
und also auch OE%
Da die Strecke OE1 der Strecke E2
sein miiBte.
ein
E
des
Kreises o sein,
so
miiBte
ebenfalls
Punkt
z
kongruent wird,
dies widerspriiche dem Umstande, da6 E^ der einzige den Kreisen 03 und i
gemeinsame Punkt sein sollte; d. h. der Kreis to lauft durch E und
damit
unsere Behauptung bewiesen.
ist
30.
Bei den folgenden Entwicklungen legen wir die zu Beginn des
zu Grunde und erteilen den Punkten 0,
konstruierte Strecke
Zahlenwerte
bez. 1; sodann konstruieren wir die Mitte von
OE
29
E
OE
dieser
erteilen
die
und
den Zahlenwert ^, ferner erteilen wir den Mitten
Mitte
der Strecken (0, ) bez. ft, 1) die Werte % bez. f und dann den Mitten
der Strecke (0,1) bez. ft,*), ft, f), (f , 1) die Werte | bez. f, f, f;
und so fort. Ferner fiihren wir mit der ganzen Strecke (0, 1) um den
Punkt
der
wert
Halbdrehung aus und erteilen allgemein demjenigen Punkte,
zur Zahl a gehorigen Punkte hervorgeht, den Zahlensodann
fiihren wir um den Punkt 1 eine Halbdrehung aus
a;
eine
aus
dem
demjenigen Punkte, der aus dem zur Zahl a ge
a und so fort denken
horigen Punkte hervorgeht, den Zahlenwert 2
und um
wir uns abwechselnd Halbdrehungen um
ausgefiihrt und
und
erteilen allgemein
E
neu entstehenden Punkte entsprechend benannt, bis schliefilich jede
Zahl a einem bestimmten Punkte zugeordnet erscheint, wenn a eine
die
rationale Zahl bedeutet, deren
Nenner eine Potenz von 2
ist.
31.
Wir erkennen durch
diese
leicht folgendes Gesetz:
zur
Zahl a gehorigen Punkt geht
den
Zuordnung
Durch eine Halbdrehung um
x iiber. Wenn wir mithin erst eine
Punkt x in den Punkt 2 a
= und dann eine solche um den Punkt a
Halbdrehung um den Punkt
wird
so
Punkt
x in den Punkt x + 2 a verwandelt.
ausfiihren,
jeder
jeder
32.
Um
denen Zahlen zugehoren, untereinander anzuordnen
und die von ihnen begrenzten Strecken miteinander zu vergleichen, be29 aufgestellten Satz uber sich beriihrende Kreise
nutzen wir den in
die Punkte,
in folgender Weise:
Der Kreis
Kreis
um
um
\ durch
durch den Punkt | umschliefit ganz den
und da dieser die Kreise um -J durch | = i und
den Punkt
,
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
156
=
um
f durch -f
durch ~
4,
=
durch
i|
wiederum
die letzteren
umschlieBt,1
um
=
j|
um
,
durch
jl
= \,
j|
daB
u.
a
s.
f.,
so
erkennen wir,
(0,
positive
|-)
groBer
ist,
wenn
rationale
Zahl
Strecken (0, a)
eine
durch
,
Strecke
die
als alle
j|
um ~
16
die Kreise
= f um ^
bedeutet, deren Nenner eine Po
tenz von 2 ist und deren Wert
unterhalb
liegt.
-\-
Ferner umschlieBt der Kreis
um
um
durch ^ den Kreis
=
durch |
-J
Der zweite um-
schlossene Kreis umschlieBt seiner-
um
und
i|
Kreise
die
seits
um ~
durch
~
diese
durch
umschlieBen wiederum
neren Kreise
um
u.
s.
Nenner
Kreise
um
um ^
groBer
als
j|
eine Potenz
von 2
ist
und deren
liegt.
Weiter betrachten wir den Kreis
den Kreis
klei-
daraus erkennen wir, daB die
f.;
3|, 3^
als alle Strecken (0, a), wenn a eine positive
bez.
Strecke (0, ^) groBer ist
rationale Zahl bedeutet, deren
Wert unterhalb ^
die
durch ^ =
durch
2
32
u.
s.
-|
f.;
um
durch
-|;
derselbe umschlieBt
und dieser wiederum umschlieBt
die kleineren
daraus erkennen wir, daB die Strecke (0,
-|)
Strecken (0, a) ist, wenn a eine positive rationale Zahl
deren Nenner eine Potenz von 2 ist und deren Wert unter
alle
bedeutet,
halb |^ liegt.
Durch Fortsetzung
dieses
SchluBverfahrens finden wir das
allgemeine Resultat:
Ist
a
eine positive rationale Zahl, deren
und deren Wert unterhalb
liegt,
so
ist
Nenner
die
eine Potenz von 2 ist
Strecke
(0, a)
stets
kleiner
2
als die Strecke
[0,
J
33.
Nunmehr
sind wir
im stande, der Reihe nach folgende
Hilfssatze
zu beweisen:
Die Punkte, die
gegen den Punkt 0.
Denn im
den Zahlen ^, %, | ; t|
.
.
.
entsprechen,
konvergieren
Falle miiBten, da die Strecken (0 ; ^-),
kleiner
werden, die Punkte --, , -J, ^,
), (0, -|), (0, jg),
bestandig
(0,
ihre Verdichtungsstellen auf einem bestimmten wahren Kreise x um den
entgegengesetzten
.
.
.
.
.
.
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
Punkt
Es
haben.
gegen einen Punkt
K*
im Punkte
etwa
sei
K
.
O
,
9
l
eine Reihe
,
*
von Punkten,
die
O&quot;s
auf x konvergieren: dann
mogen
OK
K*
Punkte
die
dem
eine Verdichtungsstelle haben.
Aus
dann
die Mitte der Strecke
dafi
157
Satze
im
sein
25
dies
geht hervor,
miiBte;
27 gefundenen
widerspricht unter Hinzuziehung der am Schlusse von
Tatsache dem Umstande, daB K* ebenfalls auf dem Kreise x
liegt.
34.
Es mogen a1} a2
3
,
.
.
,
.
gegen
konvergiert,
Punktreihe gegen den Punkt
Beweise wahlen
und
Reihe
die
die
Exponenten
ganzen
-
durch -
um
liegt
durch
ebenfalls
,-
,
U
.
.
w17 n 2) n3)
.
.
.
gegen
und nach dem
,
konvergiert.
Da
4
32 allgemein der Punkt a
zufolge des Satzes in
Kreise
.
0.
wir
,
Li
um
1;
Nenner
aa , a s ,
daB
derart
wird,
die unendlicke Zahlenreihe
konvergiert auch die diesen Zdhlen entspreckende
so
Zum
positive rationale Zalilen bedeuten, deren
Wenn dann
Potenzen von 2 sind.
,
33 bewiesenen Hilfssatze die
in
konvergieren, so folgt sofort
gegen
,
innerhalb des Kreises
{
auch die zu beweisende Behauptung.
35.
Endlich
der folgende Satz:
eine unendliche Reihe von rationalen Zahlen,
,
3J
deren Nenner Potenzen von 2 sind und die gegen irgend eine reelle Zahl a
Es
seien
konvergieren:
gilt
a17 a2
.
.
.
dann konvergieren
die
entsprechenden
Punkte alf a 3) a3) ...
ebenfalls gegen einen bestimmten Punkt.
Zum
Beweise nehmen wir das Gegen teil an:
es seien
etwa
V und
zwei voneinander verschiedene Yerdichtungsstellen der Punkte a i} a%, a 3 ,
und zwar mogen die Punkte ar , a2 ,, a^,,
und ar f a%,,, a3 ,,,
gegen
.
gegen
V&quot;
konvergieren.
Punkt ak
.
.
Nach den Bemerkungen
V
,
31
in
gibt
es
F&quot;
...
.
.
,
fur
Halbdrehungen zusammengesetzte Bedie
den
Punkt
ak und zugleich
allgemein
wegung,
a^ in den Punkt a
den Punkt a^, in den Punkt
ak uberfiihrt, und da sowobl die Zahlen-
jeden
eine
aus
zwei
.
t
,-
Anhang IV: Grundlagen der Geometric.
158
werte af
ak
auch die Zahlenwerte a{
als
ak mit wachsenden Indices
,,
kommen; so erkennen wir mit Riicksicht auf den Satz
beliebig nahe an
in
daB
es
34,
Bewegungen gibt, die einen Punkt in beliebiger Nahe
und zugleich einen Punkt in beliebiger Nahe von
von
in beliebige
V
Nahe
oft
V&quot;
des Punktes
bringen.
Dies
ist
im Hinblick auf Axiom
III einer
angewandten SchluBweise zufolge nicht moglich.
36.
nun dem Punkte, gegen den die Punkte a 1} 2 3 ,
den
Zahlenwert a, so ist damit iiberhaupt jedem reellen
konvergieren,
Zahlenwerte ein bestimmter Punkt unserer Ebene zugeordnet; wir nennen
Erteilen wir
.
,
.
.
das System aller dieser Punkte eine wahre Gerade, so daB also unter dieser
wahren Geraden dasjenige System von Punkten verstanden wird, die aus den
Punkten 0,
E
wenn man
entstehen,
drehungen ausfuhrt und
fortgesetzt
die
Mitten nimmt, Halb-
die Hdufungsstellen aller erhaltenen Punltte hinzu-
durch Sewegung aus dieser waliren Geraden entstettenden
Punktsysteme heipen wiederum wahre Gerade. Die wahre Gerade zerfallt
von jedem ihrer Punkte aus in zwei Halbgerade.
Samtliche
fiigt.
37.
25 erkennen wir
Mit Benutzung des Hilfssatzes in
daB bei
leicht,
der Halbdrehung um einen beliebigen Punkt a unserer wahren Greraden
x iibergeht; bei der Ausallgemein der Punkt x in den Punkt 2 a
und a geht also all
zweier Halbdrehungen um die Punkte
in
2
iiber.
x
x
a
-f
gemein
Aus dem Satze in
35 folgern wir leicht, daB auch dann, wenn
ftihrung
beliebige gegen a konvergente Zahlen sind, die entsprechena
den Punkte if az ,aZ) ... stets gegen den entsprechenden Punkt a konvergieren; d. h. die wahre Gerade ist eine stetige Kurve.
al}
2
,
3
.
,
.
.
38.
die Annahme, daB es zwei Zahlenwerte a und b gabe,
wahren Geraden den namlichen Punkt P der Ebene darstellen.
Versuchen wir
die auf der
Der Punkt
~-
ist die
1
mit dem Punkte
Mitten
und
-
P
gelten.
a
(a,
miiBte
&quot;
und
&quot;T
(
j
y
;
o\
d. h.
den Punkten
Indein wir fortgesetzt die Mitten nehinen,
A
wir, daB samtliche
derselbe
Punkte-
a-\-B
b
,
2
daher
Das gleiche miiBte dann von den
iibereinstimmen.
den Strecken
-
Mitte der Strecke (a, 6);
wo
An Bn
,
positive
a
~
(
erkennen
ganze Zahlen
Anhang IV: Grundlagen der Geometrie.
159
2 n bedeuten, rait P identisch sein
miiBten, und hieraus
nach
daB
alien
zwischen
a
und
b gelegenen reellen
folgt
37,
iiberhaupt
Zahlen der namliche Punkt P der Geraden entsprechen miiBte. Dieser
Widerspruch zeigt, daB die wahre Gerade Mnen Doppelpunkt besitet.
Summe
mit der
Ebenso erkennen wir, daB
die
wahre Gerade nicht in
sich selbst zuruck-
laufen kann.
39.
Zwei Gerade haben
hochstens einen
In der Tat, hatten
sie die
Punkt gemein.
zwei Punkte A und B gemein und
ent-
sprachen diesen Punkten auf der einen Geraden die Zahlenwerte a, b und
auf der andern Geraden die Zahlenwerte a, b , so miiBten nach
24 auch
31
und
die Mitten
miteinander iibereinstimmen.
Indem wir
fort-
38 die Mitten nehmen, schlieBen wir in ahnlicher Weise,
gesetzt wie in
daB samtliche zwischen a und b bez. a und b gelegenen Punkte auf
beiden Geraden und mithin diese Geraden selbst miteinander identisch sind.
40.
Unsere wahre Gerade schneidet jeden
den Punkt
um
um
einen ihrer Punkte, etwa
gelegten Kreis.
In der Tat, bei der entgegengesetzten Annahme sind nur zwei Falle
moglich: entweder es gibt einen bestimmten Kreis K um den Punkt 0,
von der wahren Geraden g noch getroffen wird, wahrend die den
um
von g nicht mehr getroffen werden;
oder es gibt einen bestimmten Kreis K, der von g nicht getroffen wird,
wahrend alle innerhalb x verlaufenden Kreise um den Punkt
von g
der
Kreis K umschlieBenden Kreise
getroffen werden.
Da die Gerade g ihrer Konstruktion
gemaB fiber jeden ihrer Punkte
hinaus stets fortgesetzt werden kann und, wie in
38 gezeigt worden ist,
keinen Doppelpunkt besitzen darf, so miiBte es im ersteren Falle gewiB
einen innerhalb K verlaufenden Kreis
um
den Punkt
geben, den
auf
sie
B
auf der Fortan zwei Stellen A, 13 trafe, wobei
innerhalb
K zu nehmen
von
und
an
A
hinter
nahe
g
setzung
genugend
durch
welche
ist.
Fiihrt man nun eine Drehung um den Punkt
aus,
derselben Seite von
A
A
B
ubergeht, so wiirde dabei unsere Gerade g in eine andere ubergehen,
39 bewelche g auBer in
noch in
schnitte; dies ist dem in
in
B
wiesenen Satze zufolge unmoglich.
Im
zweiten Falle bezeichne
beliebige
Nahe
die
einen wahren Kreis n*,
treffe.
K
einen Punkt des Kreises x,
wahre Gerade g gelangt.
der kleiner als x
Sodann schlage man
um
M einen
ist
Kreis
in dessen
schlage dann um
und g etwa im Punkte
Man
it,
der grofier als
it*
K
M
und
160
Anhang
kleiner als x
Punkt
K
ist.
IV:
Grundlagen der Geometric.
Dieser Kreis n enthalt, da er grofier als it* ist, den
er kleiner als x ist, so ergibt unsere An-
im Inneren, und da
M
Verbindung mit dem vorhin Bewiesenen, daB die durch
Gerade
g stetig innerhalb n verlauft, nach der einen oder anderen
gehende
Richtung bin verlangert je durch einen Punkt auf it aus dem Kreise it
nahme
in
heraustritt
und dann nicht mehr
in
Gerade g andererseits dem innerhalb
kommen
ein
so enthalt sie
soil,
den Kreis
zuriicklauft.
it
Da
die
K
gelegenen Punkte
beliebig nahe
den
Punkt
notwendig
selbst-, hierin liegt
it
K
Widerspruch mit unserer gegenwartigen Annahme.
Da
um
ganze Ebene
liickenlos bedeckt, so folgt zugleich aus dem vorigen, daB irgend zwei
Punkte in unserer ebenen Geometric stets durch cine wahre Gerade verdas
aller
System
bunden werden
Kreise
einen
Punkt
die
Jconnen.
41.
Wir haben nun
zu zeigen, daB die Kongruenzaxiome in unserer ebenen
Geometric gultig sind.
Zu dem Zwecke wahlen wir
und
fiihren fur die
durch den Winkel
o
der wahre
in
Kreis
einen bestimmten wahren Kreis x
Punkte desselben nach
aus
18 die Parameterdarstellung
bis 2jt erhalt,
dann wird, wenn
die Werte
einem bestimmten Sinne durchlaufen. Aus dieser
ein:
Einfuhrung folgt fiir jeden anderen mit x kongruenten Kreis ebenfalls
ein bestimmter Umlaufssinn, namlich derjenige, der sich ergibt, wenn
wir den Mittelpunkt des Kreises K nach
22 durch zwei hintereinander
dem
mit
angewandte Drehungen
Mittelpunkt des vorgelegten Kreises zur
Deckung bringen. Da es im Hinblick auf den zu Anfang dieser Ab-
handlung definierten Begriff der Bewegung nicht moglich ist, den urspriinglichen Kreis x mit sich selbst im umgekehrten Umlaufssinn zur
Deckung zu bringen,
so
existiert
in
der Tat
fiir
jeden Kreis ein be
stimmter Umlaufssinn.
Jetzt
M
nehmen wir zwei von einem Punkte
ausgehende Halbgeraden,
zusammen eine wahre Gerade ausmachen, schlagen um
die nicht beide
M
einen zu K kongruenten Kreis und fixieren dasjenige von den Halbgeraden
ausgeschnittene Stuck dieses Kreises, welches einem unterhalb der Zahl it
liegenden Parameterintervall entspricht. Der festgesetzte Umlaufssinn fiihrt
dann innerhalb des nxierten Kreisbogenstiickes von einer der beiden Halb
geraden zu der anderen Halbgeraden: wir bezeichnen die erstere Halb
den rechten, die letztere Halbgerade als den linken Schenkel
des Winkels zwischen beiden Halbgeraden, wahrend das Parameterintervall
Aus unserem BegrifFe
selbst das MaB fur diesen Winkel abgibt.
it)
geraden
(&amp;lt;
als
Anhang IV: Grundlagen
der
Bewegung
folgt
dann der
erste
der Geometrie.
161
fiir
Kongruenzsatz
zwei Dreiecke in
folgender Gestalt:
ABC und AB C die Kongruenzen
AB = AB AC = AC
AC
^BAC =
gelten, ivenn ferner AB bez. A B die rechten, AC bez. AC die linken
Schenkel der Winlcel BAG bez. B A C sind, so gelten stets auch die
Wenn
fur zwei Dreiecke
f
r
f
,
&amp;lt;B
}
Kongruenzen
$:ABC = 3:AB C
und
^ACB = ^AC B
BC^B C
f
f
,
.
42.
Nachdem
40 die wahre Gerade definiert und ihre Eigenschaften abgeleitet worden sind, haben wir zwei Falle zu unterscheiden:
Erstens nehmen wir an, dafi es durch einen Punkt nur eine Gerade
eine
die
gibt,
30
in
unsere Ebene
gegebene Gerade nicht schneidet (Parallelenaxiom). Fur
gelten dann die samtlichen ebenen Axiome, die ich in
meiner Festschrift
habe, nur
daB
fiber die
das
aufgestellten engeren
Fassung des letzten
Grundlagen der Geometrie (Kap.
Kougruenzaxiom IV, 6 dort
Fassung zu nehmen
ist.
Kongruenzaxioms
folgt
in
Auch
mit
I) aufgestellt
der vorhin in
Euklidische ebene Geometrie (vgl. Anhang II S. 92 S. 95).
Zweitens nehmen wir an, daB es durch jeden Punkt
gerade gibt, die nicht zusammen ein und dieselbe Gerade
A
und
41
bei dieser engeren
Notwendigkeit die
zwei Halb-
ausmachen,
gegebene Gerade g nicht schneiden, wahrend jede in dem
gebildeten Winkelraum gelegene von A ausgehende Halbgerade
die eine
durch
sie
g schneidet; dabei liege A auBerhalb g.
Mit Hilfe der Stetigkeit folgt dann leicht, daB auch umgekehrt zu
irgend zwei von einem Punkte A ausgehenden Halbgeraden, die nicht zu
sammen ein und dieselbe Gerade ausmachen, stets eine bestimmte Gerade g
die Gerade
die jene beiden Halbgeraden nicht schneidet, dagegen von jeder
anderen Halbgeraden getroffen wird, die von
ausgeht und in dem
Winkelraum zwischen den beiden gegebenen Halbgeraden verlauft. Unter
diesen Umstanden folgt dann die Bolyai-Lobatschefskysche ebene Geo
gehort,
A
auch wenn wir das Kongruenzaxiom IV, 6 in der vorhin auf
gestellten engeren Fassung zu Grunde legen, wie sich dies mit Hilfe
metrie,
meiner
1)
^nden^Rechnung
Vgl. meine
1
)
zeigen laBt.
Abhandlung:
Neue Begriindung der Bolyai-Lobatschefskyschen
Anhang III. Das dort eingeschlagene Beweisverfahren ist fur den gegenwartigen Zweck in geeigneter Weise abzuandern, so daB die Stetigkeit herangezogen,
dagegen die Anwendung des Satzes von der Gleichheit der Basiswirikel im gleichGeometrie,
Hilbert, Grundlagen der Geometrie.
11
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
162
Zum
Schlusse mochte ich auf den charakteristischen Unterschied hin-
wenn wir die vorstehende Begrundung der
Geometric mit derjenigen vergleichen, die ich in meiner Festschrift ,Grundlagen der Geometrie&quot; zu geben versucht habe. In dieser Festschrift ist
der uns entgegentritt,
weisen,
;
eine solche
hinter
alien
Anordnung der Axiome
ubrigen Axiomen an
wobei die Stetigkeit
gefordert wird, so daB
befolgt worden,
leister
Stelle
dann naturgemaB die Frage in den Vordergrund tritt, inwieweit die bekannten Satze mid SchluBweisen der elementaren Geometrie von der
Forderung der Stetigkeit unabhangig sind. In der vorstehenden Untersuchung dagegen wird die Stetigkeit vor alien ubrigen Axiomen an erster
Stelle
durch die Definition der Ebene und der Bewegung gefordert, so daB
Aufgabe darin bestand, das geringste MaB
von Forderungen zu ermitteln, um aus demselben unter weitester Benutzung der Stetigkeit die elementaren Gebilde der Geometrie (Kreis und
Gerade) und ihre zum Aufbau der Geometrie notwendigen Eigenschaften
hier vielmehr die wichtigste
gewinnen zu konnen.
zeigt,
daB hierzu
die
In der Tat hat die vorstehende Untersuchung gein den obigen Axiomen I
III ausgesprochenen
Forderungen hinreichend sind.
Gottingen, den 10. Mai 1902.
Anhang
Y.
Uber Flachen von konstanter GrauBscher Kriimmung 1 ).
Uber Flachen von negativer konstanter Kriimmung.
Nach Beltrami 2 )
Krummung
verwirklicht eine Flache von negativer konstanter
ein Stuck einer
Lobatschefskyschen (Nicht-Euklidischen)
Geraden der Lobatschefskyschen Ebene die geodatischen Linien der Flache von konstanter Krummung betrachtet und als
Ebene, wenn
man
als
Langen und Winkel in der Lobatschefskyschen Ebene die wirklichen
Langen und Winkel auf der Flache nimmt. Unter den bisher unterFlachen negativer konstanter Krummung finden wir keine, die
und mit stetiger Anderung ihrer Tangentialebene in der Um-
suchten
sich stetig
gebung jeder
Stelle iiberallhin ausdehnt;
vielmehr besitzen die bekannten
schenkligen Dreiecke vermieden wird. Una die Satze fiber die Addition der Enden
S. 117) zu gewinnen, betrachten wir die Addition als Grenzfall einer Drehung
(S. 115
der Ebene, wenn der Drehpunkt auf einer Geraden ins Unendliche riickt.
1)
October
2)
Presented to
9,
the
Society,
October
1900.
Giornale di Matematiche, Bd.
6,
1868.
27,
1900.
Received
for
publication
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
163
Flachen negativer konstanter Kriimmung singulare Linien, iiber die hinaus
eine stetige Fortsetzung mit stetiger Anderung der Tangentialebene nicht
moglich 1st. Aus diesein Grunde gelingt es mittels keiner der bisher
bekannten Flacheu negativer konstanter Kriimmung, die ganze Lobatschefskysche Ebene zu verwirklichen, und es erscheint uns die Frage
von. prinzipiellem Interesse, ob die ganze Lobatschefskysclic Ebene
1
FlacJie negativer konstanter Kriim
uberhaupt nicht durch eine analytische
&quot;)
Beltramische Weise zur Darstellung gebracJit werden hann.
diese Frage zu beantworten, gehen wir von der Annahme einer
die
mung auf
Um
1 aus, die
analytischen Flache der negativen konstanten Kriimmung
im Endlichen uberall sich regular verhalt und keine singularen Stellen
wir werden dann zeigen, dafi diese Annahme auf einen WiderEine solche Flache, wie wir sie annehmen wollen, ist durch
aufweist;
fiihrt.
spruch
folgende Aussagen vollstandig charakterisiert:
Jede im Endlichen gelegene Verdichtungsstelle von Punkten
der Flache ist ebenfalls ein Punkt der Flache.
Bedeutet
irgend einen Punkt der Flache, so
ist es
stets
moglich, die rechtwinkligen Koordinatenaxen x,y,z so zu legen,
dafi
der Anfangspunkt des Koordinatensystems wird und die
Gleichung der Flache in der Umgebung dieses Punktes
folgt lautet:
8
(1)
wo
die
Konstanten
= ax + If + ^
wie
2
a, & die
(x, y],
Relation
befriedigen und die Potenzreihe ^5 (x, y) nur Glieder dritter
oder hoherer Dimension in x, y enthalt. Offenbar ist dann die
0-Achse die Normale der Flache und die x- und ?/-Achse geben
die Richtungen an, die durch die Hauptkriimmungen der Flache
bestimmt
sind.
Die Gleichung
ax 2
+
2
by*
=
in
beiden Haupttangenten der Flache durch den Punkt
und
der x y -Ebene; dieselben sind daher stets voneinander getrennt
geben
bestimmt
1)
die
Der leichteren Ausdracksweise wegen
setze ich hier fur die zu betrachtende
Flache analytischen Charakter voraus, obwohl die Beweisfiihrang und das erlangte
Eesultat (vgl. S. 172) giiltig bleiben, wenn in Gleichung (1) $(#,?/) eine genugend
DaB es tatsachlich
oft differentierbare nicht analytische Funktion von x,y bedeutet.
konstanter
und
nicht
Flachen
von
Kriimmung
gibt, hat
negativer
analytische
reguliire
auf meine Anregung hin G. Liitkemeyer in seiner Inauguraldissertation Uber den
analytischen Charakter der Integrale von partiellen Differentialgleichungen, Gottingen
:
1902, bewiesen.
11*
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
164
die Richtungen an, in denen
durch den beliebigen Punkt
die
beiden Asymptotenkurven der Flache
Jede dieser Asymptotenkurven
verlaufen.
gehort einer einfachen Schar von Asymptotenkurven an, die die ganze
auf der Flache regular und liickenlos iiberUmgebung des Punktes
Verstehen wir daher unter u, v geniigend kleine Werte, so konnen
wir gewiB folgende Konstruktion ausfiihren. Wir tragen auf einer der
decken.
gehenden Asymptotenkurven den Parameterwert u von
beiden durch
Lange ab, ziehen durch den erhaltenen Endpunkt die andere mogliche
Asymptotenkurve und tragen auf dieser den Parameterwert v als Lange ab:
als
der
nun erhaltene Endpunkt
ist
ein
Punkt der Flache, der durch
die
Parameterwerte w, v eindeutig bestimmt ist. Fassen wir demgemaB die
rechtwinkligen Koordinaten x, y, z der Flache als Funktionen von w, v
auf,
indem wir
setzen:
/i\
(1)
so
x
sind
diese
/\v),
= x(u,
jedenfalls
= y(u,v),
/
y
fur
*\
2
kleine
geniigend
/\
z(u,v),
Werte von
u, v regulare
analytische Funktionen von u, v.
Die bekannte Theorie der Flachen von der konstanten Kriimmung
liefert uns feraer die folgenden Tatsachen:
Bedeutet
(p
den Punkt u,
die Werte:
1
den Winkel zwischen den beiden Asymptotenkurven durch
v, so erhalten die drei FundamentalgroBen der Flache
v\
*
/
+
l
I
aw
(^
/.
dx dx
du dv
dy dy
du dv
.dzdz
dudv
COS
(p
und mithin wird das Quadrat der Ableitung der Bogenlange einer be
liebigen Kurve auf der Flache nach einem
Parameter t von der Form:
Der Winkel
&amp;lt;p
geniigt als Funktion
von u v
}
der partiellen Differentialgleichung
Die Formeln (2) und (3) beweisen den bekannten Satz: 1 )
1) Dini,
theorie
Annali di Mathematica, Bd.
generate des surfaces, Bd.
ferenziale,
67.
3,
4,
Nr. 773.
1870,
S. 175.
Bianchi,
Darboux, Le9ons sur
Lezioni
di
geometria
la
dif-
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Krummung.
165
In jedem Vierecke, das von vier Asymptotenkurven unserer
Flache gebildet wird, sind die gegeniiberliegenden Bogen einander gleich.
von
Die Formel (3) gestattet die Berechnung des Flacheninhaltes eines
Asymptotenkurven gebildeten Viereckes mittels seiner Winkel;
Darboux
1
)
zu
dem folgenden
Satze gelangt:
a
Der Flacheninhalt eines us Asymptotenkurven gebildeten
Viereckes auf unserer Flache ist gleich der Summe der Winkel
ist
auf diesem
Wege
des Viereckes vermindert
um
2 jr.
Die Formeln (1) liefern eine Parameterdarstellung unserer Flache,
bei welcher die Koordinatenlinien
u
= const
.
,
v
=
const
.
Nach den obigen Ausfiihrungen erweisen
Koordinaten
x, y, z gewifi fiir geniigend kleine
rechtwinkligen
umkehrbar
als
v
Werte von u,
eindeutige Funktionen der Variabeln u, v
die
sich
Asymptotenkurven
sind.
die
die umkehrbar eindeutige Ab(1) vermitteln jedenfalls
0,
bildung eines Stiickes der wv-Ebene in der Umgebung des Punktes u
auf ein Stuck unserer Flache in der Umgebung des Punktes 0.
v
d. h.
die
Formeln
=
=
Unsere Aufgabe besteht darin, die gesamte Abbildung der ^tw-Ebene auf
unsere Flache zu untersuchen, welche durch die analytische Fortsetzung
der Formeln (1) erhalten wird.
Fassen wir irgend eine Asyrnptotenkurve unserer Flache ins Auge,
so erkennen wir sofort, da6 dieselbe im Endlichen keinen singularen
Punkt haben und daher auch nirgends aufhoren darf; denn bei Annahme
einer solchen singularen Stelle konnten wir in dieselbe den Punkt
mit unseren friiheren
legen und dies gabe einen Widerspruch
ver-
Aus-
stets zwei regulare Asymptotenkurven
wonach durch
durchlaufen und eine geniigend kleine Umgebung des Punktes
fiihrungeu,
unserer
erfiillt
Flache
durch
regular
verlaufende
Asymptotenkurven
hin-
auf
liickenlos
wird.
Aus diesem Umstande entnehmen wir
die analytische Tatsache,
daB
und unbegrenzt fortUm dies sicher zu erkennen, tragen wir vom Punkte
setzbar sind.
die Lange u nach der einen oder
aus auf der Asymptotenkurve v =
anderen Richtung, jenachdem u positiv oder negativ ist, ab, ziehen
durch den erhaltenen Endpunkt die andere Asymptotenkurve, tragen dann
die
Funktionen x, y, z
fiir
alle rellen u, v eindeutig
auf dieser die Lange v nach der einen
1) loc. cit.,
Bd.
3,
Nr. 773.
oder
anderen Richtung hin,
je-
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
166
nachdem
v positiv oder negativ ausfallt, ab und erteilen endlich dem so
der die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z haben
erhaltenen Endpunkte,
moge, die Parameterwerte u, v. Auf diese Weise ist jedem Punkte der
wy-Ebene jedenfalls ein bestimmter Punkt unserer Flache zugeordnet
und die Funktionen x,y,8, die diese Zuordmmg vermitteln, sind eindeutige fur alle reellen Variabeln u, v definierte und regulare analytische
Punktionen.
Auch
zeigt sich sofort, da6
umgekehrt jedem Punkte unserer Flache
Um
mindestens ein Wertepaar u, v entspricht.
dies einzusehen, bezeichnen
wir diejenigen Punkte, deren Koordinaten durch Funktionswerte
x(u,v),
dargestellt werden,
mit P,
unsere
nicht
y(u,v),
z(u,v]
dagegen die Punkte der Flache, die durch
Wiirden nun im
werden, mit Q.
betroffen
Abbildung
Endlichen ein oder mehrere Punkte
Q vorhanden sein, so miiBte es gewiB
Punkt A auf der Flache geben, in dessen beliebiger
Nahe sowohl Punkte P als auch Punkte Q gelegen sind.
Nach den fruheren Ausfiihrungen existieren nun fur die Umgebung
des Punktes A zwei Scharen von Asymptotenkurven, deren jede diese
Umgebung einfach und liickenlos tiberdeckt. Unter diesen Asymptotenmindestens
einen
kurven mufi notwendig mindestens eine solche vorhanden sein, die sowohl
In der Tat, fassen wir
einen Punkt P als auch einen Punkt Q enthalt.
eine der beiden durch
hindurchgehenden Asymptotenkurven ins Auge
A
und nehmen wir an, dieselbe bestande aus lauter Punkten P (bez. $),
so wiirden die Asymptotenkurven derjenigen Schar, zu welcher jene erstere
Asymptotenkurve nicht gehort, mindestens je einen Punkt P (bez. Q)
namlich den Schnittpunkt mit der ersteren Asymptotenkurve enthalten.
Die samtlichen Kurven dieser Schar konnen aber gewiB nicht aus lauter
Punkten P (bez. Q] bestehen, da sonst die ganze Umgebung von A nur
P
Punkte
Es
(bez.
nun
Q] enthielte.
die Lange eines Stuckes einer Asymptotenkurve, deren
Punkt
P und deren Endpunkt ein Punkt Q sein moge.
Anfangspunkt
Fassen wir die beiden durch den Anfangspunkt P laufenden Asymptoten
kurven der Flache ins Auge, so ist jenes Stuck von der Lange I not
wendig die Fortsetzung einer dieser beiden Asymptotenkurven, und wenn
sei
I
ein
daher
u, v
die
Koordinaten des Anfangspunktes
P
sind,
so
wird der
+
Endpunkt jenes Kurvenstiickes entweder durch die Parameterwerte u
oder u,v
l
dargestellt
entgegen unserer Annahme, derzufolge
+
Endpunkt Q nicht durch die Formeln (1) darstellbar
Damit ist bewiesen worden, daB durch die Formeln
zur Darstellung gebracht wird,
wenn
Z,
v
der
sein sollte.
(1) die ganze Flache
durchlauft.
v
alle
reellen
Zahlenwerte
u,
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
Endlich
die
Formeln
die
TJntersuchung notwendig, einzusehen,
jeden Punkt der Flache nur durch
(1)
daB
h.
d.
darstellen,
es fur unsere
ist
die
Abbildung
gefundene
ein
daB
Wertepaar u, v
Flache
imserer
geniigend kleine Gebiete, sondern
eine ww&e/w&ar-eindeutige sein muB.
wv-Ebene nicht bloB
167
fiir
auf
im ganzen
genommen
Wir beweisen zu dem Zwecke der Reihe nach folgende Satze:
1. Es gibt auf unserer Flache keine geschlossene, d. h. in sick zuruckkehrende Asymptotenkurve.
Zum
Beweise
nebmen wir im
Gegenteil
an,
es
eine
sei
solcbe
Asymptotenkurve auf unserer Flache vorbanden. Wir konstruieren durcb
auf diesen
jeden Punkt derselben die andere Asymptotenkurve und tragen
Kurven
stets ein
Stuck
Die
s
nach derselben
erhaltenen
Endpunkte
werden dann entweder eine in sich zuab.
Seite
rucklaufende
Asymptotenkurve
bilden,
oder die Endpunkte des Stiickes s beschreiben erst nach zweimaligem Durchlaufen der Grundkurve eine in sich zu-
riickkehrende
Asymptotenkurve
-
-
ein
wenn unsere Flache eine sogenannte DoppelFassen wir nun eine derjenigen Asymptotenkurven von der
ins Auge, die uns vorhin zur Konstruktion der neuen geschlossenen
Fall, der eintreten konnte,
flache ware.
Lange s
Asymptotenkurve dienten,
so bildet dieselbe doppelt gerechnet zusammen
Asymptotenkurven ein Asymptotenviereck,
mit den beiden geschlossenen
im
steht
Diese Tatsache aber
offenbar genau gleich 2 it ist.
der
vorhin
dem
zu
angefuhrten Satze,^ wonach
Widerspruch
Winkelsumme
dessen
Inhalt
Summe
dem UberschuB der
Asymptotenkurvenvierecks stets gleich
seiner Winkel uber 2jc ist und dieser tJberschuB daher notwendig
eines
positiv sein
muB.
schneiden
Irgend zwei durch einen PunU gehende Asymptotenkurven
Flache.
unserer
sich in keinem anderen Punkte
Wir denken uns eine Asymptotenkurve a nach beiden Richtungen
derselben
hin ins Unendliche verlangert und dann durch einen Punkt
Nehmen wir
b gezogen.
Seite die andere
2.
P
nach einer
Asymptotenkurve
dann im Gegensatz zu unserer Behauptung an, daB diese Asymptoten
so
kurve b die urspriingliche a zum erstenmal im Punkt Pt schnitte,
sind die folgenden zwei Falle denkbar:
Erstens: die Asymptotenkurve b konnte so verlaufen,
von derselben Seite der Asymptotenkurve a her eintritt,
daB
als
sie in
P
t
sie dieselbe
verlassen hat;
Zweitens:
die
Asymptotenkurve
b
konnte
derart verlaufen,
daB
sie
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
168
von der anderen Seite der urspriinglichen Asymptotenkurve a herkommt
und mitliin nach Verlassen des Schnittpunktes Pl nach der namlichen
Asymptotenkurve a gerichtet
Seite der
P
Punkte
ist,
wie anfanglich,
als
vom
sie
ausging.
Was
Wir
wollen zeigen, da6 beide Falle unmoglich sind.
Fall betrifft, so bezeichnen wir die Lange der Strecke
PP
Q
den ersten
auf a mit
I
und die Mitte dieser Strecke mit Q. Sodann denken wir uns durch jeden
Punkt der Asymptotenkurve a die andere Asymptotenkurve gezogen und
nach der Seite, nach welcher hin die fragliche Strecke
die Lange ^l abgetragen.
Aus den Punkten P und
PQ P^ auf b liegt,
P der Kurve a
erhalten
Weise
l
wir
den
auf
diese
namlichen
Punkt Q als Endpunkt.
Die samtlichen erhaltenen
Endpunkte bilden mithin
eine
Asymptotenkurve,
welche durch den Punkt
geht und zu demselben
Q mit der nam
Q
Punkte
lichen Tangente zuriickkehrt.
Dies
ist
unmoglich,
da es nach
1.
auf unserer Flache keine ge-
schlossene Asymptotenkurve gibt.
Damit ist gezeigt, daB der erste Fall nicht stattfinden kann.
auch der zweite Fall
Aber
namlich die Asymptoten
unmoglich.
kurve in der Weise, daB sie nach Uberschreitung des Schnittpunktes
die namliche Richtung aufweist, wie friiher in
so konnten wir die
Verliefe
ist
P
P
,
PP
P
der Asymptotenkurve & iiber
hinaus
t
Fortsetzung dieses Stiickes
x
offenbar dadurch erhalten, daB wir von
durch
ausgehend
jeden Punkt
P
des Stiickes
PP
Q
von
&
die
andere
Asymptotenkurve konstruieren und
auf alien diesen Asymptotenkurven nach der betreffenden Seite hin das
der Asymptotenkurve a abtragen. Die erhaltenen End
gleiche Stuck
t
bilden
die
punkte
Fortsetzung der Asymptotenkurve 6 von x bis zu einem
PP
P
P
Aus diesem Stiicke P^ P2 der Asymptotenkurve konnen
2
wir in gleicher Weise ein neues Stuck der Asymptotenkurve b konstruieren,
welches iiber P2 hinausgeht und bis zu einem Punkte P3 auf a reicht u. s. f.
Auch ist klar, wie wir die Asymptotenkurve & nach der anderen Richtung
Punkte
hin iiber
P
auf
a.
1)
hinaus durch die entsprechende Konstruktion fortsetzen konnen
und so der Reihe nach zu den Kurvenstiicken
P
P_ 1; P_ 1 P_ 2
.
,
.
.
ge-
Die Asymptotenkurve b schneidet also die Asymptotenkurve a in
den unendlich vielen gleichweit voneinander entfernten Punkten:
langen.
Anhang V:
Fliichen von konstanter GauBscher Kriimmung.
*p_3,
169
p_ 2 -t_
p 1; JTp
-L
,
Die Winkel, die die Asymptotenkurve b mit a in bestimmtem Sinne in
jenen Schnittpunkten bildet, bezeichnen wir bez. mit
Wir
nun
das
welches von den Stticken
PP
betrachten
auf b gebildet wird.
P P P P P
Asymptotenkurvenviereck
Q
PP
auf a,
l
X
2
auf
P
&,
2
t
a
P^ auf
a,
1
,
PiP
Die vier Winkel dieses Vierecks siud
und da nach dem angefuhrten Satze iiber das Asymptotenkurvenviereck
der Inhalt desselben gleich dem UberschuB der Summe seiner Winkel
iiber 2jc ist und dieser UberschuB daher positiv sein muB so folgt
7
d.
h.
Ebenso
folgt allgemein
ak
(5)
Wegen
a;t+1
sein; wir diirfen die
_
ft
und
Aus
(5) folgen die
a_ p
a
ft
ak+2 ,
(fc
= 0, + 1,
+2,...).
a x und ax
a&amp;gt;
2
Annahme
_.j.
1
fl
(6)
ak+1
der obigen Ungleichung (4) konnen jeden falls a
nicht zugleich
treffen.
&amp;gt;
I
I
^^
|
Ungleichungen:
-
a_ p+l
a
-a,
&amp;gt;a
&amp;gt;a
p
=
(p
1, 2, 3,
.
.
.),
ap+l
oder
Bilden wir die Ungleichungen (6) und (7)
durch Addition derselben leicht
i
+ n (a
fiir
p
)
=
.
1, 2,
3
.
.
.
,
n, so folgt
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
170
nun a
Fallt
a1
aus, so ist fur geniigend grofie
&amp;gt;
die erstere dieser beiden
falls
n
samtlich kleiner als
demselben Grrunde
sind;
fiir
Gleichungen unmoglich,
fallt
dagegen
x
Werte von n jedenda die Winkel ak
aus ;
&amp;gt;
geniigend groBe Werte von n
die
so
folgt
aus
Unmoglichkeit
der letzteren Gleichung.
Die Asymptotenkurve & darf daher auf keine der beiden angenommenen
Arten verlaufen und mithin ist der Beweis fiir 2. vollstandig erbracht.
3.
Stelle,
Eine Asymptotenkurve unserer Fldclie durchsetzt
sich selbst
an
keinen Doppelpunkt.
Beweise nehmen wir im Gegenteil an, es existiere eine
d. h.
Zum
Jceiner
sie besitzt
Asymp
totenkurve mit einem Doppelpunkt; dann verlegen wir den Anfangspunkt
der krummlinigen Koordinaten u, v in diesen Doppelpunkt und wablen
die
beiden
Zweige
der
Kurvenschleife
zu
Koordinatenlinien,
nach der
Schleife bin den positiven Sinn gerechnet.
Wir
zieben jetzt
vom Punkte (s,
0) beginnend auf der t-Koordinatendurch jeden Punkt derselben die andere Asymptotenkurve und tragen
auf dieser nacb der positiven Seite bin eine Strecke s ab: wablen wir diese
linie
Strecke s geniigend klein, so
werden die samtlicben erbalte-
nen Endpunkte nach einem oben
Satze
angefiihrten
iiber
das
Asymptotenkurvenviereck wiederum eine Asymptotenkurve
bilden. Diese
-s,o
gebt
(
s, 0),
daB
also,
durcbsetzt sicb daber selbst in
die
soeben konstruierte
(
s ; s) aus,
durcb den Punkt
(s,
s)
und endigt im Punkte
(s,
0)
lauft
bez.
Asymptotenkurve
vom Punkte
(s, s) bez. (
s, s).
die
Asymptotenkurve
Asymptotenkurve in zwei verschiedenen Punkten (0
und ( s, 0) scbneidet; dies ist nacb 2. uninoglicb.
;
s)
Wir seben
urspriinglicbe
und (s,0)
bez. (0,s)
Wenn
wir durch jeden Punkt einer Asymptotenkurve a die andere
Asymptotenkurve zielien und auf dieser nach der ndmlichen Seite liin eine
4.
bestimmte Strecke s abtragen, so bilden die erhaltenen Endpunkte eine neue
Asymptotenkurve
liche
&, die die urspriing-
Asymptotenkurve a an keiner
Stelle schneidet.
Denn ware
P ein
Scbnittpunkt
Asymptotenkurve 6 mit der
urspriinglicben a, und tragen wir
der im Satze angegebenen Konder
Anhang V: Flachen von konstanter
GauBsclier Kriimmung.
171
struktion zufolge von P aus auf der Asymptotenkurve & die Strecke s
nach der betreffenden Seite von a hin ab, so bekommen wir einen durch
den entstehenden Endpunkt Q hindurchgehenden
Asymptotenkurvenzweig,
der ebenfalls zur Asymptotenkurve & gehoren muBte und andererseits den
anfangs betrachteten Zug der Kurve & in Q schneidet; mithin ware Q ein
Doppelpunkt der Asymptotenkurve 6; das Auftreten eines Doppelpunktes
ist
aber nach
3.
unmoglich.
Aus den Satzen
1.
bis 4.
konnen wir sofort
diese SchluBfolgerungen ziehen:
Die samtlichen Asymptotenkurven unserer Flache
Scharen.
Irgend zwei derselben Schar angehorende
zerfallen
in
zivei
Asymptotenkurven
dagegen schneiden sich je zwei Asymptoterikurven die
Scharen angehoren, stets in einem und nur einem Punkte
schneiden sich nicht;
verschiedenen
,
der Flache.
Die Koordinatenlinien u
verschiedenen
= 0,
=
sind zwei Asymptotenkurven, die
Scharen angehoren.
Wegen der Bedeutung der KoordiKoordinatenabschnitte
entnehmen wir aus
Langen gewisser
naten u, v als
den eben ausgesprochenen
v
Tatsachen
da6
bestimmt geunserer Flache gehort
gebenen Werten von u, v stets nur
d. h. die zu untersuchende Abbildung
(1) unserer Flache auf die uv-Ebene
ist
zugleich,
ein Punkt
zu
notwendig eine umketirbar eindeutige. Insbesondere folgt hieraus, daft
Flache einen einfachen Zusammenhang besitet und keine Doppel-
unsere
flache
ist.
Nachdem wir zu
dieser wichtigen Einsicht gelangt sind ;
berechnen
den gesamten Inhalt unserer Flache auf zwei Wegen; wir werdeu
dadurch zu einem Widerspruch gelangen.
wir
Der
erstere
Weg
ist
der folgende.
Wir
betrachten auf unserer Flache
dasjenige aus Asymptotenkurven gebildete Viereck,
dessen
Ecken durch
die Koordinaten
U, V]
U, V]
U,
V]
V
U,
Da jeder Winkel dieses Vierecks
it
sein muB, so ist
Winkel des Vierecks jedenfalls
4n und der Inhalt des
Vierecks d. h. der UberschuB der Summe seiner Winkel iiber 2 it ist
mithin notwendig
2 jr. Lassen wir nun die Werte von u, v unbegrenzt
wachsen, so kommt jeder bestimmte Punkt der Flache sicher eininal im
Inneren eines Viereckes zu liegen und bleibt dann im Inneren aller
bestimmt
die
sind.
Summe
&amp;lt;
der
&amp;lt;
&amp;lt;
weiteren Vierecke, so daB das unbegrenzt wachsende Viereck schlieBlich
die ganze Oberflache umfaBt.
Wir entnehmen daraus, daB der Gesamtinhalt unserer Flache
&amp;lt;I
2 it sein muB.
Andrerseits betrachten wir die geodatischen Linien auf unserer Flache.
Wegen der negativen Kriimmung unserer Flache ist jede geodatische
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
172
zwischen irgend zweien Hirer Punkte gewiB kiirzeste Lime, d. h.
als jede andere Linie, die auf der Flache zwischen
Linie
von kleinerer Lange
den namlichen zwei Punkten verlauft und sich durch stetige Anderung
in die geodatische Linie iiberfiihren laBt.
Wir fassen nun irgend zwei
vom Punkt
und nehmen
ausgehende geodatische Linien auf unserer Flache ins Auge
an, dieselben schnitten sich noch in einem anderen Punkt P
der Flache.
Da nach dem oben Bewiesenen
fachen
Zusammenhang
besitzt, so
unsere
Flache
einen ein-
sich jede dieser beiden geodatischen
lafit
OP in die andere durch stetige Veranderung uberfiihren; es miifite
nach deui eben Ausgefiihrten jede derselben kiirzer sein als die andere,
was nicht moglich ist.
Unsere Annahme der Existenz eines Schnitt-
Linien
also
P
Durch
zu verwerfen.
ist also
punktes
wir auch,
die
namlichen Schliisse erkennen
daB eine geodatische Linie unserer Flache weder sich durchsetzen noch in sich selbst zuriicklaufen darf.
Denken wir uns nun auf alien von
ausgehenden geodatischen
Linien die gleiche Lange r abgetragen, so bilden die erhaltenen Endpunkte
Das von
eine geschlossene doppelpunktslose Kurve auf unserer Flache.
dieser
Kurve umspannte Gebiet
besitzt
nach den bekannten Formeln der
Lobatschefskyschen Geometric den Flacheninhalt
Da
dieser
Ausdruck
unendlich wachsende Werte von r selbst iiber
fiir
Grenzen wachst, so entnehmen wir hieraus, daB auch der GesamtDiese Folgerung steht
inhalt unserer Flache unendlich groB sein miiBte.
im Widerspruch mit der vorhin bewiesenen Tatsache, wonach jener Inhalt
alle
^ 2n
stets
ausfallen sollte.
Wir
sind daher gezwungen,
unsere
Grund-
annahme zu verwerfen, d. h. wir erkennen, daft es eine singularitdtenfreie
und iiberall regular analytische Flache von konstanter negativer Kriimmung
nicht gibt.
Insbesondere
zu verneinen, ob
Ebcne durch
lichen
auf
eine
die
ist
daher auch die su Anfang aufgeworfene Frage
Seltramische Weise
1
regular
analytische
}
die
ganze Lobatschefskysche
Flache im
Eaume
sich
verwirk-
lafit.
IJber
2
Fldchen von positiver konstanter Kriimmung ).
zu Anfang dieser Untersuchung aus von der Frage nach
im Endiiberall
negativer konstanten Kriimmung, die
zu
dem
und
Resultate, daB
verlauft,
gelangten
Wir gingen
Flache
einer
lichen regular analytisch
Vgl. die Anmerkung auf S. 163.
ebenen
Die
Frage der Verwirklichung der Nicht-Euklidischen elliptischen
2)
Geometric durch die Punkte einer iiberall stetig gekru mmten Flache ist auf meine
1)
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
Wir
Flaehe nicht gibt.
es eine solche
173
wollen nunmehr mittels der ent-
sprechenden Methode die gleiche Frage fur positive konstante Kriim
mung behandeln. Offenbar ist die Kugel eine geschlossene singularitatenfreie Flache positiver konstanten
Kriimmung, und nach dem von H. Liebmann 1) auf meine Anregung bin gefiihrten Beweise gibt es auch keine
andere
geschlossene
Flache von
derselben Eigenschaft.
Diese Tatsache
der
von
einem
herleiten,
beliebigen
nun wollen wir aus einem Satze
singularitatenfreien Stiicke einer Flache positiver konstanten
gilt
und folgendermaBen
Auf
oder
einfach
abgegrenzt;
metirfach
wir
denken
Gebietes sowie in den
uns
radien
auch das
in
gewift
bietes liegt
Radius
2
)
Handpunkten desselben
so wird das
Minimum
der
sei
ein
Gebiet
im
1
zusammenhangendes
dann in jedem Punkte
radien der Fldctie Jconstruiert,
folglich
+
Flache der positiven konstanten Kriimmung
einer
singularitdtenfreies
Endlichen
Kriimmung
lautet:
Tdeineren
die
beiden
dieses
Maximum
Hauptkrummungsder grofieren und
der
Hauptkrummungs-
beiden
Punkte angenommen, der im Inner en des Ge
denn unsere Flache ein Stuck der Kugel mit dem
Iteinem
es
sei
1.
Zum Beweise bedenken wir zunachst, daB wegen unserer Voraus1 und
setzung das Produkt der beiden Hauptkriimmungsradien iiberall
1 sein muB.
daher der groBere der beiden Hauptkriimmungsradien stets
=
^
Aus diesem Grunde
radien
offenbar
Maximum
das
ist
nur dann
=
1,
wenn
der groBeren Hauptkriimmungs
beide Hauptkriimmungsradien in
jedem Punkte unseres Flachenstiickes = 1 sind. In diesem besonderen
Falle ist jeder Punkt des Flachenstiickes ein Nabelpunkt, und man schlieBt
dann leicht in der bekannten Weise, daB das Flachenstiick ein Stiick der
Kugel mit dem Radius
Nunmehr
sei
das
radien unserer Flache
hauptung
1
sein
muB.
Maximum
an, es gabe
&amp;gt;
1;
der groBeren der beiden Hauptkriimmungs
dann nehmen wir im Gegensatz zu der Be-
im Inneren
des Flachenstiickes einen
Punkt 0,
in
tJber die Curvatura Integra und die
Topologie geschlossener Flachen. Inauguraldissertation, Grottingen 1901 und Math.
Ann. Bd. 57 1903. W. Boy hat in dieser Arbeit eine topologisch sehr interessante
ganz im Endlichen gelegene einseitige geschlossene Flache angegeben, die abgesehen
von einer geschlossenen Doppelkurve mit dreifachem Punkt, in welcher sich die
Anregung von W. Boy untersucht worden:
Mantel der Flache durchdringen, keine Singularitat aufweist und den Zusammenhang
der Nicht-Euklidischen elliptischen Ebene besitzt.
Vgl. ferner die interessanten Arbeiten
1) Grottinger Nachrichten 1899, S. 44.
desselben Yerfassars in Math. Ann. Bd. 53 und Bd. 54.
Flachen konstanter positiver Kriimmung
2) Den analytischen Charakter der
nachzuweisen
E.
Holmgren
G. Lutkemeyer in der S. 163 genannten Inauguraldissertation und
den Math. Ann. Bd. 57 gelungen.
ist
in
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Kriimmung.
174
Da
welchem jenes Maximum stattfinde.
Nabelpunkt sein kann und iiberdies
wird
ist,
so
von
jeder
die
Punkt
gewiB kein
Punkt
unserer
Flache
regularer
Punktes liickenlos und einfach
dieses
Umgebung
dieser
ein
der beiden Scharen von Kriimmungslinien der Flache beBenutzen wir diese Kriimmungslinien als Koordinatenlinien und
deckt.
den Punkt
stanter
als Anfangspunkt des krummlinigen Koordinatennach der bekannten Theorie der Flachen positiver kon
selbst
systems, so gelten
Kriimmung
die folgenden Tatsachen
1
).
Es bedeute rt den groBeren der beiden Hauptkriimmungsradien fiir
= (0, 0); es ist
den Punkt (u, v) in der Umgebung des Anfaugspunktes
in dieser
Umgebung
dann geniigt
die
r
Man
1.
&amp;gt;
setze
GroBe Q
reelle
positive
als
Funktion von u f v
der
partiellen Differentialgleichung
g*g
Da
abnehmendem
bei
r
_e-*?-e
d* Q
,
e
Funktion Q notwendig wachst, so muB Q
einen Minimalwert
0, v
die
Funktion von u, v an der Stelle u
als
2
&quot;
1
*&quot;*&quot;
=
=
aufweisen, und demnach hat die Entwicklung von Q nach Potenzen der
Variabeln u, v notwendig die Grestalt
= a + aw +
2
9
wo
a,
cc, /3,
reelle
Umstande
u, v
niemals
folgen
gleichungen
fiir
wollen
wir
gleichung (8) einsetzen:
1)
2fiuv
+
yv
2
Werte annehmen darf. Aus letzterem
a und y notwendig die Un-
die
fiir
und
y^&amp;gt;0.
fiir
Q in die Differential
erhalten wir dann
Entwicklung
u = 0,
v
=
Konstante a den Wert von p im Punkte
mithin positiv
&amp;lt;
,
Konstanten
a^O
die
+
:
Andererseits
falls
+
negative
die
(9)
Da
yv~
-\-
y Konstante bedeuten und dabei die quadratische Form
au 2
fiir
2fiuv
ausfallt,
so
ist
hier
= (0, 0)
der Ausdruck rechter
darstellt
Hand
und
jeden-
0; die letztere Gleichung fiihii deshalb zu der Ungleichung
Darboux, Le9ons sur
la
theorie
Bianchi, Lezioni di geometria differenziale,
g^nerale
264.
des
surfaces,
Bd. 3,
Nr.
776.
Anhang V: Flachen von konstanter GauBscher Krummung.
welche
mit den Ungleichungen
unsere
in
(9)
urspriingliche Annahme,
Inneren des Flachen stii ekes liege,
Widerspruch
wonach
als
die
Stelle
steht.
175
Damit
1st
Maximums im
des
und mithin der oben
unzutreffend
aufgestellte Satz als richtig erkannt.
Der eben bewiesene Satz lehrt offenbar folgende Tatsache. Wenn
wir aus der Kugeloberflache ein beliebiges Stuck ausgeschnitten denken
und dann
dieses
Stuck beliebig verbiegen, so findet sich das
groBeren vorkommenden
aller
Rande
des
Hauptkriimmungsradien
Eine geschlossene Flache
Flachenstiickes.
Rand und daraus
folgt,
eine
singularitdtenfreie
geschlossene
Krummung
Resultat
verbiegen
1
stets
driickt
kann,
die
wie bereits oben bemerkt ;
Kugel
mit
dafi
man
die
auf
besitzt
1
positiven
sein
als
dem
keinen
sofort der Satz,
Flache mit der
dem Radius
Maximum
stets
daft
konstanteti
mufl.
Dieses
Ganzes nicht
aus,
Kugel
ohne daB auf der Flache irgendwo eine Singularitat
zugleich
auftritt.
Gottingen, 1900.
Zum
Schlusse
spreche
ich
meinem
Freunde
Hermann Minkowski
und Dr. Max Dehn fur ihre Unterstiitzung beim Lesen der Korrektur
und die empfangenen mannigfachen und wertvollen Ratschlage meinen
herzlichsten
Dank
aus.
Gottingen, August 1903.
K1 1
U KIN
Astronomy Mathematics
100 Evans
Statistics
Computer Science Library
642-3381
Hall
UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY
FORM NO.
DD3, 1/83
BERKELEY,
CA 94720
QJ
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